Vektorraum: Summe von Unterräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

NotationBearbeiten

In diesem Artikel sei   ein Körper und   ein  -Vektorraum.

Wir bezeichnen Unterräume von   oft mit   und  .

MotivationBearbeiten

Sei   ein  -Vektorraum. Wir wissen bereits, dass der Schnitt beliebiger Untervektorräume von   wieder ein Untervektorraum ist.

Wir haben aber auch gesehen, dass Vereinigungen von Untervektorräumen nicht zwingend wieder Untervektorräume ergeben. Das sehen wir auch in folgendem Beispiel:

Beispiel (Vereinigung von Unterräumen ist kein Unterraum)

Sei  .

Dann finden wir zwei Unterräume   und  .

Aber   ist kein Untervektorraum: Um dies zu sehen, nehmen wir die Vektoren   und  . Insbesondere sind  . Aber  .

Wir sehen also, dass in der Vereinigung einige Vektoren "fehlen", um wieder einen Unterraum zu bilden. Daher können wir uns die Frage stellen, welche Vektoren wir zu der Vereinigung hinzufügen müssen, um wieder einen Unterraum zu erhalten.

Eine erste Überlegung wäre, einfach den kleinsten Unterraum zu nehmen, der die Vereinigung   enthält. Doch was bedeutet "der kleinste" in diesem Kontext? Unterräume sind insbesondere Teilmengen von  , können somit mittels der Inklusion partiell verglichen werden. Der kleinste Unterraum, der   enthält, sollte also darüber definiert sein, dass er Teilmenge von jedem anderen Unterraum mit dieser Eigenschaft ist.

Es stellen sich die Fragen:

  • Existiert ein solcher Unterraum?
  • Falls ja, ist er eindeutig? Dann macht es Sinn, von dem kleinsten Unterraum zu reden.

Für die erste Frage können wir uns überlegen, welche Unterräume überhaupt   enthalten. Da   Teilmengen sind, ist   selbst ein solcher Unterraum. Angenommen, wir haben noch mehr solcher Unterräume, dann enthält auch ihr Schnitt wieder  . Daher könnten wir als Kandidaten einfach den Schnitt   aller solcher Unterräume verwenden. Wir haben bereits gesehen, dass dies wieder einen Unterraum ergibt. Außerdem enthält er immer noch  . Dieser Schnitt macht immer Sinn, da mit   ja zumindest ein solcher Unterraum gegeben ist. Offenbar ist   der kleinste Unterraum, der   enthält: Wenn nun   ein weiterer solcher Unterraum ist, dann schneiden wir insbesondere auch über  . Also gilt  .

Die Antwort auf die erste Frage liefert auch sofort die Antwort auf die zweite: Ein anderer Kandidat   ist automatisch eine Obermenge von  . Wenn aber   eine echte Obermenge von   wäre, dann wäre er nicht der kleinste. Also gilt  .

Diese Motivation führt uns zur folgenden Definition:

Definition und Existenz der SummeBearbeiten

Definition (Direkte Summe von zwei Unterräumen)

Seien   zwei Unterräume. Die Summe   ist definiert als der Schnitt aller Unterräume   mit  . In Formeln bedeutet dies:

 

Es ist klar, dass die Summe als Menge immer existiert und eine Teilmenge von   ist. Wir wissen auch aus dem letzten Artikel, dass   als Schnitt von Unterräumen wieder einen Unterraum bildet. Die Summe von zwei Untervektorräumen   ist genau der kleinste Untervektorraum von  , der sowohl   als auch   enthält, weil für jeden Untervektorraum   mit der Eigenschaft   gilt (nach Definition der Summe als Schnitt über alle Untervektorräume die   enthalten.):  . Im Folgenden werden wir noch eine alternative Charakterisierung der Summe herleiten, die auch die Bezeichnung als Summe erklärt.

Eigenschaften der SummeBearbeiten

Wir wollen im Folgenden einige Eigenschaften der Summe von Unterräumen untersuchen.

Satz (Die Summe enthält   und  )

Es gilt   und  .

Beweis (Die Summe enthält   und  )

Nach Konstruktion gilt  . Insbesondere ist also  .

Satz (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Seien   Untervektorräume von   mit   und  . Dann gilt  .

Beweis (Die Summe ist inklusionserhaltend)

Wir wollen verwenden, dass   der kleinste Untervektorraum von   ist, der   und   enthält. Da   ein Unterraum von   ist, reicht es also zu zeigen, dass   die beiden Unterräume   und   enthält. Es gilt aber   und  . Die jeweils erste Inklusion gilt nach Voraussetzung, die jeweils zweite wurde oben gezeigt.

Satz (Absorption)

Falls  , so gilt  .

Beweis (Absorption)

Wir haben oben ganz allgemein gezeigt, dass  . Andererseits ist   ein Untervektorraum von  , der sowohl   als auch   enthält. Da die Summe der kleinste Unterraum ist, der   und   enthält (siehe oben), gilt  .

Äquivalente CharakterisierungBearbeiten

Unsere Definition der Summe ist zwar anschaulich, leider aber in einigen Fällen unpraktisch, um damit zu arbeiten. Der Grund dafür ist, dass wir im Allgemeinen über unendlich viele Unterräume schneiden, die selbst nur schwer zu bestimmen sind. Es ist deshalb schwierig, die Elemente der Summe explizit anzugeben, beziehungsweise zu prüfen, ob ein gegebenes Element aus unserem Vektorraum in der Summe zweier Unterräume enthalten ist. Daher wollen wir uns nun eine alternative Charakterisierung der Summe überlegen. Mithilfe dieser Charakterisierung ist es sehr viel leichter möglich, die Summe zweier Vektorräume explizit zu berechnen. Außerdem motiviert sie auch die Bezeichnung Summe. Wir haben oben gesehen, dass die Vereinigung von Untervektorräumen im Allgemeinen kein Untervektorraum ist. Das liegt daran, dass Summen von Elementen der beiden Untervektorräume   und   nicht unbedingt in der Vereinigung enthalten sind. Wir wissen aber, dass zumindest alle Summen der Form   mit   und   in der Summe   enthalten sein müssen, weil die Summe ein Untervektorraum ist (der kleinste) und   und  . Wir können uns die Frage stellen, ob die Menge dieser Elemente schon ein Untervektorraum ist. Dann wäre sie gleich der Summe. Das liegt daran, dass die Summe ja per Definition der kleinste Untervektorraum ist, der   und   enthält. Tatsächlich ist die Menge der Summen der Form   ein Untervektorraum. Das wollen wir nun beweisen.

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Die Summe von   ist die Menge aller Vektoren der Form   mit   und  . In Formeln bedeutet dies:

 

Beweis (Äquivalente Charakterisierung der Summe)

Im Folgenden sei  .

Beweisschritt:  

Wir müssen zeigen, dass   ein Unterraum ist, der   enthält. Dann folgt bereits aus der Definition, dass   Teilmenge der rechten Seite ist.

Wir zeigen zunächst, dass   in   enthalten ist. Dass   in   enthalten ist, folgt analog. Sei also  . Da   ein Untervektorraum ist, liegt  . Also ist  .

Beweisschritt:  

Da   und   Untervektorräume sind, gilt   und  . Also gilt  .

Beweisschritt:   ist abgeschlossen unter der Addition

Seien  . Wir müssen zeigen, dass  . Nach Definition von   existieren   und  , sodass   und  . Dann gilt  .

Beweisschritt:   ist abgeschlossen unter der Skalarmultiplikation

Seien   und  . Wir müssen zeigen, dass  . Nach Definition von   existieren   und  , sodass  . Dann gilt  .

Beweisschritt:  

Wir müssen zeigen: jeder Untervektorraum   von  , der   und   enthält, enthält auch  .

Sei also   solch ein Unterraum. Sei  . Dann gibt es   und   mit  .

Insbesondere gilt  . Da   ein Untervektorraum ist, gilt  .

Damit haben wir gezeigt:  .

BeispieleBearbeiten

Beispiel (Ebenen im  )

Sei   und  . Wir betrachten als Untervektorräume   und   die xy- und die yz-Ebene. Genauer gilt also   und  . Wir wollen zeigen, dass dann die Summe   gleich   ist.

Wir wissen bereits aus der Definition, dass  .

Sei andererseits  . Das können wir schreiben als  . Also gilt auch  .

Wir sehen hier, dass die Darstellung in der Summe nicht eindeutig ist. Wir hätten nämlich auch schreiben können:  .

To-Do:

weitere Beispiele finden

AufgabenBearbeiten

Aufgabe (Die Summe ist kommutativ)

Zeige, dass  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist kommutativ)

Wir wissen, dass die Addition in   per Definition kommutativ ist. Die äquivalente Charakterisierung der Summe verwendet die Addition in  . Es macht also Sinn, die Charakterisierung zu nutzen.

Lösung (Die Summe ist kommutativ)

Wir zeigen, dass  . Die andere Inklusion folgt indem man die Rollen von   und   vertauscht.

Sei dazu  . Daher existieren   sodass  . Da die Addition in   kommutativ ist, folgt  .

Alternativ können wir auch die Definition von   als Schnitt der Unterräume   von  , die   und   enthalten, verwenden. Die Bedingung an die Unterräume   ist unabhängig von der Reihenfolge von   und  . Somit ist  .

Aufgabe (Die Summe ist assoziativ)

Zeige, dass  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Summe ist assoziativ)

Wir wissen, dass die Addition in   per Definition assoziativ ist. Die äquivalente Charakterisierung der Summe verwendet die Addition in  . Es macht also Sinn, die Charakterisierung zu nutzen.

Lösung (Die Summe ist assoziativ)

Wir müssen nur   zeigen. Die andere Inklusion folgt dann aus der oben gezeigten Kommutativität und Vertauschung der Rollen.

Sei also  . Dann gibt es ein   und ein   sodass  .

Da   existeren wiederum ein   und ein  , sodass  .

Wir haben also insgesamt  .

Aufgabe (Der Nullvektorraum ist das neutrale Element der Summe)

Zeige, dass   für alle Unterräume   von  . Hierbei ist   der triviale Untervektorraum von  .

Lösung (Der Nullvektorraum ist das neutrale Element der Summe)

Dies folgt sofort aus der Absorptionseigenschaft oben mit   und  .

Hinweis

Mit den letzten drei Aufgaben haben wir gezeigt, dass die Menge der Untervektorräume von   zusammen mit der Summe von Untervektorräumen einen abelschen Monoiden bilden. Das ist sehr interessant, wenngleich völlig nutzlos.

To-Do:

Summe ist strukturrerhaltende Vereinigung, Zusammenführung von Information, Erhöhung des Freiheitsgrades

Beispiele: Farbmischung, Die von den einzelnen Saiten einer Gitarre erzeugbaren Tonarten als Unterräume der Gesamtheit (aller von der Gittare erzeugbaren) Tonarten. In der Summe können auch Überlagerungen der Ausgangszustände vorkommen. Idee: Stukturerhaltende Vereinigung,Überlagerung der Grundzustände.