Isomorphismus (Lineare Algebra) – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Isomorphe Strukturen und IsomorphismenBearbeiten

Isomorphe StrukturenBearbeiten

Betrachten wir den Vektorraum   der Polynome vom Grad kleiner gleich   und  . Vektoren in diesen Räumen haben eine eins zu eins Entsprechung, wie wir bereits im Artikel Einführung in den Vektorraum gesehen haben:

 

Außerdem haben wir festgestellt, dass Addition und skalare Multiplikation in diesen Vektorräumen ähnlich funktionieren:

 


 


Im Allgemeinen kann man sich Vektorräume als Mengen mit einer gewissen Struktur vorstellen. In unserem Beispiel können wir die zugrundeliegenden Mengen der Vektorräume 1 zu 1 zuordnen. Darüber hinaus weisen diese Vektorräume eine ähnliche Struktur (sprich Addition und Multiplikation) vor. Daher wäre es sinnvoll zu sagen, dass die Objekte als Vektorräume "gleich" sind. So eine Gleichheit hat einen eigenen Namen: Isomorphie.

Wir leiten uns nun her, was dieser Begriff formal für zwei Vektorräume   und   bedeutet:

Die 1 zu 1 Zuordnung ist nichts anderes als eine bijektive Abbildung  . Was bedeutet, dass die Struktur gleich ist? Wir wollen, dass wir Addition und skalare Multiplikation beim Hin- und Zurückabbilden erhalten. Dass eine Abbildung die Struktur des Vektorraums erhält, heißt genau, dass die Abbildung linear ist. Also wollen wir, dass   und   linear sind.

Insgesamt erhalten wir folgende Definition:

Definition (Isomorphie)

Die Vektorräume   und   sind isomorph, wenn es eine bijektive Abbildung   zwischen ihnen gibt, sodass   und   linear sind. Wir schreiben dann  .

Kommen wir nun zu unserem Beispiel von oben zurück. Die gesuchte Abbildung aus der Definion würde in diesem Fall wie folgt aussehen:

 

IsomorphismusBearbeiten

Wir wollen auch der oben eingeführten Abbildung   einen Namen geben:

Definition (Isomorphismus)

Ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen   und   ist eine bijektive Abbildung  , so dass   und   linear sind.

Alternative Herleitung Bearbeiten

Betrachten wir nun den Begriff „Vektorraum“ aus einem anderen Blickwinkel. Wir können uns einen Vektorraum auch als eine Basis zusammen mit zugehörigen Linearkombinationen der Basis vorstellen. Also können wir die Vektorräume „gleich“ nennen, wenn wir die Basen 1 zu 1 zuordnen können und die entsprechenden Linearkombinationen gleich gebildet werden. In anderen Worten suchen wir eine Abbildung, die sowohl Basen als auch Linearkombinationen erhält. Welche Eigenschaft muss die Abbildung haben, damit sie Linearkombinationen erhält? Die Antwort steckt schon fast im Namen: Die Funktion muss linear sein.

Widmen wir uns nun der Frage, welche Eigenschaft eine lineare Abbildung braucht, um Basen auf Basen abzubilden (d.h. Basen zu erhalten). Eine Basis ist nichts anderes als ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Somit muss die Abbildung Erzeugendensysteme und lineare Unabhängigkeit erhalten. Eine lineare Abbildung, die Erzeugendensysteme erhält, ist ein Epimorphismus – also eine surjektive lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung, die lineare Unabhängigkeit erhält, heißt Monomorphismus und ist damit eine injektive lineare Abbildung. Also ist die gesuchte Funktion ein Epimorphismus und ein Monomorphismus. Als Monomorphismus muss sie injektiv sein. Als Epimorphismus muss die Abbildung andererseits surjektiv sein. Insgesamt erhalten wir also eine bijektive, lineare Abbildung. Die nennen wir wiederum Isomorphismus. Das gibt uns die alternative Definition:

Definition (Alternative Definition von Isomorphie und Isomorphismus)

Zwei Vektorräume   und   sind isomorph, wenn es eine bijektive, lineare Abbildung   zwischen ihnen gibt.

Eine Abbildung   heißt Isomorphismus, wenn sie eine bijektive, lineare Abbildung ist.

Umkehrabbildungen von linearen Bijektionen sind linearBearbeiten

Wir haben zwei Beschreibungen für den Isomorphismus hergeleitet. Dadurch haben wir auch zwei verschiedene Definitionen. Die erste scheint mehr zu fordern als die zweite: Bei der ersten Definition muss ein Isomorphismus   zusätzlich erfüllen, dass   linear ist. Erhalten wir dadurch verschiedene mathematische Objekte? Laut unserer Herleitung und Intuition sollten beide Definitionen die gleichen Objekte definieren. Dies bestätigt der folgende Satz, aus welchem folgt, dass die zweite Definition die erste impliziert.

Satz (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Sei   eine bijektive, lineare Abbildung, dann ist auch die Umkehrabbildung   linear.

Wie kommt man auf den Beweis? (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Wir wollen zeigen, dass   linear ist. Dafür muss sowohl   als auch   für alle Vektoren   und Skalare   gelten.

Wir haben gegeben, dass   linear und bijektiv mit Umkehrabbildung   ist. Wie können wir das nutzen, um die Linearität von   zu zeigen? Da   die Umkehrabbildung von   ist, gilt:

 

Zusammen mit der Linearität von   liefert das uns:

 

Genauso können wir für Homogenität   vorgehen.

Beweis (Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist linear.)

Für die Umkehrabbildung   von   gilt:

 

Also gilt für jeden Vektor   und jeden Vektor  

 

Beweisschritt:   ist additiv.

Seien   und   zwei Vektoren. Dann gilt:

 

Damit ist die Umkehrfunktion additiv.

Beweisschritt:   ist homogen.

Seien   ein Vektor und   ein Skalar. Dann folgt

 

Damit ist die Umkehrfunktion homogen.

Wir haben gezeigt, dass die Umkehrabbildung   linear ist.

Isomorphe Strukturen klassifizierenBearbeiten

Bijektion der Basen erzeugt einen IsomorphismusBearbeiten

Wir haben uns im Abschnitt Alternative Herleitung überlegt, dass ein Isomorphismus eine lineare Abbildung ist, die Basen erhält. Das bedeutet, dass Basen auf Basen geschickt und Linearkombinationen erhalten werden. Etwas formaler Beschrieben, haben wir uns also folgendes überlegt:

Sei   eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Ist   ein Isomorphismus, so bildet   Basen von   auf Basen von   ab.

Wir stellen uns andersherum die Frage: Wenn eine lineare Abbildung eine Basis auf eine Basis schickt, ist sie dann bereits ein Isomorphismus? Wie wir im folgenden Satz sehen, reicht dies tatsächlich aus:

Satz

Es seien   ein Körper,   zwei  -Vektorräume,   eine Basis von   und   eine lineare Abbildung.

Dann gilt:   ist genau dann ein Isomorphismus, wenn   von   auf eine Basis von   abgebildet wird.

Beweis

Beweisschritt:  

Sei   ein Isomorphismus. Dann ist   per Definition sowohl ein Monomorphismus, als auch ein Epimorphismus.

Wir wollen zeigen, dass   Basen erhält. Das heißt, dass das Bild von   unter   ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von   ist.

Beweisschritt:   ist linear unabhängig

Wir wissen aus dem Artikel zu Monomorphismen, dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten. Die Menge   ist eine Basis und somit linear unabhängig. Ihr Bild unter   ist also linear unabhängig.

Beweisschritt:   ist Erzeugendensystem von  

Wir wissen aus dem Artikel zu Epimorphismen, dass diese Erzeugendensysteme erhalten. Die Menge   ist eine Basis und somit ein Erzeugendensystem. Ihr Bild unter   ist also ein Erzeugendensystem von  .

Beweisschritt:  

  bilde   auf eine Basis   von   ab.

Beweisschritt: Injektivität

Da   die linear unabhängige Menge   auf die linear unabhängige Menge   abbildet, erhält   lineare Unabhängigkeit. Aus dem Aritkel zu Monomorphismen wissen wir, dass   dann injektiv sein muss.

Beweisschritt: Surjektivität

  bildet die Basis  , also insbesondere ein Erzeugendensystem, auf die Basis  , also insbesondere ein Erzeugendensystem, ab. Aus dem Aritkel zu Epimorphismen wissen wir, dass   dann surjektiv sein muss.

  ist nach Angabe linear. Zusammen mit Injektivität und Surjektivität folgt, dass   ein Isomorphismus ist.

Satz

Seien   und   zwei  -Vektorräume mit Basen   und  . Sei außerdem   eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau einen Isomorphismus   mit  .

Beweis

Aus dem Artikel Prinzip der linearen Fortsetzung wissen wir, dass wir eine eindeutige lineare Abbildung   mit   für alle   finden. Damit gilt, wie in der Voraussetzung gefordert,  .

Wir müssen noch zeigen, dass die Abbildung   ein Isomorphismus ist. Nach dem vorigen Satz müssen wir dafür zeigen, dass   eine Basis von   auf eine Basis von   abbildet. Nun haben wir   genau so konstruiert, dass   ist. Das heißt, dass   die Basis   auf die Basis   abbildet, da   bijektiv ist. Also ist   ein Isomorphismus.

In diesem Fall, wo wir eine Bijektion zwischen Basen gegeben haben, gibt es eine schöne Beschreibung der Umkerhabbildung von  : Wir wissen, dass   durch die Bedingungen   und   charakterisiert ist. Weiter sagt uns das Prinzip der linearen Fortsetzung, dass wir   nur auf einer Basis von   kennen müssen, um es vollständig zu beschreiben. Nun haben wir schon die Basis   von W gewählt. Das heißt, uns interessiert   für  . Weil   bijektiv ist, gibt es genau ein   mit  . Daher erhalten wir   aus den obigen Bedingungen. Wie können wir nun dieses Element   genauer beschreiben?   ist das eindeutige Urbild von   unter  . Also ist  . Mit anderen Worten ist   die von   induzierte lineare Abbildung von   nach  .

Klassifikation endlich dimensionaler VektorräumeBearbeiten

Stellen wir uns nun die Frage, wann man im endlich dimensionalen Fall von isomorphen Vektorräumen sprechen kann. Wir betrachten also den Fall, dass   und   endlich dimensionale Vektorräume sind, d.h. wir haben Basen   von   und   von  . Aus dem vorherigen Satz wissen wir, dass ein Isomorphismus durch die Bijektion der Basen eindeutig charakterisiert ist. Wann finden wir eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen? Genau dann, wenn sie die gleiche Mächtigkeit haben. Also genau dann, wenn   und   die gleiche Dimension haben:

Satz (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Seien   endlichdimensionale Vektorräume. Dann gilt:  

Beweis (Endlich dimensionale Vektorräume mit gleicher Dimension sind isomorph und umgekehrt)

Beweisschritt:  

Sei  .

Zwei Vektorräume heißen isomorph, wenn ein Isomorphismus zwischen ihnen existiert. Wir wissen, dass ein Isomorphismus zwischen Vektorräumen existiert, wenn wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen dieser finden. Da  , finden wir eine bijektive Abbildung zwischen den Basen. Es existiert also ein Isomorphismus zwischen   und  .

Folglich sind   und   isomorph.

Beweisschritt:  

Sei  .

Sei   ein Isomorphismus zwischen   und  . Wir wissen, dass ein Isomorphismus Basen auf Basen abbildet. Das heißt, dass   eine Basis von   ist. Da die Abbildung ein Isomorphismus ist, ist sie insbesondere bijektiv. Somit ist  .

Dies impliziert  .

Wir haben gezeigt, dass  -Vektorräume gleicher Dimension   isomorph sind. Insbesondere sind alle solchen Vektorräume isomorph zum Vektorraum  . Weil der   ein gut beschreibbares Modell für einen Vektorraum ist, wollen wir den im letzten Satz konstruierten Isomorphismus genauer untersuchen.

Sei   ein  -Dimensionaler  -Vektorraum. Wir verfolgen jetzt den Beweis des letzten Satzes, um die Konstruktion des Isomorphismus zu verstehen. Wir benutzen, dass Basen von   und von   gleichmächtig sind. Für den Isomorphismus konstruieren wir eine Bijektion zwischen einer Basis von   und einer Basis von  . Der   hat als kanonische Basis die Standardbasis; diese bezeichnen wir wie immer mit  .

Wenn wir den Beweis des letzten Satzes nachvollziehen, sehen wir, dass wir eine Basis von   und eine Basis von   wählen müssen. Für den   wählen wir die Standardbasis und für   irgendeine Basis   von  . Als nächstest benötigen wir eine Bijektion   zwischen der Standardbasis und der Basis  . Das heißt, wir müssen jedem   genau ein   zuordnen. Wir können damit die Bilder der   benennen als  . Weil   bijektiv ist, erhalten wir  . Im Wesentlichen haben wir die Elemente von B damit durchnummeriert. Tatsächlich ist ein Durchnummerieren der Elemente von   das gleiche wie das Angeben einer Bijektion von   nach  , da wir   einfach auf das  -te Element von   abbilden können.

Das Prinzip der linearen Fortsetzung liefert uns nun einen Isomorphismus  . Wenn wir dieses Prinzip nachverfolgen, sendet sie den Vektor   auf das Element  . Wir wollen den Isomorphismus   besser verstehen. Dafür wollen wir uns zusätzlich die Umkehrabbildung von   ansehen.

Wir haben uns oben schon überlegt, wie die Abbildung   in diesem Fall aussieht. Die Umkehrabbildung   ist die von   induzierte Abbildung. Das heißt, sie bildet ein Basiselement   auf   ab. Was heißt das nun konkret für einen Vektor  ? Wir schreiben   als Linearkombination unserer Basis  . Die Abbildung   schickt nun   auf  . Die   beschreiben, wo sich   in Bezug auf die Basisvektoren   befindet. Das ist genau wie bei der GPS-Koordinate, die einem seine Position zu gewissen Ankerpunkten (dort Nullmeridian und Äquator) angibt. Daher können wir sagen, dass   jeden Vektor auf seine Koordinaten bezüglich der Basis   schickt.

Definition (Koordinatenabbildung)

Sei   ein  -dimensionaler  -Vektorraum und   eine Basis von  . Wir definieren den Isomorphismus   als die Fortsetzung folgender Bijektion zwischen der Basis   und der Standardbasis des  :

 

Wir nennen   die Koordinatenabbildung bezüglich  .

Wir wollen nun untersuchen, von wie vielen Wahlen die Konstruktion der Koordinatenabbildung abhänkt.

Beispiel (Koordinatenabbildung zwischen dem Vektorraum der reellen quadratischen Polynome und  )

Wir betrachten die beiden  -Vektorräume   und den der reellen Polynome von Grad  . Die Koordinatenabbildung sieht dann folgendermaßen aus:

 ,  .

Die Koordinatenabbildung ist abhängig von der Wahl der Basis. Hat man verschiedene Basen, so erhält man verschiedene Zuordnungen.

Beispiel (verschiedene Basen erzeugen verschiedene Koordinatenabbildungen)

Wir betrachten folgende zwei Basen des  :   und  .

Für   gilt

 

Also sieht die Koordinatenabbildung bezüglich   wie folgt aus

 

Für die Basis   gilt

 

Somit ist die Koordinatenabbildung bezüglich  

 

Diese zwei Abbildungen sind nicht gleich. Zum Beispiel ist

 

Auch wenn wir nur die Nummerierung der Elemente einer Basis ändern, erhalten wir schon verschiedene Koordinatenabbildungen.

Beispiel (unterschiedliche Nummerierung der Basis ergeben unterschiedliche Koordinatenabbildungen)

Wir betrachten die Standardbasis   im  . Wir wollen herausfinden, wie die Koordinatenabbildungen   und   aussehen. Für   wissen wir das schon:

 

Für   gilt

 

Die Konstruktion der Koordinatenabbildung liefert uns damit die folgende Beschreibung

 

Diese beiden Abbildungen sind wieder verschieden. Zum Beispiel gilt

 

Damit wir von der Koordinatenabbildung sprechen können, müssen wir auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegen. Eine Basis, bei der man auch die Reihenfolge der Basiselemente festlegt, nennen wir geordnete Basis.

Definition (Geordnete Basis)

Seien   ein Körper und   ein endlich-dimensionaler  -Vektorraum. Sei  . Dann nennen wir   eine geordnete Basis von  , falls   eine Basis von   ist.

Mit diesem Begriff können wir die Notation der Koordinatenabbildung vereinfachen. Ist   eine geordnete Basis, so bezeichnen wir die Koordinatenabbildung   auch als  .

Wir haben jetzt über eine Klasse von Isomorphismen von   nach   gesprochen. Gibt es noch andere Isomorphismen von   nach  ? Das heißt, gibt es Isomorphismen, die keine Koordinatenabbildungen sind? Tatsächlich ist jeder Isomorphismus von   nach   eine Koordinatenabbildung bezüglich einer passenden Basis.

Satz (Alle Isomorphismen   sind Koordinatenabbildungen)

Sei   ein Isomorphismus. Dann gibt es genau eine geordnete Basis   von  , sodass  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Alle Isomorphismen   sind Koordinatenabbildungen)

Wir haben die Koordinatenabbildung als Umkehrabbildung konstruiert: Wir haben die Standardbasis des   bijektiv auf eine Basis von   abgebildet. Um diese Basis zu rekonstruieren, müssen wir die Urbilder der Standardbasis unter   betrachten. Das heißt, wir müssen  . Nun benötigen wir eine Ordnung auf  . Diese bekommen wir durch indem wir   setzen. Wir haben gesehen, dass   eine Basis ist, weil   ein Isomorphismus ist. Weiter haben wir gerade das Prinzip der linearen Fortsetzung rückwärts angewendet. Damit wissen wir, dass   von der Bijektion   induziert ist. Weiter oben haben wir damit gesehen, dass   dann von der Bijektion   induziert ist. Dies gibt aber genau die Koordinatenabbildung bezüglich  .

Beweis (Alle Isomorphismen   sind Koordinatenabbildungen)

Wir definieren   für  . Dann ist   das Bild der Standardbasis unter der Abbildung  . Da   ein Isomorphismus ist, bildet es Basen auf Basen ab. Damit ist   eine Basis von  .

Definiere die geordnete Basis  . Wir zeigen nun  . Dafür reicht es, die Gleichheit auf der Basis   zu beweisen, da   und   linear sind. Für ein   gilt

 

Also gilt  .

Beispiele für VektorraumisomorphismenBearbeiten

Beispiel (Reelle Polynome  -ten Grades und der  )

Wir zeigen am Beispiel   eine Isomorphie des Raums der Polynome höchstens zweiten Grads   zum  .

Wir definieren die Abbildung   durch  .

Behauptung:   ist ein Isomorphismus.

Dazu müssen wir drei Dinge nachweisen:

  1.   ist eine lineare Abbildung  
  2.   ist injektiv
  3.   ist surjektiv

Beweisschritt: Linearität von  

Da   für jedes Polynom   definiert ist und Werte in   hat, ist   als Abbildung wohldefiniert.

Wir müssen also noch beweisen, dass für   und   stets   und   ist.

Das ist völlig analog zu dieser Rechnung.

Beweisschritt: Injektivität von  

Sei   und  .

Das bedeutet, dass das Polynom höchstes zweiten Grades   drei Nullstellen hat: es ist ja  . Daraus folgt (z. B. mit Polynomdivision), dass wir   schreiben können als  , wobei   auch wieder ein Polynom ist (oder eine Konstante, d.h. ein Polynom nullten Grades). Weil aber der Grad von   höchstens zwei ist, muss   konstant und gleich   sein, und damit ist dann   das Nullpolynom, also der Nullvektor des Vektorraums  .

Da also der Kern von   nur aus dem Nullvektor besteht, ist   injektiv.

Beweisschritt: Surjektivität von  

Beim Beweis dieser Behauptung verwenden wir die Polynominterpolation in der Lagrange-Form.

Dazu definieren wir drei Polynome   durch

 

  hat Nullstellen bei   und  , und der Nenner ist der Zähler an der Stelle  . Daher  , da dann in Zähler und Nenner dieselbe Zahl steht.

Ganz analog ist   und   und   und  .

Wenn wir jetzt einen beliebigen Vektor   haben, dann definieren wir das Polynom   durch

 

Dann ist   und genauso   und  .

Damit haben wir gezeigt, dass   surjektiv ist.

Wir sehen auch, dass wir dieses Verfahren für beliebige Polynomgrade und beliebige Punkte anwenden können, solange nur die Anzahl der Punkte um eins größer ist als der Höchstgrad der Polynome. Wir können auch   überall durch   oder   ersetzen, ohne dass wir am Beweis etwas ändern müssten.

Beispiel (Konvergente Folgen modulo Nullfolgen)

Sei  . Wir kennen bereits die Vektorräume   der konvergenten Folgen und der Nullfolgen. Wir wissen auch, dass   ein Untervektoraum ist. Daher können wir den Faktorraum   bilden.

Im Folgenden wollen wir zeigen, dass   gilt.

Wir definieren eine Abbildung

 

Das Bild von   unter dieser Abbildung ist also die Nebenklasse der Folge, die konstant den Wert   annimmt. Diese ist konvergent mit Grenzwert  . Wir müssen zeigen, dass   linear und bijektiv ist.

Beweisschritt: Linearität von  

Wir müssen die Additivität und Homogenität von   zeigen.

Beweisschritt: Additivität von  

Seien  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität von  

Seien  . Wir betrachten   als Vektor des  -Vektorraumes   und   als Skalar. Es gilt

 

Beweisschritt: Injektivität von  

Wir müssen zeigen, dass   gilt. Sei also  . Das bedeutet,  . Dies heißt, dass   liegt.

Also ist  . Das zeigt die Behauptung.

Beweisschritt: Surjektivität von  

Sei   und sei  . Setze  . Dann ist  .

Daher gilt  . Folglich  . Dies zeigt die Surjektivität.

Beispiel (Der Isomorphiesatz)

Eines der wichtigsten Beispiele ist die Isomorphie zwischen dem Bildraum einer linearen Abbildung   und dem Quotientenraum  .

All das ist hier beschrieben.

AufgabenBearbeiten

Aufgabe (komplexe  -Vektorräume)

Sei   ein endlich-dimensionaler  -Vektorraum. Zeige   als  -Vektorräume.

Lösung (komplexe  -Vektorräume)

Setze  . Wir wählen eine  -Basis   von  . Definiere   für alle  .

Wir müssen zeigen:   bilden eine   Basis von  . Dann gilt  . nach obigem Satz folgt also   als  -Vektorräume.

Wir zeigen zunächst die  -lineare Unabhängigkeit.

Beweisschritt:   ist  -linear unabhängig

Seien   und gelte  . Wir setzen für   die Definition ein, fassen die Summen zusammen und erhalten  . Wegen  -linearer Unabhängigkeit der   gilt   für alle  . Folglich ist   für alle  . Dies zeigt die  -lineare Unabhängigkeit.

Nun fehlt nur noch ein Schritt:

Beweisschritt:   ist ein  -Erzeugendensystem

Sei   beliebig.

Da   eine  -Basis von   ist, finden wir  , sodass   gilt. Wir schreiben   mit   für alle  . Dann gilt

 

Also liegt   im  -Span von  . Dies zeigt die Behauptung.

Aufgabe (Isomorphe Koordinatenräume)

Sei   ein Körper,  . Zeige:   genau dann, wenn   gilt.

Lösung (Isomorphe Koordinatenräume)

Wir wissen, dass   für alle   gilt. Dann benutzen wir den Satz von oben, dass   genau dann, wenn   gilt.

Aufgabe (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

Sei   ein Körper,   ein endlich-dimensionaler  -Vektorraum und   eine  -lineare Abbildung. Weise nach, dass die folgenden drei Aussagen äquivalent sind:

(i)   ist ein Isomorphismus.

(ii)   ist injektiv.

(iii)   ist surjektiv.

(Achtung: Für diese Aufgabe kann es hilfreich sein, die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung zu kennen. Unter Verwendung des Dimesionssatzes wird diese Aufgabe wesentlich einfacher. Wir geben hier als Lösungsvorschlag eine Version die ohne den Dimensionssatz auskommt.)

Lösung (Isomorphiekriterien für Endomorphismen)

(i) (ii) und (iii): Nach der Definition eines Isomorphismus ist   bijektiv, also injektiv und surjektiv. Daher gelten (ii) und (iii).

(ii) (i): Sei nun   eine injektive Abbildung. Wir müssen noch zeigen, dass   auch surjektiv ist. Das Bild   von   ist ein Untervektorraum von  . Dies kann man durch Nachrechnen überprüfen. Wir definieren nun eine Abbildung, die das gleiche macht wie  , mit dem Unterschied, dass sie per Definition surjektiv sein wird. Wir schaffen dies durch die Konstruktion:

 

Die Surjektivität kommt daher, weil jedes Element   sich als   schreiben lässt, für ein  . Außerdem ist die Abbildung   injektiv und linear. Dies kommt daher, dass   bereits diese beiden Eigenschaften aufweist. Also sind   und   isomorph. Daher haben   und   diegleiche endliche Dimension. Da   ein Untervektorraum von   ist, gilt  . Dies kann man dadurch einsehen, dass man eine Basis in   wählt. Wähle also zum Beispiel eine solche Basis mit Vektoren  . Die   sind insbesondere linear unabhängig. Das ist ein Fakt der auch in   gilt, da ja  . Und da die   und   diegleiche Dimension haben, sind die   auch in   ein maximales System linear unabhängiger Vektoren. Also bilden   auch in   eine Basis. Die beiden Vektorräume   und   müssen nun gleich sein, denn alle Elemente aus ihnen sind  -Linearkombinationen gebildet mit den  . Damit haben wir gezeigt, dass   surjektiv ist.

(iii) (i): Nehmen wir nun an   ist surjektiv. Wir müssen nun zeigen, dass   auch injektiv ist. Sei   der Kern der Abbildung  . Es handelt sich dabei um einen Untervektorraum von  , wovon man sich durch Nachrechnen überzeugt. Sei   eine Basis von  . Diese Basis kann man zu einer Basis von   ergänzen. Dazu nehmen wir die Vektoren   hinzu. Wir werden nun zeigen, dass   linear unabhängig sind. Seien also Koeffizienten   gegeben, sodass

 

gilt. Wegen der Linearität von   folgern wir:  . Das bedeutet, dass die Linearkombination

 

im Kern von   liegt. Wir kennen aber bereits eine Basis von  . Daher gibt es Koeffizienten  , sodass

 

gilt. Wegen der linearen Unabhängigkeit von   folgt nun, dass   gilt. Daher sind die   linear unabhängig. Als nächstes werden wir zeigen, dass diese Vektoren auch eine Basis von   bilden. Dazu zeigen wir, dass jeder Vektor in   als Linearkombination der   geschrieben werden kann. Sei  . Wegen der Surjektivität von   gibt es ein  , mit  . Da die   eine Basis von   bilden, gibt es Koeffizienten  , sodass

 

gilt. Wenden wir nun   auf diese Gleichung an, so erhalten wir:

 

Hier haben wir gleich die Linearität von   benutzt. Da die ersten   Elemente unserer Basis im Kern liegen, verschwinden deren Bilder. Also erhalten wir eine gewünschte Darstellung von  :

 

Somit haben wir gezeigt, dass   ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von   bildet. Also formen diese Vektoren eine Basis von  . Wäre nun   nicht  , so wären zwei endliche Basen in   nicht gleich mächtig. Dies kann nicht sein. Daher ist  . Dies bedeutet, dass   der triviale Vektorraum ist. Daraus folgt, dass   injektiv ist.

Aufgabe (Abbildungsräume)

Sei   eine endliche Menge der Mächtigkeit  . Sei   ein Körper. Wir haben gesehen, dass die Menge der Abbildungen von   nach   einen  -Vektorraum bildet. Diesen haben wir mit   bezeichnet. Zeige:  .

Was passiert, wenn   unendlich ist?

Lösung (Abbildungsräume)

To-Do:

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