Eigenschaften des Riemannintegrals – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Übersicht: Eigenschaften des Riemannintegrals Bearbeiten

  • Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar.
  • Monotonie: Aus   für alle   folgt  .
  • Summenregel: Wenn   und   riemannintegrierbar sind, dann sind auch   riemannintegrierbar und es gilt  .
  • Faktorregel: Wenn   riemannintegrierbar ist, dann ist es auch die Funktion   mit   und es gilt  .
  • Additivität der Grenzen: Seien   mit   und sei   eine Funktion. Dann ist   genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall  , wenn   auf den Intervallen   und   jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt  .
  • Dreiecksungleichung: Sei   eine riemannintegrierbare Funktion, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt  .
  • Produktregel: Seien   und   zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar.
  • Monotone Funktionen sind riemannintegrierbar.
  • Wenn sich eine Funktion von einer riemannintegrierbaren Funktion nur an endlich vielen Stellen unterscheidet, dann ist auch sie riemannintegrierbar und ihr Integral ist gleich dem Integral der anderen Funktion.

Herleitung und Beweis der EigenschaftenBearbeiten

Stetige Funktionen sind riemannintegrierbarBearbeiten

Anschaulich ist das Integral einer Funktion   der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion und der  -Achse. Es macht Sinn, dass man diesen Flächeninhalt bei einer stetigen Funktion ausrechnen kann, d.h., dass das Integral   existiert. Das wollen wir nun beweisen.

Satz (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

Seien   und  . Sei   stetig. Dann ist   riemannintegrierbar.

Beweis (Stetige Funktionen sind riemannintegrierbar)

  ist stetig auf dem kompakten Intervall  . Also ist   beschränkt und gleichmäßig stetig. Das heißt, für alle   gibt es ein  , so dass für alle   mit   gilt  . Sei   eine Zerlegung von  . Wenn  , dann gilt für alle  , dass

 

Folglich gilt

 

Damit ist   riemannintegrierbar.

Monotonie des RiemannintegralsBearbeiten

Nun betrachten wir zwei riemannintegrierbare Funktionen   und   mit  , d.h.   für alle  , wobei   mit  .

To-Do:

Bild von   und  , Funktionen müssen nicht stetig sein

Anschaulich macht es Sinn, dass   gilt. Denn die Fläche unter dem Graphen von   ist kleiner oder gleich der Fläche unter dem Graphen von  .

Dass  , können wir auch folgendermaßen begründen:

Wir betrachten die Ober- und die Untersumme für eine beliebige Zerlegung   des Intervalls  .

To-Do:

Bild von davor mit Ober- und Untersummen

Wir sehen, dass

 

Da dies für alle Zerlegungen   gilt, folgt   und  . Also gilt  .

Wir haben uns gerade anschaulich überlegt, warum der folgende Satz gilt. Nun werden wir diesen auch beweisen.

Satz (Monotonie des Riemannintegrals)

Seien   zwei riemannintegrierbare Funktionen und   mit  . Weiter gelte  , d.h. für alle   ist  . Dann gilt

 

Beweis (Monotonie des Riemannintegrals)

Es sei   eine beliebige Zerlegung des Intervalls  . Wir vergleichen   und  .

 

Folglich gilt

 

Somit ist

 

Die Summe zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbarBearbeiten

Satz

Seien   und   zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt

 

Beweis

Seien   und   Zerlegungen des Intervalls  . Bezeichnet   eine gemeinsame Verfeinerung von   und  , so gilt

 

sowie

 

Folglich gilt

 

Genauso zeigen wir  :

 

Bisher haben wir damit folgendes bewiesen:

 

Nach Voraussetzung sind die Funktionen   und   riemannintegrierbar. Also gilt:

 

Außerdem wissen wir, dass   und somit gilt  . Also ist   riemannintegrierbar. Weiter gilt

 

FaktorregelBearbeiten

Satz (Faktorregel)

Sei   eine riemannintegrierbare Funktion, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Sei weiter  . Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt

 

Beweis (Faktorregel)

Sei   eine beliebige Zerlegung des Intervalls  . Wir betrachten zwei Fälle:

  1.  
  2.  

Fall 1:  

Es gilt:

 

und

 

Somit gilt

 

und

 

Also:

 

Damit ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt

 

Fall 2:  

Es gilt:

 

und

 

Somit gilt

 

und

 

Also:

 

Damit ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt

 

Additivität der Grenzen beim RiemannintegralBearbeiten

Satz

Seien   mit  . Sei weiter   eine Funktion. Dann ist   genau dann riemannintegrierbar auf dem Intervall  , wenn   auf den Intervallen   und   jeweils riemannintegrierbar ist. In diesem Fall gilt

 

Beweis

Wir beweisen zunächst   und  . Sei   eine Zerlegung des Intervalls   und   eine Zerlegung des Intervalls  . Es gelten also  ,   und  . Damit ist   eine Zerlegung des Intervalls  . Es gilt

 

sowie

 

Folglich gilt

 

und

 

Als Nächstes zeigen wir   und  . Sei   eine beliebige Zerlegung des Intervalls  . Wir wollen eine Verfeinerung   von   finden, in der   vorkommt, also   für ein   gilt. Falls   bereits in der Zerlegung   vorkommt, so können wir einfach   wählen. Andernfalls gibt es ein   mit   und dann ist   eine Verfeinerung mit der gewünschten Eigenschaft (in diesem Fall gilt  ). Sei nun also   eine Verfeinerung von   mit  . Dann sind   und   Zerlegungen der Intervalle   bzw.  . Da   eine Verfeinerung von   ist, gilt

 

Genauso ist

 

Folglich gilt

 

und

 

Insgesamt haben wir   und   gezeigt.

Ist nun   riemannintegrierbar auf den Intervallen   und  , so wissen wir   und  . Daraus folgt  , d.h.   ist riemannintegrierbar auf  . Ist hingegen   auf   oder   nicht riemannintegrierbar, so gilt   oder  , da die Ungleichungen   und   stets erfüllt sind. Daraus folgt  , d.h.   ist nicht riemannintegrierbar auf  . Hiermit wurde die zu zeigende Äquivalenz bewiesen.

Im Falle der Integrierbarkeit gilt zudem

 

Dreiecksungleichung für das RiemannintegralBearbeiten

Satz

Sei   eine riemannintegrierbare Funktion, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar und es gilt

 

Beweis

Um zu zeigen, dass   riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente  -Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also  . Wir müssen eine Zerlegung   mit   finden. Weil   riemannintegrierbar ist, gibt es eine Zerlegung   mit  . Wir wollen zeigen, dass für diese Zerlegung   auch   gilt. Dazu beweisen wir zunächst   für jedes Intervall   mit  . Wir führen die Abkürzungen  ,  ,   und   ein und unterscheiden zwischen drei Fällen:

  1.  
  2.  
  3.  

Zu zeigen ist jeweils  .

Fall 1:  

Für alle   gilt   und daher  . Somit ist   und  , also  .

Fall 2:  

Für alle   gilt  . Daher ist   und  . Wegen   gilt  . Folglich erhalten wir  .

Fall 3:  

Für alle   gilt   und daher  . Somit ist   und  , also  .

Damit ist   für alle Intervalle   mit   gezeigt. Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle   unserer Zerlegung   an:

 

Nun haben wir gezeigt, dass die Funktion   riemannintegrierbar ist. Da   für alle   gilt, können wir die Monotonie des Riemannintegrals auf die riemannintegrierbaren Funktionen   und   anwenden und erhalten

 

Gemäß der Faktorregel ist die Funktion   ebenfalls riemannintegrierbar und es gilt

 

Für alle   gilt  , sodass wir die Monotonie des Riemannintegrals auch auf die riemannintegrierbaren Funktionen   und   anwenden können:

 

Schließlich ist

 

Hinweis

Aus der Riemannintegrierbarkeit von   kann im Allgemeinen nicht die Riemannintegrierbarkeit von   geschlossen werden.

Beispiel

Sei   definiert durch

 

Dann gilt   für alle  . Deshalb ist die Funktion   riemannintegrierbar (denn konstante Funktionen sind stetig). Jedoch ist die Funktion   nicht riemannintegrierbar, da in jedem Intervall   mit   sowohl rationale als auch irrationale Zahlen liegen und daher  , aber   für alle Zerlegungen   des Intervalls   gilt.

Das Produkt zweier riemannintegrierbarer Funktionen ist riemannintegrierbarBearbeiten

Satz

Seien   und   zwei riemannintegrierbare Funktionen, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist die Funktion   riemannintegrierbar.

Im Allgemeinen gibt es keine einfache Möglichkeit, das Integral   aus den Integralen   und   auszurechnen. Dennoch ist dieser Satz hilfreich, um die Integrierbarkeit einer Funktion nachzuweisen.

Beweis

Um zu zeigen, dass   riemannintegrierbar ist, verwenden wir das dazu äquivalente  -Kriterium, welches wir bereits bewiesen haben. Sei also  . Wir müssen eine Zerlegung   mit   finden. Da die Funktionen   und   beschränkt sind, existieren reelle Zahlen   mit   und   für alle  . Weil   und   riemannintegrierbar sind, gibt es Zerlegungen   und   mit   und  . Sei   eine gemeinsame Verfeinerung von   und  . Wir wollen zeigen, dass   gilt. Dazu beweisen wir zunächst   für jedes Intervall   mit  . Es gilt

 

Dies wenden wir jetzt auf die Intervalle   unserer Zerlegung   an:

 

Somit ist   riemannintegrierbar.

Monotone Funktionen sind riemannintegrierbarBearbeiten

 
Ober- und Untersumme einer monoton steigenden Funktion bei Aufteilung in gleich große Teilintervalle

Ist unsere Funktion   monoton, so werden die Suprema und Infima auf den Teilintervallen einer Zerlegung stets am Rand der Teilintervalle angenommen. In der Abbildung sieht man, dass die Fläche zwischen Ober- und Untersumme deshalb aus Rechtecken zusammengesetzt ist, die sich nur über Eck berühren. Haben alle Rechtecke die gleiche Breite  , können wir sie zu einem einzigen Rechteck mit Breite   und Höhe   zusammenschieben. Das bedeutet, die Differenz zwischen Ober- und Untersumme kann beliebig klein gemacht werden, wenn wir die Breite   genügend klein wählen. Damit haben wir uns anschaulich überlegt, dass die monotone Funktion   riemannintegrierbar sein muss. Dies wollen wir nun beweisen.

Satz

Sei   eine monoton steigende oder monoton fallende Funktion, wobei   und   reelle Zahlen mit   sind. Dann ist   riemannintegrierbar.

Beweis

Wir nehmen an, dass   monoton steigend ist. Wäre   monoton fallend, so können wir stattdessen die monoton steigende Funktion   betrachten und anschließend die Faktorregel mit dem Faktor   anwenden. Weil   monoton steigend ist, gilt   sowie   für alle Intervalle   mit  . Ist  , so ist   konstant und daher riemannintegrierbar. Andernfalls ist   mit   für jedes   eine Zerlegung des Intervalls  . Anschaulich handelt es sich dabei um die Zerlegung von   in   gleich große Teilintervalle. Wir berechnen die zugehörige Ober- und Untersumme:

 

Wir stellen fest:

 

Daraus folgt die Riemannintegrierbarkeit von   mithilfe des  -Kriteriums, denn für alle   können wir ein   mit   finden. Für die zugehörige Zerlegung   gilt also  .

Fast überall gleiche Funktionen haben das gleiche RiemannintegralBearbeiten

Satz

Seien   zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, d.h. es gibt nur endlich viele   mit  . Dann gilt: Ist   riemannintegrierbar, so ist auch   riemannintegrierbar. Ferner ist dann

 

Beweis

Wir dürfen annehmen, dass   gilt. Andernfalls können wir nämlich   durch die Nullfunktion und   durch   ersetzen. Wenn wir gezeigt haben, dass   riemannintegrierbar ist mit  , folgt aus der Summenregel, dass   riemannintegrierbar ist mit

 

Sei nun also  . Die Stellen, an denen sich   von   unterscheidet, nennen wir  . Es gilt also

 

wobei   irgendwelche Funktionswerte sind. Wir sehen, dass sich   als Summe der   Funktionen   schreiben lässt, die durch

 

definiert sind. Indem wir erneut auf die Summenregel zurückgreifen, können wir uns also auf den Fall   beschränken. Haben wir nämlich bereits gezeigt, dass jede der Funktionen  , die sich nur an der einen Stelle   von der Nullfunktion unterscheidet, riemannintegrierbar ist und ihr Integral gleich   ist, so gilt genau das gleiche auch für ihre Summe  . Sei daher  . Wir dürfen ferner voraussetzen, dass   ist. Falls nämlich   wäre, so können wir die Aussage zunächst separat auf den beiden Intervallen   und   beweisen, wo   jeweils eine der Intervallgrenzen ist, und anschließend die Additivität der Grenzen beim Riemannintegral benützen. Sei nun also  . Wir können uns auf den Fall   beschränken. Denn andernfalls betrachten wir stattdessen die Funktion   und wenden danach die Faktorregel für den Faktor   an. Sei daher  . Auch dürfen wir annehmen, dass   ist, da für   die einzige Zerlegung durch   gegeben ist und deshalb die einzige Ober- und Untersumme zu einer beliebigen Funktion stets leer ist und daher den Wert   hat. Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle:

Fall 1:  

Wir betrachten die Zerlegungen   für  . Es gilt