Ringe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel betrachten wir Ringe. Ein Ring ist eine algebraische Struktur mit einer Addition und einer Multiplikation. Er bildet bezüglich der Addition eine Gruppe, ist aber noch kein Körper.

MotivationBearbeiten

Im Artikel über Gruppen haben wir bereits gezeigt, dass die Menge der ganzen Zahlen   zusammen mit der Addition als Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet. Dies bedeutet, dass wir eine Verknüpfung haben, die zwei Elementen der Gruppe stets ein (nicht notwendigerweise neues) Element der Gruppe zuordnet und sowohl das Assoziativgesetz   als auch das Kommutativgesetz   erfüllt. In unserem Fall handelt es sich bei dieser Verknüpfung um die Addition. Außerdem gibt es mit der Null ein neutrales Element, welches bei der Addition eine Zahl nicht ändert, und zu jeder ganzen Zahl   gibt es eine ganze Zahl   mit der Eigenschaft  , also eine Inverse.

In der Algebra beschäftigen wir uns mit der Struktur von Zahlenbereichen. Nun kann man neben der Addition ganze Zahlen auch multiplizieren und ihre Struktur ist damit reichhaltiger als die einer abelschen Gruppe. Schauen wir uns an, welche Eigenschaften die Multiplikation auf den ganzen Zahlen erfüllt, wobei wir sehen werden, dass einige dieser Eigenschaftenen denen einer Gruppe ähneln:

  • Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier ganzer Zahlen ergibt wieder eine ganze Zahl. Damit ist   abgeschlossen unter der Multiplikation.
  • Assoziativität: Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist assoziativ, da für alle ganzen Zahlen  ,   und   die Gleichung   erfüllt ist.
  • Kommutativität: Bei der Multiplikation zweier ganzer Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Für zwei ganze Zahlen   und   gilt stets  . Daher ist die Multiplikation kommutativ.
  • Neutrales Element: Die Multiplikation einer beliebigen ganzen Zahl mit der   ergibt wieder diese Zahl. Dabei kommt es wegen der Kommutativität nicht auf die Reihenfolge der Faktoren an. Für alle ganzen Zahlen   gilt:  . Folglich ist die   ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Die ganzen Zahlen bilden unter der Multiplikation allerdings keine Gruppe, denn für die meisten ganzen Zahlen existieren keine multiplikativen Inversen. Zum Beispiel gibt es keine ganze Zahl  , sodass  . Die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in   besitzen, sind   und  .

Wir haben mit den ganzen Zahlen also eine Struktur, in der es zwei Verknüpfungen gibt. Zum einen gibt es die Addition mit der die ganzen Zahlen eine abelsche Gruppe bilden und zum anderen die Multiplikation, die bis auf Inversenbildung alle Eigenschaften der Gruppe erfüllt. Wie sieht der Zusammenhang zwischen beiden Verknüpfungen aus? Hier gibt es mit dem Distributivgesetz eine Formel, die bereits aus der Schule bekannt ist. Für alle   gelten die beiden Gleichungen:

 

Neben der Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation,  , existieren in der Mathematik weitere Strukturen, die die oben beschriebenen Eigenschaften aufweisen. Mathematiker haben einen Namen für Strukturen mit diesen Eigenschaften eingeführt, sie nennen sie kommutative Ringe mit Eins.

Definition des RingsBearbeiten

Definition (Ring)

Ein Ring   ist eine Struktur, die aus einer Menge   und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

 

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von   nach  , sie bilden Paare von Elementen aus   auf Elemente aus   ab. Wir nennen   Addition und   Multiplikation. Die Struktur muss folgende Bedingungen erfüllen:

  1.   bildet unter der Verknüpfung   eine abelsche Gruppe, das heißt
    •   ist abgeschlossen bezüglich  . Das heißt  .
    •   ist assoziativ.
    •   ist kommutativ.
    • Es existiert ein additives neutrales Element  , sodass für alle   gilt:
       
    • Für alle Elemente   existiert ein additives inverses Element   in  , sodass gilt:
       
  2. Die Multiplikation   erfüllt folgende Eigenschaften:
    •   ist abgeschlossen bezüglich  . Das heißt  .
    • Die Verknüpfung   ist assoziativ, d.h.   ist eine Halbgruppe.
  3. Man kann   und   miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente   gilt:
     
    und
     
  • Die Notationen  ,   wurden in Anlehnung an die Ringstruktur der ganzen Zahlen unter Addition und Multiplikation gewählt. Aus Bequemlichkeit werden Verknüpfungen, die der Addition und Multiplikation von Zahlen ähneln, häufig auch mit " " und " " bezeichnet, obwohl es sich dabei nicht um die klassische Addition und Multiplikation von Zahlen handelt.
  • Wenn klar ist, welche Verknüpfungen gemeint sind, wird oft auf ihre genaue Bezeichnung verzichtet. Man liest zum Beispiel häufig „  bildet einen Ring“. Gemeint ist damit, dass  , also die ganzen Zahlen unter Addition und Multiplikation einen Ring bilden.
  • Eigentlich ist es nicht nötig, dass wir die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation fordern. Denn diese folgen direkt aus der Wohldefiniertheit der Abbildungen   sowie  .
  • Genauso wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen vereinbaren wir die Regel Punkt vor Strich.

Definition

  • Man nennt einen Ring kommutativ, wenn die Verknüpfung   kommutativ ist.
  • Man nennt einen Ring Ring mit Eins oder unitär, wenn er ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation   enthält. In diesem Fall gibt es ein  , sodass für alle   gilt:  .

Hinweis

  ist hierbei genau dann vom additiven neutralen Element   von   verschieden (d.h. es gilt  ), wenn   nicht der Nullring   ist.

Rechnen in RingenBearbeiten

Nun wollen wir untersuchen, ob die Rechenregeln, die wir von den ganzen Zahlen gewohnt sind, in allen Ringen gelten.

Eindeutigkeit der additiven neutralen und inversen ElementeBearbeiten

In der Definition des Rings fordern wir: Es gibt ein neutrales Element   bezüglich der Addition. Das bedeutet also, es gibt mindestens ein neutrales Element bzgl. der Addition. Aus den ganzen Zahlen sind wir es gewohnt, dass es nur genau ein neutrales Element   für die Addition gibt. Das ist aber nicht selbstverständlich. Für Ringe können wir jedoch aus den Ringaxiomen herleiten, dass das additive neutrale Element eindeutig bestimmt ist.

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition)

In einem Ring ist das neutrale Element der Addition eindeutig.

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition)

Seien   zwei neutrale Element der Addition, also gilt für alle

 

Da   neutrale Elemente sind, gilt auch:

 

Damit ist   und die beiden neutralen Elemente sind gleich. Also ist das additive neutrale Element eindeutig bestimmt.

Auch für das additive Inverse   eines Elements   haben wir nur die Existenz gefordert, aber es gilt, dass   eindeutig bestimmt ist.

Satz (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Für jedes   ist das zugehörige inverse Element eindeutig.

Beweis (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Für den Beweis der Eindeutigkeit des additiven inversen Elements benötigen wir das Assoziativgesetz. Seinen nun   zwei inverse Elemente zum Element   und   das neutrale Element. Dann gilt:

 

Es gilt wegen des Assoziativgesetzes und obiger Gleichung:

 

Damit ist   und das inverse Element der Addition ist eindeutig bestimmt.

Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation (für Ringe mit Eins)Bearbeiten

Wenn wir einen Ring mit Eins betrachten, so gilt die Eindeutigkeit auch für die Eins, also das neutrale Element der Multiplikation.

Aufgabe (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation)

In einem Ring mit Eins gibt es nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation)

Sei   ein Ring. Seien   neutrale Elemente bezüglich der Multiplikation. Dann gilt für alle Elemente  :

  1.  
  2.  

Da auch   und   Elemente aus   sind, gilt wegen 1, dass   und wegen 2 ist  . Daraus folgt, dass  . Das heißt alle neutrale multiplikativen Elemente sind gleich, oder anders ausgedrückt: Es gibt nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Multiplizieren mit NullBearbeiten

Wir haben die Null als neutrales Element der Addition definiert. Aber was passiert beim Multiplizieren mit  ?

Satz (Multiplizieren mit Null ergibt Null)

Für alle   gilt  .

Beweis (Multiplizieren mit Null ergibt Null)

 

Dazu addieren wir das additive Inverse von  :

 

Ebenso gilt:

 

Addiere das additive Inverse von  :

 

Nullteiler und IntegritätsringeBearbeiten

Eine weitere Rechenregel, die wir von den ganzen Zahlen kennen, ist:

Für alle   mit   gilt  .

Diese wird auch Kürzungsregel genannt.

Satz (Äquivalenz der Kürzungsregel und Nullteilerfreiheit)

Sei   ein kommutativer Ring. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:

  1. Für alle   mit   gilt  .
  2. Für alle   gilt  .

Beweis (Äquivalenz der Kürzungsregel und Nullteilerfreiheit)

Wir zeigen zunächst, dass aus Eigenschaft   die zweite folgt. Sei also   ein Ring, der Eigenschaft   erfüllt. Seien   beliebig mit  . Dann gilt  . Falls   folgt daraus gemäß Eigenschaft  , dass  . In jedem Fall muss also einer der beiden Faktoren   oder   gleich   sein. Somit ist auch die zweite Eigenschaft erfüllt.

Nun zeigen wir, dass aus der zweiten Eigenschaft die erste folgt. Sei also   ein Ring, in dem gilt  . Seien   so gewählt, dass   und  . Dann gilt   und aufgrund der Distributivität auch  . Wegen   folgt daraus  , also  . Das heißt in   gilt  .

Ein Produkt ist also genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist. So einen Ring nennt man nullteilerfrei, weil es keine Element   gibt, derart dass  .

Warnung

Im Allgemeinen ist dies in Ringen aber nicht der Fall. Nehmen wir als Beispiel den Ring   mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Das bedeutet, für   ist   und  .

Dann gilt, die Elemente   sind nicht das Nullelement   und liegen in  . Wenn wir die beiden Elemente multiplizieren, erhalten wir

 
Dies ist aber das additive Nullelement des Rings  , denn   Damit besitzt der Ring   die Elemente   als Nullteiler.

Definition (Nullteiler eines Rings und Integritätsring)

  • Ein Element  , für welches ein Element   existiert mit   oder  , heißt Nullteiler von  .
  • Ein Ring, der keine Nullteiler besitzt, heißt nullteilerfrei.
  • Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins,  , heißt Integritätsring oder Integritätsbereich.

Beispielsweise ist der Ring   ein Integritätsring.

BeispieleBearbeiten

Nullring Bearbeiten

In der Definition dieses Rings fordern wir nur die Existenz eines Elements. Dieses ist die Null, denn diese muss in einem Ring als neutrales Element der Addition liegen. Reicht dieses eine Element schon aus, um einen Ring zu bilden?

Ja, denn wir können auf der einelementigen Menge   die Addition definieren als

 

und die Multiplikation als

 

Aufgabe (  ist ein Ring)

Zeige, dass die Ringaxiome für   gelten.

Beweis (  ist ein Ring)

  ist eine abelsche Gruppe, denn die Menge ist bzgl.   abgeschlossen. Das neutrale Element ist  , denn  . Das inverse Element von   ist ebenfalls die  , denn  . Es gilt wegen   das Assoziativgesetz und trivialerweise auch das Kommutativgesetz. Damit ist   eine abelsche Gruppe bzgl. der Vernüpfung  .

  ist aber auch abgeschlossen bzgl. der Multiplikation  . Es gilt das Assoziativgesetz, denn  . Ebenso gilt das Distributivgesetz, denn  . Damit sind alle Ringaxiome nachgewiesen.

Man nennt   auch den Nullring.

Der Ring der rationalen Zahlen Bearbeiten

Im Artikel zu Gruppen wurde gezeigt, dass   und   abelsche Gruppen sind. Wir haben also die abelsche Gruppe  . Außerdem ist die Multiplikation in   assoziativ und die Distributivgesetze sind erfüllt. Damit sehen wir, dass   einen Ring bildet.

Weil   eine abelsche Gruppe ist, gibt es sogar ein neutrales Element der Multiplikation, die  . Außerdem folgt, dass die Multiplikation kommutativ ist. Damit ist   ein kommutativer Ring mit  . Wir wissen auch schon, dass es in   keine Nullteiler gibt. Also ist   ein Integritätsring.

In   gibt es auch inverse Elemente der Multiplikation, weil   eine abelsche Gruppe bildet. Diese brauchen wir nicht, damit   einen Ring bildet. Wir sehen also, dass   noch mehr ist als ein Ring. Später werden wir zeigen, dass   einen Körper bildet.

Ring der reellen FunktionenBearbeiten

Nun werden wir sehen, dass die Elemente von Ringen nicht unbedingt Zahlen sein müssen. Wir betrachten die Menge   aller Abbildungen von   nach  . Die Objekte, die wir miteinander verknüpfen wollen, sind Funktionen wie die Sinusfunktion   oder die Exponentialfunktion  .

Man kann Funktionen addieren. Da diese Funktionsaddition eine andere als die Zahlenaddition ist, nutzen wir das Symbol   anstelle von  . Was ist die Summe   der Sinus- und Exponentialfunktion? Das Ergebnis darf nicht aus der Grundmenge   herausführen, muss also wieder eine Funktion   sein. Der Funktionswert   an einer Stelle   definieren wir als Summe  . Die Addition zweier Funktionen ergibt also eine Funktion, die jeden Punkt auf die Summe der beiden Funktionswerte abbildet:

Zum Beispiel gilt

 

Allgemein können wir für zwei Funktionen   und   ihre Funktionssumme   wie folgt definieren

 

Für   gilt also  . Diese Formel muss dabei folgendermaßen interpretiert werden:

 

Ähnlich wie bei der Addition kann man Multiplikation von Funktionen definieren. Wir werden die Multiplikation mit   bezeichnen. Das Produkt zweier Funktionen   und   ergibt eine neue Abbildung  , die jeder reellen Zahl   das Produkt der Funktionswerte   und   zuordnet. Also

 

Wir können die Funktionsvorschrift wie folgt interpretieren:

 

Wir zeigen jetzt, dass   ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Satz (Die reellen Funktionen bilden einen kommutativen Ring mit Eins.)

  ist ein kommutativer Ring mit Eins.

Beweis (Die reellen Funktionen bilden einen kommutativen Ring mit Eins.)

Beweisschritt: Unter der Addition   bildet   eine abelsche Gruppe.

  • Abgeschlossenheit: Die Summe zweier Abbildungen von   nach   soll wieder eine Abbildung von   nach   ergeben. Seien  . Für jedes   gilt  . Folglich gilt  . Das heißt   ist abgeschlossen bezüglich der Addition.
  • Assoziativität: Wir müssen zeigen, dass für alle Funktionen   gilt:
     

    Sowohl   als auch   sind nach unserer Definition der Funktionsaddition Abbildungen in der Menge  . Um die Gleichheit zu überprüfen, müssen wir uns ihre Funktionswerte anschauen. Für   gilt:

     

    Da die Addition reeller Zahlen assoziativ ist, gilt für alle  :

     

    Damit gilt für alle reellen Zahlen  :

     

    Die beiden Funktionen   und   stimmen für jedes Argument überein. Also folgt  . Das heißt, die Addition   ist assoziativ.

  • Kommutativität: Die Kommutativität von   kann man – ähnlich wie die Assoziativität – aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen folgern. Seien  . Für   gilt:
     

    Folglich  . Damit ist   kommutativ.

  • Neutrales Element: Wir definieren die Nullabbildung
     

    Es gilt   und für alle Abbildungen   und   gilt:

     

    Also   und aufgrund der Kommutativität von   auch   für alle Funktionen  . Somit ist   das neutrale Element der Addition.

  • Inverse Elemente: Zu jeder Abbildung   existiert ein additiv-inverses Element, nämlich
     

    Der Wert der Funktion   an einem beliebigen Punkt   ist gegeben durch

     

    Die Summe   ergibt also die Nullfunktion  . Wegen der Kommutativität von   gilt auch  .

Beweisschritt: Eigenschaften der Multiplikation  

  • Abgeschlossenheit: Die rellen Zahlen sind abgeschlossen unter der Multiplikation. Deshalb ergibt das Produkt
     

    zweier Abbildungen   stets wieder eine Abbildung von den rellen in die rellen Zahlen. Das heißt   ist abgeschlossen unter der Multiplikation  .

  • Assoziativität: Die Assoziativität der Funktionsmultiplikation   folgt aus der Assoziativität der Multiplikation reller Zahlen. Seien  , dann gilt für alle  :
     

    Also  . Damit ist die Multiplikation reeller Funktionen assoziativ.

  • Kommutativität: Die Multiplikation   ist kommutativ. Auch diese Eigenschaft lässt sich aus der reellen Multiplikation ableiten. Seien  . Für jedes   gilt:
     

    Somit  . Damit ist die Multiplikation reeller Funktionen kommutativ.

  • Neutrales Element der Multiplikation: Wir definieren die  -Funktion:
     

    Wir zeigen, dass   das neutrale Element der Multiplikation in der Menge   ist. Es gilt  . Für   und   gilt

     

    Folglich gilt  . Aufgrund der Kommutativiität von   gilt für alle Funktionen  , dass  .

Beweisschritt: Die Addition und Multiplikation von Funktionen verhält sich distributiv.

Seien   beliebige Funktionen. Da   bzgl. der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist, gilt:

 

Für   gilt:

 

Es folgt

 

Aufgrund der Kommutativität von   gilt zudem

 

Wir haben somit gezeigt, dass   und   sich distributiv verhalten.

Wir haben alle Punkte nachgeprüft. Damit ist   ein kommutativer Ring mit Eins.

Anders als in   besitzen nicht alle Elemente in   multiplikative Inverse. Nehmen wir die Sinus-Funktion  . Da   ist, gibt es keine Funktion   mit  . Für jede Funktion   gilt nämlich

 

Insbesondere haben genau die Funktionen   kein multiplikatives Inverses, deren Bild die Null enthält.

Schließlich stellt sich die Frage, ob   nullteilerfrei ist. Wir müssen uns überlegen, ob es   gibt mit   so, dass   ist.   bedeutet, für alle   ist  . Also müsste für jedes   schon   oder   sein. Aber es muss nicht immer   oder immer   sein, sondern beide könnten sich auch abwechseln. Nehmen wir zum Beispiel

 

und

 

Dann gilt für alle  , dass  , aber  . Also sind   und   Nullteiler und   ist nicht nullteilerfrei.

Restklassenringe über  Bearbeiten

To-Do:

Abschnitt erstellen, zeigen, dass   ein Ring ist für alle