Kern einer linearen Abbildung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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To-Do:

Wir haben schon im Artikel Monomorphismus den Kern definiert. Hier sollten wir auch darauf eingehen, dass wir den Kern schon definiert haben, damit Leser*innen nicht verwirrt sind, warum wir den Kern mehrmals definieren.

MotivationBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Kern einer linearen Abbildung enthält wichtige Informationen über diese Abbildung. Beim Kern handelt es sich um das Urbild des Nullvektors.

Definition (Kern einer linearen Abbildung)

Es seien   und   zwei  -Vektorräume und   linear. Dann nennen wir   den Kern von  .

Warum ist es wichtig, sich mit dem Kern zu beschäftigen?Bearbeiten

Die linearen Abbildungen werden auch "strukturerhaltende Abbildungen" zwischen Vektorräumen genannt. Durch sie kann man Vektorräume miteinander in Beziehung setzen und ihre strukturellen Eigenschaften vergleichen. Dabei interessieren uns zum Beispiel die Unterstrukturen, die durch eine lineare Abbildung sichtbar werden. Beispiele dafür sind der Kern und das Bild der linearen Abbildung, welche Untervektorräume des Start- bzw. Zielvektorraums sind. Später werden wir den Kern und das Bild noch mit den Dimensionen des Start- und Zielvektorraums in Beziehung setzen und durch lineare Abbildungen neue Informationen über diese Dimensionen gewinnen.

Analog zum Kern eines Vektorraumhomomorphismus wird auch bei anderen algebraischen Strukturen der Kern von strukturerhaltenden Abbildungen untersucht. Der Begriff "Kern" wird dir daher später noch an anderen Stellen in der Mathematik mit einer sehr ähnlichen Bedeutung wieder begegnen.

Daneben macht der Kern eine Aussage über die lineare Abbildung selbst. An ihm kann man zum Beispiel erkennen, ob eine Abbildung injektiv ist. Man nennt die lineare Abbildung dann auch einen Monomorphismus.

Der Kern ist ein Untervektorraum Bearbeiten

Wir zeigen jetzt, dass der Kern einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Startvektorraums ist:

Satz

Es sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Dann ist   ein Untervektorraum von  .

Beweis

Um die Behauptung zu überprüfen, müssen wir vier Dinge zeigen:

  1.  
  2.  
  3. Für alle   gilt  .
  4. Für alle   und für alle   gilt  .

Beweisschritt:  

Die erste Behauptung folgt direkt aus der Definition.

Beweisschritt:  

Da   linear ist, wissen wir, dass für alle   und alle   gilt:  . Insbesondere gilt dann auch

 

Also ist   und damit ist der Kern von   nicht leer.

Beweisschritt:   gilt  .

Nun zeigen wir den dritten Punkt. Es gilt für alle  , dass

 

Damit ist auch   im Kern von  .

Beweisschritt:   und   gilt  .

Der vierte Schritt funktioniert analog zum dritten Schritt. Für alle   und alle   gilt

 

Das heißt, dass  .

Zusammenhang Injektivität und KernBearbeiten

Betrachten wir nun eine lineare Abbildung  , wobei   und   zwei  -Vektorräume sind. Angenommen, wir wissen, dass der Kern von   mehr als ein Element hat. Können wir eine Aussage darüber treffen, ob die Abbildung   injektiv ist?

Ja. Wenn der Kern von   mehr als ein Element enthält, dann gibt es zwei verschiedene Elemente   und   von  , so dass   sind. Per Definition des Kerns ist dann   und folglich ist   nicht injektiv, da zwei verschiedene Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden.

Nun wissen wir bereits, dass der Kern von   mindestens das neutrale Element   des Startvektorraums enthalten muss. Gerade haben wir gezeigt, dass jede lineare Abbildung mit mehr als einem Element im Kern nicht injektiv ist. Gleich werden wir auch die Umkehrung zeigen, also: Wenn der Kern nur ein Element besitzt, muss die Abbildung injektiv sein. Das fassen wir zusammen im folgenden Satz:

Satz (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Seien   und   zwei  -Vektorräume und sei   linear. Dann ist   genau dann injektiv, wenn   ist. Insbesondere ist   genau dann injektiv, wenn  .

Zusammenfassung des Beweises (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Für den Satz müssen wir zwei Richtungen zeigen:

  • Wenn   injektiv ist, dann ist  .
  • Aus   folgt, dass   injektiv ist.

Die erste Richtung kann mit einem direkten Beweis gezeigt werden. Für die andere Richtung müssen wir zeigen, dass für beliebige   und   mit   folgt  , wenn  . Wenn wir nun wissen, dass für   schon   gilt, was gilt dann für  ? Und was bedeutet das für  ? Außerdem benutzen wir, dass nur Vektorräume der Form   die Dimension Null haben.

Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Beweisschritt: Wenn   injektiv ist, dann ist  .

Nehmen wir zunächst an, dass   injektiv ist. Wir wissen bereits, dass   ist. Da   injektiv ist, kann kein anderer Vektor auf   abgebildet werden (bei injektiven Funktionen wird maximal ein Argument auf einen Funktionswert abgebildet). Damit ist  , denn der Kern ist ja definiert als die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Beweisschritt: Aus   folgt, dass   injektiv ist.

Sei  . Um zu zeigen, dass   injektiv ist, betrachten wir zwei Vektoren   und   aus   mit  . Dann ist

 

Also ist  . Da wir angenommen haben, dass  , ist   und damit  . Folglich gilt   für alle  . Dies ist genau die Definition dafür, dass   injektiv ist.

Beweisschritt:   ist genau dann injektiv, wenn   ist.

Wir haben schon gezeigt, dass   genau dann injektiv ist, wenn   ist. Es bleibt zu zeigen, dass dies äquivalent dazu ist, dass   ist. Der Kern von   ist ein Untervektorraum von  . Ein Untervektorraum von   ist genau dann gleich  , wenn seine Dimension Null beträgt. Also ist   genau dann injektiv, wenn  .

Alternativer Beweis (Zusammenhang zwischen Kern und Injektivität)

Man kann diesen Satz auch mit nur einer Kette von äquivalenten Aussagen zeigen:

 


Lösungsmethode und Beispielaufgaben zur Bestimmung des KernsBearbeiten

To-Do:

Nicht über Matrizen zeigen, sondern direkt über Abbildungen

LösungsmethodeBearbeiten

Wenn wir nun den Kern einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien   und   endlich-dimensionale Vektorräume und   eine lineare Abbildung. Wir möchten nun den Kern von   bestimmen:

  1. Die darstellende Matrix von   aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
  2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
  3.   bestimmen und mit der Dimensionsformel (diese werden wir später noch kennenlernen) die Dimension des Kerns bestimmen.
  4. Mittels eines linearen Gleichungssystems die Basisvektoren des Kerns finden.

Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen VektorräumenBearbeiten

Hierzu zunächst ein einfaches Beispiel.

Beispiel

Gegeben sei eine lineare Abbildung   mit folgender darstellenden Matrix:  .

Bestimmen wir zunächst die Dimension des Kerns. Hierzu benutzen wir die Dimensionsformel und den Rang einer Matrix, welche später eingeführt werden. Die Vektoren   und   sind linear unabhängig, da sie kein Vielfaches voneinander sind. Daher ist   und folglich  .

Finden wir also einen Vektor   mit   und  , so sind wir fertig und es gilt  . Betrachten wir die darstellende Matrix von  , so fällt auf, dass  . Damit ist  .

Nun versuchen wir in einem etwas komplizierteren Fall den Kern zu bestimmen.

Beispiel

Sei   linear mit der darstellenden Matrix  .

Wir wollen also die Lösungsmenge von  

Dazu wenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus an. Wir betrachten nur die Matrix, da sich die rechte Seite durch die elementaren Zeilenumformungen nicht ändert.

Als erstes ziehen wir das 3-fache der 1. Zeile von der zweiten ab und wir ziehen das 4-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile ab. Damit erhalten wir folgende Matrix:

 

Nun subtrahieren wir von der dritten Zeile das 2,5-fache der zweiten Zeile. Das ergibt

 .

Jetzt addieren wir die zweite Zeile zur ersten Zeile und erhalten

 .

Das bedeutet, dass der Kern von   genau die   enthält, für die folgendes gilt:

 .

Damit muss   sein und  . Also können wir um einen Vektor im Kern zu finden zum Beispiel   frei wählen und dann sind   und   bereits fest bestimmt. Daher ist der Kern in diesem Fall ein-dimensional.

Der Kern unserer linearen Abbildung ist also  .

Beispiel

Sei   eine lineare Lineare Abbildung mit  .


1. Die darstellende Matrix bezüglich der Standardbasis, sieht folgendermaßen aus:  , da   und  , sowie  .

2. Jetzt wenden wir den Gauß-Jordan-Algorithmus an: Wir suchen  , so dass

 .

Da nun die rechte Seit Null ist können wir die linke Seite verändern ohne die Nuller zu beachten:

Zuerst ziehen wir das 2-fache der 1.Zeile von der 4.Zeile ab und subtrahieren das 2-fache der 2.Zeile von der 3.Zeile, dann erhalten wir:

 

Als nächstes addieren wir das 0,5-fache der 1.Zeile zur 3.Zeile und tauschen anschließend 1. und 2. Zeile. Dadurch entsteht die folgende Matrix:

 .

Diese Matrix lässt sich nicht viel weiter vereinfachen, da die Zeilenvektoren   und   linear unabhängig sind. Die restlichen Zeilen sind Nullzeilen, also sind wir mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus fertig.


3. Diese Matrix hat genau zwei linear unabhängige Vektoren. Also ist  . Dann gilt mit der Dimensionsformel:

 .

Somit brauchen wir einen Vektor  , so dass  , dann können wir den Kern darstellen als  .

4. Wir wissen, dass für dieses   gilt:


 


Daraus folgt direkt   und  . Also ist   ein mögliches  . Damit ist   und wir sind fertig.

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen VektorräumenBearbeiten

Die bisherigen Beispiele waren Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen. Der Vorteil hierbei ist, dass man die darstellende Matrix der Abbildung aufschreiben kann und anschließend nach der oben beschriebenen Lösungsmethode vorgehen kann. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist das etwas komplizierter.

Wir fangen mit einem einfachen Beispiel in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum an.

Beispiel

Wir betrachten die Ableitung   als linear Abbildung von Polynomen über  . Die Menge   ist eine Basis von  . Wir definieren   durch   für alle  .

Nun wollen wir den Kern von   bestimmen. Jedes Element aus   können wir darstellen als eine Linearkombination  , wobei   und   für alle   ist. Es gilt also  .

Wir wissen, dass die   linear unabhängig sind, da sie eine Basis bilden. Somit ist eine Linearkombination der   genau dann Null, wenn alle Koeffizienten Null sind. Das können wir benutzen, um den Kern zu bestimmen. Nehmen wir also an, dass für ein beliebiges Element   mit   und   für alle   gilt, dass  . Dann folgt, dass   für alle  . Für alle diese   gilt, dass  . Folglich ist   für alle  .

Damit ist genau dann  , wenn   für alle  . Der Kern von   ist somit  .

Hinweis

Wir können dieses Resultat verallgemeinern, indem wir   durch einen beliebigen Körper   ersetzen. Wir müssen dann 2 Fälle unterscheiden:

 :

Hier erhalten wir wie für  :  


 :

Hier erhalten wir: