Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar
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Anschaulich ist das Integral einer Funktion
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der
x
{\displaystyle x}
-Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
existiert. Das wollen wir nun beweisen.
Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)
f
{\displaystyle f}
ist stetig auf dem kompakten Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Also ist
f
{\displaystyle f}
beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
gibt es ein
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
, so dass für alle
x
,
y
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x,y\in [a,b]}
mit
|
x
−
y
|
<
δ
{\displaystyle |x-y|<\delta }
gilt
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
<
ϵ
b
−
a
{\displaystyle |f(x)-f(y)|<{\tfrac {\epsilon }{b-a}}}
.
Sei
Δ
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \Delta =(x_{0},\ldots ,x_{n})}
eine Zerlegung von
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Wenn
|
Δ
|
<
δ
{\displaystyle |\Delta |<\delta }
, dann gilt für alle
k
∈
{
0
,
…
,
n
−
1
}
{\displaystyle k\in \{0,\ldots ,n-1\}}
, dass
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
↓
f
ist stetig
=
max
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
min
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
↓
Für alle
x
,
y
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
gilt
|
x
−
y
|
<
δ
<
ϵ
b
−
a
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist stetig}}\right.}\\[0.3em]=\ &\max _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\min _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Für alle }}x,y\in [x_{k},x_{k+1}]{\text{ gilt }}|x-y|<\delta \right.}\\[0.3em]<\ &{\frac {\epsilon }{b-a}}\end{aligned}}}
Folglich gilt
O
(
Δ
,
f
)
−
U
(
Δ
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
)
<
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
ϵ
b
−
a
=
(
b
−
a
)
ϵ
b
−
a
=
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}&O(\Delta ,f)-U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]<\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &(b-a){\frac {\epsilon }{b-a}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}}
Damit ist
f
{\displaystyle f}
riemannintegrierbar.
Monotonie des Riemannintegrals
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Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
und
g
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle g:[a,b]\to \mathbb {R} }
mit
f
≤
g
{\displaystyle f\leq g}
, d.h.
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)\leq g(x)}
für alle
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
, wobei
a
,
b
∈
R
{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }
mit
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
.
To-Do:
Bild von
f
{\displaystyle f}
und
g
{\displaystyle g}
, Funktionen müssen nicht stetig sein
Anschaulich macht es Sinn, dass
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von
f
{\displaystyle f}
ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von
g
{\displaystyle g}
.
Dass
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
, können wir auch folgendermaßen begründen:
Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
To-Do:
Bild von davor mit Ober- und Untersummen
Wir sehen, dass
O
(
Δ
~
,
f
)
≤
O
(
Δ
~
,
g
)
U
(
Δ
~
,
f
)
≤
U
(
Δ
~
,
g
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\leq O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]&U({\tilde {\Delta }},f)\leq U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}}
Da dies für alle Zerlegungen
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
gilt, folgt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,b])\leq I_{+}(g,[a,b])}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(g,[a,b])}
. Also gilt
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
.
Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.
Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)
Es sei
Δ
~
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Wir vergleichen
O
(
Δ
~
,
f
)
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},f)}
und
O
(
Δ
~
,
g
)
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},g)}
.
O
(
Δ
~
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
↓
f
(
x
)
≤
g
(
x
)
für alle
x
∈
[
a
,
b
]
≤
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
=
O
(
Δ
~
,
g
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f(x)\leq g(x){\text{ für alle }}x\in [a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]\end{aligned}}}
Folglich gilt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
f
)
↓
O
(
Δ
,
f
)
≤
O
(
Δ
,
g
)
für alle Zerlegungen
Δ
≤
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
g
)
=
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\leq O(\Delta ,g){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta \right.}\\[0.3em]\leq \ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,g)\\[0.3em]=\ &I_{+}(g,[a,b])\end{aligned}}}
Somit ist
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
↓
f
riemannintegrierbar
=
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
↓
g
riemannintegrierbar
=
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ g{\text{ riemannintegrierbar}}\right.}\\[0.3em]=\ &\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]\end{aligned}}}
Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar
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Beweis
Seien
Δ
1
{\displaystyle \Delta _{1}}
und
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
Zerlegungen des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Bezeichnet
Δ
~
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
eine gemeinsame Verfeinerung von
Δ
1
{\displaystyle \Delta _{1}}
und
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
, so gilt
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
g
)
≥
O
(
Δ
~
,
f
)
+
O
(
Δ
~
,
g
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
)
≥
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
O
(
Δ
~
,
f
+
g
)
≥
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)+O({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\geq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}}
sowie
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
g
)
≤
U
(
Δ
~
,
f
)
+
U
(
Δ
~
,
g
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
)
≤
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
=
U
(
Δ
~
,
f
+
g
)
≤
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)+U({\tilde {\Delta }},g)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}(f(x)+g(x))\\[0.3em]=\ &U({\tilde {\Delta }},f+g)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}}
Folglich gilt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
=
inf
Δ
1
Zerlegung
O
(
Δ
1
,
f
)
+
inf
Δ
2
Zerlegung
O
(
Δ
2
,
g
)
=
inf
Δ
1
,
Δ
2
Zerlegungen
(
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
g
)
)
↓
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
g
)
≥
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
1
,
Δ
2
≥
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)+\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},g)\geq I_{+}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f+g,[a,b])\end{aligned}}}
Genauso zeigen wir
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
≥
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{-}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])}
:
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
=
sup
Δ
1
Zerlegung
U
(
Δ
1
,
f
)
+
sup
Δ
2
Zerlegung
U
(
Δ
2
,
g
)
=
sup
Δ
1
,
Δ
2
Zerlegungen
(
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
g
)
)
↓
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
g
)
≤
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
1
,
Δ
2
≤
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)+\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},g)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},g)\leq I_{-}(f+g,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\end{aligned}}}
Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
≥
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{+}(f+g,[a,b])&\leq I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]I_{-}(f+g,[a,b])&\geq I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}}
Nach Voraussetzung sind die Funktionen
f
{\displaystyle f}
und
g
{\displaystyle g}
riemannintegrierbar. Also gilt:
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
↓
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
und
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
−
(
g
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b]){\text{ und }}I_{+}(g,[a,b])=I_{-}(g,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &I_{-}(f,[a,b])+I_{-}(g,[a,b])\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f+g,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}}
Außerdem wissen wir, dass
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
≥
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f+g,[a,b])\geq I_{-}(f+g,[a,b])}
und somit gilt
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f+g,[a,b])=I_{-}(f+g,[a,b])}
. Also ist
f
+
g
{\displaystyle f+g}
riemannintegrierbar. Weiter gilt
∫
a
b
(
f
(
x
)
+
g
(
x
)
)
d
x
=
I
+
(
f
+
g
,
[
a
,
b
]
)
=
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
+
I
+
(
g
,
[
a
,
b
]
)
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}\left(f(x)+g(x)\right)\mathrm {d} x=I_{+}(f+g,[a,b])=I_{+}(f,[a,b])+I_{+}(g,[a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x}
Beweis (Faktorregel)
Sei
Δ
~
=
(
x
0
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Wir betrachten zwei Fälle:
λ
≥
0
{\displaystyle \lambda \geq 0}
λ
<
0
{\displaystyle \lambda <0}
Fall 1:
λ
≥
0
{\displaystyle \lambda \geq 0}
Es gilt:
O
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
λ
⋅
f
(
x
)
↓
λ
≥
0
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
⋅
λ
⋅
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
O
(
Δ
~
,
f
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}}
und
U
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
λ
⋅
f
(
x
)
↓
λ
≥
0
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
⋅
λ
⋅
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
U
(
Δ
~
,
f
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda \geq 0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}}
Somit gilt
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
λ
f
)
↓
O
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
λ
O
(
Δ
~
,
f
)
für alle Zerlegungen
Δ
~
=
inf
Δ
Zerlegung
λ
O
(
Δ
,
f
)
=
λ
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
f
)
=
λ
⋅
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}}
und
I
−
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
sup
Δ
Zerlegung
U
(
Δ
,
λ
f
)
↓
U
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
λ
U
(
Δ
~
,
f
)
für alle Zerlegungen
Δ
~
=
sup
Δ
Zerlegung
λ
U
(
Δ
,
f
)
=
λ
sup
Δ
Zerlegung
U
(
Δ
,
f
)
=
λ
⋅
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}}
Also:
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
↓
f
ist riemannintegrierbar, d.h.
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}}
Damit ist die Funktion
λ
f
{\displaystyle \lambda f}
riemannintegrierbar und es gilt
∫
a
b
λ
f
(
x
)
d
x
=
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}
Fall 2:
λ
<
0
{\displaystyle \lambda <0}
Es gilt:
O
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
λ
⋅
f
(
x
)
↓
λ
<
0
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
⋅
λ
⋅
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
U
(
Δ
~
,
f
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}}
und
U
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
λ
⋅
f
(
x
)
↓
λ
<
0
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
⋅
λ
⋅
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
λ
⋅
O
(
Δ
~
,
f
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&U({\tilde {\Delta }},\lambda f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}\lambda \cdot f(x)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\cdot \lambda \cdot \sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot \sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]\end{aligned}}}
Somit gilt
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
λ
f
)
↓
O
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
λ
U
(
Δ
~
,
f
)
für alle Zerlegungen
Δ
~
=
inf
Δ
Zerlegung
λ
U
(
Δ
,
f
)
↓
λ
<
0
=
λ
sup
Δ
Zerlegung
U
(
Δ
,
f
)
=
λ
⋅
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda U({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}}
und
I
−
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
sup
Δ
Zerlegung
U
(
Δ
,
λ
f
)
↓
U
(
Δ
~
,
λ
f
)
=
λ
O
(
Δ
~
,
f
)
für alle Zerlegungen
Δ
~
=
sup
Δ
Zerlegung
λ
O
(
Δ
,
f
)
↓
λ
<
0
=
λ
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
f
)
=
λ
⋅
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,\lambda f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U({\tilde {\Delta }},\lambda f)=\lambda O({\tilde {\Delta }},f){\text{ für alle Zerlegungen }}{\tilde {\Delta }}\right.}\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}\lambda O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lambda <0\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}}
Also:
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
↓
f
ist riemannintegrierbar, d.h.
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ f{\text{ ist riemannintegrierbar, d.h. }}I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])\right.}\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &I_{-}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]\end{aligned}}}
Damit ist die Funktion
λ
f
{\displaystyle \lambda f}
riemannintegrierbar und es gilt
∫
a
b
λ
f
(
x
)
d
x
=
I
+
(
λ
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
⋅
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
λ
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{a}^{b}\lambda f(x)\mathrm {d} x\\[0.3em]=\ &I_{+}(\lambda f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \cdot I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\lambda \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}
Additivität der Grenzen beim Riemannintegral
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Satz
Seien
a
,
b
,
c
∈
R
{\displaystyle a,b,c\in \mathbb {R} }
mit
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle a\leq c\leq b}
. Sei weiter
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
eine Funktion. Dann ist
f
{\displaystyle f}
genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
, wenn
f
{\displaystyle f}
auf den Intervallen
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,c]}
und
[
c
,
b
]
{\displaystyle [c,b]}
jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Beweis
Wir beweisen zunächst
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\geq I_{+}(f,[a,b])}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\leq I_{-}(f,[a,b])}
.
Sei
Δ
1
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \Delta _{1}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
eine Zerlegung des Intervalls
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,c]}
und
Δ
2
=
(
w
0
,
…
,
w
l
)
{\displaystyle \Delta _{2}=(w_{0},\ldots ,w_{l})}
eine Zerlegung des Intervalls
[
c
,
b
]
{\displaystyle [c,b]}
. Es gelten also
a
=
x
0
{\displaystyle a=x_{0}}
,
x
n
=
c
=
w
0
{\displaystyle x_{n}=c=w_{0}}
und
w
l
=
b
{\displaystyle w_{l}=b}
. Damit ist
Δ
:=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
,
w
1
,
…
,
w
l
)
{\displaystyle \Delta :=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n},w_{1},\ldots ,w_{l})}
eine Zerlegung des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Es gilt
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
0
l
−
1
(
w
k
+
1
−
w
k
)
sup
x
∈
[
w
k
,
w
k
+
1
]
f
(
x
)
=
O
(
Δ
,
f
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\sup _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}}
sowie
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
0
l
−
1
(
w
k
+
1
−
w
k
)
inf
x
∈
[
w
k
,
w
k
+
1
]
f
(
x
)
=
U
(
Δ
,
f
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=0}^{l-1}(w_{k+1}-w_{k})\inf _{x\in [w_{k},w_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}}
Folglich gilt
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
=
(
inf
Δ
1
Zerlegung
O
(
Δ
1
,
f
)
)
+
(
inf
Δ
2
Zerlegung
O
(
Δ
2
,
f
)
)
=
inf
Δ
1
,
Δ
2
Zerlegungen
(
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
f
)
)
↓
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
f
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
1
,
Δ
2
von
[
a
,
c
]
bzw.
[
c
,
b
]
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\inf _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{1},f)\right)+\left(\inf _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\geq I_{+}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,b])\end{aligned}}}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
=
(
sup
Δ
1
Zerlegung
U
(
Δ
1
,
f
)
)
+
(
sup
Δ
2
Zerlegung
U
(
Δ
2
,
f
)
)
=
sup
Δ
1
,
Δ
2
Zerlegungen
(
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
f
)
)
↓
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
f
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
1
,
Δ
2
von
[
a
,
c
]
bzw.
[
c
,
b
]
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\\[0.3em]=\ &\left(\sup _{\Delta _{1}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{1},f)\right)+\left(\sup _{\Delta _{2}{\text{ Zerlegung}}}U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ Zerlegungen}}}\left(U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\leq I_{-}(f,[a,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta _{1},\Delta _{2}{\text{ von }}[a,c]{\text{ bzw. }}[c,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,b])\end{aligned}}}
Als Nächstes zeigen wir
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,b])\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{-}(f,[a,b])\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])}
.
Sei
Δ
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \Delta =(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
eine beliebige Zerlegung des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Wir wollen eine Verfeinerung
Δ
~
=
(
y
0
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})}
von
Δ
{\displaystyle \Delta }
finden, in der
c
{\displaystyle c}
vorkommt, also
c
=
y
i
{\displaystyle c=y_{i}}
für ein
0
≤
i
≤
m
{\displaystyle 0\leq i\leq m}
gilt.
Falls
c
{\displaystyle c}
bereits in der Zerlegung
Δ
{\displaystyle \Delta }
vorkommt, so können wir einfach
Δ
~
=
Δ
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=\Delta }
wählen.
Andernfalls gibt es ein
0
≤
i
<
n
{\displaystyle 0\leq i<n}
mit
x
i
<
c
<
x
i
+
1
{\displaystyle x_{i}<c<x_{i+1}}
und dann ist
Δ
~
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
i
,
c
,
x
i
+
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{i},c,x_{i+1},\ldots ,x_{n})}
eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt
m
=
n
+
1
{\displaystyle m=n+1}
).
Sei nun also
Δ
~
=
(
y
0
,
y
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{m})}
eine Verfeinerung von
Δ
{\displaystyle \Delta }
mit
c
=
y
i
{\displaystyle c=y_{i}}
. Dann sind
Δ
1
:=
(
y
0
,
y
1
,
…
,
y
i
)
{\displaystyle \Delta _{1}:=(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{i})}
und
Δ
2
:=
(
y
i
,
y
i
+
1
,
…
,
y
m
)
{\displaystyle \Delta _{2}:=(y_{i},y_{i+1},\ldots ,y_{m})}
Zerlegungen der Intervalle
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,c]}
bzw.
[
c
,
b
]
{\displaystyle [c,b]}
. Da
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
eine Verfeinerung von
Δ
{\displaystyle \Delta }
ist, gilt
O
(
Δ
,
f
)
≥
O
(
Δ
~
,
f
)
=
∑
k
=
0
m
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
sup
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
i
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
sup
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
i
m
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
sup
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
=
O
(
Δ
1
,
f
)
+
O
(
Δ
2
,
f
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&O(\Delta ,f)\\[0.3em]\geq \ &O({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\sup _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O(\Delta _{1},f)+O(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}}
Genauso ist
U
(
Δ
,
f
)
≤
U
(
Δ
~
,
f
)
=
∑
k
=
0
m
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
inf
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
i
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
inf
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
+
∑
k
=
i
m
−
1
(
y
k
+
1
−
y
k
)
inf
x
∈
[
y
k
,
y
k
+
1
]
f
(
x
)
=
U
(
Δ
1
,
f
)
+
U
(
Δ
2
,
f
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&U(\Delta ,f)\\[0.3em]\leq \ &U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{i-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)+\sum _{k=i}^{m-1}(y_{k+1}-y_{k})\inf _{x\in [y_{k},y_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &U(\Delta _{1},f)+U(\Delta _{2},f)\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}}
Folglich gilt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
inf
Δ
Zerlegung
O
(
Δ
,
f
)
↓
O
(
Δ
,
f
)
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
von
[
a
,
b
]
≥
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{+}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\inf _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}O(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ O(\Delta ,f)\geq I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\geq \ &I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])\end{aligned}}}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
sup
Δ
Zerlegung
U
(
Δ
,
f
)
↓
U
(
Δ
,
f
)
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
für alle Zerlegungen
Δ
von
[
a
,
b
]
≤
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-}(f,[a,b])\\[0.3em]=\ &\sup _{\Delta {\text{ Zerlegung}}}U(\Delta ,f)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ U(\Delta ,f)\leq I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b]){\text{ für alle Zerlegungen }}\Delta {\text{ von }}[a,b]\right.}\\[0.3em]\leq \ &I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])\end{aligned}}}
Insgesamt haben wir
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])}
und
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{-}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,c])+I_{-}(f,[c,b])}
gezeigt.
Ist nun
f
{\displaystyle f}
riemannintegrierbar auf den Intervallen
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,c]}
und
[
c
,
b
]
{\displaystyle [c,b]}
, so wissen wir
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,c])=I_{-}(f,[a,c])}
und
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[c,b])=I_{-}(f,[c,b])}
.
Daraus folgt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,b])=I_{-}(f,[a,b])}
, d.h.
f
{\displaystyle f}
ist riemannintegrierbar auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
.
Ist hingegen
f
{\displaystyle f}
auf
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,c]}
oder
[
c
,
b
]
{\displaystyle [c,b]}
nicht riemannintegrierbar, so gilt
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
>
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,c])>I_{-}(f,[a,c])}
oder
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
>
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[c,b])>I_{-}(f,[c,b])}
, da
die Ungleichungen
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
≥
I
−
(
f
,
[
a
,
c
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,c])\geq I_{-}(f,[a,c])}
und
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
≥
I
−
(
f
,
[
c
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[c,b])\geq I_{-}(f,[c,b])}
stets erfüllt sind. Daraus folgt
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
>
I
−
(
f
,
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle I_{+}(f,[a,b])>I_{-}(f,[a,b])}
, d.h.
f
{\displaystyle f}
ist
nicht riemannintegrierbar auf
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.
Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
I
+
(
f
,
[
a
,
b
]
)
=
I
+
(
f
,
[
a
,
c
]
)
+
I
+
(
f
,
[
c
,
b
]
)
=
∫
a
c
f
(
x
)
d
x
+
∫
c
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=I_{+}(f,[a,b])=I_{+}(f,[a,c])+I_{+}(f,[c,b])=\int _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x+\int _{c}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Dreiecksungleichung für das Riemannintegral
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Beweis
Um zu zeigen, dass
|
f
|
{\displaystyle |f|}
riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben.
Sei also
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
. Wir müssen eine Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
mit
O
(
Δ
~
,
|
f
|
)
−
U
(
Δ
~
,
|
f
|
)
<
ϵ
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon }
finden. Weil
f
{\displaystyle f}
riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung
Δ
~
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
mit
O
(
Δ
~
,
f
)
−
U
(
Δ
~
,
f
)
<
ϵ
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)<\epsilon }
. Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
auch
O
(
Δ
~
,
|
f
|
)
−
U
(
Δ
~
,
|
f
|
)
<
ϵ
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)<\epsilon }
gilt. Dazu beweisen wir zunächst
sup
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
≤
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
{\displaystyle \sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)}
für jedes Intervall
[
c
,
d
]
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}
mit
c
≤
d
{\displaystyle c\leq d}
. Wir führen die Abkürzungen
A
:=
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
{\displaystyle A:=\inf _{x\in [c,d]}f(x)}
,
B
:=
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
{\displaystyle B:=\sup _{x\in [c,d]}f(x)}
,
C
:=
inf
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle C:=\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|}
und
D
:=
sup
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle D:=\sup _{x\in [c,d]}|f(x)|}
ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:
0
≤
A
≤
B
{\displaystyle 0\leq A\leq B}
A
<
0
≤
B
{\displaystyle A<0\leq B}
A
≤
B
<
0
{\displaystyle A\leq B<0}
Zu zeigen ist jeweils
D
−
C
≤
B
−
A
{\displaystyle D-C\leq B-A}
.
Fall 1:
0
≤
A
≤
B
{\displaystyle 0\leq A\leq B}
Fall 2:
A
<
0
≤
B
{\displaystyle A<0\leq B}
Für alle
x
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle x\in [c,d]}
gilt
0
≤
|
f
(
x
)
|
=
max
{
f
(
x
)
,
−
f
(
x
)
}
≤
max
{
B
,
−
A
}
{\displaystyle 0\leq |f(x)|=\max\{f(x),-f(x)\}\leq \max\{B,-A\}}
. Daher ist
C
≥
0
{\displaystyle C\geq 0}
und
D
≤
max
{
B
,
−
A
}
{\displaystyle D\leq \max\{B,-A\}}
. Wegen
B
,
−
A
≥
0
{\displaystyle B,-A\geq 0}
gilt
max
{
B
,
−
A
}
≤
B
−
A
{\displaystyle \max\{B,-A\}\leq B-A}
. Folglich erhalten wir
D
−
C
≤
max
{
B
,
−
A
}
−
0
≤
B
−
A
{\displaystyle D-C\leq \max\{B,-A\}-0\leq B-A}
.
Fall 3:
A
≤
B
<
0
{\displaystyle A\leq B<0}
Damit ist
sup
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
|
f
(
x
)
|
≤
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
{\displaystyle \sup _{x\in [c,d]}|f(x)|-\inf _{x\in [c,d]}|f(x)|\leq \sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)}
für alle Intervalle
[
c
,
d
]
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}
mit
c
≤
d
{\displaystyle c\leq d}
gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle
[
x
k
,
x
k
+
1
]
{\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}
unserer Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
an:
O
(
Δ
~
,
|
f
|
)
−
U
(
Δ
~
,
|
f
|
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
|
f
(
x
)
|
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
|
f
(
x
)
|
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
|
f
(
x
)
|
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
|
f
(
x
)
|
)
≤
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
O
(
Δ
~
,
f
)
−
U
(
Δ
~
,
f
)
<
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},|f|)-U({\tilde {\Delta }},|f|)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}|f(x)|\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]=\ &O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\\[0.3em]<\ &\epsilon \end{aligned}}}
Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion
|
f
|
{\displaystyle |f|}
riemannintegrierbar ist. Da
f
(
x
)
≤
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle f(x)\leq |f(x)|}
für alle
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen
f
{\displaystyle f}
und
|
f
|
{\displaystyle |f|}
anwenden und erhalten
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}
Gemäß der Faktorregel ist die Funktion
−
f
:
[
a
,
b
]
→
R
,
x
↦
−
f
(
x
)
{\displaystyle -f:[a,b]\to \mathbb {R} ,x\mapsto -f(x)}
ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt
∫
a
b
−
f
(
x
)
d
x
=
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x=-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Für alle
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
gilt
−
f
(
x
)
≤
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle -f(x)\leq |f(x)|}
, sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen
−
f
{\displaystyle -f}
und
|
f
|
{\displaystyle |f|}
anwenden können:
∫
a
b
−
f
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}
Schließlich ist
|
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
|
=
max
{
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
−
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
}
=
max
{
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
,
∫
a
b
−
f
(
x
)
d
x
}
≤
∫
a
b
|
f
(
x
)
|
d
x
{\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right|=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,-\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\right\}=\max \left\{\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x,\int _{a}^{b}-f(x)\mathrm {d} x\right\}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}
Hinweis
Aus der Riemannintegrierbarkeit von
|
f
|
{\displaystyle |f|}
kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von
f
{\displaystyle f}
geschlossen werden.
Beispiel
Sei
f
:
[
0
,
1
]
→
R
{\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }
definiert durch
f
(
x
)
=
{
+
1
x
∈
Q
−
1
x
∉
Q
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}+1&x\in \mathbb {Q} \\-1&x\notin \mathbb {Q} \end{cases}}}
Dann gilt
|
f
(
x
)
|
=
1
{\displaystyle |f(x)|=1}
für alle
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
. Deshalb ist die Funktion
|
f
|
{\displaystyle |f|}
riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion
f
{\displaystyle f}
nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall
[
c
,
d
]
⊆
[
0
,
1
]
{\displaystyle [c,d]\subseteq [0,1]}
mit
c
<
d
{\displaystyle c<d}
sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher
O
(
Δ
,
f
)
=
1
{\displaystyle O(\Delta ,f)=1}
, aber
U
(
Δ
,
f
)
=
−
1
{\displaystyle U(\Delta ,f)=-1}
für alle Zerlegungen
Δ
{\displaystyle \Delta }
des Intervalls
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
gilt.
Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbar
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Beweis
Um zu zeigen, dass
f
g
{\displaystyle fg}
riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
-Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben.
Sei also
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
. Wir müssen eine Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
mit
O
(
Δ
~
,
f
g
)
−
U
(
Δ
~
,
f
g
)
<
ϵ
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon }
finden. Da die Funktionen
f
{\displaystyle f}
und
g
{\displaystyle g}
beschränkt sind, existieren reelle Zahlen
S
,
T
>
0
{\displaystyle S,T>0}
mit
|
f
(
x
)
|
≤
S
{\displaystyle |f(x)|\leq S}
und
|
g
(
x
)
|
≤
T
{\displaystyle |g(x)|\leq T}
für alle
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
. Weil
f
{\displaystyle f}
und
g
{\displaystyle g}
riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen
Δ
1
{\displaystyle \Delta _{1}}
und
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
mit
O
(
Δ
1
,
f
)
−
U
(
Δ
1
,
f
)
<
ϵ
2
T
{\displaystyle O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)<{\tfrac {\epsilon }{2T}}}
und
O
(
Δ
2
,
g
)
−
U
(
Δ
2
,
g
)
<
ϵ
2
S
{\displaystyle O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)<{\tfrac {\epsilon }{2S}}}
. Sei
Δ
~
=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
eine gemeinsame Verfeinerung von
Δ
1
{\displaystyle \Delta _{1}}
und
Δ
2
{\displaystyle \Delta _{2}}
. Wir wollen zeigen, dass
O
(
Δ
~
,
f
g
)
−
U
(
Δ
~
,
f
g
)
<
ϵ
{\displaystyle O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)<\epsilon }
gilt. Dazu beweisen wir zunächst
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
S
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
)
+
T
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
)
{\displaystyle \sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\leq S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)}
für jedes Intervall
[
c
,
d
]
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}
mit
c
≤
d
{\displaystyle c\leq d}
. Es gilt
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
g
(
x
)
=
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
y
)
g
(
y
)
)
=
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
y
)
)
+
g
(
y
)
(
f
(
x
)
−
f
(
y
)
)
)
≤
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
f
(
x
)
(
g
(
x
)
−
g
(
y
)
)
)
+
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
g
(
y
)
(
f
(
x
)
−
f
(
y
)
)
)
≤
S
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
g
(
x
)
−
g
(
y
)
)
+
T
sup
x
,
y
∈
[
c
,
d
]
(
f
(
x
)
−
f
(
y
)
)
=
S
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
)
+
T
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sup _{x\in [c,d]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)g(x)-f(y)g(y)\right)\\[0.3em]=\ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))+g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)(g(x)-g(y))\right)+\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(y)(f(x)-f(y))\right)\\[0.3em]\leq \ &S\sup _{x,y\in [c,d]}\left(g(x)-g(y)\right)+T\sup _{x,y\in [c,d]}\left(f(x)-f(y)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\end{aligned}}}
Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle
[
x
k
,
x
k
+
1
]
{\displaystyle [x_{k},x_{k+1}]}
unserer Zerlegung
Δ
~
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}}
an:
O
(
Δ
~
,
f
g
)
−
U
(
Δ
~
,
f
g
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
g
(
x
)
)
≤
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
S
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
g
(
x
)
)
+
T
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
)
)
=
S
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
−
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
)
+
T
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
(
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
−
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
)
=
S
(
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
g
(
x
)
)
+
T
(
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
−
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
)
=
S
(
O
(
Δ
~
,
g
)
−
U
(
Δ
~
,
g
)
)
+
T
(
O
(
Δ
~
,
f
)
−
U
(
Δ
~
,
f
)
)
↓
Δ
~
ist Verfeinerung von
Δ
1
und
Δ
2
≤
S
(
O
(
Δ
2
,
g
)
−
U
(
Δ
2
,
g
)
)
+
T
(
O
(
Δ
1
,
f
)
−
U
(
Δ
1
,
f
)
)
<
S
⋅
ϵ
2
S
+
T
⋅
ϵ
2
T
=
ϵ
{\displaystyle {\begin{aligned}&O({\tilde {\Delta }},fg)-U({\tilde {\Delta }},fg)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\\[0.3em]=\ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)g(x)\right)\\[0.3em]\leq \ &\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(S\left(\sup _{x\in [c,d]}g(x)-\inf _{x\in [c,d]}g(x)\right)+T\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\right)\\[0.3em]=\ &S\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)+T\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\left(\sup _{x\in [c,d]}f(x)-\inf _{x\in [c,d]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}g(x)\right)\\&\qquad {}+T\left(\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)-\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\right)\\[0.3em]=\ &S\left(O({\tilde {\Delta }},g)-U({\tilde {\Delta }},g)\right)+T\left(O({\tilde {\Delta }},f)-U({\tilde {\Delta }},f)\right)\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {\Delta }}{\text{ ist Verfeinerung von }}\Delta _{1}{\text{ und }}\Delta _{2}\right.}\\[0.3em]\leq \ &S\left(O(\Delta _{2},g)-U(\Delta _{2},g)\right)+T\left(O(\Delta _{1},f)-U(\Delta _{1},f)\right)\\[0.3em]<\ &S\cdot {\tfrac {\epsilon }{2S}}+T\cdot {\tfrac {\epsilon }{2T}}\\[0.3em]=\ &\epsilon \end{aligned}}}
Somit ist
f
g
{\displaystyle fg}
riemannintegrierbar.
Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar
Bearbeiten
Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle Ist unsere Funktion
f
{\displaystyle f}
monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite
h
{\displaystyle h}
, können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite
h
{\displaystyle h}
und Höhe
f
(
b
)
−
f
(
a
)
{\displaystyle f(b)-f(a)}
zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite
h
{\displaystyle h}
genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion
f
{\displaystyle f}
riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.
Beweis
Wir nehmen an, dass
f
{\displaystyle f}
monoton steigend ist. Wäre
f
{\displaystyle f}
monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion
−
f
{\displaystyle -f}
betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor
−
1
{\displaystyle -1}
anwenden. Weil
f
{\displaystyle f}
monoton steigend ist, gilt
inf
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
=
f
(
c
)
{\displaystyle \inf _{x\in [c,d]}f(x)=f(c)}
sowie
sup
x
∈
[
c
,
d
]
f
(
x
)
=
f
(
d
)
{\displaystyle \sup _{x\in [c,d]}f(x)=f(d)}
für alle Intervalle
[
c
,
d
]
⊆
[
a
,
b
]
{\displaystyle [c,d]\subseteq [a,b]}
mit
c
≤
d
{\displaystyle c\leq d}
.
Ist
a
=
b
{\displaystyle a=b}
, so ist
f
{\displaystyle f}
konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist
Δ
n
:=
(
x
0
,
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \Delta _{n}:=(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}
mit
x
k
:=
a
+
k
b
−
a
n
{\displaystyle x_{k}:=a+k{\tfrac {b-a}{n}}}
für jedes
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
eine Zerlegung des Intervalls
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
. Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
in
n
{\displaystyle n}
gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:
O
(
Δ
n
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
sup
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
b
−
a
n
f
(
x
k
+
1
)
=
b
−
a
n
(
f
(
x
1
)
+
…
+
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
b
)
)
U
(
Δ
n
,
f
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
(
x
k
+
1
−
x
k
)
inf
x
∈
[
x
k
,
x
k
+
1
]
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
−
1
b
−
a
n
f
(
x
k
)
=
b
−
a
n
(
f
(
a
)
+
f
(
x
1
)
+
…
+
f
(
x
n
−
1
)
)
{\displaystyle {\begin{aligned}O(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\sup _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k+1})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})+f(b)\right)\\[0.3em]U(\Delta _{n},f)&=\sum _{k=0}^{n-1}(x_{k+1}-x_{k})\inf _{x\in [x_{k},x_{k+1}]}f(x)\\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{n-1}{\tfrac {b-a}{n}}f(x_{k})\\[0.3em]&={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(a)+f(x_{1})+\ldots +f(x_{n-1})\right)\end{aligned}}}
Wir stellen fest:
O
(
Δ
n
,
f
)
−
U
(
Δ
n
,
f
)
=
b
−
a
n
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
{\displaystyle O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)={\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)}
Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von
f
{\displaystyle f}
mithilfe des
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
-Kriteriums, denn für alle
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
können wir ein
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
mit
b
−
a
n
(
f
(
b
)
−
f
(
a
)
)
<
ϵ
{\displaystyle {\tfrac {b-a}{n}}\left(f(b)-f(a)\right)<\epsilon }
finden. Für die zugehörige Zerlegung
Δ
n
{\displaystyle \Delta _{n}}
gilt also
O
(
Δ
n
,
f
)
−
U
(
Δ
n
,
f
)
<
ϵ
{\displaystyle O(\Delta _{n},f)-U(\Delta _{n},f)<\epsilon }
.
Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche Riemannintegral
Bearbeiten
Beweis
Wir dürfen annehmen, dass
f
≡
0
{\displaystyle f\equiv 0}
gilt. Andernfalls können wir nämlich
f
{\displaystyle f}
durch die Nullfunktion und
g
{\displaystyle g}
durch
g
−
f
{\displaystyle g-f}
ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass
g
−
f
{\displaystyle g-f}
riemannintegrierbar ist mit
∫
a
b
(
g
(
x
)
−
f
(
x
)
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x=0}
, folgt aus der Summenregel, dass
g
=
(
g
−
f
)
+
f
{\displaystyle g=(g-f)+f}
riemannintegrierbar ist mit
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
(
g
(
x
)
−
f
(
x
)
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(g(x)-f(x))\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}
Sei nun also
f
≡
0
{\displaystyle f\equiv 0}
. Die Stellen, an denen sich
g
{\displaystyle g}
von
f
{\displaystyle f}
unterscheidet, nennen wir
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
. Es gilt also
g
(
x
)
=
{
0
x
≠
x
k
für alle
k
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
y
k
x
=
x
k
für ein
k
∈
{
1
,
2
,
…
,
n
}
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}{\text{ für alle }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\\y_{k}&x=x_{k}{\text{ für ein }}k\in \{1,2,\ldots ,n\}\end{cases}}}
wobei
y
k
:=
g
(
x
k
)
≠
0
{\displaystyle y_{k}:=g(x_{k})\neq 0}
irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich
g
{\displaystyle g}
als Summe der
n
{\displaystyle n}
Funktionen
g
1
,
…
,
g
n
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n}}
schreiben lässt, die durch
g
k
(
x
)
=
{
0
x
≠
x
k
y
k
x
=
x
k
{\displaystyle g_{k}(x)={\begin{cases}0&x\neq x_{k}\\y_{k}&x=x_{k}\end{cases}}}
definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall
k
=
1
{\displaystyle k=1}
beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen
g
k
{\displaystyle g_{k}}
, die sich nur an der einen Stelle
x
k
{\displaystyle x_{k}}
von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich
0
{\displaystyle 0}
ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe
g
{\displaystyle g}
. Sei daher
g
=
g
1
{\displaystyle g=g_{1}}
. Wir dürfen ferner voraussetzen, dass
x
1
∈
{
a
,
b
}
{\displaystyle x_{1}\in \{a,b\}}
ist. Falls nämlich
a
<
x
1
<
b
{\displaystyle a<x_{1}<b}
wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen
[
a
,
x
1
]
{\displaystyle [a,x_{1}]}
und
[
x
1
,
b
]
{\displaystyle [x_{1},b]}
beweisen, wo
x
1
{\displaystyle x_{1}}
jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also
x
1
∈
{
a
,
b
}
{\displaystyle x_{1}\in \{a,b\}}
. Wir können uns auf den Fall
y
1
>
0
{\displaystyle y_{1}>0}
beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion
−
g
{\displaystyle -g}
und wenden danach die Faktorregel für den Faktor
−
1
{\displaystyle -1}
an. Sei daher
y
1
>
0
{\displaystyle y_{1}>0}
. Auch dürfen wir annehmen, dass
a
<
b
{\displaystyle a<b}
ist, da für
a
=
b
{\displaystyle a=b}
die einzige Zerlegung durch
Δ
=
(
a
)
{\displaystyle \Delta =(a)}
gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert
0
{\displaystyle 0}
hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:
Fall 1:
x
1
=
a
{\displaystyle x_{1}=a}
Wir betrachten die Zerlegungen
Δ
n
=
(
a
,
a
+
b
−
a
2
n
,
b
)
{\displaystyle \Delta _{n}=(a,a+{\tfrac {b-a}{2^{n}}},b)}