Homomorphiesatz und Isomorphiesatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir setzen uns jetzt mit einem wichtigen Isomorphismus auseinander. Sei eine lineare Abbildung zwischen den -Vektorräumen und , dann sind und isomorph, also .

Motivation und empirische EinblickeBearbeiten

  • Wir betrachten eine lineare Abbildung (Homomorphismus) f zwischen zwei K-Vektorräumen V und W. Wir wollen diese Abbildung so abändern, dass f ein Isomorphismus wird.
  • Betrachten wir also eine lineare Abbildung  . Diese können wir sehr leicht zu einem Epimorphismus machen, in dem wir den Wertebereich von f einschränken auf das Bild von f.
  • Wir betrachten den Homomorphismus  . Damit wird jedes Element dieser Teilmenge von W von der Abbildung f getroffen und sie ist natürlicherweise surjektiv und damit ein Epimorphismus, denn das Bild ist ein Unterraum von W.
  • Für die Abbildung f sind die von f nicht getroffenen Elemente von W nicht notwendig, um f zu beschreiben. Wir können sie quasi vergessen.
  • Um f injektiv zu machen, muss Elemente   auf genau ein   abgebildet werden. Da f aber nicht notwendigerweise injektiv ist, wird es mindestens   geben mit  .
  • Da f ein Homomorphismus ist, folgt daraus, dass   sein muss. Also liegt  .
  • Wir suchen zunächst einen Vektorraum, der ker(f) wie ein Element behandelt. Das ist der Vektorraum  .
  • Wir bezeichnen die Elemente von   mit  
  • Die Abbildung   ist injektiv.
  • Damit haben wir mit dem natürlichen Epimorphismus   eine Abbildung   konstruiert, für die gilt  .
  • Wenn wir nun noch den Wertebereich von f auf das Bild von f reduzieren, habe wir mit   den sogenannten induzierten Isomorphismus von f.

HerangehensweiseBearbeiten

To-Do:

die folgenden Abschnitte an Motivation anpassen

Konstruktion der Surjektivität und InjektivitätBearbeiten

Sei   eine lineare Abbildung zwischen den  -Vektorräumen   und  . Wir möchten   so konstruieren, dass es eine bijektive lineare Abbildung wird.

Eine Abbildung surjektiv zu machen ist einfach, man verändert den Wertebereich von   zu  , denn dort wird jedes Element von einem   getroffen, d.h. es gibt zu jedem   ein   derart dass  .

Um die Abbildung   injektiv zu machen, versuchen wir alle Elemente, die auf das gleiche Element (hier speziell das Nullelement  ) abgebildet werden, zusammenzufassen. Das ist etwas komplizierter. Wenn   nicht injektiv ist (was im Allgemeinen der Fall sein wird), gibt es   mit   und  .

Damit gilt

 , also ist  

Das ist gerade die Differenz zwischen   und  . Diese möchten wir gerne Null setzen, so dass die beiden Vektoren als gleich betrachtet werden können, das heißt, zu einem Vektor zusammengefasst werden können.

Dafür sind die Nebenklassen, die in einem vorherigen Artikel erklärt wurden, nützlich. Betrachten wir den Vektorraum  . Es fällt auf, dass in diesem Vektorraum für alle   gilt,

 , denn  

Also ist auch

 .

Nutzen wir nun die Addition in  , sehen wir

 .

Damit haben wir es geschafft, die beiden Vektoren gleichzusetzen und in einem Element zusammenzufassen.

Dass die Abbildung   mit   wirklich injektiv ist, zeigen wir später.

Das kommutierende DiagrammBearbeiten

Um von einem   zu   zu kommen gibt es nun zwei Wege. Entweder wir benutzen die Abbildung   oder wir gehen den Weg über  , was bedeutet, wir fassen zuerst die Vektoren, die das gleiche Bild haben zusammen und benutzen anschließend  , um zu   zu kommen.

Anschaulich bedeutet das wir bilden jedes Element   von unserem Vektorraum   auf die "Geraden"  [1] ab, wie schon in einem vorherigen Kapitel gezeigt. Man kann es sich auch als Abbildung von den einzelnen Vektoren aus   auf Zusammenfassungen (Nebenklassen) von Vektoren vorstellen. So als würde ein Vektor auf eine Menge von Vektoren abgebildet werden. Diese haben alle das gleiche Bild. Also ist es genau die Abbildung, die wir benutzt haben, um die Vektoren zusammenzufassen.

Formal ausgedrückt:

 .

Diese Abbildung   wird die natürliche Projektion genannt.

Wenn wir nun für ein beliebiges   das Bild   bestimmen möchten, haben wir zwei Möglichkeiten:

  1. Wir gehen über   direkt zu  .
  2. Wir benützen erst  , um zu   zu kommen, und bilden anschließend mit   den Vektor   auf   ab.

Der Homomorphiesatz für VektorräumeBearbeiten

Wir erklären und beweisen in diesem Kapitel den Homomorphiesatz für Vektorräume.

Satz (Homomorphiesatz)

Sei   eine lineare Abbildung zwischen zwei  -Vektorräumen und   die natürliche Projektion, dann gibt es die injektive lineare Abbildung  , so dass das Diagramm kommutiert, d.h.  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Homomorphiesatz)

Wir gehen hier Schritt für Schritt vor. Wir beweisen den Satz in folgenden Schritten.

  1.   ist wohldefiniert.
  2. Wir zeigen, dass das Diagramm kommutativ ist, d.h.  .
  3. Wir zeigen dann den noch fehlenden Beweis, dass   injektiv ist.

Wir überlegen uns, was wir in diesen drei Schritten zeigen müssen, bevor wir dann formal den ganzen Beweis des Homomorphiesatzes zeigen.

Beweisschritt:   ist wohldefiniert

Da   und   sehr ähnlich sind (das Bild ist gleich), fragen wir uns, inwiefern sich   von   unterscheidet. Der Unterschied liegt an sich nur im Definitionsbereich. Wir wissen schon, dass es für jedes   ein   gibt, also gibt es auch für jedes   ein  , weil  .

Zur Wohldefiniertheit müssen wir müssen noch überprüfen, ob es nur ein solches Bild für einen Vektor gibt, damit nicht der gleiche Vektor zwei verschiedene Bilder hat. Das problematische hier ist jedoch, dass ein Vektor aus   mehrere Repräsentanten hat. Das heißt für   und   muss aus   nicht folgen, dass  . Trotzdem muss gelten  , also auch  .

Wenn nun für   und   gilt  , aber  , was bedeutet, dass dann für  ? Dazu müssen wir zeigen  

Beweisschritt: Das Diagramm ist kommutativ

Dazu müssen wir zeigen   und sehen, worauf das Element   abgebildet wird.

Beweisschritt:   ist injektiv

Um die Injektivität von   zu beweisen, müssen wir zeigen,   für die gilt   folgt  .

Wenn wir nun wissen, dass  , dann gilt auch  .

Das bedeutet  ? Daraus müssen wir folgern, dass  .

Beweis (Homomorphiesatz)

Für den Beweis müssen wir die obigen drei Schritte nun formal beweisen, also   ist wohldefiniert,   und   ist injektiv.

Beweisschritt:   ist wohldefiniert

Dafür zeigen wir, haben wir zwei Repräsentanten des gleichen Vektors aus  , so werden beide auf das gleiche Bild abgebildet.

Also seinen   und   zwei Vektoren, für die gilt  . Wir wissen schon (vom Rechnen mit Nebenklassen), dass dann gilt  . Dann ist

 

Da   und   beide auf   abgebildet werden und   wohldefiniert ist, ist auch   wohldefiniert.

Beweisschritt:  ; damit ist das Diagramm kommutativ.

Zum Beweis zeigen wir, dass für alle   gilt  .

Sei  , dann ergibt sich offensichtlich

 

Genau das wollten wir zeigen und damit ist das Diagramm kommutativ.

Beweisschritt:   ist injektiv

Dafür müssen wir zeigen, wenn für zwei Vektoren   gilt  , dann ist  .

Seien also   und   mit  . Dann gilt auch   und somit, da   linear ist, auch  . Also ist  .

Damit gilt:

 .

Also ist   injektiv.

Aus diesem Satz können wir nun direkt folgern, dass  , also eine Isomorphie zwischen   und  . Das sehen wir im nächsten Satz.

Satz (Isomorphiesatz)

Sei   eine lineare Abbildung zwischen zwei  -Vektorräumen   und  , dann ist die Abbildung  ein Isomorphismus.

Beweis (Isomorphiesatz)

Für den Beweis müssen wir zeigen, dass   sowohl injektiv, als auch surjektiv und linear ist. Weil   injektiv ist, ist auch die Einschränktung auf   injektiv, da immer noch jeder Vektor höchstens einmal getroffen wird.

Dass   surjektiv ist, geht aus dem kommutativen Diagramm von vorher hervor, denn damit hat   das gleiche Bild wie  . Das bedeutet, dass   surjektiv ist. Formal ausgedrückt:

Einerseits gilt  .

Andererseits ist auch   und damit existiert auch ein   derart, dass  .

Die Linearität von   folgt direkt aus der Linearität von  , denn seien   und   Vektoren und   ein Skalar, dann gilt

 

und

 

Folglich ist   bijektiv und eine lineare Abbildung (bzw. ein Vektorraumhomomorphismus) und damit ein Isomorphismus.