Koordinatenräume – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Der Koordinatenraum ist der Vektorraum der -Tupel mit Einträgen in einem Körper, versehen mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Ein Beispiel ist der aus der Schule bekannte Vektorraum .

HerleitungBearbeiten

In der Mathematik benutzt man häufig bestehende Strukturen, um neue Strukturen zu definieren. Wie wir schon in der Einführung zum Vektorraum gesehen haben, können wir die aus der Schule bekannten Vektorräume   und   zu einem Vektorraum   für jede natürliche Zahl   erweitern. Dafür erinnern wir uns daran, wie die Addition von zwei Vektoren und die skalare Multiplikation zwischen einem Vektor und einem Skalar im   und   funktioniert: Wir haben

 

Mit anderen Worten ist die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert. Das heißt, die Addition und skalare Multiplikation im   und   ist dadurch definiert, dass wir jeweils in den einzelnen Komponenten addieren beziehungsweise in jeder Komponente mit dem Skalar multiplizieren. Genau so können wir auch eine Addition und eine skalare Multiplikation definieren, wenn unsere Vektoren nicht aus zwei oder drei, sondern aus   reellen Zahlen bestehen. Das heißt, auf der Menge

 

definieren wir eine Vektoraddition und eine skalare Multiplikation komponentenweise.

Explizit passiert also folgendes: Für die Vektoraddition nutzen wir die Zahlenaddition in   und für die skalare Multiplikation die Zahlenmultiplikation in  . Seien   und   mit  , dann ist die Vektoraddition definiert durch

 

Seien   und  , dann ist die skalare Multiplikation definiert durch

 

Wir können nun leicht überprüfen, dass   mit dieser Vektoraddition und skalaren Multiplikation ein Vektorraun über dem Körper   ist. Tatsächlich machen wir das in einer verallgemeinerten Version weiter unten in diesem Artikel.

Damit haben wir die uns bekannte Struktur der reellen Zahlen   und der Vektorräume   und   auf den Vektorraum   übertragen. Wir bezeichnen   auch als Koordinatenraum der Dimension   von  .

Einfache VerallgemeinerungBearbeiten

Bei der Definition der Vektorraumstruktur auf   haben wir nur die Multiplikation und Addition auf   verwendet. Damit können wir durch die obige Konstruktion auch einen Koordinatenraum über beliebigen Körpern definieren. Schließlich haben wir auf jedem Körper   eine Addition und Multiplikation. Das heißt, wir betrachten analog zu oben die Menge

 

Um jetzt zu einem Koordinatenraum der Dimension   des Körpers   zu gelangen, müssen wir wieder eine Addition und skalare Multiplikation definieren. Dafür kopieren wir die Definition von oben und definieren diese komponentenweise, das heißt wir nutzen in jeder Komponente die Addition und Multiplikation von   um die Addition und skalare Multiplikation auf   zu definieren.

Definition des KoordinatenraumesBearbeiten

Definition (Die Menge  )

Sei   und   ein Körper. Wir definieren

 

Wir bezeichnen die Elemente dieser Menge als  -Tupel mit Einträgen in  .

Beispiel (Beispiele für Tupel)

Zum Beispiel ist   ein  -Tupel mit Einträgen in   (wir sagen statt  -Tupel auch einfach Tupel oder Zahlenpaar).

  ist ein  -Tupel mit Einträgen in   (wir sagen statt  -Tupel auch Tripel).

Sei   ein beliebiger Körper und  . Wir definieren auf der Menge   eine Addition und eine Skalarmultiplikation.

Definition (Vektorraumverknüpfungen auf der Menge  )

Die Addition   ist definiert durch

 

Ähnlich definieren wir die Skalarmultiplikation   durch

 

Wir nennen   Koordinatenraum.

Hinweis

Wir haben bisher ein Tupel als eine Zeile aufgefasst. Das heißt, wir haben   für ein Element im   geschrieben. Genauso gut könnten wir die Elemente statt als eine Zeile mit   Spalten auch als eine Spalte mit   Zeilen auffassen. Dann sähe ein Element im   so aus:

 

Diese andere Darstellung ändert die Eigenschaften von   als Vektorraum nicht. Wenn wir den Vektor   als eine Zeile mit   Spalten auffassen, so heißt   Zeilenvektor. Wenn wir   wiederum als eine Spalte mit   Zeilen auffassen als Spaltenvektor.

Es wird sich bei Matrizen als nützlich erweisen die Vektoren im   als Spaltenvektoren zu schreiben. Daher wollen wir von nun an mit Spaltenvektoren arbeiten. Die Schreibweise eines Spaltenvektors in einer Zeile ist nicht besonders platzsparend. Daher führen wir folgende Notation ein: Wir schreiben anstatt

 
den Vektor als  . Das   bedeutet, dass es sich bei diesem Vektor nicht um einen Zeilen- sondern um einen Spaltenvektor handelt. Die Bezeichnung   rührt daher, dass dieses Kippen des Vektors mit dem Transponieren einer Matrix übereinstimmt.
To-Do:

Artikel zur Transponierten Matrix verlinken, sobald dieser geschrieben wurde.

Der Koordinatenraum ist ein VektorraumBearbeiten

Im Artikel Einführung in den Vektorraum haben wir die obige Konstruktion zunächst über   und dann über beliebigen Körpern genutzt, um die Vektorraumaxiome herzuleiten. Außerdem erfüllen Körper ähnliche Eigenschaften wie Vektorräume und wir haben den Körper sehr direkt dafür benutzt, um die Addition und skalare Multiplikation auf dem Koordinatenraum zu definieren. Daher können wir vermuten, dass die Definition von   und   auf   eine Vektorraumstruktur definiert. Das wollen wir jetzt zeigen.

Satz (  ist ein Vektorraum)

  ist ein  -Vektorraum.

Wie kommt man auf den Beweis? (  ist ein Vektorraum)

Wir gehen vor wie im Artikel Beweise für Vektorräume führen, in dem wir der Reihe nach die acht Vektorraumaxiome prüfen.

Die Definition von   sind genau so gewählt, dass sie die Operationen   im Körper   auf natürliche Weise auf den   übertragen. Wir zeigen, dass die Vektorraumaxiome direkt aus den korrespondierenden Körperaxiomen folgen. Wenn wir also die gefragten Eigenschaften der Addition   und skalaren Multiplikation   nachprüfen, können wir sie auf die Eigenschaften von   im Körper   zurückführen.

Beweis (  ist ein Vektorraum)

Wir werden die acht Vektorraumaxiome nachprüfen.

Beweisschritt: Assoziativität der Addition

Seien  . Dann gilt:

 

Damit ist die Assoziativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Kommutativität der Addition

Seien  . Dann gilt:

 

Damit ist die Kommutativität der Addition gezeigt.

Beweisschritt: Neutrales Element der Addition

Wir müssen noch zeigen, dass es ein neutrales Element   gibt, für das gilt

 

Da wir alle Eigenschaften auf die entsprechenden Eigenschaften in   zurückführen, nutzen wir hier das neutrale Element der Addition  , um das neutrale Element der Addition   zu konstruieren. Also setzen wir

 

Wir müssen noch die Neutralität des neutralen Elements der Addition prüfen, also  : Dazu sei  . Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass   das neutrale Element der Addition ist.

Beweisschritt: Inverse bezüglich der Addition

Sei  . Wir müssen zeigen, dass es ein   gibt, sodass  . Wir wollen dieses Problem wieder auf die Eigenschaften der Rechenoperationen in   zurückführen. In   gilt, wenn   und  , dann ist  . Daher wählen wir für   das  -Tupel   als potenzielles Inverses. Dann gilt:

 

Damit haben wir gezeigt, dass es zu einem beliebigen   ein   gibt mit  .

Beweisschritt: Skalares Distributivitätsgesetz

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das skalare Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Vektorielles Distributivitätsgesetz

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das vektorielle Distributivgesetz gezeigt.

Beweisschritt: Assoziativität bezüglich Multiplikation

Seien   und  . Dann gilt:

 

Damit ist das Assoziativgesetz für die Multiplikation gezeigt.

Beweisschritt: Unitäres Gesetz

Sei  . Dann gilt:

 

Somit haben wir das unitäre Gesetz gezeigt.

Damit haben wir alle acht Vektorraumaxiome gezeigt und somit ist   ein  -Vektorraum.

Zusammenhang mit dem Körper als VektorraumBearbeiten

Wir haben bereits gesehen, dass   ein  -Vektorraum ist. Dies ist ein Spezialfall der Koordinatenräume  , denn es ist  . Dabei fassen wir die Vektoren   als Elemente des Körpers auf. Wir schreiben dann statt dem  -Tupel   nur  , statt   nur   und statt   nur  .