Sei ein Körper. Wir betrachten nun als Vektorraum über sich selbst.
Aus der Schule kennen wir schon den Vektorraum über dem Körper . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können die Vektoren in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem betrachten. Da ein Vektorraum ist, können wir Vektoren addieren und skalieren.
Wir kennen auch den Vektorraum . Die Vektoren in haben die Form mit . Wir können aus bekommen, indem wir eine der Koordinaten (z.B. die letzte) streichen. Anschaulich gehen wir dann vom 3-dimensionalen Koordinatensystem zur -Ebene über. Beim Weglassen einer Koordinate von geht also die Vektorraumstruktur nicht kaputt. Was passiert, wenn wir eine weitere Koordinate streichen?
Lassen wir z.B. die zweite Koordinate von weg, bleibt nur übrig und wir erhalten ein Element in . Anschaulich gehen wir dadurch von der -Ebene zur -Achse über. Auch hier sollte beim Streichen einer Koordinate die Vektorraumstruktur nicht kaputt gehen.
Die Elemente in können wir (wie Vektoren) addieren und skalieren, denn für alle ist und für alle und ist .
-
Addition der Vektoren
und
auf der Zahlengerade
-
Skalare Multiplikation des Vektors
mit dem Skalar
auf der Zahlengerade
Jetzt sollte , also unser Körper, ein -Vektorraum sein.
Anschaulich ist dieser Vektorraum die Zahlengerade.
Wir können diese Idee auf einen beliebigen Körper übertragen. Auch in können wir Elemente addieren und mit Skalaren in multiplizieren. Deshalb vermuten wir, dass ein -Vektorraum ist.
Sei ein Körper.
Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.
Der Körper ist ein Vektorraum über sich selbst
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Satz ( ist ein Vektorraum)
ist ein -Vektorraum.
Beweis ( ist ein Vektorraum)
Wir müssen nun also die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.
Beweisschritt: Assoziativität der Addition
Seien .
Dann gilt:
Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Kommutativität der Addition
Seien .
Dann gilt:
Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.
Beweisschritt: Neutrales Element der Addition
Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition
Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz
Seien und .
Dann gilt:
Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz
Seien und .
Dann gilt:
Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.
Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation
Seien und .
Dann gilt:
Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.
Beweisschritt: Unitäres Gesetz
Sei .
Dann gilt:
Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.
Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist ein -Vektorraum.