Lineare Abbildung: Bild – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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MotivationBearbeiten

Der Begriff des Bildes einer Abbildung ist uns bereits bekannt. Kennt man das Bild einer Abbildung, so kann man entscheiden, ob diese surjektiv ist. Bisher haben wir Bilder von beliebigen Abbildungen betrachtet. Im Folgenden untersuchen wir das Bild von linearen Abbildungen genauer. Wir führen eine exakte Schreibweise für das Bild ein:

Definition (Bild einer linearen Abbildung)

Es seien   und   zwei  -Vektorräume und   linear. Dann nennen wir   das Bild von  .

Das Bild ist ein UntervektorraumBearbeiten

Nun zeigen wir, dass das Bild ein Untervektorraum des Zielvektorraums ist:

Satz

Es sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Dann ist   ein Untervektorraum von  .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1.  
  2.  
  3. Für alle   gilt  .
  4. Für alle   und für alle   gilt  .

Beweisschritt:  

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:  

Da L eine lineare Abbildung ist, gilt  . Somit ist   folglich ist  .

Beweisschritt: Für alle   gilt  .

Hierzu seien   gegeben. Dann gibt es Vektoren   und   aus   mit   und  . Um zu zeigen, dass   gilt, müssen wir einen Vektor aus   finden, der von   auf   abgebildet wird. Es gilt:

 

Wegen   und   ist   im Bild von  .

Beweisschritt: Für alle   und für alle   gilt  .

Sei   und  . Dann gibt es einen Vektor   mit  . Wir müssen zeigen, dass es einen Vektor in   gibt, der auf   abgebildet wird. Es gilt:

 

Weil   ist, gilt  .

Der Zusammenhang von der Surjektivität und dem Bild einer linearen AbbildungBearbeiten

Die Hauptaussage dieses Abschnitts kennen wir bereits. Sie ist bei beliebigen Abbildungen gültig. Der folgende Satz dient also zur Erinnerung.

Satz

Es sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Dann ist   genau dann surjektiv, wenn  . Für einen endlich-dimensionalen Zielvektorraum   ist   genau dann surjektiv, wenn   gilt.

Beweis

Beweisschritt:  :

Sei   surjektiv. Dann gibt es für alle Vektoren   ein   mit  . Somit ist  .

Beweisschritt:  :

Sei  . Dann gibt es nach Definiton von   zu jedem   einen Vektor   mit  . Also ist   surjektiv.

Falls nun   und   ein Untervektorraum, dann ist   genau dann, wenn   gilt. Damit ist, wenn   surjektiv ist   und umgekehrt.

Der Zusammenhang von Bild und ErzeugendensystemenBearbeiten

To-Do:

Einführungstext

Wir haben im Artikel über Epimorphismen gelernt, dass eine lineare Abbildungen genau dann Erzeugendensystem erhält, wenn sie surjektiv ist. In diesem Fall erzeugen die Bilder des Erzeugendensystems genau das Bild der linearen Abbildung, nämlich den Zielvektorraum. Wir zeigen nun, dass eine analoge Aussage immer gilt.

Satz (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Sei   eine lineare Abbildung zwischen zwei  -Vektorräumen   und  . Sei   ein Erzeugendensystem von  . Dann gilt:

 

Beweis (Das Bild ist der Spann der Bilder eines Erzeugendensystems)

Wir zeigen die beiden Inklusionen.

Beweisschritt:  

Sei  . Dann gibt es  ,   und Koeffizienten  , sodass

 

Da die   in   liegen, existieren   mit   für  . Dann gilt wegen der Linearität von  

 

Beweisschritt:  

Sei  . Dann gibt es ein   mit  . Da   ein Erzeugendensystem von   ist, gibt es ein  ,   und Koeffizienten  , sodass

 

Dann folgt wegen der Linearität von  :

 

Beispiele zum Bestimmen des BildesBearbeiten

To-Do:

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To-Do:

Hier werden Dinge verwendet, die noch nicht unbedingt bekannt sind (Rang, implizit die Dimensionsformel). Diese können evtl. umgangen werden, indem man alle Spalten der darstellenden Matrix nimmt (diese bilden nach einer Folgerung aus dem Prinzip von der linearen Fortsetzung ein Erzeugendensystem des Bildes). Dann kann man noch ausrechnen, welche man evtl. wegen linearer Abhängigkeit weglassen kann (das tut wieder der Gauß-Jordan-Algorithmus). Es sollte unbedingt erklärt werden, warum diese "Lösungsmethode" funktioniert.

LösungsmethodeBearbeiten

Wenn wir nun das Bild einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien   und   endlich-dimensionale Vektorräume und   eine lineare Abbildung. Wir möchten nun das Bild von   bestimmen:

  1. Die darstellende Matrix von   aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
  2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
  3.   bestimmen, das ist die Anzahl der benötigten Vektoren
  4. So viele linear unabhängige Vektoren aus der darstellenden Matrix finden wie nötig. Das ist dann die Basis für  

Beispielaufgabe in endlich-dimensionalen VektorräumenBearbeiten

Wir wollen nun an einem Beispiel zeigen, wie man das Bild einer linearen Abbildung konkret bestimmen kann.

Beispiel

Sei   ein beliebiger Körper, und  , mit der Standardbasis   bzw,  .

Wir definieren die lineare Abbildung   durch lineare Fortsetzung von

 

Dann ist  .

To-Do:

Beweis davon

Beweis: Nach Definition von f ist eine Matrixdarstellung   mit   und   gegeben, durch  

Alte Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen VektorräumenBearbeiten

Jetzt wollen wir an Beispielen zeigen, wie man das Bild einer linearen Abbildung konkret bestimmen kann.

Wir beginnen mit einem einfachem Beispiel

Beispiel

Sei   eine lineare Abbildung, mit  . Das ist eine Projektion der Vektoren auf die  . Anschaulich betrachtet wäre also   die   und damit  .

Wir bestimmen das Bild aber trotzdem nochmal rechnerisch: Zuerst stellen wir die darstellende Matrix von   bezüglich der Standardbasis auf. Diese lautet

 .

Wir sehen, dass   und damit hat die Basis von   nur ein Element. Also können wir einen Vektor aus der Matrix entnehmen und dann ist   bzw.  .

Ein weiteres Beispiel:

Beispiel

Sei   eine lineare Abbildung mit der darstellenden Matrix

 .

Die Matrix bringen wir nun mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus in obere Dreiecksform. Wir ziehen das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile ab, dann erhalten wir

 .

Jetzt subtrahieren wir das 1,5-fache der 1. Zeile vom 2-fachem der 2. Zeile. Dadurch entsteht die Matrix

 .

Hier sehen wir schon, dass die 2. und 3. Zeile gleich sind. Wir ziehen die 2. von der 3. Zeile ab und bekommen

 .

Wir sehen, dass der Zeilenrang dieser Matrix 2 ist. Damit ist auch  . Also besteht die Basis des Bildes aus zwei Vektoren.

Für diese Basis wählen wir nun zwei linear unabhängige Spaltenvektoren unserer Ausgangsmatrix  . Zum Beispiel   und  .

Also ist  .

Nun ein etwas komplizierteres Beispiel.

Beispiel

Sei   eine lineare Abbildung, mit  .

Zuerst stellen wir wieder die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis auf. Es gilt   und   sowie  .

Also sieht unsere Matrix folgendermaßen aus:

 .

Nun wenden wir wieder den Gauß-Jordan-Algorithmus an, um die Matrix in eine Dreiecksform zu bringen. Erst ziehen wir von der 3. Zeile die 1. und 2. Zeile ab, dann erhalten wir

 .

Dann subtrahieren wir das 2-fache der 1. Zeile von der 2. Zeile. So entsteht die Matrix

 .

Nun addieren wir die 2. Zeile zur 4. Zeile.

 .

Jetzt ziehen wir das 0,5-fache der 2. Zeile und das 2-fache der 4. Zeile von der 3. Zeile ab. Dann erhalten wir

 .

Zum Schluss tauschen wir noch die 3. und 4. Zeile. Das ergibt

 .

Den Rang dieser Matrix kann man leicht ablesen:  . Also brauchen wir drei Vektoren für die Basis von  . Dafür nehmen wir die drei Spaltenvektoren von  , da wir nun wissen, dass diese linear unabhängig sind, weil auch der Rang von   drei beträgt und damit maximal ist).

Somit ist  .

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen VektorräumenBearbeiten

Nachdem wir nun einige Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen betrachtet haben, können wir uns an ein Beispiel mit einem unendlich-dimensionalen Vektorraum wagen. Wir haben die gleiche Funktion bereits bei den Beispielen zur Bestimmung des Kerns einer linearen Abbildung kennengelernt.

Beispiel

Unser Ziel ist, das Bild der linearen Abbildung der Ableitung   von Polynomen über   zu bestimmen. Die Menge   ist eine Basis von  . Die Ableitungsfunktion   ist durch   für alle   definiert.

Wir behaupten, dass diese Abbildung surjektiv ist. Da das Bild ein Untervektorraum von   ist, reicht es zu zeigen, dass die Basisvektoren von   im Bild enthalten sind. Für alle   ist  . Außerdem ist  . Somit sind alle Basisvektoren im Bild enthalten und folglich ist  .