Ringe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel betrachten wir Ringe. Ein Ring ist eine algebraische Struktur mit einer Addition und einer Multiplikation. Er bildet bezüglich der Addition eine Gruppe, ist aber noch kein Körper.

Motivation

Im Artikel über Gruppen haben wir bereits gezeigt, dass die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ zusammen mit der Addition als Verknüpfung eine abelsche Gruppe bildet. Dies bedeutet, dass wir eine Verknüpfung haben, die zwei Elementen der Gruppe stets ein (nicht notwendigerweise neues) Element der Gruppe zuordnet und sowohl das Assoziativgesetz $(x+y)+z=x+(y+z)$ als auch das Kommutativgesetz $x+y=y+x$ erfüllt. In unserem Fall handelt es sich bei dieser Verknüpfung um die Addition. Außerdem gibt es mit der Null ein neutrales Element, welches bei der Addition eine Zahl nicht ändert, und zu jeder ganzen Zahl $z$ gibt es eine ganze Zahl $-z$ mit der Eigenschaft $z+(-z)=0$, also eine Inverse.

In der Algebra beschäftigen wir uns mit der Struktur von Zahlenbereichen. Nun kann man neben der Addition ganze Zahlen auch multiplizieren und ihre Struktur ist damit reichhaltiger als die einer abelschen Gruppe. Schauen wir uns an, welche Eigenschaften die Multiplikation auf den ganzen Zahlen erfüllt, wobei wir sehen werden, dass einige dieser Eigenschaftenen denen einer Gruppe ähneln:

• Abgeschlossenheit: Das Produkt zweier ganzer Zahlen ergibt wieder eine ganze Zahl. Damit ist $\mathbb {Z}$ abgeschlossen unter der Multiplikation.
• Assoziativität: Die Multiplikation auf den ganzen Zahlen ist assoziativ, da für alle ganzen Zahlen $x$, $y$ und $z$ die Gleichung $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ erfüllt ist.
• Kommutativität: Bei der Multiplikation zweier ganzer Zahlen kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Für zwei ganze Zahlen $x$ und $y$ gilt stets $x\cdot y=y\cdot x$. Daher ist die Multiplikation kommutativ.
• Neutrales Element: Die Multiplikation einer beliebigen ganzen Zahl mit der $1$ ergibt wieder diese Zahl. Dabei kommt es wegen der Kommutativität nicht auf die Reihenfolge der Faktoren an. Für alle ganzen Zahlen $z$ gilt: $z\cdot 1=1\cdot z=z$. Folglich ist die $1$ ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Die ganzen Zahlen bilden unter der Multiplikation allerdings keine Gruppe, denn für die meisten ganzen Zahlen existieren keine multiplikativen Inversen. Zum Beispiel gibt es keine ganze Zahl $z$, sodass $z\cdot 2=1$. Die einzigen ganzen Zahlen, die multiplikative Inverse in $\mathbb {Z}$ besitzen, sind $1$ und $-1$.

Wir haben mit den ganzen Zahlen also eine Struktur, in der es zwei Verknüpfungen gibt. Zum einen gibt es die Addition mit der die ganzen Zahlen eine abelsche Gruppe bilden und zum anderen die Multiplikation, die bis auf Inversenbildung alle Eigenschaften der Gruppe erfüllt. Wie sieht der Zusammenhang zwischen beiden Verknüpfungen aus? Hier gibt es mit dem Distributivgesetz eine Formel, die bereits aus der Schule bekannt ist. Für alle $x,y,z\in \mathbb {Z}$ gelten die beiden Gleichungen:

${\begin{aligned}x\cdot (y+z)&=x\cdot y+x\cdot z\\(x+y)\cdot z&=x\cdot z+y\cdot z\end{aligned}}$

Neben der Menge der ganzen Zahlen mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation, $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$, existieren in der Mathematik weitere Strukturen, die die oben beschriebenen Eigenschaften aufweisen. Mathematiker haben einen Namen für Strukturen mit diesen Eigenschaften eingeführt, sie nennen sie kommutative Ringe mit Eins.

Definition des Rings

Definition (Ring)

Ein Ring $(R,\boxplus ,\boxdot )$ ist eine Struktur, die aus einer Menge $R$ und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht:

${\begin{aligned}\boxplus &:R\times R\to R;\quad (x,y)\mapsto x\boxplus y\\\boxdot &:R\times R\to R;\quad (x,y)\mapsto x\boxdot y\end{aligned}}$

Die Verknüpfungen sind Abbildungen von $R\times R$ nach $R$, sie bilden Paare von Elementen aus $R$ auf Elemente aus $R$ ab. Wir nennen $\boxplus$ Addition und $\boxdot$ Multiplikation. Die Struktur muss folgende Bedingungen erfüllen:

1. $R$ bildet unter der Verknüpfung $\boxplus$ eine abelsche Gruppe, das heißt
   • $R$ ist abgeschlossen bezüglich $\boxplus$. Das heißt $\forall x,y\in R\colon x\boxplus y\in R$.
   • $\boxplus$ ist assoziativ.
   • $\boxplus$ ist kommutativ.
   • Es existiert ein additives neutrales Element $0_{R}$, sodass für alle $m\in R$ gilt:
     $0_{R}\boxplus m=m\boxplus 0_{R}=m$
   • Für alle Elemente $m\in R$ existiert ein additives inverses Element $-m$ in $R$, sodass gilt:
     $m\boxplus -m=-m\boxplus m=0_{R}$
2. Die Multiplikation $\boxdot$ erfüllt folgende Eigenschaften:
   • $R$ ist abgeschlossen bezüglich $\boxdot$. Das heißt $\forall x,y\in R\colon x\boxdot y\in R$.
   • Die Verknüpfung $\boxdot$ ist assoziativ, d.h. $(R,\boxdot )$ ist eine Halbgruppe.
3. Man kann $\boxplus$ und $\boxdot$ miteinander verknüpfen, dabei verhalten sie sich distributiv. Das heißt für alle Elemente $x,y,z\in R$ gilt:
   $x\boxdot (y\boxplus z)=x\boxdot y\boxplus x\boxdot z$
   und
   $(y\boxplus z)\boxdot x=(y\boxdot x)\boxplus (z\boxdot x)$

• Die Notationen $\boxplus$, $\boxdot$ wurden in Anlehnung an die Ringstruktur der ganzen Zahlen unter Addition und Multiplikation gewählt. Aus Bequemlichkeit werden Verknüpfungen, die der Addition und Multiplikation von Zahlen ähneln, häufig auch mit "$+$" und "$\cdot$" bezeichnet, obwohl es sich dabei nicht um die klassische Addition und Multiplikation von Zahlen handelt.
• Wenn klar ist, welche Verknüpfungen gemeint sind, wird oft auf ihre genaue Bezeichnung verzichtet. Man liest zum Beispiel häufig „$\mathbb {Z}$ bildet einen Ring“. Gemeint ist damit, dass $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$, also die ganzen Zahlen unter Addition und Multiplikation einen Ring bilden.
• Eigentlich ist es nicht nötig, dass wir die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation fordern. Denn diese folgen direkt aus der Wohldefiniertheit der Abbildungen $\boxplus$ sowie $\boxdot$.
• Genauso wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen vereinbaren wir die Regel Punkt vor Strich.

Definition

• Man nennt einen Ring kommutativ, wenn die Verknüpfung $\boxdot$ kommutativ ist.
• Man nennt einen Ring Ring mit Eins oder unitär, wenn er ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation $\boxdot$ enthält. In diesem Fall gibt es ein $1_{R}\in R$, sodass für alle $m\in R$ gilt: $1_{R}\boxdot m=m\boxdot 1_{R}=m$.

Hinweis

$1_{R}$ ist hierbei genau dann vom additiven neutralen Element $0_{R}$ von $R$ verschieden (d.h. es gilt $0_{R}\neq 1_{R}$), wenn $R$ nicht der Nullring $\{0\}$ ist.

Rechnen in Ringen

Nun wollen wir untersuchen, ob die Rechenregeln, die wir von den ganzen Zahlen gewohnt sind, in allen Ringen gelten.

Eindeutigkeit der additiven neutralen und inversen Elemente

In der Definition des Rings fordern wir: Es gibt ein neutrales Element $0_{R}$ bezüglich der Addition. Das bedeutet also, es gibt mindestens ein neutrales Element bzgl. der Addition. Aus den ganzen Zahlen sind wir es gewohnt, dass es nur genau ein neutrales Element $0_{\mathbb {Z} }$ für die Addition gibt. Das ist aber nicht selbstverständlich. Für Ringe können wir jedoch aus den Ringaxiomen herleiten, dass das additive neutrale Element eindeutig bestimmt ist.

Satz (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition)

In einem Ring ist das neutrale Element der Addition eindeutig.

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Addition)

Seien $n,n'\in R$ zwei neutrale Element der Addition, also gilt für alle

$x\in R:n\boxplus x=x\boxplus n=x=n'\boxplus x=x\boxplus n'$

Da $n,n'$ neutrale Elemente sind, gilt auch:

$n=n\boxplus n'=n'$

Damit ist $n=n'$ und die beiden neutralen Elemente sind gleich. Also ist das additive neutrale Element eindeutig bestimmt.

Auch für das additive Inverse $-x$ eines Elements $x\in R$ haben wir nur die Existenz gefordert, aber es gilt, dass $-x$ eindeutig bestimmt ist.

Satz (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Für jedes $x\in R$ ist das zugehörige inverse Element eindeutig.

Beweis (Eindeutigkeit des inversen Elements)

Für den Beweis der Eindeutigkeit des additiven inversen Elements benötigen wir das Assoziativgesetz. Seinen nun $y,y'\in R$ zwei inverse Elemente zum Element $x\in R$ und $n\in R$ das neutrale Element. Dann gilt:

$x\boxplus y=y\boxplus x=n=x\boxplus y'=y'\boxplus x$

Es gilt wegen des Assoziativgesetzes und obiger Gleichung:

$y=y\boxplus n=y\boxplus (x\boxplus y')=(y\boxplus x)\boxplus y'=n\boxplus y'=y'$

Damit ist $y=y'$ und das inverse Element der Addition ist eindeutig bestimmt.

Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation (für Ringe mit Eins)

Wenn wir einen Ring mit Eins betrachten, so gilt die Eindeutigkeit auch für die Eins, also das neutrale Element der Multiplikation.

Aufgabe (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation)

In einem Ring mit Eins gibt es nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Beweis (Eindeutigkeit des neutralen Elements der Multiplikation)

Sei $(R,+,\cdot )$ ein Ring. Seien $a,b\in R$ neutrale Elemente bezüglich der Multiplikation. Dann gilt für alle Elemente $x\in R$:

1. $a\cdot x=x$
2. $x\cdot b=x$

Da auch $a$ und $b$ Elemente aus $R$ sind, gilt wegen 1, dass $a\cdot b=b$ und wegen 2 ist $a\cdot b=a$. Daraus folgt, dass $a=b$. Das heißt alle neutrale multiplikativen Elemente sind gleich, oder anders ausgedrückt: Es gibt nur ein einziges neutrales Element bezüglich der Multiplikation.

Multiplizieren mit Null

Wir haben die Null als neutrales Element der Addition definiert. Aber was passiert beim Multiplizieren mit $0_{R}$?

Satz (Multiplizieren mit Null ergibt Null)

Für alle $x\in R$ gilt $0_{R}\cdot x=0_{R}=x\cdot 0_{R}$.

Beweis (Multiplizieren mit Null ergibt Null)

$0_{R}\cdot x=(0_{R}+0_{R})\cdot x=(0_{R}\cdot x)+(0_{R}\cdot x)$

Dazu addieren wir das additive Inverse von $(0_{R}\cdot x)$:

$0_{R}=(0_{R}\cdot x)+(-(0_{R}\cdot x))=(0_{R}\cdot x)+(0_{R}\cdot x)+(-(0_{R}\cdot x))=0_{R}\cdot x$

Ebenso gilt:

$x\cdot 0_{R}=x\cdot (0_{R}+0_{R})=(x\cdot 0_{R})+(x\cdot 0_{R})$

Addiere das additive Inverse von $(x\cdot 0_{R})$:

$0_{R}=(x\cdot 0_{R})+(-(x\cdot 0_{R}))=(x\cdot 0_{R})+(x\cdot 0_{R})+(-(x\cdot 0_{R}))=x\cdot 0_{R}$

Nullteiler und Integritätsringe

Eine weitere Rechenregel, die wir von den ganzen Zahlen kennen, ist:

Für alle $a,b,c\in \mathbb {Z}$ mit $a\neq 0_{R}$ gilt $a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$.

Diese wird auch Kürzungsregel genannt.

Satz (Äquivalenz der Kürzungsregel und Nullteilerfreiheit)

Sei $R$ ein kommutativer Ring. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent:

1. Für alle $a,b,c\in R$ mit $a\neq 0$ gilt $a\cdot b=a\cdot c\Rightarrow b=c$.
2. Für alle $x,y\in R$ gilt $x\cdot y=0_{R}\Rightarrow (x=0_{R}{\text{ oder }}y=0_{R})$.

Beweis (Äquivalenz der Kürzungsregel und Nullteilerfreiheit)

Wir zeigen zunächst, dass aus Eigenschaft $1$ die zweite folgt. Sei also $R$ ein Ring, der Eigenschaft $1$ erfüllt. Seien $x,y\in R$ beliebig mit $x\cdot y=0_{R}$. Dann gilt $x\cdot y=x\cdot 0_{R}=0_{R}$. Falls $x\neq 0_{R}$ folgt daraus gemäß Eigenschaft $1$, dass $y=0_{R}$. In jedem Fall muss also einer der beiden Faktoren $x$ oder $y$ gleich $0_{R}$ sein. Somit ist auch die zweite Eigenschaft erfüllt.

Nun zeigen wir, dass aus der zweiten Eigenschaft die erste folgt. Sei also $R$ ein Ring, in dem gilt $x\cdot y=0_{R}\Rightarrow x=0_{R}{\text{ oder }}y=0_{R}$. Seien $a,b,c\in R$ so gewählt, dass $a\cdot b=a\cdot c$ und $a\neq 0_{R}$. Dann gilt $a\cdot b+(-(a\cdot c))=0_{R}$ und aufgrund der Distributivität auch $a\cdot (b+(-c))=0_{R}$. Wegen $a\neq 0_{R}$ folgt daraus $b+(-c)=0_{R}$, also $b=c$. Das heißt in $R$ gilt $(a\neq 0{\text{ und }}a\cdot b=a\cdot c)\Rightarrow b=c$.

Ein Produkt ist also genau dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist. So einen Ring nennt man nullteilerfrei, weil es keine Element $0\neq a,b\in \mathbb {Z}$ gibt, derart dass $a\cdot b=0$.

Warnung

Im Allgemeinen ist dies in Ringen aber nicht der Fall. Nehmen wir als Beispiel den Ring $\mathbb {Z} ^{2}=\{(a,b)|a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {Z} \}$ mit komponentenweiser Addition und Multiplikation. Das bedeutet, für $(a,b),(c,d)\in \mathbb {Z} ^{2}$ ist $(a,b)\boxplus (c,d):=(a+c,b+d)$ und $(a,b)\boxdot (c,d):=(a\cdot c,b\cdot d)$.

Dann gilt, die Elemente $(0,1),(1,0)$ sind nicht das Nullelement $(0,0)$ und liegen in $\mathbb {Z}$. Wenn wir die beiden Elemente multiplizieren, erhalten wir

$(0,1)\boxdot (1,0)=((0\cdot 1),(1\cdot 0))=(0,0)$

Dies ist aber das additive Nullelement des Rings $\mathbb {Z} ^{2}$, denn $(a,b)\boxplus (0,0)=((a+0),(b+0))=(a,b)$ Damit besitzt der Ring $\mathbb {Z} ^{2}$ die Elemente $(0,1),(1,0)$ als Nullteiler.

Definition (Nullteiler eines Rings und Integritätsring)

• Ein Element $x\in R\setminus \{0_{R}\}$, für welches ein Element $y\in R\setminus \{0_{R}\}$ existiert mit $x\boxdot y=0_{R}$ oder $y\boxdot x=0_{R}$, heißt Nullteiler von $R$.
• Ein Ring, der keine Nullteiler besitzt, heißt nullteilerfrei.
• Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins, $1_{R}\neq 0_{R}$, heißt Integritätsring oder Integritätsbereich.

Beispielsweise ist der Ring $\mathbb {Z}$ ein Integritätsring.

Beispiele

Nullring

In der Definition dieses Rings fordern wir nur die Existenz eines Elements. Dieses ist die Null, denn diese muss in einem Ring als neutrales Element der Addition liegen. Reicht dieses eine Element schon aus, um einen Ring zu bilden?

Ja, denn wir können auf der einelementigen Menge $R_{N}=\{0\}$ die Addition definieren als

$0\boxplus 0:=0$

und die Multiplikation als

$0\boxdot 0:=0$

Aufgabe ($R_{N}$ ist ein Ring)

Zeige, dass die Ringaxiome für $R_{N}$ gelten.

Beweis ($R_{N}$ ist ein Ring)

$R_{N}$ ist eine abelsche Gruppe, denn die Menge ist bzgl. $\boxplus$ abgeschlossen. Das neutrale Element ist $0$, denn $0\boxplus 0=0$. Das inverse Element von $0$ ist ebenfalls die $0$, denn $0\boxplus 0=0$. Es gilt wegen $(0\boxplus 0)\boxplus 0=0\boxplus 0=0\boxplus (0\boxplus 0)$ das Assoziativgesetz und trivialerweise auch das Kommutativgesetz. Damit ist $R_{N}$ eine abelsche Gruppe bzgl. der Vernüpfung $\boxplus$.

$R_{N}$ ist aber auch abgeschlossen bzgl. der Multiplikation $\boxdot$. Es gilt das Assoziativgesetz, denn $(0\boxdot 0)\boxdot 0=0\boxdot 0=0\boxdot (0\boxdot 0)$. Ebenso gilt das Distributivgesetz, denn $0\boxdot (0\boxplus 0)=0\boxdot 0=(0\boxdot 0)\boxplus 0=(0\boxdot 0)\boxplus (0\boxdot 0)$. Damit sind alle Ringaxiome nachgewiesen.

Man nennt $(R_{N},\boxplus ,\boxdot )$ auch den Nullring.

Der Ring der rationalen Zahlen

Im Artikel zu Gruppen wurde gezeigt, dass $(\mathbb {Q} ,+)$ und $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ abelsche Gruppen sind. Wir haben also die abelsche Gruppe $(\mathbb {Q} ,+)$. Außerdem ist die Multiplikation in $\mathbb {Q}$ assoziativ und die Distributivgesetze sind erfüllt. Damit sehen wir, dass $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ einen Ring bildet.

Weil $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ eine abelsche Gruppe ist, gibt es sogar ein neutrales Element der Multiplikation, die $1$. Außerdem folgt, dass die Multiplikation kommutativ ist. Damit ist $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ ein kommutativer Ring mit $1$. Wir wissen auch schon, dass es in $\mathbb {Q}$ keine Nullteiler gibt. Also ist $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ ein Integritätsring.

In $\mathbb {Q}$ gibt es auch inverse Elemente der Multiplikation, weil $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$ eine abelsche Gruppe bildet. Diese brauchen wir nicht, damit $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ einen Ring bildet. Wir sehen also, dass $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ noch mehr ist als ein Ring. Später werden wir zeigen, dass $(\mathbb {Q} ,+,\cdot )$ einen Körper bildet.

Ring der reellen Funktionen

Nun werden wir sehen, dass die Elemente von Ringen nicht unbedingt Zahlen sein müssen. Wir betrachten die Menge $F:=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}$ aller Abbildungen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$. Die Objekte, die wir miteinander verknüpfen wollen, sind Funktionen wie die Sinusfunktion $\sin :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ oder die Exponentialfunktion $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$.

Man kann Funktionen addieren. Da diese Funktionsaddition eine andere als die Zahlenaddition ist, nutzen wir das Symbol $\boxplus$ anstelle von $+$. Was ist die Summe $\sin \boxplus \exp$ der Sinus- und Exponentialfunktion? Das Ergebnis darf nicht aus der Grundmenge $F$ herausführen, muss also wieder eine Funktion $(\sin \boxplus \exp ):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ sein. Der Funktionswert $(\sin \boxplus \exp )(x)$ an einer Stelle $x\in \mathbb {R}$ definieren wir als Summe $\sin(x)+\exp(x)$. Die Addition zweier Funktionen ergibt also eine Funktion, die jeden Punkt auf die Summe der beiden Funktionswerte abbildet:

Summer der Sinus und der Exponentialfunktion

Zum Beispiel gilt

$(\sin \boxplus \exp ):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto \sin(x)+\exp(x).$

Allgemein können wir für zwei Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ihre Funktionssumme $f\boxplus g$ wie folgt definieren

$(f\boxplus g):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto f(x)+g(x).$

Für $x\in \mathbb {R}$ gilt also $(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)$. Diese Formel muss dabei folgendermaßen interpretiert werden:

${\color {OliveGreen}\underbrace {({\color {Blue}\underbrace {f\boxplus g} _{\begin{array}{c}{\text{Funktionsaddition von }}\\f{\text{ und }}g\end{array}}})(x)} _{\begin{array}{c}{\text{Wert der Funktion }}f\boxplus g\\{\text{an der Stelle }}x\end{array}}}={\color {RoyalPurple}\underbrace {f(x)+g(x)} _{\begin{array}{c}{\text{Addition der beiden Zahlen}}\\f(x){\text{ und }}g(x)\end{array}}}$

Ähnlich wie bei der Addition kann man Multiplikation von Funktionen definieren. Wir werden die Multiplikation mit $\boxdot$ bezeichnen. Das Produkt zweier Funktionen $f$ und $g$ ergibt eine neue Abbildung $(f\boxdot g):\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, die jeder reellen Zahl $x$ das Produkt der Funktionswerte $f(x)$ und $g(x)$ zuordnet. Also

$(f\boxdot g):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto f(x)\cdot g(x).$

Wir können die Funktionsvorschrift wie folgt interpretieren:

${\color {OliveGreen}\underbrace {({\color {Blue}\underbrace {f\boxdot g} _{\begin{array}{c}{\text{Funktionsaddition von }}\\f{\text{ und }}g\end{array}}})(x)} _{\begin{array}{c}{\text{Wert der Funktion }}f\boxdot g\\{\text{an der Stelle }}x\end{array}}}={\color {RoyalPurple}\underbrace {f(x)\cdot g(x)} _{\begin{array}{c}{\text{Multiplikation der beiden Zahlen}}\\f(x){\text{ und }}g(x)\end{array}}}$

Wir zeigen jetzt, dass $(F,\boxplus ,\boxdot )$ ein kommutativer Ring mit Eins ist.

Satz (Die reellen Funktionen bilden einen kommutativen Ring mit Eins.)

$(F,\boxplus ,\boxdot )$ ist ein kommutativer Ring mit Eins.

Beweis (Die reellen Funktionen bilden einen kommutativen Ring mit Eins.)

Beweisschritt: Unter der Addition $\boxplus$ bildet $F$ eine abelsche Gruppe.

• Abgeschlossenheit: Die Summe zweier Abbildungen von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ soll wieder eine Abbildung von $\mathbb {R}$ nach $\mathbb {R}$ ergeben. Seien $f,g\in F$. Für jedes $x\in \mathbb {R}$ gilt $(f\boxplus g)(x)\in \mathbb {R}$. Folglich gilt $f\boxplus g\in F$. Das heißt $F$ ist abgeschlossen bezüglich der Addition.
• Assoziativität: Wir müssen zeigen, dass für alle Funktionen $f,g,h\in F$ gilt:
  $f\boxplus (g\boxplus h)=(f\boxplus g)\boxplus h$

  Sowohl $f\boxplus (g\boxplus h)$ als auch $(f\boxplus g)\boxplus h$ sind nach unserer Definition der Funktionsaddition Abbildungen in der Menge $F$. Um die Gleichheit zu überprüfen, müssen wir uns ihre Funktionswerte anschauen. Für $x\in \mathbb {R}$ gilt:

  ${\begin{aligned}(f\boxplus (g\boxplus h))(x)&=f(x)+(g\boxplus h)(x)=f(x)+(g(x)+h(x))\\[0.5em]((f\boxplus g)\boxplus h)(x)&=(f\boxplus g)(x)+h(x)=(f(x)+g(x))+h(x)\end{aligned}}$

  Da die Addition reeller Zahlen assoziativ ist, gilt für alle $x\in \mathbb {R}$:

  $(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))$

  Damit gilt für alle reellen Zahlen $x$:

  $(f\boxplus (g\boxplus h))(x)=((f\boxplus g)\boxplus h)(x)$

  Die beiden Funktionen $f\boxplus (g\boxplus h)$ und $(f\boxplus g)\boxplus h)$ stimmen für jedes Argument überein. Also folgt $f\boxplus (g\boxplus h)=(f\boxplus g)\boxplus h)$. Das heißt, die Addition $\boxplus$ ist assoziativ.

• Kommutativität: Die Kommutativität von $\boxplus$ kann man – ähnlich wie die Assoziativität – aus der Kommutativität der Addition reeller Zahlen folgern. Seien $f,g\in F$. Für $x\in \mathbb {R}$ gilt:
  $(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g\boxplus f)(x)$

  Folglich $f\boxplus g=g\boxplus f$. Damit ist $F$ kommutativ.

• Neutrales Element: Wir definieren die Nullabbildung
  $f_{0}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto 0.$

  Es gilt $f_{0}\in f$ und für alle Abbildungen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $x\in \mathbb {R}$ gilt:

  $(f_{0}\boxplus f)(x)=\underbrace {f_{0}(x)} _{=0}+f(x)=f(x).$

  Also $f_{0}\boxplus f=f$ und aufgrund der Kommutativität von $\boxplus$ auch $f\boxplus f_{0}=f$ für alle Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Somit ist $f_{0}$ das neutrale Element der Addition.

• Inverse Elemente: Zu jeder Abbildung $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ existiert ein additiv-inverses Element, nämlich
  $(-f):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto -f(x).$

  Der Wert der Funktion $f\boxplus (-f)$ an einem beliebigen Punkt $x\in \mathbb {R}$ ist gegeben durch

  $(f\boxplus (-f))(x)=f(x)+(-f(x))=0=f_{0}(x).$

  Die Summe $f\boxplus (-f)$ ergibt also die Nullfunktion $f_{0}$. Wegen der Kommutativität von $\boxplus$ gilt auch $(-f)\boxplus f=f_{0}$.

Beweisschritt: Eigenschaften der Multiplikation $\boxdot$

• Abgeschlossenheit: Die reellen Zahlen sind abgeschlossen unter der Multiplikation. Deshalb ergibt das Produkt
  $f\boxdot g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto f(x)\cdot g(x)$

  zweier Abbildungen $f,g\in F$ stets wieder eine Abbildung von den reellen in die reellen Zahlen. Das heißt $F$ ist abgeschlossen unter der Multiplikation $\boxdot$.

• Assoziativität: Die Assoziativität der Funktionsmultiplikation $\boxdot$ folgt aus der Assoziativität der Multiplikation reller Zahlen. Seien $f,g,h\in F$, dann gilt für alle $x\in \mathbb {R}$:
  ${\begin{aligned}&((f\boxdot g)\boxdot h)(x)=(f\boxdot g)(x)\cdot h(x)=((f(x)\cdot g(x))\cdot h(x)=\\[0.3em]&f(x)\cdot (g(x)\cdot h(x))=f(x)\cdot (g\boxdot h)(x))=(f\boxdot (g\boxdot h))(x)\end{aligned}}$

  Also $(f\boxdot g)\boxdot h=f\boxdot (g\boxdot h)$. Damit ist die Multiplikation reeller Funktionen assoziativ.

• Kommutativität: Die Multiplikation $\boxdot$ ist kommutativ. Auch diese Eigenschaft lässt sich aus der reellen Multiplikation ableiten. Seien $f,g\in F$. Für jedes $x\in \mathbb {R}$ gilt:
  $(f\boxdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)=(g\boxdot f)(x)$

  Somit $f\boxdot g=g\boxdot f$. Damit ist die Multiplikation reeller Funktionen kommutativ.

• Neutrales Element der Multiplikation: Wir definieren die $1$-Funktion:
  $f_{1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ;\quad x\mapsto 1.$

  Wir zeigen, dass $f_{1}$ das neutrale Element der Multiplikation in der Menge $F$ ist. Es gilt $f_{1}\in F$. Für $f\in F$ und $x\in \mathbb {R}$ gilt

  $(f_{1}\boxdot f)(x)=\underbrace {f_{1}(x)} _{=1}\cdot f(x)=f(x).$

  Folglich gilt $f_{1}\boxdot f=f$. Aufgrund der Kommutativiität von $\boxdot$ gilt für alle Funktionen $f\in F$, dass $f_{1}\boxdot f=f\boxdot f_{1}=f$.

Beweisschritt: Die Addition und Multiplikation von Funktionen verhält sich distributiv.

Seien $f,g,h\in F$ beliebige Funktionen. Da $F$ bzgl. der Addition und der Multiplikation abgeschlossen ist, gilt:

${\begin{aligned}f\boxdot (g\boxplus h)&:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \\(f\boxdot g)\boxplus (f\boxdot h)&:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \end{aligned}}$

Für $x\in \mathbb {R}$ gilt:

${\begin{aligned}&(f\boxdot (g\boxplus h))(x)=f(x)\cdot (g\boxplus h)(x)=\\[0,5em]&{f(x)\cdot (g(x)+h(x))}={f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)}=\\[0,5em]&(f\boxdot g)(x)+(f\boxdot h)(x)=((f\boxdot g)\boxplus (f\boxdot h))(x).\end{aligned}}$

Es folgt

$f\boxdot (g\boxplus h)=(f\boxdot g)\boxplus (f\boxdot h).$

Aufgrund der Kommutativität von $\boxdot$ gilt zudem

${\begin{aligned}(g\boxplus h)\boxdot f&=f\boxdot (g\boxplus h)\\[0.5em]&=(f\boxdot g)\boxplus (f\boxdot h)=(g\boxdot f)\boxplus (h\boxdot f)\end{aligned}}$

Wir haben somit gezeigt, dass $\boxplus$ und $\boxdot$ sich distributiv verhalten.

Wir haben alle Punkte nachgeprüft. Damit ist $(F,\boxplus ,\boxdot )$ ein kommutativer Ring mit Eins.

Anders als in $\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ besitzen nicht alle Elemente in $F\setminus \{f_{0}\}$ multiplikative Inverse. Nehmen wir die Sinus-Funktion $\sin :\mathbb {R} \to \mathbb {R}$. Da $\sin(\pi )=0$ ist, gibt es keine Funktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $g\boxdot \sin =f_{1}$. Für jede Funktion $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ gilt nämlich

$(g\boxdot \sin )(\pi )=g(\pi )\cdot \underbrace {\sin(\pi )} _{=\ 0}=0\neq 1=f_{1}(\pi )$

Insbesondere haben genau die Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ kein multiplikatives Inverses, deren Bild die Null enthält.

Schließlich stellt sich die Frage, ob $(F,\boxplus ,\boxdot )$ nullteilerfrei ist. Wir müssen uns überlegen, ob es $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ gibt mit $f\neq f_{0}\neq g$ so, dass $f\boxdot g=f_{0}$ ist. $f\boxdot g=f_{0}$ bedeutet, für alle $x\in \mathbb {R}$ ist $f(x)\cdot g(x)=f_{0}(x)=0$. Also müsste für jedes $x\in \mathbb {R}$ schon $f(x)=0$ oder $g(x)=0$ sein. Aber es muss nicht immer $f(x)=0$ oder immer $g(x)=0$ sein, sondern beide könnten sich auch abwechseln. Nehmen wir zum Beispiel

$f(x):={\begin{cases}0&x<0\\1&x\geq 0\end{cases}}$

und

$g(x):={\begin{cases}1&x<0\\0&x\geq 0\end{cases}}$

Dann gilt für alle $x\in \mathbb {R}$, dass $(f\boxdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=0$, aber $f\neq f_{0}\neq g$. Also sind $f$ und $g$ Nullteiler und $F$ ist nicht nullteilerfrei.