Vektorraum linearer Abbildungen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

UnderCon icon.svg

Diese Seite ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib der Autorin / dem Autor Zeit, die Seite anzupassen!

Wir betrachten den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen.

Der Vektorraum der linearen AbbildungenBearbeiten

To-Do:

Im Bild heißt Hom_K(V, W) noch L(V,W)

 
Bildung des Vektorraums  

Seien   ein Körper und   zwei  -Vektorräume. Wir wollen nun die Menge aller  -linearen Abbildungen von   nach   betrachten. Diese Menge nennen wir  . Also:

 

Wir vermuten, dass diese Menge einen  -Vektorraum bildet, genauer gesagt einen Unterraum von  . Von dieser Menge wissen wir bereits, dass sie ein  -Vektorraum ist.

Satz

Sei   ein Körper und   und   zwei  -Vektorräume. Dann ist die Menge der linearen Abbildungen   von   nach   ein  -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis?

Es reicht zu zeigen, dass   ein  -Untervektorraum von   ist. Dazu müssen wir zeigen:

  1.  
  2. Für alle   gilt  .
  3. Für alle   und alle   gilt  .

Beweis

Wir zeigen, dass   ein Untervektorraum von   ist.

Beweisschritt:  

Die Abbildung   ist eine  -lineare Abbildung. Also ist  .

Beweisschritt: Für alle   gilt  .

Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

 

eine  -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von  

Seien  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität von  

Sei   und  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Für alle   und alle   gilt  .

Sei   eine lineare Abbildung und  . Wir müssen zeigen, dass die Abbildung

 

eine  -lineare Abbildung ist.

Beweisschritt: Additivität von  

Seien  . Dann gilt

 

Beweisschritt: Homogenität von  

Sei   und  . Dann gilt

 

Damit ist   ein Unterraum von  .

Die Dimension des Vektorraums der linearen AbbildungenBearbeiten

Wir wollen im Folgenden die Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen zwischen zwei endlich-dimensionalen Vektorräumen berechnen.

Satz (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Sei   ein Körper,   zwei  -Vektorräume mit  .

Dann gilt  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Um die Dimension von   zu finden, müssen wir eine Basis dieses Raumes konstruieren.

Wollen wir eine Abbildung von   nach   definieren, so müssen wir für   verschiedene Basisvektoren von   ihr Bild in   festlegen. Dieses lässt sich wieder als Linearkombination der   verschiedenen Basisvektoren von   darstellen.

To-Do:

Besser machen

Beweis (Dimension des Vektorraums der linearen Abbildungen)

Wir wählen zunächst zwei Basen:

Es sei   eine Basis von  ,

Es sei   eine Basis von  .

Wir wollen für jedes   eine lineare Abbildung   definieren. Aufgrund des Prinzips der linearen Fortsetzung können wir diese eindeutig durch ihre Werte auf der Basis   festgelegen:

 

Sei  .

Diese Menge hat   Elemente.

Um die Aussage des Satzes zu beweisen, müssen wir also begründen, dass   eine Basis von   ist.

Dazu müssen wir zeigen, dass   linear unabhängig und ein Erzeugendensystem ist.

Beweisschritt:   ist linear unabhängig

Seien  , sodass  .

Wir müssen nun zeigen, dass bereits   für alle  .

Sei  .

Dann ist:

 

Da die   eine Basis von   bilden, sind sie linear unabhängig. Daher folgt breits   für alle   und unser festes  .

Da dieses   beliebig gewählt wurde, folgt nun   für alle  .

Also sind die   linear unabhängig.

Beweisschritt:   ist ein Erzeugendensystem

Sei  .

Für jedes   ist  . Da   eine Basis von   ist, gibt es eine eindeutige Zerlegung   mit  .

Wir zeigen nun:

 

Wegen der Linearität lässt sich dies auf den Basisvektoren   verifizieren. Sei dazu   beliebig.

Dann ist:

 

Daher ist   ein Erzeugendensystem.

Damit haben wir die Aussage des Satzes bewiesen.

Hinweis

Eine ähnliche Aussage gilt auch für unendlich-dimensionale Vektorräume:

Ist   oder  , und  , gilt auch  .

Ist allerdings   und   beliebig (oder andersherum), so gilt  .

Der DualraumBearbeiten

Sei   ein   Vektorraum. Wir wissen bereits, dass auch   einen  -Vektorraum bildet.

Daher können wir als Spezialfall den Vektorraum   betrachten. Diesen nennen wir den Dualraum.

To-Do:

Artikel zum Dualraum verlinken