Dualraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wir haben bereits den Vektorraum der linearen Abbildungen zwischen zwei -Vektorräumen und kennengelernt. Wir werden hier nun den Fall betrachten, dass der Vektorraum dem Körper entspricht.

MotivationBearbeiten

Betrachten wir folgendes Beispiel. Wir möchten Äpfel und Birnen kaufen. Ein Apfel kostet € und eine Birne €. Wenn die Anzahl der Äpfel und die Anzahl der Birnen bezeichnen, wie viel müssen wir insgesamt bezahlen? Die Formel des Gesamtpreises ist . Diese Gleichung können wir als -lineare Abbildung

auffassen. Nehmen wir an, dass die Preise sich um die Hälfte erhöhen. Um die Formel zu erhalten, die den neuen Gesamtpreis angibt, müssen wir die alte Formel mit multiplizieren. Die Formel, die diesen Preis angibt, würde dann lauten. Die zugehörige lineare Abbildung ist

Wir sehen, dass Wir nehmen nun an, dass stattdessen der Preis der Äpfel um € und Preis der Birnen um € steigt. Die entsprechende Formel für den Gesamtpreis erhalten wir durch Addition auf die ursprüngliche Formel, das heißt . Das kann wie folgt als Addition linearer Abbildungen aufgefasst werden. Wir definieren durch und . Dann gilt . Wir haben in diesem Beispiel also lineare Abbildungen von nach addiert und mit Skalaren multipliziert.

Wir haben also lineare Abbildungen von , die den Gesamtpreis angeben. Eine solche Abbildung ordnet jedem Vektor einen Wert, nämlich den Preis, zu. Wir können sagen, dass die Abbildung diese Vektoren misst. Deshalb nennen wir lineare Abbildungen von nach auch lineare Messfunktionen. Wir haben oben gesehen, dass Summen und skalare Vielfache von solchen Abbildungen wieder lineare Abbildungen sind. In anderen Worten sind Linearkombinationen von linearen Messabbildungen wieder lineare Messabbildungen. Es gibt also eine Vektorraumstruktur auf den linearen Messabbildungen von .

Wie sieht es bei anderen Vektorräumen aus? Betrachten wir den -Vektorraum der komplexen Polynome vom Grad höchstens . Hier gibt es eine Reihe von einfachen Messabidlungen. Diese können zum Beispiel einem Polynom seinen Wert an einem Punkt zuordnen

Alternativ kann man einem Polynom den Wert seiner Ableitung im Punkt zuordnen

Da die Koeffizienten von Polynomen Skalare sind, können wir sie benutzen um weitere Messabbildungen zu definieren. Betrachte zum Beispiel für die Abbildungen definiert durch und . Dann gilt . Wir sehen auch hier, dass Summen von Messabbildungen wieder Messabbildungen sind.

Allgemein kann man auch über einem beliebigen -Vektorraum den Raum der linearen Messabbildungen betrachen. Wir werden sehen, dass dieser, wie in den Beispielen zuvor, ein Vektorraum ist. Diesen nennt man den Dualraum von .

DefinitionBearbeiten

Definition (Dualraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen und Dualraum von .

Der folgende Satz besagt, dass der Dualraum ein Vektorraum ist.

Satz ( ist ein Vektorraum)

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann ist mit den beiden Verknüpfungen

und

ein -Vektorraum.

Alter InhaltBearbeiten

MotivationBearbeiten

Um das Konzept des Dualraums zu erklären, werden wir ein wenig weiter ausholen. Wir werden zunächst eine Anwendung des Dualraums beschreiben, um euch klarzumachen wozu er nützlich ist. Danach werden wir das ganze weiter abstrahieren, um die Überleitung zur formalen Definition glatt zu gestalten.

Wir wollen uns zunächst mit folgender Frage beschäftigen: Wie gibt einen Punkt im   an? In der Schule habt ihr das vermutlich so beantwortet: Man gibt die Koordinaten dieses ausgewählten Punktes an. Diese Koordinaten bekommt man dadurch, dass man von einem Tupel   z.B. die erste Koordinate herausnimmt. Wir nennen dies auch "projezieren". Man sieht auch gleich, dass der Vorgang des Projezierens linear ist. Denn addiert man zwei Vektoren   so ist z.B. seine erste Koordinate  .

Dabei verwenden wir, dass jeder Vektor aus   durch Koordinaten angegeben wird. Ähnlich funktioniert das mit dem Vektorraum   für beliebiges  , oder sogar   für irgendeinen Körper  . Wie verallgemeinert man das aber auf einen Vektorraum   über  , der kein Koordinatenraum ist? Dort ist das nämlich nicht so einfach möglich, denn ein Vektor ist dort im Allgemeinen einfach nur ein abstraktes Objekt. Wir erinnern uns daran, dass die Projektionen lineare Abbildungen   sind. Wir können allgemeiner alle linearen Abbildungen   betrachten. Ein solches   nennt man Funktional. Die Menge aller Funktionale bezeichnen wir als Dualraum und schreiben dafür  .

Wir werden folgendes feststellen: Ein Vektor   ist eindeutig durch die Werte   bestimmt, wobei   über ganz   läuft. Allerdings kann   auch sehr groß sein und sich dadurch keine wirkliche Vereinfachung ergeben. Aber wir wissen bereits, dass im Fall   zwei solche Funktionale ausreichen, nämlich die beiden Projektionen. Dies nimmt einen weiteren Satz vorweg, den wir unten zeigen wollen: In einem endlich-dimensionalen Vektorraum kann man stets endlich viele solche Abbildungen geschickt auswählen, so dass ein Vektor in   bereits eindeutig durch endlich viele Werte bestimmt ist.

Bisher haben wir nur die Projektionen als Beispiele für Funktionale gesehen. Aus diesen lässt sich eine Vielzahl neuer Funktionale bauen: Addieren wir zum Beispiel die beiden Projektionen von  , so erhalten wir die Abbildung  . Skalieren wir nun dieses Funktional noch mit  , so erhalten wir die Abbildung   -- also den Mittelwert von   und  . Die Operationen "Addieren" und "Skalieren", die wir hier auf die Funktionale angewendet haben, erinnern an Vektorraumoperationen. Und tatsächlich wird der Dualraum durch diese Operationen zum Vektorraum.

DefinitionBearbeiten

Wir haben bereits im Abschnitt Funktionenräume gesehen, dass die Menge der linearen Abbildungen   zwischen zwei Vektorräume   und   über einem Körper   wieder ein Vektorraum (über dem gleichen Körper) ist. Wir werden im Folgenden den Spezialfall   betrachten. Dann erhalten wir sofort folgenden Satz:

Satz (  ist ein Vektorraum über  )

Mit den beiden Verknüpfungen

 

und

 

ist   ein  -Vektorraum.

Damit erhalten wir folgende Definition des Dualraums:

Definition (Dualraum)

Sei   ein Vektorraum über einem Körper  . Dann heißt der Raum der linearen Abbildungen   zwischen den K-Vektorräumen   und   Dualraum von  . Man schreibt:

 

BeispieleBearbeiten

Beispiel (Ableitung)

Sei   der Raum der einmal stetig-differenzierbaren Funktionen  . Die Abbildung

 

für einen festen Punkt   ist linear. Das heißt: Für   und   gilt

 

Dies folgt aus den Eigenschaften der Ableitung.

Beispiel (Integral)

Sei   der Raum der stetigen Funktionen  . Die Abbildung

 

ist linear. Das heißt: Für   und   gilt

 

Dies folgt aus bekannten Eigenschaften des Integrals.

Beispiel (Limes von konvergenten Folgen)

Sei   der Raum der konvergenten Folgen  . Weil Summen und skalare Vielfache konvergenter Folgen wieder konvergente Folgen sind, ist   ein  -Vektorraum. Einen detaillerten Beweis der Vektorraumeigenschaften kannst Du hier nachlesen.

Die Abbildung  , die eine Folge auf ihren Grenzwert schickt, ist  -linear, da Grenzwertbildung linear ist. Dies folgt aus den Eigenschaften des Grenzwertes.

Beispiel (Polynomraum und Auswertungsabbildung)

Sei   ein Körper. Wir betrachten den Polynomring   als  -Vektorraum. Für ein   definieren wir die Abbildung

 

die ein Polynom an der Stelle   auswertet.

Diese Abbildung ist  -linear, also ein Element von  .

Tatsächlich: Für   und   gilt:

 

Beispiel (Koordinatenräume)

Sei   ein Körper. Sei   der  -Vektorraum   für ein  . Dann sind die Projektionen auf die Koordinaten (wie in der Motivation) Beispiele für Elemente des Dualraums von  . Mit Hilfe von Skalarprodukten können wir das verallgemeinern.

Für   ist das Skalarprodukt definiert durch

 

Für den   und den   kennt man das vielleicht schon aus der Schule.

Sei nun   der  -te Standardeinheitsvektor, d.h.   und   für  . Dann ist  .

Die Abbildung "Skalarprodukt mit   nehmen" ist also gleich der Projektion auf die  -te Koordinate. Allgemeiner entspricht die Abbildung "Skalarprodukt mit   nehmen" der Projektion auf  .
 
Projektion von w auf v
Falls   ist die Länge der Projektion von   auf   gegeben durch   (siehe Bild).

Insbesondere ist diese Abbildung also ein Element des Dualraums.

Wir können nun für einen allgemeinen Vektor   die Abbildung

 

betrachten. Man kann nachrechnen, dass diese Abbildung linear ist und somit ein Element des Dualraums von  .

To-Do:

nachrechnen

Tatsächlich kann man zeigen, dass das schon alle Elemente des Dualraums ergibt.

To-Do:

beweisen (kommt evtl. weiter unten)

Duale AbbildungenBearbeiten

Definition (Duale Abbildung)

Seien   zwei  -Vektorräume und   eine lineare Abbildung. Die zu   duale Abbildung   ist definiert durch

 

Hinweis

Bemerke, dass sich die Reihenfolge der Vektorräume   und   umdreht.

Außerdem ist nicht offensichtlich, dass die Abbildung   tatsächlich im Dualraum   liegt. Dass das der Fall ist, zeigt der nächste Satz.

Satz (Linearität der dualen Abbildung)

Sei   eine lineare Abbildung. Dann ist   eine wohldefinierte lineare Abbildung.

Beweis (Linearität der dualen Abbildung)

Wir müssen zeigen, dass für jedes   die Abbildung   linear ist, d.h., dass   in   liegt. Weiterhin müssen wir zeigen, dass die Abbildung  , die   auf   abbildet, ebenfalls linear ist. Wichtig: das sind verschiedene Aussagen!

Beweisschritt: Linearität von  

Seien   und  . Aus der Linearität von   erhalten wir, dass  . Außerdem ist  . Dies zeigt,   liegt in  , d.h.   ist wohldefiniert.

Beweisschritt: Additivität

Seien  . Wir müssen zeigen, dass  . Bei den Objekten auf beiden Seiten handelt es sich um Elemente von  , d.h. um lineare Abbildungen  . Um zu zeigen, dass sie gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie für jedes   den selben Wert annehmen. Sei  . Wir rechnen:

 

Dabei verwenden wir die Definition der Addition auf   und  .

Beweisschritt: Homogenität

Seien   und  . Wir müssen zeigen, dass  . Wir gehen vor wie bei der Additivität. Sei  . Wir rechnen:

 

Dabei verwenden wir die Definition der Skalarmultiplikation auf   und  .

Satz (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Seien   und   lineare Abbildungen. Dann gilt  .

Beweis (Duale Abbildungen und Verknüpfungen)

Beide Seiten der Gleichung sind Abbildungen  . Um zu zeigen, dass beide Seiten gleich sind, müssen wir also zeigen, dass sie auf jedem Element von   denselben Wert in   annehmen. Sei  . Dann gilt nach Definition

 

Dies zeigt die Behauptung.

Satz (Restriktion und Inflation)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Unterraum. Sei   die duale Abbildung zur Einbettung  . Diese Abbildung nennen wir Restriktion.

Sei   die duale Abbildung zur Projektion  . Diese Abbildung nennen wir Inflation.

Dann gilt:

  1.   ist surjektiv.
  2.   ist injektiv.
  3.  .
  4. Für   gilt  .
  5. Für   und   gilt  .

Beweis (Restriktion und Inflation)

Beweisschritt:   ist surjektiv

Sei  . Wähle ein Komplement   von  . Dann ist  . Wir definieren   durch   und  . Dann ist  . Außerdem gilt  . Somit ist   ein Urbild von  .

Beweisschritt:   ist injektiv

Sei   ein Homomorphismus, der im Kern von   liegt. Das bedeutet, dass   die Nullabbildung ist. Dies wiederum heißt, dass für alle   die Gleichung   gilt. Da   surjektiv ist, sind alle Elemente aus   als  , für ein  , schreibbar. Damit haben wir aber gezeigt, dass   bereits die Nullabbildung ist. Daher muss   injektiv sein.

Beweisschritt:  

Beachte zunächst, dass  .

Wir zeigen nacheinander beide Inklusionen.

Beweisschritt:  

Sei  . Dann gibt es   sodass  . Nun ist aber  , da  . Damit ist  .

Beweisschritt:  

To-Do:

TODO

Beweisschritt: Für   gilt  

Dies folgt, da für   gilt:  .

Beweisschritt: Für   und   gilt  

Dies folgt direkt aus der Definition der dualen Abbildung.

EigenschaftenBearbeiten

Satz (Trennungslemma)

Sei   ein  -Vektorraum,   ein Untervektorraum endlicher Dimension  . Zu jedem Vektor   aus   exisitiert eine duale Abbildung   mit   und   für alle  .

Beweis (Trennungslemma)

Wir wissen, dass eine Basis   von   existiert. Weiterhin wissen wir, dass die Menge   linear unabhängig ist, da   nicht in   liegt. Wir betrachten nun den Basisvektor   aus dem Dualraum   zum Unterraum  . Für diesen gelte:   und  . Die vom Satz geforderte Abbildung   erhalten wir nun durch:   für   und   für  .

Satz (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Sei   ein  -Vektorraum und  . Falls   für alle  , so gilt  .

Beweis (Ein Vektor ist durch seine Werte auf den Dualraumelementen eindeutig bestimmt)

Wir zeigen die Kontraposition. Wir nehmen also an, dass  , und zeigen, dass ein   existiert mit  . Da   gilt, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass  . Ansonsten vertauschen wir   und  . Sei   der von   erzeugte Unterraum. Wir unterscheiden nun zwei Fälle. Falls  , so existiert   mit  . Da  , gilt  . Ergänze   zu einer Basis   von  . Wir wollen nun   mittels lineare Fortsetzung definieren.

To-Do:

link

Definiere   durch   und   für  . Folglich gilt wegen der Linearität  .

Falls  , so existiert nach dem Trennungslemma ein   mit   und   für alle  . Da  , gilt insbesondere  . Somit haben wir  .

  • Orthogonalen Komplemente (links und rechts)
  • Einbettung in den Dualraum via dualer Basis (Basenabhängig!), Isomorphismus im endlich-dimensionalen Fall
  • Definition BiDualraum?

Satz (Einbettung in den Bidualraum)

Sei   ein  -Vektorraum. Dann ist die Abbildung

 

ein Monomorphismus von Vektorräumen.

Ist   endlich dimensional, so ist   sogar ein Isomorphismus.

Hinweis

Insbesondere muss für diese Einbettung keine Basis gewählt werden, im Gegensatz zur Einbettung in den Dualraum via der dualen Basis!

Beweis (Einbettung in den Bidualraum)

Zunächst müssen wir zeigen, dass   wohldefiniert und linear ist.

Beweisschritt:   ist wohldefiniert

Sei  . Wir müssen zeigen, dass   eine lineare Funktion   ist.

Beweisschritt:   ist additiv

Seien  . Dann gilt:

 

Beweisschritt:   ist homogen

Seien  . Dann gilt:

 

Also haben wir gezeigt, dass   tatsächlich wohldefiniert ist.

Beweisschritt:   ist linear

Beweisschritt:   ist additiv

Seien  . Wir müssen zeigen, dass  . Zwei Funktionen   sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also   ein Element aus dem Dualraum  . Dann gilt:

 

Beweisschritt:   ist homogen

Seien  . Wir müssen zeigen, dass  . Zwei Funktionen   sind gleich, falls sie punktweise in allen Punkten übereinstimmen. Sei also   ein Element aus dem Dualraum  . Dann gilt:

 

Beweisschritt:   ist injektiv

Es genügt zu zeigen, dass  . Sei also  . Dies bedeutet, dass die Abbildung   die Nullabbildung ist. In anderen Worten:   für alle  . Allerdings gilt auch für  , dass   für alle  .

Nun folgt aber direkt, dass  , da Elemente bereits durch ihre Werte auf dem Dualraum bestimmt sind.

Falls   endlich-dimensional ist, wissen wir, dass   injektiv ist, genau dann, wenn   bijektiv ist. In diesem Fall ist also   ein Isomorphismus.

Satz (Direkte Summe und direktes Produkt)

Sei   ein Körper. Sei   eine Indexmenge. Dann ist  .

Beweis (Direkte Summe und direktes Produkt)

Wir zeigen, dass

 

ein Isomorphismus ist.

  1.   ist ein Vektorraumhomomorphismus

Für   und   und   ist  , daher ist  .

  1.   ist ein Vektorraumisomorphismus mit Inversem
 

  ist wohldefiniert, denn: Für   gilt:   für alle bis auf endlich viele  . Daher ist für alle   und   die Summe   endlich, insbesondere also wohldefiniert und ein Element aus  .

  1.   ist eine Umkehrabbildung zu  . Für   und   gilt:   . Da   eine Basis von   ist und   beide  -linear sind, folgt  .

Für  und   gilt  . Es fogt  .

Also ist   Umkehrabbildung zu  .   ist damit ein bijektiver Vektorraumhomomorphismus, also ein Vektorraumisomorphismus.

  • Dieser Bidualeinbettung ist dasselbe wie in Dualraum mit dualer Basis, und dann Bidualraum mit bidualer basis.
  • Isomorphismus in den Bidualraum falls endlich-dimensional
  • Biduale Abbildung ist mit ursprünglicher Abbildung über diesen Iso kompatibel
  • Darstellende Matrix von der dualen Abbildung bezgl. dualer Basis ist transponierte (adjungierte?) der darstellenden Matrix.
  • Anmerkung: bei unendlich-dimensionalen topologischen Vektorräumen über einem topologischen Körper sind nicht alle Elemente des Dualraums stetig! => Topologischer Dualraum aller stetigen Abbildungen in den Grundkörper.
  • Dualitätsprinzip,