Lineare Abbildung und darstellende Matrix – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung Bearbeiten

  • Sei   ein Körper. Wir betrachten eine lineare Abbildung  .
  • Wie können wir diese effizient beschreiben?
  • Aus dem Artikel Raum der linearen Abbildungen, wissen wir schon, dass wir   Informationen aus   brauchen, um diese Abbildung zu beschreiben.
  • Wenn   und   groß werden, werden das ziemlich schnell viele Informationen.
  • Wir brauchen einen Weg diese Informationen sinnvoll zu notieren.
  • Dazu: Untersuchen den Weg wie alle diese Daten angegeben werden.
  • Sei   die Standardbasis des  . Dann wissen wir durch das Prinzip der linearen Fortsetzung schon, dass   schon komplett durch die Vektoren   bestimmt.
  • Das heißt wir haben folgende Daten:
 
  • Das ist schon einmal eine erste Übersicht über die Daten der Abbildung.
  • Wenn wir das so schreiben, ist dort ein ziemlicher Notation-Overhead
  • Wir können den Reduzieren: An der  -ten Position steht das Bild des  -ten Basisvektors. Das heißt wir können uns die „ “ sparen.
 
  • Das sieht jetzt fast wie eine Tabelle an Werten aus, in der das Bild des  -ten Basiswektors in der  -ten Spalte steht.
  • Wir können somit noch mehr Notation-Overhead reduzieren und erhalten eine Tabelle mit   Werten:
 
  • Diese Tabelle nennen wir eine Matrix. Diese Matrix ist sozusagen die zu   zugeordnete Matrix.

DefinitonBearbeiten

Definition (Matrix)

Sei   ein Körper und  . Seien   für alle   und  . Dann nennen wir

 

eine   Matrix. Die Menge aller   Matrizen nennen wir  .

Beispiel (Lineare Abbildung von \R^3 nach \R^2)

To-Do:

Diesen Abschnitt zu einem richtigen Beispiel umformulieren, Funktionsvorschrift und Darstellungsmatrix nebeneinander zeigen

 

Aufgabe zur Linearität dieser Abbildung

Im Kapitel Prinzip der linearen Fortsetzung haben wir festgestellt, dass die lineare Abbildung   eindeutig durch die Zuordnung der Basiselemente des Urbildraums definiert ist. Wir können   also auch angeben, indem wir in einer Tabelle zu jedem Vektor   einer Basis jeweils   dazuschreiben. Wir betrachten die kanonische Basis  , das heißt  . Es gilt für die Basisvektoren

 

Dann können wir für die Abbildung

 

die folgende Tabelle aufstellen:

{| class="wikitable"
|-
!<math>  v</math>!!<math> e_1</math>!!<math> e_2</math>!!<math> e_3</math>
|-
|<math>L( v)</math>||<math>\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}</math>||<math>\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}</math>||<math>\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}</math>
|}

Aus der Tabelle lassen sich alle Informationen zu

 

ablesen.

Wenn wir vereinbaren, dass wir mit der kanonischen Basis   arbeiten, erhalten wir über die einfachere Tabelle (Matrix genannt)

 

bereits alle Informationen über  . Damit stellt die Matrix die lineare Abbildung   dar.

Beispiel (Einbettung  )

TODO

Beispiel (Spiegelung in   entlang einer Achse)

Spiegelung in   entlang der x-Achse

Eine Matrix auf einen Vektor anwendenBearbeiten

HerleitungBearbeiten

Eben hast du gesehen, wie man alle Informationen über eine lineare Abbildung in einer Matrix darstellen kann. Wenn wir nun zu einer linearen Abbildung nicht ihre Abbildungsvorschrift, sondern nur ihre Matrix bzgl. einer bestimmten Basis gegeben haben, wissen wir aber noch nicht, wie wir das Bild eines Vektors unter dieser Abbildung berechnen können. Damit werden wir uns jetzt beschäftigen.

Wir rechnen dies am Beispiel einer beliebigen linearen Abbildung   einmal durch. Es sei

  und  

Bezüglich der Standardbasis   des   hat dann   die Matrix  .

Nun möchten wir das Bild eines Vektors   unter der Abbildung   berechnen. Wie könnten wir dabei vorgehen, wenn wir das Bild später nur mit Hilfe der Matrix   ausdrücken wollen?

In   werden alle Informationen bezüglich der Standardbasis dargestellt, deshalb versuchen wir, auch   bezüglich der Standardbasis darzustellen und in dieser Darstellung in   einzusetzen. Dann können wir weiter darauflosrechnen.

 

Das Produkt von   mit   setzen wir einfach als den Ergebnisvektor unserer Rechnung.

Aufgabe

Sei   eine lineare Abbildung und   die zugehörige Matrix. Finde eine Formel, um mithilfe von   zu einem Vektor   den Wert   zu berechnen.

Lösung

Muss noch geschrieben werden.

DefinitionBearbeiten

Definition (Matrix-Vektor-Multiplikation)

Sei   ein Körper,   und  . Dann definieren wir

 

Aus einem anderen Blickwinkel bedeutet das: betrachtet man die Matrix   als Sammlung von Spaltenvektoren,  , so ist das Produkt   eine Linearkombination der Spalten von   mit den Koeffizienten in  :  .

Wie kannst du dir am Besten merken, wie das Anwenden einer Abbildungsmatrix auf einen Vektor funktioniert?Bearbeiten

 
Um eine Abbildungsmatrix auf einen Vektor anzuwenden, rechnest du "Zeile mal Spalte".

Dabei hilft dir die Regel "Zeile mal Spalte", also der erste Eintrag des Ergebnisses ist die erste Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor, der zweite Eintrag ist die zweite Zeile der Matrix mal dem Spaltenvektor (usw. bei größeren Matrizen). Bei jedem Produkt "Zeile mal Spalte" multiplizierst du die zusammengehörigen Einträge (erster mal erster, zweiter mal zweiter usw.) und addierst die Ergebnisse.

Dabei ist es natürlich wichtig, dass der Typ der Matrix und der Typ des Vektors zusammenpassen. Wenn du bisher alles richtig aufgestellt hast, sollte das aber immer der Fall sein, denn zu einer linearen Abbildung   von   nach   gehört eine  -Matrix. Diese kannst du auf Vektoren des  , also des Startvektorraums der Abbildung, anwenden.

Umkehrung: Die induzierte AbbildungBearbeiten

  • Haben gesehen, dass man einige Matrizen als Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung bekommen kann.
  • Aber geht das für alle Matrizen? Und wie sieht dann die entsprechende Abbildung aus?
  • Wenn eine Matrix   von einer linearen Abbildung   kommt, so wissen wir, dass wir den Wert   durch   berechnen können.
  • Wir können also   wiederbekommen, indem wir die Abbildung   bilden.
  • Was passiert nun, wenn wir diese Vorschrift für eine beliebe Matrix verwenden?
    • ist tatsächlich eine Abbildung :) (Begründung)
    • und wird wieder linear (Beweis)

Definition (Induzierte Abbildung)

Sei   eine Matrix über dem Körper  . Dann heißt die Abbildung:

 

die von der Matrix   induzierte lineare Abbildung.

  • Somit haben wir aus einer beliebigen Matrix eine lineare Abbildung generiert
  • Wenn wir eine Abbildung   haben, bekommen wir eine zugehörige Matrix  .
  • Unsere Konstruktion der induzierten Abbildung, ist so gebaut, dass   gilt.
  • Wir können nun die umgekehrte Frage stellen: Also, ob die Darstellungsmatrix einer induzierten Abbildung, wieder die ursprüngliche Matrix ist. ( Explizit erwähnen, dass man prüft, dass die Einträge der Matrizen gleich sind.)

Satz

Die Zuordnungen   und   sind zueinander inverse Bijektionen. Insbesondere ist für jede Matrix   schon  .

Beweis

TODO

  • Wir haben jetzt gesehen, dass jede Matrix von einer linearen Abbildung kommt.