Spann, Erzeugnis, lineare Hülle – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“
In der linearen Algebra ist das Erzeugnis einer Teilmenge eines Vektorraums über einem Körper die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus und Skalaren aus . Das Erzeugnis wird oft auch die lineare Hülle von oder der Spann von genannt.
Das Erzeugnis bildet einen Untervektorraum des Vektorraums . Dieser ist der kleinste Untervektorraum, der enthält.
Wir betrachten den uns wohl bekannten Vektorraum und beschränken uns zunächst auf die -Ebene. Das heißt, auf die Menge aller Vektoren der Form mit :
Jeder Vektor dieser Ebene lässt sich als Linearkombination der Vektoren und darstellen:
Mit der Menge dieser Linearkombinationen kann jeder Punkt der -Ebene erreicht werden. Außerdem liegen die beiden Vektoren und selbst in der -Ebene.
Darüber hinaus liegen alle Linearkombination der beiden Vektoren und in der -Ebene. Das liegt daran, dass die -Komponente der beiden betrachteten Vektoren ist und damit auch die dritte Komponente der Linearkombination der Vektoren immer betragen muss.
Zusammenfassend können wir festhalten: Jeder Vektor der -Ebene ist eine Linearkombination von und . Jede Linearkombination dieser beiden Vektoren ist auch ein Element dieser Ebene. Wir können auch sagen, die Vektoren und spannen die -Ebene auf. Oder: Die beiden Vektoren erzeugen die betrachtete Ebene.
Die -Ebene stellt einen Untervektorraum des Vektorraums dar. Diesen Untervektorraum nennen wir . Unsere beiden Vektoren spannen die Ebene auf. Also schreiben wir
Wir sagen, „ ist das Erzeugnis der beiden Vektoren und “. Oft schreibt man auch „ ist die lineare Hülle der beiden Vektoren und “ oder „ ist der Spann der beiden Vektoren und “.
Es stellt sich nun die Frage: Sind diese erzeugenden Vektoren eindeutig? Nein, denn die Ebene lässt sich auch durch die beiden Vektoren und aufspannen, denn
Es gilt also auch
Somit sind die beiden Vektoren, die wir für die Beschreibung unserer Ebene benötigen, nicht zwingend eindeutig.
Intuitiv können wir uns das Erzeugnis von Vektoren als die Menge aller möglichen Linearkombinationen vorstellen, die man aus diesen Vektoren bilden kann. In unserem Beispiel bedeutet das
Eine weitere Intuition ist: Das Erzeugnis einer Menge beschreibt den Vektorraum, bei dem alle die Richtungen, die durch Elemente aus repräsentiert werden, zu einem Vektorraum zusammengeführt werden.
Wir untersuchen nun noch ein etwas komplizierteres Beispiel: Betrachten wir den Vektorraum der Polynome über . Sei . Die Elemente aus sind die Monome , , , usw. Also alle Monome, die einen geraden Exponenten besitzen. Zum Beispiel ist . Wir betrachten , die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus . Zum Beispiel ist
ein Element in . Wir überlegen uns, dass ein Untervektorraum von ist.
Die Menge ist nicht leer. Denn z.B. ist .
Betrachten wir nun zwei Polynome . Nach Konstruktion von bestehen und ausschließlich aus Monomen mit einem geraden Exponenten. Somit ergibt sich bei der Addition von und ebenfalls ein Polynom mit ausschließlich geraden Exponenten. Die Menge ist also abgeschlossen bzgl. der Addition.
Das gleiche Argument liefert uns Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation. Somit ist die Menge ein Untervektorraum des Vektorraums aller Polynome. Wie wir später noch sehen werden, ist es sogar der kleinste Untervektorraum, welcher enthält.
Wir haben uns schon überlegt, dass das Erzeugnis einer Menge die Menge aller Linearkombinationen mit Vektoren aus ist. Intuitiv ist das Erzeugnis der Untervektorraum, der sich aus dem Zusammenschluss aller Richtungen ergibt, die durch Vektoren aus gegeben sind.
Definition (Erzeugnis oder Spann)
Sei ein Vektorraum über dem Körper . sei eine nicht-leere Menge. Das Erzeugnis von definieren wir als die Menge aller Vektoren aus , welche sich als eine endliche Linearkombination von Vektoren aus darstellen lassen und bezeichnen sie als :
Für die leere Menge definieren wir:
Alternativ kann man das Erzeugnis einer Menge auch Spann oder lineare Hülle nennen.
Hinweis
Die Summe hat immer nur endlich viele Summanden, selbst wenn M unendlich ist.
Hinweis
Gelegentlich wird für das Erzeugnis auch die Schreibweise verwendet. Die Schreibweise hat den Vorteil, dass hierbei deutlich wird, über welchen Körper der Vektorraum definiert ist. Es macht nämlich einen Unterschied, welchen Körper wir zu Grunde legen. Zum Beispiel für gilt, dass , aber . Es kann gezeigt werden, dass und .
Für einen Vektor gilt . Für den Nullvektor besteht das Erzeugnis wieder nur aus dem Nullvektor, also . Gilt , dann ist genau die Menge der Elemente, die auf der Ursprungsgeraden zu dem Richtungsvektor liegen.
Da und ein Element im Erzeugnis jeder Menge ist, gilt .
Damit können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraussetzen, dass . Wir betrachten ein beliebiges Element . Nach der Definition des Erzeugnisses existieren Vektoren und derart, dass . Wegen gilt für alle mit , dass . Dann ist auch . Folglich gilt .
Hinweis
Die Umkehrung obigen Satzes gilt im Allgemeinen nicht! Damit meinen wir: Aus folgt im Allgemeinen nicht.
Ein mögliches Gegenbeispiel hierfür ist:
Dann ist:
Also ist , da wir in beiden Fällen genau die Vielfachen des Vektors erhalten. Da die beiden Teilmengen gleich sind, gilt insbesondere , aber . Daher kann die Umkehrung des Satzes im Allgemeinen nicht gelten.
Sonst sei beliebig. Dann lässt sich durch darstellen. Insbesondere ist als skalares Produkt eine Linearkombination mit einem Summanden aus . Damit gilt , da alle Linearkombinationen von Elementen aus enthält.
Satz (Das Erzeugnis von ist kleinster Untervektorraum von )
Sei ein -Vektorraum und sei .
Dann ist der kleinste Untervektorraum von , der enthält.
Beweis (Das Erzeugnis von ist kleinster Untervektorraum von )
Wir wissen bereits, dass ein Untervektorraum ist. Nun zeigen wir, dass der kleinste Untervektorraum ist, der enthält.
Wenn ist, gilt die Behauptung offenbar, da dann ist.
Sei ein Untervektorraum von , der enthält. Unser Ziel ist es, zu zeigen, dass ist. Denn dann ist der Unterraum kleiner gleich jedem anderen Unterraum , der enthält.
Ist nun , dann gibt es und , so dass ist.
Da ein Untervektorraum ist und , sind auch alle Linearkombinationen der in enthalten. Daraus folgt unsere Behauptung, dass .
Nachdem wir einige Eigenschaften des Erzeugnisses kennengelernt haben, wollen wir in diesem Abschnitt beispielhaft darstellen, wie wir nachweisen können, ob ein Vektor eines Vektorraums innerhalb des Erzeugnisses einer Teilmenge dieses Vektorraums liegt oder nicht. Wir werden feststellen, dass wir, um diese Frage beantworten zu können, ein lineares Gleichungssystem lösen müssen.
Beispiel (Ebene und Ursprungsgerade)
Sehen wir uns zu Beginn ein einfaches Beispiel aus dem an. Wir betrachten die Ursprungsgerade mit der einelementigen Teilmenge der Ebene . Die Fragestellung lautet nun, ob der Vektor im Erzeugnis von liegt. Man kann sofort sehen, dass
gilt. In anderen Worten
Rein formal liegt die Aufgabe im Lösen eines Gleichungssystems. In unserem einfachen Beispiel also konkret darin, ob es uns gelingt ein zu finden, derart, dass
Aus dieser Gleichung gewinnen wir das lineare Gleichungssystem
mit der offensichtlichen Lösung .
Beispiel (Polynome)
Untersuchen wir nun ein Beispiel, dessen Lösung nicht auf den ersten Blick ersichtlich ist. Dafür betrachten wir die Teilmenge der Monome und das Polynom . Wir wollen zeigen, dass das Polynom nicht im Erzeugnis von liegt. Dazu genügt es nachzuweisen, dass nicht als Linearkombination der Monome von dargestellt werden kann. Das können wir sehen, indem wir das Polynom umformen zu
Wir sehen, dass ein Summand das Monom enthält, dieses Monom ist aber nicht in enthalten. Damit liegt das Polynom nicht im Erzeugnis der Menge .
Beispiel (Vektoren aus dem )
Wir betrachten die Teilmenge des und wollen beweisen, dass der Vektor . Dafür müssen zeigen, dass es Koeffizienten gibt, derart, dass
Aus dieser Darstellung erhalten wir das lineare Gleichungssystem