Uneigentliches Supremum und Infimum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Damit eine Menge ein Supremum besitzen kann, muss sie nach oben beschränkt sein. In diesem Kapitel untersuchen wir den Fall unbeschränkter Mengen bzw. den Fall der leeren Menge.

Uneigentliche Suprema und Infima für unbeschränkte Mengen Bearbeiten

Eine Menge   ist nach oben unbeschränkt, wenn   keine obere Schranke besitzt. Für alle   gibt es also ein   mit  . Dies ist dann auch die Definition der Unbeschränktheit nach oben:

Definition (nach oben unbeschränkte Menge)

Eine Menge   ist nach oben unbeschränkt, wenn sie keine obere Schranke besitzt, wenn also

 

Wenn   nach oben unbeschränkt ist, schreiben wir nun

 

Intuitiv lässt sich die Schreibweise gut erklären: „unendlich“ ist größer als jedes Element aus   und gleichzeitig kann es keine obere Schranke kleiner „unendlich“ geben, weil   nach oben unbeschränkt ist. Also ist es sinnvoll, „unendlich“ als Supremum einer nach oben unbeschränkten Menge anzusehen.

Aber Vorsicht! Das Symbol   ist keine reelle Zahl und damit bedeutet   auch nicht, dass   Supremum von Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle M} wäre, weil Suprema per Definition immer reell sein müssen. Es gibt auch kein Objekt   in unserer Theorie, weil die von uns in den ersten Kapiteln formulierten Axiome kein Objekt   zulassen. Deshalb müsste eine Schreibweise wie   von uns abgelehnt werden.

Um diese Widersprüche aufzulösen, sehen wir   nur als Kurzschreibweise für den Fakt an, dass   nach oben unbeschränkt ist, und nennen   das uneigentliche Supremum von  :

Definition (uneigentliches Supremum)

Ist eine Menge   nach oben unbeschränkt, so nennen wir   das uneigentliche Supremum von   und schreiben

 

Warnung

Das Adjektiv „uneigentlich“ ist hier sehr wichtig. Achte darauf, dass du es immer verwendest.   ist nämlich keine reelle Zahl und kann deswegen kein Supremum sein. Es verhält sich nur in mancher Hinsicht wie ein Supremum. Kurz: Auch wenn man   schreibt, dann besitzt   trotzdem kein Supremum!

Analog gilt für nach unten unbeschränkte Mengen:

Definition (uneigentliches Infimum)

Eine Menge   ist nach unten unbeschränkt, wenn es für alle   ein   mit   gibt. In diesem Fall schreibt man

 

Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge Bearbeiten

Ein weiterer Sonderfall ist die leere Menge. Hier ist nämlich nicht das Problem, dass es keine oberen beziehungsweise unteren Schranken gibt, sondern zu viele obere und untere Schranken existieren. In den Lehrbüchern findest du dafür folgende Definitionen:

Definition (Uneigentliches Supremum und Infimum der leeren Menge)

Für die leere Menge   gilt

 

Auch hier handelt es sich um uneigentliche und damit um keine echten Suprema und Infima. Doch wieso ergibt obige Festlegung Sinn?

Gehen wir schrittweise vor: Per Definition ist das Supremum die kleinste obere Schranke einer Menge. Was sind also die oberen Schranken der leeren Menge? Eine Zahl   ist per Definition eine obere Schranke von  , wenn

 

Frage: Was sind die oberen Schranken von  ?

Allaussagen über die leere Menge wie die obige sind immer wahr (es gibt nämlich kein   in  , für welches man die Bedingung   überprüfen müsste). Damit ist jede reelle Zahl eine obere Schranke der leeren Menge. Als Bezeichnung für die kleinste all dieser oberen Schranken von   kann man also   verwenden. Jedoch ist   keine reelle Zahl und daher auch kein Supremum im eigentlichen Sinne.

Verständnisfrage: Wieso ergibt   Sinn?

Eine Zahl   ist untere Schranke der leeren Menge, wenn  . Diese Allaussage ist stets wahr und damit ist jede reelle Zahl eine untere Schranke von  . Als Bezeichnung für die größte all dieser unteren Schranken von   kann man also   verwenden. Jedoch ist   keine reelle Zahl und daher auch kein Infimum im eigentlichen Sinne.