Abbildungsmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Verallgemeinerung auf abstrakte VektorräumeBearbeiten

To-Do:

DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen.

  • Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung   durch eine Matrix beschreiben können.
  • Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben.
  • Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung?
  • Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume   und  , und eine lineare Abbildung  , wie können wir   vollständig beschreiben?
  • Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem   isomorph ist.
  • Also gilt   und  .
  • Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis   von  . Durch Darstellung jedes Vektors in   bzgl.   erhalten wir die Koordinatenabbildung  . Diese ist ein gewählter Isomorphismus  .
  • Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus   nach Wahl einer geordneten Basis   von   durch die Koordinatenabbildung  .
  • Wichtig:   und   müssen geordnete Basen sein, da sich durch unterschiedliche Anordnungen einer Basis unterschiedliche Koordinatenabbildungen ergeben. Wenn wir keine Reihenfolge festlegen, ist die Koordinatenabbildung nicht eindeutig bestimmt.
  • ? Definition geordnete Basis wiederholen?
  • Nun erhalten wir eine Bijektion zwischen   und   durch die Zuordnung  . Die Umkehrabbildung ist durch   gegeben.
  • Wir können nun   wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix   zuordnen und diese als die   zugeordnete Matrix bezeichnen.
  • Wir müssen mit dieser "laxen" Bezeichnung vorsichtig sein! Wir haben weiter oben Basen für einen Isomorphismus wählen müssen.
  • Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, eine Matrix zuzuordnen.
  • Erst nachdem wir geordnete Basen gewählt haben, wurde der Weg eindeutig.
  • Wir sollten also besser sagen: Die   zugeordnete Matrix bezüglich der geordneten Basen   und  .

DefinitionBearbeiten

Definition (Abbildungsmatrix)

Seien   ein Körper,   und    -Vektorräume der Dimension   bzw.  . Sei   eine Basis von   mit Koordinatenabbildung   und   eine Basis von   mit Koordinatenabbildung  . Sei   eine lineare Abbildung. Definiere   durch  . Nun ist die Abbildungsmatrix von   bzgl. der Basen   und   gegeben durch die zugehörige Matrix von  , d.h. die  -te Spalte der   Matrix enthält das Bild   des  -ten Standardbasisvektors unter  . Wir schreiben diese als  .

  • Andere Begriffe für Abbildungsmatrix nennen: Darstellungsmatrix, zugeordnete Matrix

Rechnen mit AbbildungsmatrizenBearbeiten

Berechnung einer AbbildungsmatrixBearbeiten

To-Do:

Auf DAS Diagram verweisen

  • Wie können wir das jetzt konkret ausrechnen?
  • Wir wollen den Wert von   berechnen.
  • Die definierende Eigenschaft von   ist, dass   gilt.
  • Das heißt es gilt  .
  • Um den  -ten eintrag von   zu finden, müssen wir den  -ten Eintrag von   bestimmen.
  • Nun hat   eine Basisdarstellung  . Das heißt es gilt  
  • Damit ist der  -te Eintrag von   als der Eintrag   aus der Basisdarstellung   gegeben.

Definition (Abbildungsmatrix, alternative)

Seien   ein Körper,   und   endlich-dimensionale  -Vektorräume. Sei   eine Basis von   und   eine Basis von  . Sei   eine lineare Abbildung. Seien   so, dass   für alle   gilt. Dann definieren wir die Abbildungsmatrix von   bezüglich   und   als die Matrix  .

Verwendung der AbbildungsmatrixBearbeiten

To-Do:

Notation vereinheitlichen / an den vorherigen Abschnitten anpassen

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor   jedes Vektors   berechnen. Dazu stellen wir zunächst   bezüglich der Basis   von   dar, also  . Dann gilt wegen der Linearität von  

 

Für die Koordinaten   von   bezüglich   gilt also

 .

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken:

 

Die Matrix   heißt Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von   bezüglich   und  .


Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen AbbildungenBearbeiten

  • Haben oben gesehen, dass man nach fester Wahl der geordneten Basen B und C einer Abbildung f auf eindeutige Weise die Matrix M^B_C(f) zuordnen kann.
  • Wir haben in der Herleitung bereits gesehen, dass wir eine Bijektion zwischen   und   haben.
  • Im Artikel Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, dass  .
  • Damit haben wir einen Iso  
  • Die Richtung   ist genau der Weg  .
  • Überleitung zu ausführlichem Weg.
  • Wie sieht nun die Umkehrung dieses Isomorphismusses aus?
  • Wir haben im Abschnitt zur Berechnung von Abbildungsmatrizen schon einmal gesehen, dass die Spalten der Matrix genau die Bilder der Basisvektoren dargestellt in der anderen Basis sind.
  • Wenn wir geordnete Basen   von   und   von   gegeben haben, wollen wir zu einer   Matrix   die Abbildung   finden, für die   gilt.
  • Wir wissen, dass   gelten muss.
  • Aus dem Prinzip der linearen Fortsetzung erhalten wir eine eindeutige linerae Abbildung  , die dies erfüllt.
  • Diese Konstruktion macht folgendes deutlich: Die Abbildungsmatrix speichert genau wie "vorher" in der  -ten Spalte das Bild des  -ten Basisvektors  .
  • Weil allgemeine Vektoren in   nur schwer klassifizierbar sind, stellen wir diese ebenfalls in einer Basis dar. Das heißt wir erhalten
 
  • Wie finden wir jetzt den Wert   für ein gegebenes  ?
  • Wir stellen   in einer bzgl. der Basis   als   dar.
  • Nun können wir eine Matrix-Vektor-Multuplikation   durchführen und erhalten die Koeffizienten bzgl.   von  . Das heißt es gilt  .
  • Für die Basisvektoren   bedeutet dies, dass   das Gewicht von   im Ergebnis von   ist.

BeispieleBearbeiten

To-Do:

Das folgende Beispiel später ausweiten

Beispiel (Anschauliches Beispiel)

Wir betrachten die lineare Abbildung

 

Sowohl im Urbildraum   als auch im Zielraum   wird die kanonische Standardbasis gewählt:

 

Es gilt:

 

Damit ist die Abbildungsmatrix von   bezüglich der gewählten Basen   und  :

 

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Basis)

Wir betrachten wieder die lineare Abbildung   des obigen Beispiels, also

 

Diesmal verwenden wir im Zielraum   die geordnete Basis

 

verwendet. Nun gilt:

 
 
 

Damit erhält man für Abbildungsmatrix von   bezüglich der Basen   und  :

 
  • Wir sehen also, hier explizit, dass die Abbildungsmatrix von der Wahl der Basis abhängt und nicht nur von der Abbildung.
  • Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)

TODO Beispiel für Abbildug

 

mit der Standardbasis ergänzen.

  • Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen:

Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)

Seien  ,   der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus   und   der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus  . Sei   definiert als die Multiplikation eines Polynoms mit der Variable  , d.h. für alle   sei  . Sei   und  .

To-Do:

  berechnen