Regelintegral – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Beim Regel-Integral handelt es sich um eine Alternative zum Riemann-Integral. Es ist damit um eine weitere Möglichkeit, den anschaulichen Integralbegriff aus der Schule mathematisch präzise zu erfassen.

RegelfunktionBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Definition (Regelfunktion)

Man nennt eine Funktion   ( ,  ) Regelfunktion, falls eine Folge von Treppenfunktionen   existiert, sodass diese Folge gleichmäßig gegen   konvergiert.

Wir wollen für solche Regelfunktionen das Regelintegral durch   definieren. Dabei wird das Regelintegral einer Treppenfunktion kanonisch definiert. Darüber hinaus müssen wir nur zeigen, dass ein solch definierter Integralbegriff für Regelfunktionen tatsächlich wohldefiniert und sinnvoll ist.

Aber lasst uns erst mal eine Intuition für solche Regelfunktionen kriegen:

  • Jede stetige Funktion ist Regelfunktion
  • Indikatorfunktion auf irrationalen Zahlen ist keine Regelfunktion
To-Do:

weiter und präzise ausführen

Wie geben hiermit eine andere, äquivalente Charakterisierung von Regelfunktionen (ohne Beweis):

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Funktionen   sind genau dann Regelfunktionen, wenn es in jedem Punkt linksseitige und rechtsseitige Grenzwerte gibt, d.h.  und   - sowie für alle   - die Grenzwerte   und   existieren.

RegelintegralBearbeiten

Nun möchten wir uns dem Integralbegriff für Regelfunktionen, also dem Regelintegral, zuwenden. Mögliche Probleme für die Wohldefiniertheit können die folgenden sein:

Sei   eine gleichmäßig approximierende Funktionsfolge von Treppenfunktionen:

  • Wieso sollte der Ausdruck   überhaupt konvergieren?
  • Erhalte ich stets denselben Grenzwert   für das Integral, auch für unterschiedliche Folgen von approximierenden Treppenfunktionen?

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Sei   eine Regelfunktionen, wobei   und   Folgen von Treppenfunktionen sind, die gleichmäßig gegen   konvergieren. Dann konvergieren die Folgen   und   und die Grenzwerte sind gleich.

Es stellt sich heraus, dass das Regelintegral einfacher als das Riemann-Integral zu definieren ist. Genau genommen gilt sogar:

Satz (Alternative Charakterisierung von Regelfunktionen)

Alle Regel-Funktionen sind auch Riemann-integrierbar und die Integralwerte stimmen miteinander überein.

Andererseits gibt es aber Funktionen, die Riemann-integrierbar - jedoch nicht regelintegrierbar - sind.

Beispiel

Beispiel (Eine nicht regelintegrierbare Funktion)

Eine Funktion, die keine Regelfunktion ist, ist die folgende:

Man definiere die Funktion   durch  . Bei dieser Funktion existiert der Grenzwert   nicht.

Insbesondere ist für diese Funktion das Regelintegral nicht definiert. Diese Funktion ist aber Riemann-integrierbar mit Integralwert  , denn ein Intervall   hat einen maximalen Beitrag von   zum Integral. Im Intervall   gibt es maximal endlich viele Sprungstellen   mit Funktionswert  . Für eine hinreichend feine Partition des Intervalls   kann man den Integralbeitrag von   ebenso von oben mit   abschätzen. Somit ist das gesamte Riemann-Integrall maximal   für beliebige  .

To-Do:

Ist die folgende Aussage im Kaptiel zu Riemann-Integralen bereits enthalten?

Nämlich gilt, dass eine Funktion   genau dann Riemann-integrierbar ist, wenn es für jedes   Treppenfunktionen   mit   (für alle  ) gibt, sodass   gilt. Riemann-integrierbare Funktionen sind also solche Funktionen, die sich durch zwei Treppenfunktionen einschließen lassen, bei denen der Unterschied derer Integrale beliebig klein werden kann. Regelfunktionen, d.h. regelintegrierbare Funktionen, müssen dahingegen gleichmäßig durch Treppenfunktionen approximierbar sein, welches eine stärkere Anforderung an die Funktion ist.

Wie können wir das Integral   für eine Treppenfunktion   berechnen?

To-Do:

Bild von einer Treppenfunktion mit   Rechtecken

Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in   Rechtecke unterteilen. Das  -te Rechteck hat die Breite   und die Höhe  . Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von  

 

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral   entspricht.

Satz

Sei   mit   und   eine Treppenfunktion. Seien   mit  . Weiter sei   für alle  , so dass   für alle   für   bzw.   für  . Dann gilt

 

Beweis

Sei   eine Unterteilung von   mit   und   für ein   mit   für alle  .