Gruppen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

EinleitungBearbeiten

Ein erstes Beispiel: Vertauschen von SteinenBearbeiten

Stellen wir uns folgende Situation vor: Wir haben drei Steine, die in einer Reihe liegen. Diese Steine können wir umordnen, also ihre Reihenfolge verändern. Wir möchten jetzt dieses einfache Szenario etwas genauer untersuchen.

Dazu müssen wir zunächst klären, was wir unter Umordnungen verstehen: Eine Umordnung ist eine Vorschrift, die angibt, von welcher Position aus ein Stein auf welche Position verlegt wird. Nach einer Umordnung muss jeder Stein wieder auf einer Position liegen und keine Position darf doppelt besetzt sein. Dabei erlauben wir auch, dass Ausgangs- und Endposition eines oder mehrerer Steine gleich sind. Insbesondere betrachten wir "Nichts tun", also das Belassen aller Steine an ihrem Platz auch als eine Umordnung. Diese Umordnung spielt eine entscheidende Rolle. Deshalb geben wir ihr auch einen eigenen Namen; wir nennen sie die "Identitätstransformation". Weitere Beispiele für Umordnungen sind "Der linke und der rechte Stein tauschen die Plätze" oder "Der linke Stein wandert in die Mitte, der mittlere Stein wandert nach rechts, und der rechte nach links".


Etwas formaler: Mathematisch betrachtet bilden die Positionen der Steine die Menge  . Wenn wir einen Stein bewegen, verschieben wir ihn von einem Element dieser Menge auf ein anderes. Wir können also Umordnungen der Steine als Abbildungen dieser Menge auf sich selbst auffassen. Da nie zwei verschiedene Steine auf die selbe Position verschoben werden dürfen (können), ist eine Umordnung (aufgefasst als Abbildung) injektiv; da jede Position wieder besetzt werden muss, ist sie außerdem surjektiv. Bei unseren Umordnungen handelt es sich also um bijektive (injektive und surjektive) Abbildungen einer dreielementigen Menge auf sich selbst. Umgekehrt entspricht jede bijektive Abbildung   der Menge   in sich selbst einer Umordnung. (Der Stein auf Position x wird unter der zu f korrespondierenden Umordnung auf die Position f(x) verschoben. ) Tatsächlich spielt lediglich die Größe der Menge (drei) mathematisch eine Rolle. Wir könnten genauso gut auch drei Stifte, Kaffeetassen, Radiergummis etc. vertauschen, oder andere Bezeichnungen für die zu besetzenden Positionen wählen (wie oben-Mitte-unten oder vorne-Mitte-hinten). Wir untersuchen also eigentlich Vertauschungen von drei unterscheidbaren Objekten.


Was passiert, wenn wir Vertauschungen (Umordnungen) hintereinander ausführen? Zum Beispiel können wir zuerst den linken mit dem mittleren Stein vertauschen, und anschließend den (neuen) mittleren Stein mit dem rechten. In diesem Fall erhalten wir das gleiche Endergebnis, wie wenn wir in einem Schritt den linken Stein ganz nach rechts legen, und die anderen jeweils um eins nach links verschieben. Diese Situation lässt sich in einer Grafik veranschaulichen (zur Verdeutlichung haben wir die Steine eingefärbt):

Wir behaupten nun, dass sich jede beliebige Hintereinanderausführung von zwei (oder sogar mehr) Umordnungen immer auch in einem einzigen Durchgang realisieren lässt. In anderen Worten: Die Hintereinanderausführung von Umordnungen ergibt wieder eine Umordnung.

Dies überprüfen wir in zwei Schritten:

Zunächst müssen wir alle möglichen Umordnungen finden. Bei drei Steinen ließe sich das noch mit etwas Herumprobieren bewerkstelligen. Wir wollen hier aber den systematischen Weg demonstrieren. Dazu bauen wir die Umordnungen Stück für Stück auf: Als Erstes legen wir fest, auf welche Position der linke Stein bewegt wird. Wir haben drei Plätze zur Auswahl. Dann bewegen wir den mittleren Stein. Da keine Position doppelt belegt werden darf, stehen für jede mögliche Endposition des linken Steins noch zwei für den mittleren Stein zur Auswahl. Für den rechten Stein bleibt dann stets nur eine Möglichkeit übrig. Insgesamt gibt es also   verschiedene Umordnungen dreier Steine. Dies sind: Die Identitätstransformation, drei verschiedene Arten, jeweils zwei Steine zu vertauschen, und schließlich zwei Arten, einen der äußeren Steine „auf die andere Seite zu bringen“ (siehe Graphik unten).

Da wir nun alle Umordnungen kennen, müssen wir im zweiten Schritt alle möglichen Kombinationen durchprobieren. Das Ergebnis können wir in einer Tabelle, ähnlich einer Einmaleins-Tabelle, darstellen. Dabei gibt die Kopfzeile an, welche Vertauschung zuerst, und die vordere Spalte an, welche Vertauschung daraufhin ausgeführt wird. Das Ergebnis der Verknüpfung steht in der zugehörigen Zelle des Ergebnisbereichs:

Das eingefärbte Beispiel von oben finden wir beispielsweise in der dritten Spalte und zweiten Zeile des Ergebnisbereichs wieder.

Hinweis

Alternativ hätten wir auch so argumentieren können: Jede Umordnung entspricht einer bijektiven Abbildung  . Die Hintereinanderausführung von zwei Umordnungen entspricht der Verkettung der zugehörigen Abbildungen, und diese ist (als Verkettung bijektiver Abbildungen) bijektiv. Weil umgekehrt jede bijektive Abbildung   einer Umordnung entspricht, ist die Hintereinanderausführung von zwei Umordnungen wieder eine Umordnung.


Anhand der Tabelle kann man aber noch einige andere Dinge beobachten: Zum Beispiel sind die erste Zeile des Ergebnisbereichs und die Kopfzeile identisch. Die Ergebnisse dieser Zeile entstehen, wenn man nach einer beliebigen Umordnung noch die Identitätstransformation durchführt. Da die Identitätstransformation die Position der Steine nicht ändert, ergibt sich insgesamt die zuerst durchgeführte Umordnung. Dies ist für uns nicht weiter verwunderlich, da wir mit dem zugrundeliegenden Szenario (Umordnungen von drei Steinen) vertraut sind und genau wissen, dass die Identitätstransformation „nichts tut“.

Um uns die wahre Bedeutung dieser Beobachtung vor Augen zu führen, stellen wir uns einmal vor, die Tabelle würde von jemandem betrachtet, dem wir nichts über das Szenario erzählt haben. So eine Person weiß nichts über die drei Steine und hat noch nie etwas von Umordnungen gehört. Für diese Person sind die Einträge in der Tabelle einfach abstrakte Symbole, die ansonsten keine weitere Bedeutung tragen. Wir können uns in diese Situation versetzen, indem wir die Umordnungssymbole in der Tabelle durch beliebige andere Symbole ersetzen, die nichts mehr mit den drei Steinen zu tun haben. Wir können zum Beispiel simple geometrische Formen wählen, einen Kreis für die Identitätstransformation und so weiter:

Natürlich sind auch in dieser Version der Tabelle die erste Zeile des Ergebnisbereichs und die Kopfzeile identisch. Es handelt sich ja um die gleiche Tabelle, nur mit anderen Symbolen. Allerdings sind Beobachtungen, die wir in der „neuen“ Tabelle machen, unabhängig von konkreten Eigenheiten des von uns gewählten Szenarios.

So gleichen sich nicht nur die ersten Zeilen, sondern auch die erste Spalte des Ergebnisbereichs und die vordere Spalte. Da wir aber nun nichts mehr über Steine und Identitätstransformationen wissen, kommen wir zu einem erstaunlichen Schluss: Wenn wir das Kreis-Symbol mit einem beliebigen Symbol kombinieren, egal ob an erster oder zweiter Stelle (sprich, in der ersten Spalte oder Zeile), ergibt sich in jedem Fall wieder das andere Symbol. Ohne die Interpretation der Tabellenelemente als Umordnungen von Steinen ist diese Eigenschaft eine rein abstrakte Beobachtung, frei von jeder Begründung. Wir können lediglich anerkennen, dass es sich um eine grundlegende Eigenschaft des Kreis-Symbols zu handeln scheint. Wir geben dieser Eigenschaft einen Namen: Neutralität. Wir sagen auch: „Das Kreis-Symbol ist ein neutrales Element (in dieser Tabelle)“.

Weiterhin können wir beobachten, dass in jeder Zeile und jeder Spalte des Ergebnisbereichs jedes Symbol exakt einmal vorkommt (ähnlich wie bei einem Sudoku). Für die erste Zeile und Spalte ist das leicht nachzuvollziehen, aber es trifft auch auf alle anderen zu. Allerdings ist hier die Reihenfolge der Symbole (gegenüber der ersten Zeile/Spalte) verändert. Dass tatsächlich alle Symbole in jeder Zeile und Spalte erscheinen, wird uns noch zu einem späteren Zeitpunkt in diesem Artikel beschäftigen.[link 1]

Für den Moment wollen wir unsere Aufmerksamkeit aber auf ein spezielles Symbol richten, nämlich auf das neutrale Element (das Kreis-Symbol, die Identitätstransformation). Wenn es im Ergebnisbereich auftaucht, können wir das nämlich folgendermaßen interpretieren: Die zwei Symbole, die wir dazu verknüpft haben, verhalten sich in Kombination neutral. Oder im Szenario der drei Steine: Die beiden Umordnungen ergeben hintereinander ausgeführt "Nichts tun". Die zweite Umordnung hebt die erste auf, kehrt sie um. Wir nennen ein Paar solcher Symbole, die zusammen das neutrale Element ergeben, "zueinander invers". Eine Umkehrung eines Symbols bezeichnen wir als Inverses des Symbols. Die Tatsache, dass das neutrale Element in jeder Zeile und Spalte des Ergebnisbereichs auftaucht, bedeutet, dass jedes Symbol ein Inverses hat. Betrachten wir zum Beispiel das Fünfeck. Wir suchen das Fünfeck in der Kopfzeile und betrachten die darunter liegende Spalte des Ergebnisbereichs. Dort finden wir das neutrale Element (den Kreis) an vierter Stelle. Wenn wir die entsprechende Zeile nach vorne verfolgen, erkennen wir in der vorderen Spalte, dass das Karo invers zum Fünfeck ist. Mit dem Sprachbeispiel "die Symbole sind invers zueinander" haben wir bereits angedeutet, dass diese Beziehung wechselseitig ist. Und tatsächlich: Wenn wir in der Kopfzeile beim Karo starten und dieselbe Prozedur durchführen, enden wir in der vorderen Spalte beim Fünfeck. Das Fünfeck ist also auch invers zum Karo, oder anders ausgedrückt: Karo und Fünfeck sind invers zueinander.

Als weiteres Beispiel wollen wir das Dreieck betrachten. Wenn wir das Inverse des Dreiecks mit der gerade beschriebenen Methode ermitteln, erhalten wir wieder das Dreieck. Das Dreieck ist also sein eigenes Inverses. Solche Symbole nennen wir selbstinvers. Die Existenz solcher Symbole ist unproblematisch. Im Gegenteil, wenn wir wieder unser konkretes Szenario der drei Steine zurate ziehen, stellen wir fest, dass das Dreieck die Vertauschung des mittleren und rechten Steins symbolisiert. Verknüpfen wir das Dreieck mit sich selbst, tauschen wir die Steine also hin und zurück; das Ergebnis ist konsequenterweise die Identitätstransformation.

Uns fällt auf, dass die Tabelle nicht symmetrisch bezüglich der Diagonalen von oben links nach unten rechts ist. Die Reihenfolge, in der wir zwei Symbole kombinieren, spielt also eine Rolle! Wenn wir zum Beispiel zuerst das Sechseck wählen und an zweiter Stelle das Karo, so ergibt sich das Quadrat. Setzen wir hingegen das Karo an erste Stelle und das Sechseck an die zweite, erhalten wir das Dreieck. Obwohl Inverse kommutieren, gilt also kein allgemeines Kommutativgesetz (für mehr Informationen siehe auch (todo)[link 2]).

Bisher haben wir nur die Verknüpfung zweier Symbole und deren Ergebnis betrachtet. Da dieses Ergebnis aber wieder eines der Tabellensymbole ist, können wir es seinerseits mit einem dritten Symbol verknüpfen. Wir haben somit einen Weg gefunden, um drei Symbole miteinander zu kombinieren.

Zum Beispiel können wir erst Viereck mit Karo verknüpfen (dabei erhalten wir das Fünfeck), und dann das Fünfeck mit dem Dreieck. Das ergibt das Fünfeck. Dabei müssen wir Acht auf die Reihenfolge geben. Wenn wir nur sagen: Wir verknüpfen Dreieck mit Karo mit Fünfeck, ist nicht klar, in welcher Reihenfolge wir die Verknüpfung ausführen. Wir könnten meinen: Zuerst verknüpfen wir Dreieck mit Karo, und das Ergebnis verknüpfen wir dann mit Fünfeck. Oder wir könnten meinen: Wir verknüpfen Dreieck mit dem Ergebnis der Verknüpfung von Karo und Fünfeck.

In beiden Fällen ergibt sich:


To-Do:

fix zooming behavior of vector graphics

Beide "Rechenwege" liefern also das gleiche Endergebnis.

Hinweis

Die Bezeichnung der Verknüpfung mit "nach" ist motiviert durch das Szenario der drei Steine. Die rechts stehende Umordnung wird zuerst angewandt. Nach dieser folgt dann die links stehende Umordnung. Die Elemente werden also von rechts nach links miteinander verknüpft. Diese Reihenfolge ist wie bei der Verknüpfung von Abbildungen.

In dem von uns betrachteten Fall spielt es deshalb keine Rolle, welche Symbole wir zuerst zusammenfassen, bzw. wo wir die Klammern setzen:

To-Do:

fix zooming behavior of vector graphics

Diese Beobachtung war nicht zufällig, sondern gilt für alle möglichen Kombnationen unserer Symbole. Ein vollständiger Beweis "zu Fuß" würde das Überprüfen von   Dreierkombinationen erfordern, daher beschränken wir uns hier auf ein Beispiel. Du kannst weitere Kombinationen ausprobieren und wirst immer zu dem Ergebnis kommen, dass die Position der Klammern keine Rolle spielt, solange die Reihenfolge der drei Symbole selbst unverändert bleibt. Einen allgemeinen Beweis dieser Tatsache findest Du im [link 3]

Wir geben dieser Eigenschaft einen Namen: Assoziativität, und sagen auch: "Die Hintereinanderausführung zweier Umordnungen / Verknüpfung zweier Symbole ist assoziativ." Assoziativität bedeutet, dass wir beim Rechnen (in Gruppen) Klammern weglassen können.

Was wir daraus lernenBearbeiten

Nach all diesen Beobachtungen steht aber noch eine Frage im Raum: Wozu das Ganze? Warum haben wir gerade in großer Ausführlichkeit ein als ziemlich aus der Luft gegriffen erscheinendes Szenario untersucht?

Die Antwort darauf ist überraschend: Die Umsortierung der Steine hat in gewisser Hinsicht ähnliche Eigenschaften wie die Addition ganzer Zahlen, und es gibt sowohl im Alltag als auch in der Mathematik viele weitere Beispiele für Operationen, die diese Strukturmerkmale aufweisen. Das sich daraus ergebende Konzept wird in der Mathematik als Gruppe bezeichnet. Wir sagen: "Die Umordnungen dreier Steine und deren Hintereinanderausführung bilden eine Gruppe." Gruppenstrukturen sind in der Mathematik und im Alltag allgegenwärtig. Einige Beispiele, in denen Gruppen eine entscheidende Rolle spielen, sind: Das Addieren von Vektorpfeilen in der Ebene, das Verdrehen eines Zauberwürfels, das Drehen eines Objekts in der Ebene/im Raum, die Multiplikation rationaler Zahlen, etc...

Definition der GruppeBearbeiten

Definition (Innere Verknüpfung)

Sei   eine nichtleere Menge.

Eine innere Verknüpfung   auf   ist eine Abbildung  .

Hinweis

Man nennt   abgeschlossen unter der Verknüpfung  , falls gilt: Für alle Elemente   aus   liegt   wieder in  . Eigentlich ist diese Bedingung redundant, denn sie sagt nichts weiter, als dass die Verknüpfung   zweier Elemente   aus   wieder ein Element   aus   ergibt, dies ist aber genau die definierende Eigenschaft der Verknüpfung, und daher eigentlich ohnehin erfüllt. Manchmal fordert man explizit die Abgeschlossenheit einer Menge   unter einer gegebenen Verknüpfung  , um daran zu erinnern, die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zu prüfen. Die Eigenschaft einer Menge, abgeschlossen unter einer Verknüpfung zu sein, ist insbesondere auch für das Konzept der Untergruppe relevant, welches wir später in diesem Artikel einführen werden.

Beispiel (Innere Verknüpfungen)

Beispiele für Verknüpfungen sind zum Beispiel die Multiplikation und Addition ganzer Zahlen (aufgefasst als Abbildungen von   oder die Hintereinanderausführung (Verkettung) von Abbildungen einer Menge   in sich selbst (augefasst als Abbildung  , wobei   die Menge aller Abbildungen   bezeichnet).


Definition (Gruppe)

Sei   eine nichtleere Menge und   eine innere Verknüpfung auf  . Das Tupel   wird Gruppe genannt, wenn es folgende Eigenschaften besitzt:

  1. Assoziativität: Die Verknüpfung   ist assoziativ, das heißt: Für alle Elemente   gilt  
  2. Existenz eines neutralen Elements: Es existiert ein Element  , sodass für alle Elemente   gilt:  . Dieses Element nennt man das neutrale Element von   bezüglich der Verknüpfung  .
  3. Existenz inverser Elemente: Für jedes Element   gilt: Es existiert ein Element  , sodass  . Das Element   mit dieser Eigenschaft heißt inverses Element oder Inverses von   unter der Verknüpfung  .

Hinweis

Das neutrale Element ist, wie wir später sehen werden, eindeutig bestimmt. Eine Gruppe kann also nicht mehrere neutrale Elemente besitzen.

Außerdem gilt: Zu jedem Element   existiert genau ein (unter der Verknüpfung   ) inverses Element  . Man spricht auch von der Eindeutigkeit inverser Elemente. Die Eindeutigkeit ist nicht Teil der Definition, sondern folgt aus der definierenden Eigenschaft des neutralen bzw. der inversen Elemente. Manchmal wird die Eindeutigkeit in der Definition gefordert, dies ist aber nicht notwendig.

Hinweis

Oft sagt man nur "  ist eine Gruppe" anstatt " ist eine Gruppe", falls man davon ausgeht, dass "klar" ist, welche Verknüpfung gemeint ist.

Definition abelsche GruppeBearbeiten

Hinweis

Wir haben in der Definition der Gruppe nicht gefordert, dass   eine kommutative Verknüpfung ist. Es ist also erlaubt, dass Elemente   existieren mit  . Ein Beispiel dafür sind die Umordnungen von drei Steinen aus der Einleitung. Gruppen, bei denen die Verknüpfung kommutativ ist, haben besonders schöne Eigenschaften, weswegen sie ihren eigenen Namen bekommen:

Definition (Abelsche Gruppe)

Sei   eine Gruppe.

Wir nennen   abelsch (oder kommutativ), falls   kommutativ ist, d.h. falls für alle   gilt:  

Hinweis

Abelsche Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802-1829) benannt.

BeispieleBearbeiten

Addition ganzer ZahlenBearbeiten

Beispiel (Die ganzen Zahlen unter Addition)

Die ganzen Zahlen bilden mit der (gewöhnlichen) Addition eine abelsche Gruppe.

Für alle ganzen Zahlen   gilt:  . Die ganzen Zahlen sind also abgeschlossen unter der Addition.

  1. Die Addition ist assoziativ und kommutativ.
  2. Die Null ist eine ganze Zahl, und das neutrale Element der Addition.
  3. Zu jeder ganzen Zahl   ist   wieder eine ganze Zahl, und das additive Inverse, da  

Kein Beispiel: Subtraktion ganzer ZahlenBearbeiten

Beispiel (Ganze Zahlen unter Subtraktion)

Die Subtraktion   definiert eine innere Verknüpfung auf den ganzen Zahlen, da für   auch immer   gilt. Die ganzen Zahlen bilden aber keine Gruppe unter Subtraktion. Dies liegt daran, dass die Subtraktion nicht assoziativ ist. Denn für ganze Zahlen   gilt  , aber  . Insbesondere ist für   stets  .

Es lässt sich auch kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion finden: Zwar gilt für  , dass  , aber  , das heißt die Null ist kein neutrales Element. Wegen   für alle   kann es kein neutrales Element geben.

Hinweis

Man nennt die Null im obigen Kontext rechtsneutrales Element, da für alle   gilt  . Die Null wirkt also von rechts wie ein neutrales Element.

Addition und Multiplikation rationaler ZahlenBearbeiten

Beispiel (Die rationalen Zahlen   unter Addition und Multiplikation)

Die rationalen Zahlen   bilden mit der gewöhnlichen Addition eine abelsche Gruppe, denn es gilt:

  für alle  . Genauer: Für ganze Zahlen   mit   gilt immer  , und  , also auch  . Die rationalen Zahlen sind also abgeschlossen unter Addition. Anders ausgedrückt: Die gewöhnliche Addition (rationaler Zahlen) kann man als Abbildung   auffassen. Die Addition rationaler Zahlen ist also eine innere Verknüpfung auf  .

  1. Die Addition ist assoziativ.
  2. Die Null ist das neutrale Element bezüglich der Addition, denn für alle   gilt:  .
  3. Zu jeder rationalen Zahl   ist   das (unter Addition ) inverse Element, da  .

Weil die Addition rationaler Zahlen kommutativ ist, ist   folglich eine abelsche Gruppe.


Unter der Multiplikation bilden die rationalen Zahlen ohne Null ( ) eine abelsche Gruppe. Tatsächlich:

  1. Für zwei rationale Zahlen   (also  ) gilt immer  , weil  . Das heißt die Multiplikation   ist eine innere Verknüpfung auf  .
  2. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ.
  3. Die   ist das neutrale Element bezüglich der Multiplikation, denn für alle rationalen Zahlen   gilt:  , und genauso  .
  4. Für   ist  , weil   und   und es gilt  . Das heißt   ist das zu   unter Multiplikation inverse Element. Die Null muss ausgeschlossen werden, weil es zur Null kein multiplikatives Inverses in   gibt. Für alle rationalen Zahlen   gilt:  . Die Multiplikation  , wäre zwar eine wohldefinierte Abbildung, also eine Verknüpfung auf den rationalen Zahlen. Diese Multiplikation ist assoziativ und   ist ein neutrales Element, aber   ist mit der Multiplikation KEINE Gruppe, da Null kein inverses Element unter Multiplikation in   hat.

ModulorechnungBearbeiten

Beispiel (Modulorechnung)

Wer kennt das nicht. Du bist einkaufen, fünf Milch für je 0,67€, Äpfel für 2,33€, ein Comicheft für 4,79€ und einen Toaster für 42,55€. Nun, wer kann Kleingeld leiden? Somit ist es ein natürliches Ziel, den passenden Centbetrag bereits im Voraus parat zu haben. Und so beginnen wir zu rechen:  . Uff, das wäre viel Wechselgeld geworden. Nun stellt sich aber die Frage, geht es nicht einfacher? Wenn uns die Eurobeträge gar nicht interessieren, wieso sollen wir sie dann mitschleppen? Einfacher ist es, nur die Centbeträge zu addieren. Eine Rechnung im Kopf würde dann eher so aussehen:  , d.h. wir haben   Cent.  , also   Cent. Jetzt kommt noch der Toaster:  , also ist der entgültige Centbetrag 2. Schon viel handlicher.

Das mathematische Modell dahinter sind die sogenannten Restklassengruppen: Wir wollen wissen, welchen ganzzahligen Rest wir bei der Division einer Summe von ganzen Zahlen durch ein festes   erhalten. Ein Beispiel für Restklassengruppen kennen wir schon aus der Einleitung: Das Rechnen auf der Uhr. Im obigen Beispiel interessiert uns der Rest bei Division des Preises (in Cent) durch  . Allgemeiner kann man sich auch für den Rest bei der Division durch eine beliebige ganze Zahl   interessieren. Im Folgenden berechnen wir mit   für   die Äquivalenzklasse von   modulo  , also die Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division mit Rest durch   den gleichen Rest wie   (bei Division durch   ) ergeben. Für eine ganze Zahl   gilt stets   für zwei eindeutig bestimmte ganze Zahlen   mit  . Sei   nun eine beliebige, feste ganze Zahl und   der Rest von   bei Division durch  . Damit können wir schreiben:  . Hilfreich ist auch die folgende Beschreibung: Für   gilt:  .

Denn für   gilt: Es gibt ein  , sodass  . Weil   der Rest der Division von   durch   ist, finden wir  , sodass  . Daraus folgt   ist durch   teilbar. Umgekehrt gilt für eine ganze Zahl   mit der Eigenschaft, dass   durch   teilbar ist: Es gibt ein  , sodass  . Daraus folgt  , also  .

Für ein Element   gilt  . Tatsächlich: Seien   ganze Zahlen mit  . Dann gilt für   ist als Differenz zweier durch   teilbarer Zahlen durch   teilbar, also  . Umgekehrt gilt für   ist als Summe zweier durch   teilbarer Zahlen durch   teilbar, also  .

Auf den ganzen Zahlen ist durch die Addition eine Gruppenstruktur gegeben. Wir zeigen jetzt, dass diese mit dem Rechnen modulo   "verträglich" ist. Damit ist gemeint: Für zwei ganze Zahen   mit   gilt:  . Damit können wir eine Addition von Äquialenzklassen definieren via  .

Weil   finden wir ein  , sodass  . Ebenso finden wir  , sodass  . Es folgt  . Sei  , sodass  . Dann gilt   für ein  . Also ist  . Das heißt,   ergibt bei Division durch   den Rest  . Deswegen ist  , also  . Es gilt somit  . Deswegen ist die Addition modulo   wohldefiniert, beziehungsweise die Addition ganzer Zahlen mit dem Rechnen modulo   "verträglich". Die Assoziatvität der Addition ganzer Zahlen überträgt sich auf das Addieren modulo  .

Die Äquivalenzklasse   (die aus allen durch   teilbaren Zahlen besteht) ist das neutrale Element bezüglich dieser Addition.

Für   ist   das inverse Element. Damit bildet   bezüglich der oben definierten Addition eine Gruppe.

Die triviale GruppeBearbeiten

Beispiel (Die triviale Gruppe)

Auf einer einelementigen Menge   gibt es nur eine Möglichkeit, eine innere Verknüpfung   zu definieren, und diese lautet  . Jede einelementige Menge wird unter der Verknüpfung   zu einer Gruppe.

Denn es gilt:

  1.   und  , das heißt, die Verknüpfung ist assoziativ.
  1.   ist das neutrale Element, weil  .
  2.   ist zu sich selbst invers.

Eigenschaften von GruppenBearbeiten

Lösbarkeit von GleichungenBearbeiten

Man kann sich fragen, unter welchen Bedingungen eine Gleichungen der Form   mit Elementen   einer Gruppe   eine (eindeutige) Lösung   hat. Tatsächlich gilt: Für zwei Elemente   einer Gruppe   existiert immer genau ein Element  , sodass  .

Dass dies so ist, ergibt sich aus den folgenden Umformungen:

 

Falls also   eine Lösung der Gleichung   ist, so muss gelten  . Das heißt, die Gleichung kann höchstens eine Lösung, nämlich   in   haben. Einsetzen ergibt, dass   die Gleichung löst, weil

 

.

Alternativ hätte man auch sehen können, dass man die Implikation   durch Multiplikation von links mit   auf beiden Seiten umkehren kann. Es gilt deswegen tatsächlich  , und die rechte Seite ist wegen Assoziativität von   bzw. der Definition von inversen/ neutralen Elementen äquivalent zu  . Das heißt,   ist eine, und die einzige Lösung der Gleichung  .

Wir haben nur die Eigenschaften einer Gruppe (und keine Zusatzannahmen über die Art der Gruppenstruktur) verwendet, um einen Lösungsausdruck für   als Funktion von   und   herzuleiten. Deshalb ist in allen Gruppen die Gleichung   eindeutig lösbar. Die eindeutige Lösbarkeit ist tatsächlich etwas Besonderes, denn es gibt einige uns bekannte Verknüpfungen, die diese Eigenschaft nicht erfüllen. Zum Beispiel gibt es keine ganze Zahl  , sodass  . Das heißt, die Gleichung   hat keine Lösung in den ganzen Zahlen  . Insbesondere kann   deshalb keine Gruppe sein. Dass die Gleichung keine Lösung hat, liegt daran, dass die   kein multiplikatves Inverses in den ganzen Zahlen hat. Die Gleichung   ist wahr für alle rationalen Zahlen  , hat also in   unendlich viele Lösungen. Deshalb kann   keine Gruppe sein. Bemerke:   wird mit der gewöhnlichen Multiplikation zu einer Gruppe, und für rationale Zahlen   hat die Gleichung   immer genau eine Lösung in  , nämlich  .

To-Do:

verlinken

.

Wichtig ist, dass falls   eine Gruppe ist, die oben gemachten Umformungen immer möglich sind. Unabhängig von der konkreten Wahl für   und   existiert also immer genau eine Lösung   der Gleichung  , nämlich  . Man kann also die Gleichung nach   umstellen/auflösen.

Eine hilfreiche Anwendung davon ist der folgende Spezialfall: In Gruppen ist "kürzen" erlaubt: Für Elemente   einer Gruppe   gilt:  .

Ganz ähnlich (jedoch mit Anwendung von   von rechts) können wir auch Kürzbarkeit auf der rechten Seite zeigen:  . Aber Vorsicht: In der Gleichung   kann man im Allgemeinen nicht   kürzen, da   hier auf verschiedenen Seiten auftritt. Die Gruppen, in denen dies funktioniert, sind genau die abelsche Gruppen, da dort   gilt.

Eindeutigkeit des neutralen ElementsBearbeiten

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Gruppen besitzen genau ein neutrales Element, das bedeutet: Für jede Gruppe   gibt es genau ein   sodass für alle   gilt  

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements)

Sei   eine Gruppe. Nach Definition einer Gruppe gibt es ein neutrales Element  . Angenommen,   ist ein weiteres neutrales Elemente von  . Per Definition eines neutralen Elementes haben wir für alle   :

 

Insbesondere können wir   in die erste Formel und   in die zweite Formel einsetzen. Das ergibt:

 

Das liefert schon  . Also gibt es nur ein neutrales Element, nämlich  .

Eindeutigeit der inversen ElementeBearbeiten

Auch inverse Elemente sind eindeutig:

Satz (Eindeutigkeit von inversen Elementen)

Set   eine Gruppe,   ein Element. Dann gibt es genau ein   mit  

Beweis (Eindeutigkeit von inversen Elementen)

Die Existenz eines Elements   sodass   haben wir in der Definitiopn der Gruppe gefordert.

Zur Eindeutigkeit von g: Angenommen, es gibt  , mit   und  . Dann folgt

 

Das inverse Element   eines Elements   (unter  ) ist also eindeutig bestimmt.

PotenzgesetzeBearbeiten

Außerdem gelten die üblichen Potenzgesetze: Wenn wir   und   für   definieren. Es gilt also für alle   und  :   und  . Insbesondere ist das inverse Element von    , für alle Elemente  . Jedes Element ist also invers zu seinem eigenen inversen Element. Diese Eigenschaft gilt allgemein in allen Gruppen, Kommutativität der Verknüpfung ist dafür nicht erforderlich.

To-Do:

Potenzgesetze beweisen



To-Do:

Bemerkung zu rechts-linksinversen Elementen, Grundvorstellungen zu inversen Elementen entwickeln, Abschnitt erstellen (im Bereich Übersicht zu algebraischen Strukturen und verlinken

Hinweis

Häufig verwendete andere Schreibweisen für das neutrale Element sind  , oder  . Letztere werden vorrangig für abelsche Gruppen verwendet. Eine sehr bekannte abelsche Gruppe bilden die ganzen Zahlen unter Addition, die Null ist dort das neutrale Element. In Anlehnung daran schreibt man die Verknüpfung einer abelschen Gruppe häufig "additiv", man verwendet also eines der Symbole   an Stelle von  , und   für das neutrale Element, sowie   statt   für das Inverse zu einem Element  .

AufgabenBearbeiten

Aufgabe (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

Zeige, dass die natürlichen Zahlen weder unter der gewöhnlichen Addition, noch unter Multiplikation eine Gruppe bilden.

Lösung (Die natürlichen Zahlen sind keine Gruppe (weder unter Addition noch unter Multiplikation))

  1. Zur Addition: In   gibt es kein neutrales Element, da für alle   gilt:  . Daher kann man auch nicht die Existenz von Inversen untersuchen. (Weil nicht definiert ist, wann zwei Elemente zueinander invers sind). In   ist die   ein neutrales Element unter Addition, weil für alle   gilt:  . Aber (mit Ausnahme der Null) gibt es keine natürliche Zahl, die ein inverses Element in den natürlichen Zahlen hat. Denn für alle  gilt:  .
  2. Zur Multiplikation: Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen unter Multiplikation, die Multiplikation ist assoziativ und mit der   haben wir ein neutrales Element der Multiplikation. Aber: Die   ist die einzige natürliche Zahl, die ein multiplikativ Inverses in den natürlichen Zahlen besitzt.

Das kann man zum Beispiel wie folgt zeigen: Für alle   gilt:  . Also hat keine natürliche Zahl   ein multiplikatives inverses Element in  . Weil   hat keine natürliche Zahl   ein multiplikatives Inverses in  . Ebenso hat die Null kein multiplikatives inverses Element (in  ).

Alternativ kann man auch so argumentieren: Es gilt   und die Multiplikation natürlicher Zahlen ist genau die Einschränkung der Multiplikation rationaler Zahlen auf die natürlichen Zahlen. Wie wir oben gezeigt haben, sind die inversen Elemente in einer Gruppe eindeutig bestimmt, und für eine rationale Zahl   ist   ihr multiplikatives Inverses. Weil für   gilt   können natürliche Zahlen   aus   kein multiplikatives Inverses haben. (Wenn zwei Elemente   zueinander invers wären, wären sie auch aufgefasst als Elemente von   zueinander invers. ) Für   kann man die Aussage zeigen, indem man (wie oben) die Null separat betrachtet.

Aufgabe (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

Überlege Dir, wieso   mit der gewöhnlichen Multiplikation keine Gruppe bildet.

Lösung (Die ganzen Zahlen sind keine Gruppe unter Multiplikation)

Die Multiplikation ganzer Zahlen ist eine innere Verknüpfung, weil für   gilt  . Die   ist ein neutrales Element. In einer Gruppe müssen zu jedem Element Inverse existieren. Aber es gibt keine ganze Zahl   mit  . Daher kann   keine Gruppe sein. Genauer:   sind die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in den ganzen Zahlen haben. Dies kann man zum Beispiel so zeigen: Falls   zueinander invers sind, gilt  . Weil   folgt daraus (siehe Aufgabe "Die natürlichen Zahlen bilden unter Multiplikation keine Gruppe, oben), dass  . Also muss gelten  . Umgekehrt sind   zu sich selbst invers. </math>.

Aufgabe (Produkte von Gruppen)

Seien   zwei Gruppen. Finde eine Verknüpfung   , mit der   zu einer Gruppe wird.

Lösung (Produkte von Gruppen)

Wir müssen zunächst eine innere Verknüpfung   finden, dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel die Folgende: Wir möchten ausnutzen, dass wir bereits zwei innere Verknüpfungen auf  , bzw.   kennen, die eine Gruppenstruktur auf   bzw.   definieren. Durch komponentenweises Rechnen können wir so eine innere Verknüpfung auf   definieren. Wir wählen also die Verknüpfung

 

Bei dieser Verknüpfung agieren die Elemente aus   nicht miteinander, die Komponenten verhalten sich also voneinander unabhängig. Die Gruppenstruktur von   und   bleibt dabei erhalten. Es gibt je nach Art der Gruppen auch viele andere Möglichkeiten, eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen Produkt   zu erzeugen. Diese sind vor allem dann interessant, wenn man möchte, dass die Elemente aus   und   miteinander agieren. Im Allgemeinen findet man keinen sinnvollen Weg, eine Abbildung zu definieren, die zwei Elemente verschiedener Gruppen zu einem neuen Element einer dieser Gruppen verknüpft. Die komponentenweise Verknüpfung ist besonders einfach, und außerdem für alle Paare von Gruppen anwendbar. Wir prüfen jetzt, dass   tatsächlich eine innere Verknüpfung ist. Dazu müssen wir Abgeschlossenheit zeigen. Wir sehen, dass für alle   und alle   gilt

 

Wir müssen jetzt nur noch zeigen, dass   eine Gruppe ist, dazu rechnen wir alle Gruppeneigenschaften nach.

  1. Assoziativität: Wir sehen, dass für alle   gilt
     

Um neutrales und inverse Elemente zu finden, gehen wir "komponentenweise" vor.

  1. Neutrales Element: Wir wählen   als Kandidat für ein neutrales Element. Wir rechnen jetzt nach, dass   tatsächlich ein neutrales Element ist. Für alle   gilt:
     
    und
     
    Somit ist   ein neutrales Element.
  2. Inverse Elemente: Betrachten wir beliebiges  , dann ist auch  . Insbesondere gilt:
     
    und
     
    Somit ist   das Inverse Element von   bezüglich  .

Wir haben jetzt gezeigt, dass  eine Gruppe ist.

Wir möchten unsere Konstruktion für das Produkt von Gruppen jetzt an einem expliziten Beispiel testen.

Aufgabe ( )

Finde eine Operation, sodass   mit dieser Operation zu einer Gruppe wird. Hinweis: Zum Beispiel kann man die Konstruktion aus der Aufgabe Produkte von Gruppen
To-Do:

verlinken

anwenden. Die so erzeugte Gruppenstruktur hat die folgende Interpretation: Denke an eine defekte Uhr, bei der Du Stunden- und Minutenzeiger separat bewegen kannst. Ein Element   kann man dabei als eine Verschiebung des Stundenzeigers um   Stunden bei gleichzeitiger Verschiebung des Minutenzeigers um   Stunden auffassen. Hierbei sollen Minuten und Stundenzeiger unabhängig voneinander bewegt werden, das heißt, eine Verschiebung des Minutenzeigers um 60 Minuten führt NICHT zu einer Verschiebung des Stundenzeigers um eine Stunde.

Lösung ( )

Wir haben bereits die Restklassengruppen   kennengelernt. Man kann jede ganze Zahl mit einer Zahl aus   identifizieren, nämlich ihrem Rest bei Division durch  . Weil diese Identifikation mit der Addition ganzer Zahlen verträglich ist (die Summe zweier Zahlen ergibt bei Division durch   den gleichen Rest wie die Summe ihrer Reste ), vererbt die Addition ganzer Zahlen eine Gruppenstruktur auf  . Einen Spezialfall davon haben wir bereits in der Einleitung kennengelernt: Das Verschieben des Stundenzeigers einer Uhr
To-Do:

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ergibt eine Gruppenstruktur auf der Menge der möglichen Verschiebungen  . Die dabei erzeugte Gruppe ist genau  . In unserer Vorstellung sollen die Verschiebungen um Stunden und die Verschiebungen um Minuten unabhängig voneinander stattfinden. Das heißt, die zwei Komponenten des kartesischen Prosukts sollen nicht miteinander agieren. Für eine Verknüpfung   muss also gelten:  , für zwei Verknüfungen   und  . Die Addition modulo   bzw.   eine Gruppenstruktur auf   zw.   definiert. Diese entspricht der Gruppe der möglichen Verschieungen des Stunden bzw. Minutenzeigers auf der Uhr (bezüglich Hintereinanderausführung). Wir werden jetzt versuchen, diese Verknüpfungen komponentenweise anzuwenden, um eine Gruppenstruktur auf dem kartesischen Produkt zu bauen. Wir definieren also:
 


Wir prüfen jetzt, ob   tatsächlich eine innere Verknüpfung ist. Dazu müssen wir Abgeschlossenheit zeigen. Wir sehen, dass für alle   und alle   gilt

 
. Also ist   eine innere Verknüpfung.

Wir rechnen jetzt die Gruppenaxiome für   nach.

  1. Assoziativität: Wir sehen,dass für alle   und alle   gilt
     
  2. Neutrales Element: Um ein neutrales Element zu finden, kehren wir nocheinmal zurück zu unserer Interpretation der Gruppenverknüpfung als separates Drehen der Stunden- und Minutenzeiger einer Uhr. Wir stellen fest: Die Bewegung des Stunden- und Minutenzeigers um jeweils Null Stunden bzw. Null Minuten ändert nichts, daher ergibt Vor- und Nachschalten dieser Bewegung an eine beliebige andere Verschiebung wieder diese Verschiebung. In Formeln heißt das: Für alle   gilt:
     
    und
     
    Deshalb ist   das Neutrale Element unserer Gruppe.
  3. Inverse Elemente: Wir werden jetzt versuchen, ein beliebiges, gegebenes Element   "komponentenweise" zu invertieren. Betrachten wir  . Dann ist   invers zu   in   und   ist invers zu   in  , und es gilt:
     
    und
     
    Somit ist   das Inverse Element von   bezüglixh  .

Die Verknüpfung   macht also aus   eine Gruppe.

Hinweis

Es gibt auch andere Möglichkeiten, eine Gruppenstruktur auf   zu definieren. Die komponentenweise Definition ist aber besonders einfach.

Die symmetrische Gruppe Bearbeiten

Für   betrachte die Menge  . Eine bijektive Abbildung   heißt Permutation. Die Permutationen sind also genau die 1:1- Zuordnungen von Elementen aus  . Eine Permutation vertauscht die Zahlen aus   miteinander.

Für   haben wir die Permutationen

 

und

 

Aufgabe ( )

Bestimme alle Permutationen für  

Lösung ( )

Es gibt sechs Permutationen über   .

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Diese 6 Permutationen können wir mit den Umordnungen von Steinen aus der Einführung identifizieren: Wenn wir dem linken Platz die Nummer 1, dem mittleren Platz di Nummer 2 und dem rechten Platz die Nummer 3 zuweisen, dann geben diese Nummern an, welche Position auf welche (andere) Position verschoben wird. Die Gruppe, der Vertauschungen von Steinen ist also genau  .

Wenn man zwei Permutationen miteinander verknüpft, also hintereinanderausführt, erhält man wieder eine Permutation. (Die Komposition zweier Permutationen   zu  ) ist eine Abbildung von   nach  , und bijektiv als Verkettung bijektiver Abbildungen. Etwas intuitiver ausgedrückt: Jede Vertauschung von Elementen aus  , die in mehreren Runden durchgeführt wird (also durch Hintereinanderausführung von mehreren Vertauschungen/Permutationen), ist auch in einem Durchgang realisierbar.


Mache Dir klar, wieso die Verkettung zweier bijektiver Abbildung wieder bijektiv ist! Wie wir gleich beweisen werden, bildet die Menge der Permutationen über   mit der Komposition eine Gruppe. Sie heißt "symmetrische Gruppe" in   Elementen. Die symmetrische Gruppe ist nicht kommutativ für  . Wir bezeichnen die Menge der Permutationen über   von nun an mit  

  • Die Verkettung   von zwei Permutationen   ist eine bijektive Abbildung  , also eine Permutation. Daher ist die Verknüpfung  , die zwei Permutationen miteinander verkettet, wohldefiniert.
  •   ist assoziativ

Beweis (Assoziativität der Verknüpfung in der symmetrischen Gruppe)

Bevor du damit beginnst den Beweis zu lesen, ist es sinnvoll sich die Definition der Assoziativität nachzuschlagen.

Wir fixieren zunächst drei beliebige Permutationen  . Wir wollen zeigen, dass

 

gilt. Da auf der linken bzw. der rechten Seite jeweils Funktionen stehen, können wir diese Gleichung dadurch zeigen, dass wir auf jedes Element   die linke und die rechte Seite anwenden und nachweisen, dass das gleiche herauskommt.

Sei also   beliebig. Beschäftigen wir uns zuerst mit der linken Seite. Hier setzen wir   in

 

ein. Dies ist eine Komposition der Funktionen   und  . Das heißt wir berechnen

 

dadurch, dass wir das Ergebnis von   nehmen und in   einsetzen. Soweit so gut. Nun bleibt nur zu klären, was   ist. Dazu verfahren wir auf die gleiche Art und Weise: Es ist diejenige Zahl, die herauskommt, wenn man   in   einsetzt, also

 

Puzzeln wir das nun mit dem ersten Schritt zusammen, so ergibt sich als Ergebnis von  :

 

Nun kümmern wir uns um die rechte Seite. Das heißt, wir wollen

 

ohne das Verknüpfungssymbol   schreiben (genau wie oben für die linke Seite). Zunächst kümmern wir uns um den äußeren (rechten) Kringel. Er ist deswegen der "äußere", weil der anders als der linke Kringel innerhalb weniger Klammern steht. Gehen wir nun nach diesem Prinzip vor, so berechnet sich

 

dadurch, dass man   in   einsetzt.

Nun müssen wir klären was passiert, wenn man irgendeine Zahl   in   einsetzt. Weiter unten wollen wir   setzen. Wie oben ergibt sich

 

daraus, dass wir   in   einsetzen.

Damit erhalten wir

 

Das trifft sich sehr gut, da wir das schon für die linke Seite erhalten haben. Also haben wir für alle   die Gleichung

 

nachgewiesen, woraus die Gleicheit von Funktionen

 

folgt.

Hinweis

Allgemein gilt: Sei M eine nichtleere Menge. Die Verkettung von Abbildungen   ist eine assoziative Verknüpfung auf der Menge der Selbstabbildungen von M. Der Beweis dieser allgemeineren Aussage funktioniert analog und ist eine gute Übung.


  • Die Identität   ist das neutrale Element, sie vertauscht keine Elemente.
  • Eine Permutation ist eine bijektive Abbildung von   nach  . Jede Permutation   hat daher eine Umkehrabbildung  , welche die Zahlen   auf ihre Urbilder (unter   zurückschickt, es gilt  . Weil   eine Abbildung von   nach   bijektiv ist (mit Umkehrabbildung  ), ist   ebenfalls eine Permutation aus   und somit ein Inverses Element zu  .

  bildet also mit der Verknüpfung   eine Gruppe. Man nennt   die nte symmetrische Gruppe.

Für   ist   nicht abelsch, denn:

Für   sind

 

und

 

Permutationen aus  . Es gilt  , aber  , also ist  . Die Verknüpfung   ist daher nicht kommutativ, also ist   keine abelsche Gruppe (für  ).


Wenn Du noch mehr über die nte symmetrische Gruppe lernen möchtest, schau Dir doch den Satz von Cayley am Ende dieses Artikels an.

Untergruppen Bearbeiten

Eine grundlegende Eigenschaft einer Gruppe ist ihre Abgeschlossenheit unter der Gruppenoperation. Bezogen auf die tabellarische Darstellung einer Gruppe, wie wir sie etwa in der Einleitung für die Vertauschungen dreier Steine vorgenommen haben, bedeutet dies, dass im Ergebnisbereich exakt dieselben Objekte vorkommen, wie in der ersten Zeile und Spalte. Tatsächlich kann es jedoch vorkommen, dass bereits ein Teil einer solchen Tabelle diese Forderung erfüllt, ohne dass wir den Rest der Tabelle mit einbeziehen müssen. Als Beispiel betrachten wir die ersten zwei Zeilen und Spalten des Ergebnisbereichs der Tabelle der Steinvertauschungen. Wenn wir diese isolieren, erhalten wir folgende Teiltabelle:

Sowohl in der Kopfzeile, als auch in der ersten Spalte dieser Tabelle erscheinen lediglich zwei der sechs Vertauschungen (die Identitätstransformation und das Vertauschen des mittleren mit dem rechten Stein). Die Tabelle betrachtet also alle denkbaren Verknüpfungen dieser beiden Gruppenelemente. Im Ergebnisbereich erkennen wir, dass auch hier nur diese beiden speziellen Vertauschungen auftreten. Die Teiltabelle ist also für sich bereits abgeschlossen.

Wir können diese Beobachtung auch ohne das Hilfsmittel der Tabelle formulieren. Wir sagen: Die Teilmenge   der Menge aller Vertauschungen dreier Steine ist abgeschlossen unter der Gruppenoperation (Verknüpfung von Vertauschungen).

Weitere Beispiele für Teilmengen von Gruppen, die für sich bereits unter der Gruppenoperation abgeschlossen sind, umfassen: Die geraden Zahlen innerhalb der ganzen Zahlen, die Viertelstunden auf der Uhr (also :00, :15, :30 und :45), Addition und Multiplikation der rationalen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen, und viele mehr.

Da wir uns in diesem Artikel aber nicht nur mit abgeschlossenen Operationen, sondern mit Gruppen beschäftigen, liegt es nahe zu fragen, ob diese Teilmengen auch die anderen Eigenschaften erfüllen, die wir von Gruppen fordern. Um diese Frage auf den Punkt zu bringen, definieren wir das Konzept der "Untergruppe":

Definition (Untergruppe)

Sei   eine Gruppe. Eine Teilmenge   heißt Untergruppe (von G), falls

  1.  
  2. für alle   gilt  . Man sagt auch U ist abgeschlossen unter  .
  3. für alle   gilt  
  4. das neutrale Element   aus   liegt in  . Dies folgt bereits aus den ersten 3 Punkten (Übungsaufgabe, siehe unten)

Hinweis

Eine Teilmenge   einer Gruppe  , die eine Untergruppe ist, bildet selbst wieder eine Gruppe   mit der Verknüpfung  . Der Einfachheit halber schreibt man anstatt   oft nur  . Außerdem benutzt man die Schreibweise   in Anlehnung an die Mengeninklusion auch für die ganzen Gruppen. Man liest also "U ist eine Untergruppe von G".

Die Assoziativität der Verknüpfung der Untergruppe folgt direkt aus der Assoziativität der ursprünglichen Gruppe. Außerdem besitzt die Untergruppe dasselbe neutrale Element, und Elemente, die in der Untergruppe invers zueinander sind, sind dies ebenfalls in der ursprünglichen Gruppe. Deshalb sagt man oft, die Untergruppe "erbt" ihre Eigenschaften.

Wie überprüft man, ob eine Teilmenge eine Untergruppe ist?Bearbeiten

Satz

Sei   eine Gruppe. Eine Teilmenge   ist eine Untergruppe, genau dann wenn gilt:

  1.  
  2. Für alle   gilt  

Beweis

Beweisschritt: " "

  folgt direkt aus der Definition der Untergruppe. Seien  . Da   Untergruppe gilt  , und damit ist  

Beweisschritt: " "

  folgt aus Eigenschaft 1. Zunächst zeigen wir, dass das neutrale Element   in   liegt. Da  , existiert ein  . Eigenschaft 2 impliziert dann, mit  , dass  . Nun zeigen wir, dass für ein   auch gilt  : Aus Eigenschaft 2 mit   folgt:   Zum Schluss zeigen wir noch, dass für   gilt:   Aus dem vorherigen Schritt wissen wir bereits, dass  . Dann folgt aber wieder aus Eigenschaft 2, dass  

Aufgabe

Sei   eine Gruppe,   eine Teilmenge, die Eigenschaften 1-3 aus der Definition der Gruppe erfüllt. Es gelte also

  1.  
  2. für alle   gilt  . Man sagt auch U ist abgeschlossen unter  .
  3. für alle   gilt  

Zeige, dass  

Beweis

Da  , gibt es ein  . Da   abgeschlossen unter Inversenbildung ist, folgt  . Da   abgeschlossen unter Multiplikation ist, gilt  

BeispieleBearbeiten

Beispiel (Triviale Untergruppe)

Sei   eine Gruppe. Dann ist   eine Untergruppe von   Man nennt diese Untergruppe die trivialen Untergruppe, da sie immer existiert.

Beispiel

Sei   eine Gruppe. Dann ist   eine Untergruppe von sich selbst.

Beispiel (  als Untergruppe von  .)

Wir haben schon gesehen, dass die ganzen Zahlen   mit der gewöhnlichen Addition eine Gruppe bilden. Ebenso sind   ausgestattet mit der Addition Gruppen. Wir können die ganzen Zahlen als Teilmenge dieser Zahlbereiche auffassen. Weil die ganzen Zahlen unter der Einschränkung der Addition (vom größeren Zahlbereich   ) auf die ganzen Zahlen selbst eine Gruppe bilden, ist   Untergruppe von   und  .

Allgemeiner gilt das Folgende.

Beispiel (Untergruppen von Untergruppen)

Sei   eine Gruppe, und   eine Untergruppe. Dann ist   mit der Verknüpfung   selbst eine Gruppe. Sei   eine Untergruppe. Dann ist   auch Untergruppe von  .

Tatsächlich: Da   eine Untergruppe ist, ist   mit der Verknüpfung   eine Gruppe. Weil zudem   eine nichtleere Teilmenge von  , und somit auch von   ist, muss   eine Untergruppe von   sein.

Beispiel (  als Untergruppe von  )

Die geraden ganzen Zahlen   (das sind genau die Zahlen   der Form  ) sind eine Untergruppe von  .   bezeichnet dabei die gewöhnliche Addition ganzer Zahlen.

Beweis

Wir zeigen, dass   eine Untergruppe ist (bezüglich der Addition). Dazu verwenden wir den obigen Satz. Da  , ist  . Für   ist