Aus der Schule kennen wir schon den Vektorraum über dem Körper . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können die Vektoren in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem betrachten. Da ein Vektorraum ist, können wir Vektoren addieren und skalieren.
Wir kennen auch den Vektorraum . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können aus bekommen, indem wir eine der Koordinaten (z.B. die letzte) streichen. Anschaulich gehen wir dann vom 3-dimensionalen Koordinatensystem zur -Ebene über. Beim Weglassen einer Koordinate von geht also die Vektorraumstruktur nicht kaputt. Was passiert, wenn wir eine weitere Koordinate streichen?
Lassen wir z.B. die zweite Koordinate von weg, bleibt nur übrig und wir erhalten ein Element in . Anschaulich gehen wir dadurch von der -Ebene zur -Achse über. Auch hier sollte beim Streichen einer Koordinate die Vektorraumstruktur nicht kaputt gehen.
Die Elemente in können wir (wie Vektoren) addieren und skalieren, denn für alle ist und für alle und ist .
Addition der Vektoren und auf der Zahlengerade
Skalare Multiplikation des Vektors mit dem Skalar auf der Zahlengerade
Jetzt sollte , also unser Körper, ein -Vektorraum sein.
Anschaulich ist dieser Vektorraum die Zahlengerade.
Wir können diese Idee auf einen beliebigen Körper übertragen. Auch in können wir Elemente addieren und mit Skalaren in multiplizieren. Deshalb vermuten wir, dass ein -Vektorraum ist.
Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität der Addition
Seien .
Dann gilt:
Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Neutrales Element der Addition
Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element bezüglich gibt, das heißt für alle . Es liegt auf der Hand, das Nullelement des Körpers als neutrales Element zu verwenden.
Sei .
Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass das neutrale Element der Addition ist.
Im Folgenden werden wir deshalb einfach nur für das neutrale Element schreiben.
Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition
Sei .
Wir müssen zeigen, dass es ein gibt, sodass .
Es liegt nahe, für das Inverse in bezüglich zu wählen, also
Dann gilt:
Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen ein gibt mit .