Dimension eines Vektorraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir definieren in diesem Artikel die Dimension eines Vektorraums und zeigen einige elementare Eigenschaften wie die Dimensionsformel.

Motivation

Wir versuchen, in diesem Artikel den Begriff einer Dimension eines Vektorraums zu definieren. Dabei wäre es schön, wenn wir gängige Beispiele für Vektorräume wie $\mathbb {R} ^{3}$ finden können, welche "offensichtliche Dimension" haben. Im Fall von $\mathbb {R} ^{3}$ wäre das $\mathrm {dim} _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3$. Dabei fällt uns auf, dass dieser Vektorraum eine Basis mit $3$ Elementen besitzt, zum Beispiel die Standardbasis $B_{3}=\lbrace e_{1},e_{2},e_{3}\rbrace$.

Analog wollen wir, dass für einen beliebigen Körper $K$ der Vektorraum $K^{n}$ die Dimension $\mathrm {dim} _{K}(K^{n})=n$ hat. Auch hier finden wir mit der Standardbasis $B_{n}=\lbrace e_{1},...,e_{n}\rbrace$ eine Basis mit genau $n$ Vektoren.

Das legt nahe, die Dimension eines Vektorraums $V$ als die Anzahl der Vektoren einer Basis von $V$ zu definieren. Nun ist zunächst aber nicht klar, dass jede Basis die gleiche Mächtigkeit besitzt. Das werden wir beweisen müssen.

Definition der Dimension

Definition (Dimension eines Vektorraums)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und sei $B$ eine Basis von $V$. Wenn $B$ endlich ist, definieren wir die Dimension von $V$ durch $\mathrm {dim} _{K}(V):=\mathrm {dim} (V):=|B|$. (Wir verzichten meist auf die Angabe des Grundkörpers, falls dies aus dem Kontext ersichtlich ist.) Außerdem sagen wir, dass $V$ endlich dimensional ist. Wenn $B$ stattdessen unendlich ist, sagen wir, dass $V$ unendlich-dimensional ist und schreiben $\mathrm {dim} (V)=\infty$.

Aus dieser Definition wird nicht klar, dass die Dimension unabhängig von der Wahl der Basis unseres Vektorraums ist. Es könnte zum Beispiel passieren, dass ein Vektorraum verschiedenen Basen mit unterschiedlich vielen Elementen besitzt. Dass dies nicht geschehen kann, wird nun im nächsten Satz bewiesen:

Satz (Wohldefiniertheit der Dimension)

Seien $V$ ein $K$-Vektorraum und $B,B'$ zwei Basen von $V$. Ist $B$ endlich, so ist auch $B'$ endlich und es gilt $|B|=|B'|$.

Beweis (Eindeutigkeit der Dimension)

Sei $B$ endlich. Angenommen $B'$ ist unendlich. Dann können wir eine $|B|+1$-elementige Teilmenge $W$ von $B'$ wählen. $W$ ist dadurch, als Teilmenge der linear unabhängigen Menge $B'$, ebenfalls linear unabhängig. Das widerspricht wegen $|B|<|W|$ dem Austauschssatz von Steinitz. Also ist $B'$ endlich. Es bleibt die Gleichheit der Mächtigkeiten zu zeigen. Da $B$ linear unabhängig und $B'$ eine Basis von $V$ ist, folgt aus dem Austauschsatz von Steinitz $|B|\leq |B'|$. Andersrum folgt genauso $|B'|\leq |B|$. Damit ist alles gezeigt.

Beispiele zur Dimension

Dimension von $K^{n}$

Beispiel

In diesem Beispiel wollen wir die Dimension von $K^{n}$ bestimmen. Eine mögliche Basis wäre die Standardbasis:

$B=\lbrace \underbrace {(1,0,\ldots ,0)^{T}} _{n{\text{-Komponenten}}},\,\underbrace {(0,1,\ldots ,0)^{T}} _{n{\text{-Komponenten}}},\,\cdots ,\,\underbrace {(0,0,\ldots ,1)^{T}} _{n{\text{-Komponenten}}}\rbrace$

Diese ist endlich und es gilt $|B|=n$. Wir erhalten $\mathrm {dim} _{K}(K^{n})=n$.

Dimension des Polynomraums

Beispiel

Der Polynomraum $K[x]$ über einem Körper $K$ ist definiert als

$K[x]:=\left\lbrace \sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,a_{i}\in K\,\,\forall i\in \lbrace 0,\ldots ,n\rbrace \right\rbrace ,$

mit koeffizientenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Hieraus sieht man, dass $\lbrace x^{n}|n\in \mathbb {N} \rbrace$ ein Erzeugendensystem des $K[x]$ ist. Da die Vektorraumverknüpfungen koeffizientenweise operieren, ist dieses zudem linear unabhängig. Aus ${\big |}\lbrace x^{n}|n\in \mathbb {N} \rbrace {\big |}=\infty$ folgt schließlich $\mathrm {dim} _{K}(K[x])=\infty$.

Dimension von $\mathbb {C}$ als $\mathbb {R}$-Vektorraum

Beispiel

Wir wollen die Dimension der komplexen Zahlen, als $\mathbb {R}$-Vektorraum aufgefasst, bestimmen. Jede komplexe Zahl $z\in \mathbb {C}$ lässt sich in eindeutiger Weise als $z=a+b\cdot i$, mit $a,b\in \mathbb {R}$, schreiben. Hieraus sieht man, dass $\lbrace 1,i\rbrace$ eine Basis von $\mathbb {C}$ über $\mathbb {R}$ ist. Es folgt $\mathrm {dim} _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$.

Dimension des Nullraums

Beispiel

Für jeden Körper $K$ ist $\{0\}$ ein Vektorraum. Dieser wird der Nullraum genannt. Um seine Dimension zu bestimmen, müssen wir eine Basis finden. Wie wir bereits im Artikel zum Nullraum gesehen haben, wird der Nullraum von der leeren Menge erzeugt. Außerdem ist $\emptyset$ per Definiton linear unabhängig und daher eine Basis des Nullraums. Damit haben wir $\mathrm {dim} _{K}(\{0\})=|\emptyset |=0$.

Eigenschaften der Dimension

Wir wollen nun einige Eigenschaften des Dimensionsbegriffes beweisen:

Satz

Seien $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ ein Unterraum. Dann gelten:

1. $\mathrm {dim} (U)\leq \mathrm {dim} (V)$.
2. Ist $\mathrm {dim} (U)=\mathrm {dim} (V)$, so folgt $U=V$.

Beweis

Sei $B_{U}$ eine Basis von $U$. Dann ist $B_{U}$ eine linear unabhängige Teilmenge von $V$. Nach dem Basisergänzungssatz existiert daher eine Basis $B_{V}$ von $V$, mit $B_{U}\subseteq B_{V}$. Daraus folgt direkt $|B_{U}|\leq |B_{V}|$, also $\mathrm {dim} (U)\leq \mathrm {dim} (V)$. Ist jetzt zusätzlich $\mathrm {dim} (U)=\mathrm {dim} (V)$ vorausgesetzt, so gilt $|B_{U}|=|B_{V}|$. Da $B_{V}$ endlich ist, erhalten wir $B_{U}=B_{V}$. Schließlich folgern wir $U=\operatorname {span} (B_{U})=\operatorname {span} (B_{V})=V$.

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, $V$ als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Beispiel

Sei $V=K[x]$ der Polynomraum über einem Körper $K$ und $U:=\left\lbrace \sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}\,{\bigg |}\,n\in \mathbb {N} ,a_{i}\in K\,\,\forall i\in \lbrace 0,\ldots ,n\rbrace \right\rbrace$ der Unterraum der Polynome ohne konstantem Term. Man kann (wie oben) leicht zeigen, dass $B=\left\lbrace x^{i}\,{\bigg |}\,i\in \mathbb {N} _{>}0\right\rbrace$ eine Basis von $U$ ist. Damit sehen wir $\mathrm {dim} (U)=\infty =\mathrm {dim} (V)$. Aber $U\subsetneq V$, da das konstante Polynom $1\in V\setminus U$ ist.

Dimensionsformel

Beweis der Dimensionsformel

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume $U,\,W\subseteq V$ eines $K$-Vektorraums $V$ berechnen lässt.

Satz (Dimensionsformel)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $U,W\subseteq V$ endlich-dimensionale Unterräume. Dann gilt:

$\operatorname {dim} (U+W)=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (W)-\operatorname {dim} (U\cap W)$

Beweis (Dimensionsformel)

Da $U,V$ endlich dimensional sind, sind auch $U+V,U\cap V$ endlich dimensional. Setze $n:=\operatorname {dim} (U\cap W)$. Dann ist $\operatorname {dim} (U),\operatorname {dim} (W)\geq n$. Seien also $k,m\in \mathbb {N}$, sodass $\operatorname {dim} (U)=n+k$, und $\operatorname {dim} (W)=n+m$. Sei zudem $\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n}\rbrace$ eine Basis von $U\cap W$. Da $U\cap W$ Teilraum von $U$ und von $W$ ist, existieren nach dem Basisergänzungssatz Vektoren $u_{1},\ldots ,u_{k}\in U$ und Vektoren $w_{1},\,\ldots ,w_{m}\in W$ , derart dass $\lbrace b_{1},\,\ldots ,b_{n},\,u_{1},\ldots ,u_{k}\rbrace$ eine Basis von $U$ und $\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots w_{m}\rbrace$ eine Basis von $W$ ist.

Wir zeigen nun, dass $B:=\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n},u_{1},\ldots u_{k},\,w_{1},\ldots w_{m}\rbrace$ eine Basis von $U+W$ ist.

Beweisschritt: Als erstes zeigen wir, dass $B$ ein Erzeugendensystem ist.

Dazu zeigen wir, dass ein beliebiger Vektor $a\in U+W$ sich als Linearkombination von Elementen aus $B$ darstellen lässt.

Sei also $a\in U+W$ , damit gibt es ein $u\in U,\,w\in W$ mit $a=u+w$. Da $u$ eine Linearkombination der Basis $\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n},\,u_{1},\ldots ,u_{k}\rbrace$ von $U$ ist, also

$u=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}{\text{ für geeignete }}\lambda _{i},\mu _{j}\in K$

und $v$ eine Linearkombination der Basis $\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\rbrace$ von $W$, also

$w=\sum _{i=1}^{n}\rho _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{m}\sigma _{j}w_{j}{\text{ für }}\rho _{i},\sigma _{j}\in K$

gilt, folgt daraus

$a=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}+\rho _{i})b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{l=1}^{m}\sigma _{l}w_{l}.$

Damit ist $a$ Linearkombination von $\lbrace b_{1},\ldots ,b_{n},\,u_{1},\ldots ,u_{k},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\rbrace$ und $B$ ein Erzeugendensystem von $U+W$.

Beweisschritt: Nun zeigen wir die lineare Unabhängigkeit von $B$.

Seien dazu $\lambda _{i},\mu _{j},\rho _{l}\in K$, mit

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}+\sum _{l=1}^{m}\rho _{l}w_{l}=0$

Wir müssen $\lambda _{i}=\mu _{j}=\rho _{l}=0$ für alle $i,j,k$ zeigen. Setze dafür $v=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}$. Dann gilt $v\in U$ und wegen obiger Voraussetzung

$v=-\sum _{l=1}^{m}\rho _{l}w_{l}.$

Damit ist auch $v\in W$ , also $v\in U\cap W$ .

Damit lässt sich $v$ als Linearkombination der Basis $\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ von $U\cap W$ darstellen und es existieren $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in K$ , derart dass

$v=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}b_{i}.$

Nun gilt weiter

$0=v-v=\sum _{i=1}^{n}(\lambda _{i}-\sigma _{i})b_{i}+\sum _{j=1}^{k}\mu _{j}u_{j}.$

Weil $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,u_{1},\ldots ,u_{k}\}$ eine Basis von $U$, also linear unabhängig ist, folgt

$\lambda _{1}=\sigma _{1},\ldots ,\lambda _{n}=\sigma _{n}{\text{ und }}\mu _{1}=\ldots =\mu _{k}=0.$

Daher ist

$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}b_{i}+\sum _{l=1}^{m}\rho _{l}v_{l}=0.$

Da $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ eine Basis von $W$ ist und die Vektoren damit linear unabhängig sind, gilt

$\lambda _{1}=\ldots \,=\lambda _{n}=0{\text{ und }}\rho _{1}=\ldots =\rho _{m}=0.$

Damit sind alle Koeffizienten Null und die Vektoren $\{b_{1},\ldots ,b_{n},\,u_{1},\ldots ,u_{k},\,w_{1},\ldots ,w_{m}\}$ sind linear unabhängig. $B$ ist somit tatsächlich eine Basis.

Es gilt nun

• $\operatorname {dim} (U+W)=|B|=n+k+m$
• $\operatorname {dim} (U\cap W)=n$
• $\operatorname {dim} (U)=n+k$
• $\operatorname {dim} (W)=n+m$

also ist:

$\operatorname {dim} (U+W)=n+k+m=(n+k)+(n+m)-n=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (V)-\operatorname {dim} (U\cap W).$

Das zeigt die Behauptung.

Als nächstes betrachten wir eine Folgerung aus der Dimensionsformel, die eine Aussage über die Summe von Untervektorräumen trifft. Anschaulich besagt diese, dass das Komplement eines Unterraums in Bezug auf die Dimension den fehlenden "Rest" darstellt.

Satz

Sei $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum und seien $U,W\subseteq V$ Unterräume, mit $U\oplus W=V$. Dann gilt:

$\operatorname {dim} (V)=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (W)$

Beweis

Zunächst sind wegen $U,W\subseteq V$ beide Unterräume endlich-dimensional. Mit der Dimensionsformel folgern wir

$\operatorname {dim} (V)=\operatorname {dim} (U+W)=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (W)-\operatorname {dim} (U\cap W)=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (W)-\operatorname {dim} (\{0\}).$

Wie im oberen Beispiel gezeigt, gilt $\mathrm {dim} (\{0\})=0$ und wir erhalten:

$\operatorname {dim} (V)=\operatorname {dim} (U)+\operatorname {dim} (W)$

Übungsaufgaben zur Dimensionsformel

Aufgabe (Dimensionsformel)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien $U,W\subseteq V$ Untervektorräume von $V$. Weiter gelte $\mathrm {dim} (U)=3$, $\mathrm {dim} (W)=5$, $\mathrm {dim} (V)=7$. Welche Dimension können $U\cap W$ und $U+W$ haben?

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimensionsformel)

Schätze $\mathrm {dim} (U\cap W)$ nach oben ab und wende die Dimensionsformel an.

Lösung (Dimensionsformel)

Es gilt die Dimensionsformel

$\mathrm {dim} (U+W)=\mathrm {dim} (U)+\mathrm {dim} (W)-\mathrm {dim} (U\cap W)$

Weiterhin gilt $\mathrm {dim} (U\cap W)\leq \mathrm {dim} (U)=3$, da $U\cap W$ Untervektorraum von $U$ ist. Es folgt

$\mathrm {dim} (U+W)=\mathrm {dim} (U)+\mathrm {dim} (W)-\mathrm {dim} (U\cap W)=8-\mathrm {dim} (U\cap W)\geq 8-3=5$

Da $U+W\subseteq V$ gilt, erhalten wir außerdem $\mathrm {dim} (U+W)\leq 7$, beide Ergebnisse zusammen ergeben also:

$\mathrm {dim} (U+W)\in \lbrace 5,6,7\rbrace$

Aus der Dimensionsformel schließen wir nun

$\mathrm {dim} (U\cap W)=\mathrm {dim} (U)+\mathrm {dim} (W)-\mathrm {dim} (U+W)=3+5-\mathrm {dim} (U+W)\in \lbrace 1,2,3\rbrace$

Insgesamt erhalten wir:

$\mathrm {dim} (U\cap W)\in \{1,2,3\}\,{\text{und}}\,\mathrm {dim} (U+W)\in \{5,6,7\}.$

Aufgabe (Dimensionsformel)

Betrachte den $\mathbb {Q}$-Vektorraum $V:=\mathbb {Q} ^{4}$ sowie die Unterräume $U:=\operatorname {span} (\{(2,1,0,0)^{T},(1,-1,0,0)^{T}\})$, $W:=\operatorname {span} (\{(1,0,1,0)^{T},(0,1,0,1)^{T}\})$. Zeige, dass $V=U\oplus W$ gilt.

Lösung (Dimensionsformel)

Wir zeigen zunächst $U\cap W=\{0\}$. Sei dafür $v\in U\cap W$, dann gibt es $\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu \in \mathbb {Q}$ mit

$v={\begin{pmatrix}2\alpha +\beta \\\alpha -\beta \\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \\\mu \\\lambda \\\mu \end{pmatrix}}.$

Daraus folgt $\lambda =\mu =0$ und damit $v=0$. Also gilt $U\cap W=\{0\}$.

Aus der Dimensionsformel folgt nun

$\mathrm {dim} (U+W)=\mathrm {dim} (U)+\mathrm {dim} (W)-\mathrm {dim} (U\cap W)=2+2-0=4=\mathrm {dim} (V).$

Mit dem obigen Satz über Eigenschaften der Dimension folgt daraus $V=U+W$. Zusammen ergibt sich $V=U\oplus W$.