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Aufgabe
Bestimme die
-Matrix
, deren Einträge die folgenden Eigenschaften erfüllen:
Lösung
Die Matrix ist von der Form .
Es ergibt sich also:
Aufgaben zur Vektorraumstruktur auf Matrizen
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Die Standardbasis entspricht in diesem Fall mit .
Wie kommt man auf den Beweis? (Herleitung Matrizenaddition)
Schreibe die beiden Abbildungen in der gleichen Tabellenform, wie wir oben dargestellt haben!
Du kannst mit der gleichen Methode direkt die darstellende Matrix von finden.
Es gibt nun eine recht naheliegende Art und Weise, die Matrizenaddition zu definieren. Wenn du diese ausprobierst, solltest du auf das richtige Ergebnis kommen.
Lösung (Herleitung Matrizenaddition)
Wenn wir die Matrizenaddition als Addition der jeweiligen Komponenten definieren, kommen wir zum gewünschten Ergebnis.
Sei obige lineare Abbildung, mit
Lösung (Herleitung Skalarmultiplikation)
Aus der vorigen Aufgabe wissen wir bereits, dass gilt:
Wenn wir nun skalar mit multiplizieren erhalten wir
Daher ist .
Hier siehst du schnell, dass wir auch die Skalarmultiplikation elementweise definieren können. Es gilt
Lösung (Herleitung Matrizenmultiplikation)
Wir wissen schon aus dem Einführungsartikel zu Abbildungsmatrizen, dass und gilt und schreiben nun
Dann ist
Nun berechnen wir:
Mit dem gleichen Argument wie am Anfang dieser Lösung wissen wir nun, dass
gilt.
Aufgabe
Gegeben sei die Matrix . Berechne den Ausdruck .
Lösung
Wir betrachten zunächst jeden Summanden des zu berechnenden Ausdrucks einzeln. Es gilt:
und wegen
ist
Zusammen ergibt sich also:
Aufgabe
Beweise mit Hilfe der Matrizenmultiplikation die Additionstheoreme für den Kosinus und den Sinus, d.h.
Aufgaben zu Abbildungs- und Basiswechselmatrizen
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Aufgabe (Koordinatenvektor bezüglich einer Basis berechnen)
Sei . Berechne den Koordinatenvektor von bezüglich der Basis .
Lösung (Koordinatenvektor bezüglich einer Basis berechnen)
Wir wollen herausfinden, wie der Koordinatenvektor von bezogen auf die Basis aussieht. Dabei erhalten wir ein Gleichungssystem, welches es zu Lösen gilt.
Wir erhalten nun also zwei Gleichungen. Zum Einen
und zum anderen
Durch Lösen dieses Gleichungssystems erhält man und . Damit ergibt sich also für den Koordinatenvektor
Aufgabe
Bestimme den Rang der folgenden Matrix:
Lösung
Wir formen die Matrix in Zeilen-Stufen-Form um und lesen den Rang der Matrix anhand der Anzahl der Nullzeilen ab.
Wir erhalten:
Durch Überführen in Zeilen-Stufen-Form haben wir eine Nullzeile erzeugt. Der Rang unserer Matrix ist also .
Die Kurzschreibweise gibt in diesem Fall an, dass wir die dritte Zeile der Matrix mit dem -fachen der zweiten Zeile addiert haben
Aufgabe
Bestimme den Rang der folgenden Matrix:
Lösung
Wir formen die Matrix in Zeilen-Stufen-Form um und lesen den Rang der Matrix anhand der Anzahl der Nullzeilen ab.
Wir erhalten:
Durch Überführen in Zeilen-Stufen-Form haben wir also gezeigt, dass für die Matrix gilt: .
Wir hätten an dieser Stelle aber auch deutlich schneller sehen können, dass ist. Dazu genügt es nämlich auch zu zeigen, dass die Spaltenvektoren (oder äquivalent die Zeilenvektoren) linear unabhängig sind. Wir entscheiden uns in dem Beispiel für die Spaltenvektoren und zeigen deren lineare Unabhängigkeit. Seien dazu .
Daraus erhalten wir das Gleichungssystem:
mit der einzigen Lösung , womit die lineare Unabhängigkeit der Spaltenvektoren gezeigt ist. Der Rang einer Matrix beschreibt aber gerade die maximale Anzahl an linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix. Also ist .
Die Aufgabe zeigt also, dass es gelegentlich nicht vorteilhaft sein muss, die Matrix in Zeilen-Stufen-Form zu überführen, um den Rang der Matrix abzulesen.