Vektorielle Operationen für Matrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

HerleitungBearbeiten

  • Wir haben schon gesehen, dass wir lineare Abbildungen als Matrizen darstellen können.
  • Matrizen bilden einen VR
  • Wir können versuchen diese VR-Struktur auf die Matrizen zu übersetzen.
  • Das heißt, wir stellen die Frage: Gegeben endlich dimensionale Vektorräume   und   und geordnete Basen   von   und   von   und  . Können wir eine Addition und skalare Multiplikation auf   finden, sodass   und   für alle linearen Abbildungen   und alle   gilt?
  • In anderen Worten: Gibt es auf   eine Vektorraumstruktur, sodass für alle endlich dimensionalen Vektorräume   und   und alle geordneten Basen   von   und   von  , die Abbildung   linear ist?
  • Ein erster Schritt ist zur Beantwortung dieser Frage ist:

Satz (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

Sei   ein Vektorraum und   eine Menge. Sei   eine bijektive Abbildung. Dann gibt es genau eine Vektorraumstruktur auf  , sodass   linear wird.

Beweis (Bijektive Abbildungen induzieren Vektorraumstrukturen)

To-Do:

Schreiben

  • Wir wollen diese VR-Struktur jetzt konkret ausrechnen.
  • Addition: Seien   die zu   und   zugehörigen linearen Abbildungen mit  .
  • Sei  .
  • Wollen Definieren  . Diese   rechnen wir jetzt aus: In der  -ten Spalte muss   gelten.
  • Laut Def. von   ist aber auch  . Da die Darstellung von   bzgl.   eindeutig ist, folgt  .
  • Das heißt bei der von   auf   induzierten Addition handelt es sich um komponentenweise Addition.
  • Skalarmultiplikation:   lineare Abbildung,  . Seien nun  ,   die zu   zugehörigen linearen Abbildungen mit  . Wir wollen, dass  . Es gilt:  . Des Weiteren haben wir  . Wegen   folgt  . Aus der Eindeutigkeit der Darstellung folgt somit  , d.h.  . Wir sehen, die von   auf   induzierte Skalarmultiplikation ist die komponentenweise Skalarmultiplikation.
  • Wir sehen hier auch, dass die induzierte VR-Struktur unabhängig von unserer Wahl von   und   ist.

DefinitionBearbeiten

  • Wir haben gerade gesehen: Um auf den Matrizen eine sinnvolle Vektorraumstruktur zu definieren, müssen wir die Operationen komponentenweise ausführen. Das heißt wir definieren Addition und skalare Multiplikation, wie folgt:

Definition (Addition von Matrizen)

Sei   ein Körper und seien   und   Matrizen vom gleichen Typ   über  . Dann ist

 
  • Wenn man diese Definition in großen Matrizen ausschreibt, sieht das wie folgt aus.
 

Definition (Skalarmultiplikation von Matrizen)

Sei   ein Körper und   eine Matrix über  . Dann ist für  

 
  • In Matrizen groß ausgeschrieben, sieht das wie folgt aus:
 

Beispiel (Addition von Matrizen)

  • Wir befinden uns in  .
 

Beispiel (Multiplikation mit einem Körperelement)

Als Beispiel nehmen wir die Matrix   und als Körperelement die reelle Zahl  , dann gilt:

 

Satz (Matrizen bilden einen Vektorraum)

Die Menge der  -Matrizen   bildet mit der oben definierten Addition und skalaren Multiplikation einen  -Vektorraum. Dieser Vektorraum hat als neutrales Element der Addition die Nullmatrix   und die additive Inverse einer Matrix   ist  .

Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

  • Aus obigem Satz (verlinken), wie in der Einleitung eine VR-Struktur induzieren.
    • Nimm Abbildungen   mit der VR-Struktur induzier durch Darstellung bzgl. Standardbasis die VR-Struktur
  • Auf die Einleitung verweisen, dass die VR-Strukur so aussieht.
  • Mit dem Satz von oben folgern, dass
  • Wenn wir Matrizen ohne den Kontext als Abbildungsmatrizen betrachten, sehen wir folgendes:
  • Matrizen sind nichts anderes als eine ungewöhnliche Art Elemente des   zu schreiben, da Matrizen aus   Werten bestehen.
  • Genau, wie im   ist bei Matrizen die VR-Struktur Komponentenweise definiert.
  • Das heißt alternativ, bekommen wir von obigem Satz folgenden bedeutend kürzeren Beweis

Alternativer Beweis (Matrizen bilden einen Vektorraum)

  • Wir können den Beweis, dass   ein Vektorraum ist durch obige Umordnung eins zu eins Übertragen.
  • Exemplarisch zeigen wir die Assoziativität der Addition:
To-Do:

TODO

DimensionBearbeiten

  • Bekommen durch obige Umordnung des   eine kanonische Basis von  : Sei   mit
 

Beispiel

In   sind die Basiselemente gegeben durch:

 
  • Das heißt,   ist ein  -dimensionaler  -Vektorraum.
  • Wir haben die VR-Struktur auf   so konstruiert, dass die Zuordnung   ein linearer Isomorphismus ist.
  • Wir bekommen also a posteriori wieder heraus, dass   ein  -dimensionaler  -Vektorraum ist.
  • Natürlich haben wir bei unserer Konstruktion von   schon die Dimension von   verwendet. Das heißt, dies ist kein Beweis für die Dimension des VR der linearen Abbildungen. Es ist aber eine gute Merkhilfe.