Funktionenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel betrachten wir Funktionenräume. Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Abbildungen $f\colon X\to V$ von einer nichtleere Menge $X$ in einen Vektorraum $V$ sind.

Herleitung

Ein Vektorraum mit überabzählbar vielen Einträgen

Wir haben einige Beispiele für $K$-Vektorräume über einem allgemeinen Körper $K$ kennengelernt: Für eine natürliche Zahl $n$ gibt es den Koordinatenraum $K^{n}$. Die Vektoren in $K^{n}$ sind Tupel $(x_{1},\dots ,x_{n})$ mit $x_{i}\in K$. Die Vektoren in $K^{n}$ haben also $n$ Koordinaten. Im Folgenraum $\omega$ sind die Vektoren Folgen in $K$, d.h. die Vektoren haben die Form $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots )$ mit $x_{i}\in K$. Intuitiv haben die Vektoren im Folgenraum $\omega$ so viele Koordinaten, wie es natürliche Zahlen gibt, also abzählbar unendlich viele.

Gibt es einen Vektorraum, dessen Vektoren noch mehr als abzählbar unendlich viele Koordinaten haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns erst überlegen, wie wir Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten gefunden haben. Dafür haben wir Folgen über dem Körper $K$ betrachtet. Formal ist eine Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ eine Funktion

${\begin{aligned}\mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto x_{i}\end{aligned}}$

Also besteht der Folgenraum $\omega$ aus allen Funktionen aus den natürlichen Zahlen $\mathbb {N}$ in den Körper $K$. Weil der Definitionsbereich der Funktionen die abzählbar unendliche Menge $\mathbb {N}$ ist, haben die Vektoren im Folgenraum abzählbar unendlich viele Koordinaten.

Wir können auch Funktionen aus einer Menge, die mächtiger als $\mathbb {N}$ ist, untersuchen. Dafür nehmen wir eine überabzählbare Menge $X$ und betrachten alle Funktionen $X\to K$. So erhalten wir die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $K$:

$\operatorname {Abb} (X,K):=\left\{f\mid f\colon X\to K\right\}$

Was ist eine mögliche Vektorraumstruktur auf $\operatorname {Abb} (X,K)$? Wieder können wir uns anschauen, wie die Vektorraumstruktur beim Folgenraum funktioniert. Im Folgenraum ist die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert, d.h. für zwei Folgen $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$, $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und einem Skalar $\lambda \in K$ gilt

${\begin{aligned}(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }+(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }&=(x_{i}+y_{i})_{i\in \mathbb {N} }\\\lambda \cdot (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }&=(\lambda \cdot x_{i})_{i\in \mathbb {N} }.\end{aligned}}$

Wir erinnern uns, dass die Folgen die Folgen $x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ und $y=(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ formal Funktionen $x$ und $y\colon \mathbb {N} \to K$ sind:

${\begin{aligned}x\colon \mathbb {N} &\to K,\ i\mapsto x(i)=x_{i}\\y\colon \mathbb {N} &\to K,\ i\mapsto y(i)=y_{i}\end{aligned}}$

Wie sieht die Funktionsvorschrift von $x+y$ und $\lambda \cdot x$ aus? Es ist

${\begin{aligned}x+y\colon \mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto x_{i}+y_{i}=x(i)+y(i)\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\lambda \cdot x\colon \mathbb {N} &\to K\\i&\mapsto \lambda \cdot x_{i}=\lambda \cdot x(i)\end{aligned}}$

Also sind die Funktionen $x+y$ und $\lambda \cdot x$ definiert durch $(x+y)(i)=x(i)+y(i)$ und $(\lambda \cdot x)(i)=\lambda \cdot x(i)$.

So können wir auch allgemein die Vektoraddition $\boxplus$ und skalare Multiplikation $\boxdot$ in $\operatorname {Abb} (X,K)$ mit einer nichtleeren Menge $X$ definieren. Für zwei Funktionen $f\colon X\to K$ und $g\colon X\to K$ ist $f\boxplus g$ gegeben durch $(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)$ für $x\in X$. Genauso ist die Skalarmultiplikation gegeben durch $(\lambda \boxdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)$.

Der Vektorraum $\operatorname {Abb} (X,K)$ hat für jedes Element in $X$ eine "Koordinate". Da $X$ überabzählbar ist, hat $\operatorname {Abb} (X,K)$ überabzählbar viele Koordinaten.

Verallgemeinerung

Wir haben uns überlegt, dass die Menge aller Abbildungen $\operatorname {Abb} (X,K)$ ein $K$-Vektorraum sein sollte. Können wir noch einen allgemeineren Vektorraum der Abbildungen $\operatorname {Abb} (X,Y)$ finden? Was muss eine Menge $Y$ erfüllen, damit wir eine komponentenweise Addition $\boxplus$ und skalare Multiplikation $\boxdot$ auf $\operatorname {Abb} (X,Y)$ definieren können? Für zwei Abbildungen $f,g\colon X\to Y$ soll $f\boxplus g\colon X\to Y$ gegeben sein durch

$(f\boxplus g)(x)=f(x)+g(x)$

für jedes $x\in X$. Um die Abbildung $f\boxplus g$ zu definieren, muss also $f(x)+g(x)\in Y$ eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen in $Y$ addieren können. Die skalare Multiplikation $\lambda \boxdot f\colon X\to Y$ von $\lambda \in K$ mit der Abbildung $f$ ist definiert durch

$(\lambda \boxdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)$

mit $x\in X$. Hier muss $\lambda \cdot f(x)\in Y$ eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen Elemente aus $K$ mit Elementen in $Y$ multiplizieren können. Wir brauchen also eine skalare Multiplikation in $Y$.

Damit $\operatorname {Abb} (X,Y)$ ein $K$-Vektorraum ist, braucht man in $Y$ eine Addition und skalare Multiplikation. D.h. $Y$ muss ein $K$-Vektorraum sein. Für jeden $K$-Vektorraum $V$ und jede Menge $X$ sollte auch die Menge der Abbildungen $\operatorname {Abb} (X,V)$ einen $K$-Vektorraum bilden. Diesen nennen wir Funktionenraum. Wir werden später noch formal beweisen, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ tatsächlich ein Vektorraum ist.

Definition des Funktionenraums

Sei $K$ ein Körper, $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein $K$-Vektorraum und $X$ irgendeine nichtleere Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$ definieren:

Definition (Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$)

Wir bezeichnen die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $V$ durch $\operatorname {Abb} (X,V)$. Das bedeutet formal $\operatorname {Abb} (X,V):=\{f\,\vert \,f\colon X\to V\,\}$.

Hinweis

Für diese Definition haben wir noch nicht benutzt, dass $V$ ein Vektorraum ist. Es genügt, wenn $V$ eine Menge ist.

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf $\operatorname {Abb} (X,V)$)

Die Addition $\boxplus \colon \operatorname {Abb} (X,V)\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$ ist wie folgt definiert: Die Summe von zwei Abbildungen $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ ist eine Abbildung $f\boxplus g\in \operatorname {Abb} (X,V)$, die durch

$(f\boxplus g)(x):=f(x)+_{V}g(x)$

für alle $x\in X$ gegeben ist.

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation $\boxdot \colon K\times \operatorname {Abb} (X,V)\to \operatorname {Abb} (X,V)$: Für ein Skalar $\lambda \in K$ und eine Abbildung $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ ist die Skalarmultiplikation $\lambda \boxdot f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ definiert durch

$(\lambda \boxdot f)(x):=\lambda \cdot _{V}f(x)$

für jedes $x\in X$.

Hinweis

$f\boxplus g$ und $\lambda \boxdot f$ wie in der obigen Definition sind tatsächlich wieder Abbildungen $X\to V$, da wir sie auf jedem Element $x\in X$ angegeben haben (und $V$ als Vektorraum abgeschlossen unter $+_{V}$ und $\cdot _{V}$ ist).

Hinweis

Für die Definition brauchen wir nur, dass $V$ ein Vektorraum ist, da hier die Addition und die skalare Multiplikation stattfinden. $X$ kann tatsächlich eine beliebige Menge (d.h. ohne algebraischer Struktur) sein.

Erklärung zur Definition der Addition und skalaren Multiplikation

Wir haben die Vektoraddition $\boxplus$ und die skalare Multiplikation $\boxdot$ im Funktionenraum $\operatorname {Abb} (X,V)$ formal definiert. Die Addition ist definiert durch $(f\boxplus g)(x)=f(x)+_{V}g(x)$. Aber was heißt das nun?

Für die Funktionen $f,g\colon X\to V$ haben wir eine Funktion $f\boxplus g\colon X\to V$ definiert. Jede Funktion $X\to V$ ist durch ihre Werte an den $x\in X$ bestimmt. Das heißt, um $f\boxplus g$ zu definieren, müssen wir $(f\boxplus g)(x)$ für $x\in X$ bestimmen. In unserer Definition ist $(f\boxplus g)(x)$ festgelegt als die Addition der Vektoren $f(x)\in V$ und $g(x)\in V$, also $f(x)+_{V}g(x)$.

${\color {OliveGreen}\underbrace {{\color {Blue}\underbrace {(f\boxplus g)} _{{\text{Addition in}} \atop \operatorname {Abb} (X,V)}}(x)} _{{\text{Vektor in }}V}}={\color {Blue}\underbrace {{\color {OliveGreen}\underbrace {f(x)} _{{\text{Vektor in }}V}}+_{V}{\color {OliveGreen}\underbrace {g(x)} _{{\text{Vektor in }}V}}} _{{\text{Addition in }}V}}$

Ähnlich funktioniert die skalare Multiplikation. Für ein Skalar $\lambda \in K$ und eine Funktion $f\colon X\to V$ haben wir die Funktion $\lambda \boxdot f\colon X\to V$ definiert. Die Werte dieser neuen Funktion $(\lambda \boxdot f)(x)$ sind gegeben durch die skalare Multiplikation von $\lambda$ mit dem Vektor $f(x)$, also $\lambda \cdot _{V}f(x)$.

${\color {OliveGreen}\underbrace {{\color {Blue}\underbrace {(\lambda \boxdot g)} _{{\text{Skalare Multiplikation}} \atop {\text{in }}\operatorname {Abb} (X,V)}}(x)} _{{\text{Vektor in }}V}}={\color {Blue}\underbrace {{\color {OliveGreen}\underbrace {\lambda } _{{\text{Skalar in }}K}}\cdot _{V}{\color {OliveGreen}\underbrace {g(x)} _{{\text{Vektor in }}V}}} _{{\text{Skalare Multiplikation in }}V}}$

Der Funktionenraum ist ein Vektorraum

Satz ($V$ ist ein Vektorraum)

$(\operatorname {Abb} (X,V),\boxplus ,\boxdot )$ ist ein $K$-Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? ($V$ ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen. Also müssen wir die acht Vektorraumaxiome beweisen. An der Kommutativität der Addition zeigen wir, wie man solche Beweise führt. Für die Kommutativität müssen wir folgende Aussage beweisen

$\forall f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)\colon f\boxplus g=g\boxplus f$

Seien also $f$ und $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Wir müssen zeigen, dass $f\boxplus g=g\boxplus f$ gilt. Sowohl $f\boxplus g$ als auvch $g\boxplus f$ sind in $\operatorname {Abb} (X,V)$, also Abbildungen von $X$ nach $V$. Wann sind zwei Abbildungen gleich? Sie sind genau dann gleich, wenn sie für jedes $x\in X$ den gleichen Funktionswert haben. Also gilt $f\boxplus g=g\boxplus f$ genau dann, wenn für alle $x\in X$ das Folgende gilt: $(f\boxplus g)(x)=(g\boxplus f)(x)$. Hier können wir nun die Definition von $\boxplus$ benutzen:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=g(x)+_{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(g\boxplus f)(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Beweis ($V$ ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien $f,g,h\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt für $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]((f\boxplus g)\boxplus h)(x)&=(f\boxplus g)(x)+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f(x)+_{V}g(x))+_{V}h(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g(x)+_{V}h(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(g\boxplus h)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(f\boxplus (g\boxplus h))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Da dies für alle $x\in X$ gilt, folgt $(f\boxplus g)\boxplus h=f\boxplus (g\boxplus h)$. Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien $f,g\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt für $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Kommutativität der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=g(x)+_{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=(g\boxplus f)(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Das gilt für alle $x\in X$. Deshalb folgt $f\boxplus g=g\boxplus f$. Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: neutrales Element der Addition

Wir müssen nun zeigen, dass es ein neutrales Element $0_{Abb}\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt.

Das heißt, $f\boxplus 0_{Abb}=f$ soll für alle $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gelten. Wir zeigen, dass die Nullabbildung $0_{Abb}\colon X\to V\ ;x\mapsto 0_{V}$ diese Eigenschaft besitzt.

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt für alle $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus 0_{Abb})(x)&=f(x)+_{V}0_{Abb}(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Addition in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x)\end{aligned}}$

Also folgt $f\boxplus 0_{Abb}=f$. Damit ist gezeigt, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ ein neutrales Element bezüglich der Addition besitzt.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ mit $f\colon X\to V;x\mapsto f(x)$. Wir müssen zeigen, dass es ein $g\in Abb(X,V)$ gibt, sodass $(f\boxplus g)(x)=0_{Abb}(x)$ gilt. Da $(V,+_{V},\cdot _{V})$ ein Vektorraum ist, existiert zu jedem $v\in V$ ein Inverses $-v$ bezüglich "$+_{V}$" mit $v+_{V}(-v)=0_{V}$. Wir definieren $g\colon X\to V,x\mapsto -f(x)$. Es gilt $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Wir zeigen, dass $g$ das Inverse zu $f$ ist. Es gilt für jedes $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em](f\boxplus g)(x)&=f(x)+_{V}g(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\right.}\\[0.3em]&=f(x)+_{V}(-f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Inversenbildung in V bezüglich }}+_{V}\right.}\\[0.3em]&=0_{V}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}0_{Abb}\right.}\\[0.3em]&=0_{Abb}(x)\end{aligned}}$

Also gilt $f\boxplus g=0_{Abb}$.

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ ein $g\in \operatorname {Abb} (X,V)$ gibt mit $f\boxplus g=0_{Abb}$.

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt für $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](\lambda +_{K}\mu )\boxdot f(x)&=(\lambda +_{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot f)(x)+_{V}(\mu \boxdot f)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Weil dies für jedes $x\in X$ gilt, folgt $(\lambda +_{K}\mu )\boxdot f=(\lambda \boxdot f)\boxplus (\mu \boxdot f)$. Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien $\lambda \in K$ und $f,g\in Abb(X,V)$. Für $x\in X$ gilt

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]\lambda \boxdot (f\boxplus g)(x)&=\lambda \boxdot (f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(f(x)+_{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Distributivität in }}V\right.}\\[0.3em]&=(\lambda \cdot _{V}f(x))+_{V}(\lambda \cdot _{V}g(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot f)(x)+_{V}(\lambda \boxdot g)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxplus \right.}\\[0.3em]&=((\lambda \boxdot f)\boxplus (\lambda \boxdot g))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Also ist $\lambda \boxdot (f\boxplus g)=(\lambda \boxdot f)\boxplus (\lambda \boxdot g)$. Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität für Skalare

Seien $\lambda ,\mu \in K$ und $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$. Dann gilt für $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]((\lambda \cdot _{K}\mu )\boxdot f)(x)&=(\lambda \cdot _{K}\mu )\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Assoziativität der Multiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \cdot _{V}f(x))\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=\lambda \cdot _{V}(\mu \boxdot f)(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em]&=(\lambda \boxdot (\mu \boxdot f))(x)\\[0.3em]\end{aligned}}$

Somit gilt $(\lambda \cdot _{K}\mu )\boxdot f=\lambda \boxdot (\mu \boxdot f)$. Damit ist das Assoziativgesetz für Skalare gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei $f\in \operatorname {Abb} (X,V)$ und sei außerdem $1_{K}$ das neutrale Element bezüglich der Multiplikation im Körper $K$. Dann gilt für jedes $x\in X$:

${\begin{aligned}&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}\boxdot \right.}\\[0.3em](1_{K}\boxdot f)(x)&=1_{K}\cdot _{V}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Neutrales Element der Skalarmultiplikation in }}V\right.}\\[0.3em]&=f(x).\end{aligned}}$

Da das für alle $x\in X$ gilt, folgt $1_{K}\boxdot f=f$. Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Hinweis

Einige zählen die Abgeschlossenheit der Addition und der skalaren Multiplikation auch noch zu den Vektorraumaxiomen. Diese folgen aber daraus, dass $V$ selbst ein $K$-Vektorraum ist. Das haben wir uns im Hinweis nach der Definition der Verknüpfungen überlegt.

Außerdem muss gelten, dass $\operatorname {Abb} (X,V)$ nicht leer ist. Dies folgt direkt aus der Existenz eines neutralen Elements bezüglich der Addition.

Die Menge der differenzierbaren Funktionen als Untervektorraum eines Funktionsraums

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge $X$ in einen $K$-Vektorraum $V$ wieder ein $K$-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall $X=]0,1[\subseteq \mathbb {R}$, $K=\mathbb {R}$ und $V=\mathbb {R}$. Wir wissen bereits, dass $V$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ein $\mathbb {R}$-Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$. Wir bezeichnen diese mit ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Satz

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ bildet einen $\mathbb {R}$-Vektorraum.

Beweis

Die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$ ist eine Teilmenge der Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to \mathbb {R}$, d.h. ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$. Um zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ einen $\mathbb {R}$-Vektorraum bildet, reicht es zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist. Dazu müssen wir die 3 Unterraumkriterien zeigen.

Beweisschritt: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$

Die Funktion $f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto 0$ ist eine differenzierbare Funktion. Also: ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )\neq \emptyset$.

Beweisschritt: Für alle $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Seien $f,g:]0,1[\to \mathbb {R}$ differenzierbar, d.h. $f,g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Funktion $f+g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)+g(x)$ differenzierbar ist. Folglich gilt $f+g\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Beweisschritt: Für alle $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und alle $\lambda \in \mathbb {R}$ gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Sei $f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ und $\lambda \in \mathbb {R}$. Wir haben in Analysis I gezeigt, dass die Abbildung $\lambda \cdot f:]0,1[\to \mathbb {R} ,x\mapsto \lambda \cdot f(x)$ differenzierbar ist. Somit gilt $\lambda \cdot f\in {\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$.

Damit haben wir gezeigt, dass ${\mathcal {D}}(]0,1[,\mathbb {R} )$ ein $\mathbb {R}$-Untervektorraum von $\operatorname {Abb} (]0,1[,\mathbb {R} )$ ist.

Zusammenhang mit dem Folgenraum

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über $K$ einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge $(a_{n})_{n}$ mit Einträgen in $K$ können wir auffassen als Funktion $\mathbb {N} \to K,n\mapsto a_{n}$. In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionenraums $\operatorname {Abb} (X,V)$, indem wir $X:=\mathbb {N}$ und $V:=K$ setzen.