Vereinigung und Durchschnitt von Vektorräumen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Motivation

Wir kennen verschiedene Operationen, um aus gegebenen Mengen eine neue Menge zu konstruieren. Ist $(U_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Mengen, so können wir zum Beispiel den Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}U_{i}$ oder die Vereinigung $\bigcup _{i\in I}U_{i}$ bilden. Angenommen, die $U_{i}$ sind außerdem Untervektorräume eines größeren Vektorraums $V$. Das heißt, die $U_{i}$ sind nichtleere Teilmengen von $V$, die abgeschlossen unter Addition und skalarer Multiplikation sind. Sind der Durchschnitt und die Vereinigung der $U_{i}$ dann ebenfalls Untervektorräume von $V$?

Durchschnitt von Untervektorräumen

Ist der Schnitt von Unterräumen eines Vektorraums wieder ein Unterraum? Um diese Frage zu beantworten betrachten wir zunächst den Fall von zwei Unterräumen und schauen uns Beispiele im $\mathbb {R} ^{3}$ an.

1. Betrachten wir zunächst die beiden Ebenen $U_{1}=\operatorname {span} \{(2,1,0)^{T},(0,0,1)^{T}\}$ und $W=\operatorname {span} \{(0,2,0)^{T},(0,0,-1)^{T}\}$ (die y-z-Ebene). Im Bild sehen wir, dass ihr Schnitt die z-Achse $\operatorname {span} \{(0,0,1)^{T}\}$, also ein Unterraum von $\mathbb {R} ^{3}$ ist.
2. Das zweite Bild zeigt, dass der Schnitt der Geraden $U_{2}=\operatorname {span} \{(0,1,2)^{T}\}$ mit der y-z-Ebene $W$ ebenfalls eine Gerade ist, und zwar $U_{2}$.
3. Schneiden wir die y-z-Ebene $W$ stattdessen mit der Geraden $U_{3}=\operatorname {span} \{(1,1,1)^{T}\}$, so sehen wir, dass der Durchschnitt nur die Null enthält. Auch das ist ein Unterraum von $\mathbb {R} ^{3}$.

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  Schnitt zweier Ebenen
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  Schnitt einer Ebene mit einer Geraden
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  Schnitt einer Ebene mit einer Geraden

In den Beispielen ist der Durchschnitt der beiden Unterräume also stets wieder ein Unterraum von $\mathbb {R} ^{3}$. Wir zeigen jetzt, dass das auch für allgemeine Unterräume eines beliebigen Vektorraums gilt.

Satz (Durchschnitt von Vektorräumen)

Seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume eines Vektorraums $V$. Der Durchschnitt $U\cap W=\{v\in V:v\in U\land v\in W\}$ von $U$ und $W$ ist ein Untervektorraum von $V$.

Beweis (Durchschnitt von Vektorräumen)

Zum Beweis müssen wir die drei Unterraumkriterien nachweisen:

Beweisschritt: $U\cap W$ ist nicht leer

Da $U$ und $W$ Unterräume sind, gilt $0_{V}\in U$ und $0_{V}\in W$. Es folgt $0_{V}\in U\cap W$, also ist $U\cap W\neq \emptyset$.

Beweisschritt: $U\cap W$ ist abgeschlossen unter Addition.

Seien nun $v,w\in U\cap W$ beliebig. Dann gilt $v,w\in U$ und $v,w\in W$. Da die Unterräume $U$ und $W$ abgeschlossen unter Addition sind, folgt $v+w\in U$ und $v+w\in W$. Damit ist auch $v+w\in U\cap W$.

Beweisschritt: $U\cap W$ ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Seien $\lambda \in K$ und $v\in U\cap W$ beliebig. Dann gilt $v\in U$ und $v\in W$. Da die Unterräume $U$ und $W$ abgeschlossen unter Skalarmultiplikation sind, folgt $\lambda \cdot v\in U$ und $\lambda \cdot v\in W$. Damit ist auch $\lambda \cdot v\in U\cap W$.

Hinweis

Wir haben gesehen, dass $U\cap W$ ein Unterraum von $V$ ist. Wegen $U\cap W\subseteq U$ ist der Durchschnitt zudem ein Unterraum $U$. Daraus folgt $\dim(U\cap W)\leq \dim(U)$. Analog folgt $\dim(U\cap W)\leq \dim(W)$ aus $U\cap W\subseteq W$. Das ergibt intuitiv Sinn: Wenn wir einen Unterraum mit einem anderen schneiden, kann seine Dimension unmöglich größer werden.

Wir haben gezeigt, dass der Schnitt von zwei Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Im Beweis ist es aber an keiner Stelle relevant, dass es sich nur um zwei oder um endlich viele Unterräume handelt. In der Tat gilt die Aussage für beliebige Familien von Unterräumen.

Aufgabe (Beliebiger Durchschnitt von Vektorräumen)

Sei $I$ eine beliebige Indexmenge und $(U_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Untervektorräumen eines Vektorraums $V$. Dann ist der Durchschnitt $\bigcap _{i\in I}U_{i}$ ein Untervektorraum von $V$.

Lösung (Beliebiger Durchschnitt von Vektorräumen)

Sei $i\in I$ und seien $U_{i}$ Untervektorräume des $K$-Vektorraums $V$. Der Schnitt $U:=\bigcap _{i\in I}U_{i}$ aller Vektorräume $U_{i}$ ist wieder ein Vektorraum.

Beweisschritt: $U$ ist nicht leer.

Da die $U_{i}$ Untervektorräume sind, ist $0\in U_{i}$ für alle $i\in I$ und damit ist $0\in U$. Somit ist $U$ nicht leer.

Beweisschritt: $U$ ist abgeschlossen unter Addition.

Seien $v,w\in U$. Dann gilt $v,w\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Weil alle $U_{i}$ Vektorräume sind, gilt die Abgeschlossenheit der Addition und es ist $v+w\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Damit ist $v+w\in U$.

Beweisschritt: $U$ ist abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Seien $w\in U$ und $\lambda \in K$. Dann gilt $w\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Da alle $U_{i}$ Vektorräume sind, gilt die Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation und es ist $\lambda \cdot w\in U_{i}$ für alle $i\in I$. Damit ist auch $\lambda \cdot w\in U$.

Vereinigung von Untervektorräumen

Ist die Vereinigung von Unterräumen eines Vektorraums wieder ein Vektorraum? Betrachten wir zunächst ein Beispiel.

Beispiel (Koordinatenachsen sind kein Untervektorraum)

Sei $V=\mathbb {R} ^{2}$. Als Unterräume wählen wir die Koordinatenachsen $U=\operatorname {span} \{(1,0)^{T}\}$ und $W=\operatorname {span} \{(0,1)^{T}\}$. Ihre Vereinigung ist das Achsenkreuz in $\mathbb {R} ^{2}$. Anhand des Bildes können wir schon vermuten, dass es sich dabei nicht um einen Untervektorraum von $\mathbb {R} ^{2}$ handelt: Es gibt zwei "Richtungen", gleichzeitig ist $U\cup W$ aber nicht die zwei-dimensionale Ebene. Und in der Tat sind die beiden Vektoren $(1,0)^{T}$ und $(0,1)^{T}$ in $U\cup W$, aber ihre Summe $(1,1)^{T}$ liegt nicht in der Vereinigung. Also ist $U\cup W$ kein Unterraum.

Vereinigung von zwei Geraden im zweidimensionalen reellen Raum

Wir sehen also, dass die Vereinigung von zwei Unterräumen im Allgemeinen kein Unterraum ist. Ist das immer der Fall?

Beispiel (Vereinigung von Unterräumen ist Unterraum)

Wir betrachten die beiden Unterräume $U=\operatorname {span} \{(1,1,2)^{T}\}$ und $V=\operatorname {span} \{(0,1,1)^{T},(1,0,1)^{T}\}$ von $\mathbb {R} ^{3}$. Wegen $(1,1,2)^{T}=(0,1,1)^{T}+(1,0,1)^{T}\in V$ ist $U\subseteq V$. Also gilt $U\cup V=V$ und die Vereinigung der beiden Unterräume ist wieder ein Unterraum.

Vereinigung von einer Geraden mit einer Ebene im dreidimensionalen reellen Raum

Die Vereinigung von zwei Unterräumen ist also in manchen Fällen, aber nicht immer, ein Unterraum. Im Beispiel war $U$ in $W$ enthalten, sodass $U\cup W=W$ ein Unterraum war. Das funktioniert immer: Sind zwei Unterräume gegeben und ist einer davon im anderen enthalten, dann ist die Vereinigung gleich dem größeren der beiden, also wieder ein Unterraum.

Das ist der einzige Fall, in dem die Vereinigung von zwei Unterräumen wieder ein Unterraum ist, wie anhand des ersten Beispiels mit den Koordinatenachsen anschaulich klar wird: Gilt $U\nsubseteq W$ und $W\nsubseteq U$, dann wird die Vereinigung nicht abgeschlossen unter Addition sein. Denn es gibt dann zwei Vektoren $u,w$ mit $u\in U\setminus W$ und $w\in W\setminus U$. Die Summe $u+w$ enthält dann einen Anteil, der nicht in $U$ liegt, und kann deshalb nicht in $U$ liegen: Andernfalls wäre auch $w=u+w-u\in U$. Ebenso begründet man $u+w\notin W$.

Wir haben also folgendes Kriterium dafür, wann die Vereinigung von zwei Unterräumen ein Unterraum ist.

Satz (Bedingung dafür, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist)

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume von $V$. Dann ist $U\cup W$ genau dann ein Untervektorraum von $V$, wenn $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$ gilt.

Beweis (Bedingung dafür, dass die Vereinigung von zwei Vektorräumen wieder ein Vektorraum ist)

Beweisschritt: Ist $U\cup W$ ein Untervektorraum von $V$, dann gilt $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$.

Wir zeigen die Aussage per Kontraposition: Angenommen, es gilt weder $U\subseteq W$ noch $W\subseteq U$. Wir zeigen, dass $U\cup W$ dann kein Unterraum von $V$ ist. Dafür finden wir zwei Elemente $u,w\in U\cup W$, sodass $u+w\notin U\cup W$:

Wegen $U\nsubseteq W$ gibt es ein Element $u\in U$, das nicht in $W$ enthalten ist. Ebenso gibt es wegen $W\nsubseteq U$ ein $w\in W$, das nicht in $U$ enthalten ist.

Dann gilt $u,w\in U\cup W$. Aber die Summe $u+w$ liegt weder in $U$ noch in $W$: Wäre $u+w\in U$, dann wäre auch $w=(u+w)+(-u)\in U$, im Widerspruch zur Wahl von $w$. Hierbei haben wir benutzt, dass wegen $u\in U$ auch $-u\in U$ gilt und dass $U$ als Unterraum abgeschlossen unter Addition ist. Genauso sieht man ein, dass $u+w$ nicht in $W$ liegt.

Also gilt $u+w\notin U\cup W$. Damit ist die Vereinigung $U\cup W$ nicht abgeschlossen unter Addition, also kein Unterraum.

Beweisschritt: Ist $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$, so ist $U\cup W$ ein Vektorraum.

Gilt $W\subseteq U$, so ist $U\cup W=U$, also ist die Vereinigung ein Unterraum. Analog folgt aus $U\subseteq W$, dass $U\cup W=W$ ein Unterraum ist.

Der Beweis des Satzes zeigt, dass die Eigenschaft, ein Unterraum zu sein, an der Addition scheitert. Die skalare Multiplikation auf $V$ war im Beweis nicht relevant. Tatsächlich ist $U\cup W$ stets unter skalarer Multiplikation abgeschlossen, selbst wenn sich bei der Vereinigung nicht um einen Untervektorraum handelt: Ist $\lambda \in K$ und $x\in U\cup W$, etwa $x\in U$, dann gilt $\lambda x\in U\subseteq U\cup W$, da $U$ als Unterraum abgeschlossen unter skalarer Multiplikation ist. Der Fall $x\in W$ ist analog.

Da $V$ ein Vektorraum und $U,W$ Unterräume sind, bildet $(V,+)$ eine Gruppe und $(U,+),(W,+)$ Untergruppen. Wir haben also effektiv gezeigt: $U\cup W$ ist genau dann eine Untergruppe von $V$, wenn $U\subseteq W$ oder $W\subseteq U$ gilt. Es gibt eine allgemeinere Aussage über (nicht notwendigerweise kommutative) Gruppen. Der Beweis ist ganz analog zu dem Beweis für Unterräume, den wir oben geführt haben.

Satz (Vereinigung von Untergruppen)

Seien $G$ eine Gruppe und $U,H$ Untergruppen. Dann ist $U\cup H$ genau dann eine Untergruppe von $G$, wenn $U\subseteq H$ oder $H\subseteq U$ gilt.

Die Vereinigung von Unterräumen $U$ und $W$ ist zwar im Allgemeinen kein Unterraum. Man kann aber den kleinsten Unterraum definieren, welcher $U\cup W$ enthält. Dieser Unterraum ist die Summe $U+W$.