Der Körper als Vektorraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Sei ein Körper. Wir betrachten nun als Vektorraum über sich selbst.

MotivationBearbeiten

Wir versuchen nun, Beispiele für Vektorräume zu finden. Dazu brauchen wir eine abelsche Gruppe, deren Addition Kompatibel mit der Multiplikation in   ist. Dafür bietet sich der Körper   selbst an.

To-Do:

Besser machen Ideen:

  • Wir schauen in der Mathematik oft, was die Definitionen so an "Extrembeispielen" hergeben. Im Fall von Vektorräumen wären das z.B. der Nullraum und eben K selbst.
  • Geometrisch am 1-dimensionalen reellen Raum (aka Zahlengerade)
  • Siehe oben: Vektorräume benötigen einen Körper und eine abelsche Gruppe. Der Körper selbst ist eine abelsche Gruppe. Win-Win!

Definition der VektorraumstrukturBearbeiten

Sei   ein Körper. Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.

Definition (Vektorraumstruktur auf  )

Wir definieren eine Addition   auf   durch

 

Ähnlich definieren wir eine Skalarmultiplikation   durch

 

Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbstBearbeiten

Satz (  ist ein Vektorraum)

  ist ein  -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? (  ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen.

Beweis (  ist ein Vektorraum)

Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien  .

Dann gilt:

 

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien  .

Dann gilt:

 

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen nun noch zeigen, dass es ein neutrales Element   bezüglich   gibt, das heißt   für alle  . Es liegt auf der Hand, das Nullelement des Körpers   als neutrales Element zu verwenden.

Sei  . Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass   das neutrale Element der Addition ist. Im Folgenden werden wir deshalb einfach nur   für das neutrale Element schreiben.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei  . Wir müssen zeigen, dass es ein   gibt, sodass   .

Es liegt nahe, für   das Inverse in   bezüglich   zu wählen, also  

Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen   ein   gibt mit  .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien   und  .

Dann gilt:

 

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien   und  .

Dann gilt:

 

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien   und  .

Dann gilt:

 

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei  .

Dann gilt:

 

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist   ein  -Vektorraum.