Basiswechselmatrizen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

HerleitungBearbeiten

Wir haben im Artikel Basis gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum eine Basis besitzt. Das heißt, wenn   ein  -dimensionaler Vektorraum ist, gibt es eine Basis   von  . Also lässt sich jeder Vektor   eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren   schreiben:  .

Weiter wissen wir, dass Vektorräume (im Allgemeinen) mehr als eine Basis haben. Das heißt, es gibt eine zweite Basis   von  . Also können wir   auch eindeutig als Linearkombination der   schreiben:  .

Wir haben also zwei Darstellungen des Vektors  . Über die Basis   bekommen wir die Darstellung   und über die Basis   erhalten wir  .

Wie können wir die Basisdarstellung bezüglich   des Vektors   in die Darstellung bezüglich   überführen?

Diese Frage ist insbesondere interessant im Zusammenhang mit Abbildungsmatrizen. Um eine Abbildungsmatrix   zu bestimmen, müssen wir immer eine Basis   wählen. Wenn wir   auf einen Vektor   anwenden wollen, müssen wir diesen erst bezüglich der Basis   darstellen. Angenommen der Vektor   ist bezüglich einer anderen Basis   gegeben, wie können wir die gleiche Abbildungsmatrix trotzdem auf   anwenden, ohne eine neue Abbildungsmatrix zu bestimmen?

Die Situation im  Bearbeiten

Um diese Frage zu ergründen, starten wir mit einem einfacheren Spezialfall. Als Vektorraum betrachten wir den   und setzen   als die Standardbasis   fest. Wir müssen für   und   geordnete Basen benutzen, damit wir sinnvoll über die Abbildungsmatrizen sprechen können. Also ist   eine beliebige geordnete Basis des  .

To-Do:

"Abbildungsmatrizen" verlinken auf eine Diskussion im Artikel zu Abbildungsmatrizen, wo diskutiert wird, dass wir hier geordnete Basen brauchen.

Ein Vektor   lässt sich in der Basis   wie folgt ausdrücken:  . Wenn wir einen Vektor   bezüglich der Standardbasis B gegeben haben, wie finden wir die   für die Linearkombination  ?

Für gegebene   wollen wir also die zugehörigen   finden. Wir wollen die Abbildung   verstehen, die jedes   auf das eindeutige Tupel   abbildet.

Diese Abbildung ist die Koordinatenabbildung  , die wir schon aus dem Artikel "Isomorphismus" kennen. Um besser zu verstehen, wie der Vektor   ausgedrückt in der Basis   aussieht, müssen wir die Abbildung   verstehen. Wir wissen schon, dass   linear ist. Das heißt, um die Abbildung zu verstehen, müssen wir sie als Darstellungsmatrix ausdrücken. Wir sind im   und wir setzen   in die Abbildung ein und wollen   herausbekommen. Also sind Input und Output der Abbildung   in der Standardbasis gegeben. Deshalb benutzen wir die Standardbasis, um die Darstellungsmatrix von   anzugeben. Dafür müssen wir   auf die Standardbasisvektoren   anwenden. Das heißt, wir müssen   bezüglich   darstellen. Sei

 

eine ebensolche Darstellung. Dann ist   für  . Damit erhalten wir die Abbildungsmatrix

 

Die gesuchten Vorfaktoren   erhalten wir dann durch

 

Die Matrix   ist nach unserer Konstruktion die Abbildungsmatrix  .

Verallgemeinerung auf beliebige endlichdimensionale VektorräumeBearbeiten

In einem allgemeinen endlichdimensionalen Vektorraum   gibt es keine Standardbasis wie im  . In dieser Situation haben wir zwei geordnete Basen   und  . Weiter haben wir einen beliebigen Vektor   gegeben als Linearkombination   bzgl. der Basis   mit  . Wir suchen die Linearkombination   bzgl. der Basis  . Wir wollen also die Linearkombination von   in der Basis   in die Linearkombination in der Basis   überführen.

Die ganze Information dieser Linearkombinationen steckt in den Vorfaktoren   bzw.  . Das heißt wir wollen wieder bei gegebenen   die zugehörigen   finden. Das sollte also wieder eine Abbildung   sein, die   auf   abbildet.

Wir kennen bereits die Koordinatenabbildungen   mit   und   mit  . Wir wollen aus   den Vektor   erhalten. Die Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen. Also schickt   den Vektor   auf   und   bildet   auf   ab. Verknüpfen wir die beiden Abbildungen   und  , erhalten wir eine Abbildung, die   auf   abbildet.

Unsere gewünschte Transformation wird also durch die lineare Abbildung   realisiert. Wir können dann wie oben bei der Situation im   die Abbildungsmatrix von dieser linearen Abbildung im   bestimmen. Diese Abbildungsmatrix ist dann  . Wenn wir uns an den Artikel Abbildungsmatrizen erinnern, ist dies aber das Gleiche, wie die Abbildungsmatrix  , wegen  .

Warum dieses Ergebnis für den Basiswechsel nicht so überraschend istBearbeiten

Wenn wir uns überlegen, was Abbildungsmatrizen machen, ist dies intuitiv folgendes:

Eine Abbildungsmatrix   zu einer linearen Abbildung   verhält sich wie eine lineare Abbildung. Die Matrix erwartet einen Vektor  . Wie können wir   finden?

Zuerst bilden wir den Vektor  . Der Vektor   ist genau die Linearkombination bezüglich der Basis   mit Vorfaktoren  . Dann wenden wir   auf   an und erhalten den Vektor  . Anschließend wird   in der Basis   ausgedrückt  . Nun erhalten wir nach der Definition von Abbildungsmatrizen: .

In unserem Fall wollen wir den bezüglich   dargestellten Vektor   bezüglich   darstellen:  . Das heißt, dieser Vektor   an sich soll sich nicht ändern. Aus den Vorfaktoren   wollen wir   bekommen. Dafür können wir wie oben vorgehen. Da wir   nicht ändern, ist in unserem Fall  . Damit sollte folgende Abbildungsmatrix die Aufgabe des Basiswechsels für uns übernehmen:  . Sie bildet die Vorfaktoren bzgl. der Basis   auf die Vorfaktoren bzgl. der Basis   ab.

DefinitionBearbeiten

Definition (Basiswechselmatrix)

Sei   ein endlichdimensionaler Vektorraum und seien   und   zwei geordnete Basen von  . Dann ist die Basiswechselmatrix von   nach   die Abbildungsmatrix der Identität   bzgl. der Basen   und  , also  . Wir nennen diese Matrix  .

Die Basiswechselmatrix hat noch viele andere Namen. Sie wird in der Literatur auch als Übergangsmatrix, Transformationsmatrix oder Koordinatenwechselmatrix bezeichnet.

Warnung

Die Namen Transformations- bzw. Übergangsmatrix bezeichnen in der Literatur manchmal auch Matrizen, die keine Basiswechselmatrizen sind.

Basiswechselmatrizen bei der Klassifikation linearer AbbildungenBearbeiten

Wiederholung: Klassifikation linearer AbbildungenBearbeiten

Wir haben im Artikel Raum der linearen Abbildungen gesehen, dass die linearen Abbildungen zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen   und   einen   neuen Vektorraum   bilden. Gilt   und  , dann ist  . Wie wir im Einführungsartikel zu Matrizen gesehen haben, sind Abbildungsmatrizen eine Möglichkeit, die   Informationen, die die lineare Abbildung beschreiben, effizient zu speichern.

Wir haben bereits in der 1-1-Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen Abbildungen gesehen, dass wir Abbildungsmatrizen benutzen können, um lineare Abbildungen zu klassifizieren. Wie sieht diese Klassifikation aus? Wählen wir geordnete Basen   von   und   von  . Wir können einer lineare Abbildung   die Matrix   zuordnen. Diese Zuordnung gibt uns einen Isomorphismus

 

So können wir jede lineare Abbildung   von   nach   effizient durch die Matrix   darstellen.

Das Problem mit dieser DarstellungBearbeiten

Diese Klassifikation der Abbildung hängt von der Wahl der geordneten Basen   und   ab.

Beispiel

Wir betrachten die Abbildung

 

Sei   die Standardbasis des  . Wähle außerdem die geordneten Basen   und  . Dann ist

 

Also sieht die Abbildungsmatrix von   bzgl.   und   wie folgt aus

 

Die Abbildungsmatrix von   bzgl. der Basen   und   ist jedoch

 

Somit sehen wir, dass  .

Lösung des ProblemsBearbeiten

Gegeben sind eine Abbildung   und geordnete Basen   und   von   sowie   und   von  . Wir stellen uns folgende Frage: Wie können wir die Darstellungsmatrix   in die Darstellungsmatrix   überführen? Aus der Definitionen der Darstellungsmatrizen wissen wir, dass für alle Vektoren   gilt   und  .

Bei diesen beiden Diagrammen ist es egal, welchen Weg man geht. Zum Beispiel ist es egal, ob wir mit   von   direkt nach   gehen oder den Umweg über   und   einschlagen. Entsteht bei jedem Weg die gleiche Abbildung, spricht man von einem kommutierenden Diagramm.

Wir können die beiden Diagramme zusammenfügen:

Es ist immer noch egal, welchen Weg man im Diagramm geht, es kommt immer die gleiche Abbildung heraus. Wenn wir links oben bei   starten, ist es also egal, welchen Weg wir nutzen, um zum   unten links zu kommen. Wir können über   von   nach   gelangen oder zuerst  , dann   und schließlich   ausführen.

To-Do:

Bild einfügen, mit den zwei Wegen markiert in zwei Farben

Also ist die Abbildung   gleich der Verknüpfung der Abbildungen  ,   und  .

  • Wir haben nun die Abbildung   in die Abbildung   überführt
  • Wie kommen wir von der Abbildung   wieder zu der Matrix  ?
  • Haben wir eine beliebige Matrix   und betrachten dazu die zugehörige lineare Abbildung  , dann ist die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich den Standardbasen wieder  
  • Setzen wir nun für   die Matrix   ein. Um also   zu erhalten, müssen wir die Darstellungsmatrix der Abbildung   bezüglich den Standardbasen bilden
  • Das heißt, wenn wir von diesen beiden Schreibweisen für die Abbildung   die Abbildungsmatrizen bzgl. den Standardbasen bestimmen erhalten wir einerseits  
  • Welche Darstellungsmatrix erhalten wir, wenn wir den anderen Weg gehen?
  • Im Artikel Matrizenmultiplikation haben wir bereits gesehen, dass sich Verknüpfung von Abbildungen genau in Multiplikation der Darstellungsmatrzien umwandelt
  • Wir können die Darstellungsmatrizen der Verknüpften Abbildungen einzeln aufschreiben und dann multiplizieren
  • Die Darstellungsmatrix von   bzgl der Standardbasen von K^n und K^m ist wieder  
  • Die Darstellungsmatrix von   haben wir oben hergeleitet, sie ist  
  • Genauso ist die Darstellungsmatrix von   gegeben durch  
  • Nach Definition ist  
  • Also haben wir gesehen, dass sich   aus   durch Linksmultiplikation mit   und Rechtsmultiplikation mit   errechnen lässt.

BeispieleBearbeiten

To-Do:

2 bis 3 Beispiele finden und einfügen. Anregung: Polynome von Grad <= 3 einmal mit Lagrange-Basis und einmal mit Basis aus Monomen 1, X, X^2, X^3.

WeiterführendesBearbeiten

To-Do:

Links genauer spezifizieren, sobald die entsprechenden Abschnitte durchgeplant sind.

  • In den Beispielen haben wir gesehen, dass man häufig Gleichungssysteme lösen muss, um eine Basiswechselmatrix zu bereichnen. Dieses Lösen von linearen Gleichungssystemen werden wir im Bereich zu Gleichungssystemen und Matrizen systematischer betreiben.
  • Wir haben jetzt gesehen, wie wir aus einem Basiswechsel eine Matrix bekommen. Die umgekehrte Frage, d.h. welche Matrizen zu Basiswechseln korrespondieren, werden wir im Artikel Inverse Matrizen behandeln.