Supremum und Infimum bestimmen und beweisen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Allgemeine VorgehensweiseBearbeiten

Um das Supremum oder Infimum einer Menge zu finden, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Menge veranschaulichen: Überlege dir, wie die Menge aussieht. Hierzu kannst du Skizzen anfertigen oder ggf. auch Computerprogramme verwenden.
  2. Hypothese über Supremum und Infimum anstellen: Ist die Menge nach oben beschränkt? Wenn ja, dann überlege dir, welche Zahl das Supremum sein kann. Wenn nein, dann besitzt die Menge kein Supremum. Analog schaue, ob die Menge nach unten beschränkt ist oder nicht, und überlege dir gegebenenfalls, welche Zahl das Infimum sein könnte.
  3. Beweise für Supremum und Infimum finden: Überlege dir auf einem Schmierblatt den Beweis dafür, dass die gefundene Zahl ein Supremum oder ein Infimum ist. Die notwendige Beweisstruktur findest du im nächsten Abschnitt.
  4. Beweis ins Reine schreiben: Zum Schluss musst du den Beweis aufschreiben. Dabei kannst du dich an der im nächsten Abschnitt folgenden Beweisstruktur für Supremum und Infimum orientieren.

Allgemeine BeweisstrukturenBearbeiten

Die hier aufgelisteten Beweisstrukturen sollten dir helfen, deine Beweise richtig und sauber aufzuschreiben. Sie zeigen dir aber auch, worauf du in der Beweisfindung achten musst.

Supremum: BeweisstrukturBearbeiten

Um zu zeigen, dass eine Zahl   Supremum einer Menge   ist, kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Beweise, dass   eine obere Schranke von   ist: Zeige hierzu, dass   für alle   ist.
  2. Beweise, dass keine Zahl   obere Schranke von   ist: Nimm hierzu ein beliebiges   und zeige, dass es ein   gibt mit  .

Infimum: BeweisstrukturBearbeiten

Beweise, dass   Infimum einer Menge   ist, können so aussehen:

  1. Beweise, dass   eine untere Schranke von   ist: Zeige hierzu, dass   für alle   ist.
  2. Beweise, dass keine Zahl   untere Schranke von   ist: Nimm hierzu ein beliebiges   und zeige, dass es ein   gibt mit  .

Maximum: BeweisstrukturBearbeiten

Hier kann man direkt der Definition des Maximums folgen:

  1. Beweise, dass   eine obere Schranke von   ist: Zeige hierzu, dass   für alle   ist.
  2. Zeige, dass   ist.

Minimum: BeweisstrukturBearbeiten

Um zu zeigen, dass   Minimum der Menge   ist, kann man analog zum Maximum vorgehen:

  1. Beweise, dass   eine untere Schranke von   ist: Zeige hierzu, dass   für alle   ist.
  2. Zeige, dass   ist.

Beispielaufgaben für Supremum und InfimumBearbeiten

Endliche MengenBearbeiten

Bei endlichen Mengen reeller Zahlen ist die Bestimmung des Infimums und Supremums einfach. Diese Mengen müssen nämlich immer ein Maximum und ein Minimum besitzen. Das Maximum der Menge ist automatisch Supremum und das Minimum ist automatisch Infimum der Menge.

Beispiel (Supremum und Infimum einer endlichen Menge)

Gegeben sei die Menge  . Das Maximum der Menge ist   und das Minimum ist  . Es ist nämlich   Teil der Menge und gleichzeitig ist   größer gleich jedem anderen Element der Menge (Analoges gilt für das Minimum  ).

Damit ist   Supremum der Menge   (weil es dessen Maximum ist). Analog ist   Infimum der Menge.

Verständnisaufgabe: Bestimme das Supremum und das Infimum der folgenden Mengen:

  1.  
  2.  
  3.  

Lösung:

  1. Das Supremum von   ist   und das Infimum dieser Menge ist  .
  2. Es ist  . Damit ist das Supremum dieser Menge gleich   und das Infimum ist  .
  3. Es ist  . Also ist das Supremum und das Infimum von   gleich  .

IntervalleBearbeiten

 
Für jedes Intervall in den reellen Zahlen ist der linke Rand das Infimum und der rechte Rand das Supremum.

Die Bestimmung des Infimums und Supremums bei Intervallen ist recht einfach, da der untere Randpunkt stets das Infimum und der obere Randpunkt stets das Supremum ist:

Satz (Supremum und Infimum von Intervallen)

Sei   ein Intervall. Es gibt also   mit  , so dass   eine der folgenden Formen besitzt:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Es ist dann   das Infimum und   das Supremum des Intervalls.

Wie kommt man auf den Beweis? (Supremum und Infimum von Intervallen)

Die obigen Intervalle unterscheiden sich darin, ob die Endpunkte  ,   enthalten sind oder nicht. In jedem Fall wissen wir, dass für jedes   gilt:  . Wir wissen also, dass   eine untere Schranke ist und   eine obere. Damit ist  ,   und wir müssen noch zeigen, dass   die größte untere Schranke und   die kleinste obere Schranke ist.

Dazu nehmen wir also an, es gäbe ein  , so dass   auch eine untere Schranke ist, und führen dies zu einem Widerspruch.

Um zu zeigen, dass   keine untere Schranke sein kann, finden wir ein  , so dass  . Um so ein   zu konstruieren, bilden wir den Mittelwert zwischen   und  , der nach Definition größer als   ist. Es könnte passieren, dass   so groß ist, dass der Mittelwert größer als   wird. Hier bietet sich eine Fallunterscheidung an. Wenn   so groß ist, dann liegt das komplette Intervall zwischen   und   und wir können einen beliebigen Punkt des Intervalls für   nutzen. So können wir den Mittelwert von   und   für   wählen. Analog verfährt man dann mit der oberen Schranke  .

Beweis (Supremum und Infimum von Intervallen)

Sei   ein Intervall. Wir legen uns nicht fest, ob die Randpunkte in   enthalten sind. Damit decken wir alle Intervalltypen auf einmal ab. Für jedes solche Intervall gilt:  . Also ist   eine untere Schranke. Wir zeigen nun durch Widerspruch, dass   die größte untere Schranke ist.

Sei also  . Angenommen   wäre eine untere Schranke von  . Dann existiert kein  , so dass  . Wir machen nun eine Fallunterscheidung:

Fall 1:  

Sei  . Mit unseren Voraussetzungen können wir abschätzen

 

Folglich gilt   und damit  . Aus   folgt

 

Das ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme, dass   eine untere Schranke von   ist.

Fall 2:  

Wir betrachten  . Aus unseren Annahmen folgt

 

Also gilt  . Daraus folgt  .

Weil   gilt, folgt  . Das ist aber wieder ein Widerspruch zu   ist eine untere Schranke von  .

To-Do:

Skizze, um die Lage von x im Intervall zu veranschaulichen, für die beiden Fälle.

In beiden Fällen haben wir ein Widerspruch dazu, dass   eine untere Schranke von   ist. Also ist   das Infimum des Intervalls  .

Um zu zeigen, dass   das Supremum ist, kann man analog vorgehen. Ist   eine kleinere obere Schranke von  , betrachtet man   für den Fall   und   für den Fall  .

Alternativ kann man auch mit den Rechenregeln für Supremum und Infiumum folgenden Trick benutzen: Benutzen wir  , können wir den obigen Beweis auf das Intervall   anwenden.

Verständnisaufgabe: Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum der folgenden Mengen:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.   (bei dieser Aufgabe darfst du dein Schulwissen zum Sinus verwenden  )

  1. Das Supremum ist   und das Infimum ist  .
  2. Wegen   entspricht   dem Intervall  . Damit ist das Infimum gleich 1 und das Supremum gleich 4.
  3.   entspricht der Menge aller   deren Abstand zu   kleiner als   ist. Damit entspricht diese Menge dem offenen Intervall  . Das Infimum ist also   und das Supremum ist  .
  4.   ist die Menge aller reellen Zahlen, die durch die Sinus-Funktion getroffen werden. Damit ist   gleich  . Das Infimum von   ist damit   und das Supremum ist  .

Intervalle in den ganzen ZahlenBearbeiten

Verständnisaufgabe: Obiger Satz ist eine Besonderheit der reellen Zahlen. Es sei   mit  . Unter welchen Bedingungen existieren Suprema beziehungsweise Infima folgender Intervalle? Welchen Wert haben sie?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Es handelt sich in allen Fällen um endliche Mengen. Es ist nämlich:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

In den ersten 3 Fällen ist wegen   die Menge nicht leer, und damit ist

  1.   und  
  2.   und  
  3.   und  

Im vierten Fall kann es passieren, dass   leer ist. Das ist genau dann der Fall, wenn  . In diesem Fall existiert weder ein Supremum noch ein Infimum der Menge. Die leere Menge hat zwar das uneigentliche Supremum   und das uneigentliche Infimum  . Diese sind aber keine reellen Zahlen und damit keine Suprem / Infimum nach der Definition. Ist aber  , dann ist im vierten Fall das Supremum gleich   und das Infimum gleich  .

Menge von FolgengliedernBearbeiten

 
Die Menge  .

Wir werden nun folgende Aufgabe beweisen:

Aufgabe (Menge von Folgengliedern)

Bestimme das Supremum und das Infimum der Menge  . Handelt es sich bei dem Supremum um ein Maximum und beim Infimum um ein Minimum? Beweise deine Behauptungen!

Wie kommt man auf den Beweis? (Menge von Folgengliedern)

Wir gehen nun schrittweise nach dem obigen Beweisverfahren vor:

Beweisschritt: Veranschauliche die Menge  .

Die ersten Elemente der Menge   lauten:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Die Menge   hat also die Gestalt  , wobei sich die fehlenden Elemente immer mehr der   annähern.

Beweisschritt: Stelle eine Hypothese an, welche Zahlen Supremum bzw. Infimum der Menge sind.

Wir sehen, dass die Menge nach oben durch   beschränkt ist. Gleichzeitig ist   ein Element der Menge, womit   Maximum der Menge sein muss. Außerdem ist die Menge nach unten durch   beschränkt. Da sich die Elemente der Menge immer mehr der   annähern, kann es keine untere Schranke größer als   geben. Es folgt, dass   wahrscheinlich das Infimum der Menge ist. Beachte, dass wir hier nur Vermutungen anstellen, weil wir intuitiv argumentieren. Es fehlt noch der handfeste Beweis.

Beweisschritt: Finde einen Beweis für das Supremum / Maximum.

Wir haben bereits festgestellt, dass   wahrscheinlich das Maximum der Menge ist. Wir müssen also zwei Dinge zeigen:

  •  
  •   für alle  

Wir haben bereits im ersten Schritt gesehen, dass   Element von   ist, denn für   ist  . Um zu zeigen, dass   eine obere Schranke von   ist, müssen wir zeigen, dass  . Stellen wir diese Ungleichung schrittweise um:

 

Nun ist   eine für natürliche Zahlen offensichtliche Aussage. Im Beweis müssen wir aber den umgekehrten Weg gehen: Da wir die Ungleichung   zeigen wollen, müssen wir bei   anfangen und diese Ungleichung schrittweise in   umformen. Dies können wir machen, weil wir oben nur Äquivalenzumformungen verwendet haben.

Im letzten Kapitel haben wir gesehen, dass jedes Maximum einer Menge automatisch auch das Supremum der Menge ist (nur umgekehrt ist es nicht immer der Fall). Daraus folgt, dass   Supremum von   ist.

Beweisschritt: Finde einen Beweis für das Infimum / Minimum.

Um zu zeigen, dass   Infimum ist, müssen wir zeigen:

  •   für alle  
  • Für alle   gibt es ein   mit  

Um auch zu zeigen, dass   kein Minimum ist, haben wir außerdem zu beweisen, dass  . Zunächst muss ein Beweis für   für alle   gefunden werden:

 

Nun ist   eine offensichtlich wahre Aussage, da   positiv ist. Im späteren Beweis können wir also aus   die Ungleichung   beweisen, indem wir obige Umformung rückwärts durchführen (also zu beiden Seiten   addieren).

Sei nun weiterhin   beliebig. Wir müssen nun ein   mit   mit   finden, so dass   ist. Wir wählen hier die Variable   und nicht  , weil wir ein konkretes Element der Menge   finden wollen (in der Mathematik wird oft   verwendet, wenn man ein konkretes   sucht). Formen wir diese Ungleichung nach   um, um so ein passendes   zu finden:

 

Wegen   ist  , also auch  . Das archimedische Axiom garantiert uns nun, dass wir ein passendes   finden, da nach dem archimedischen Axiom der Bruch   kleiner wird als jede positive reelle Zahl.

Als Letztes fehlt noch die Beweisidee dafür, dass   ist. Hier müssen wir zeigen, dass   für alle   gilt. Doch wegen   ist   und somit  .

Beweis (Menge von Folgengliedern)

Es ist   Maximum (und damit Supremum) der Menge   und   ist Infimum, aber kein Minimum der Menge  .

Beweisschritt:   ist Maximum der Menge  

Beweisschritt:   ist Element der Menge  

Für   ist  . Damit ist  .

Beweisschritt:   ist eine obere Schranke der Menge  

Für alle   gilt

 

Damit ist   größer gleich jedem Element von  .

Beweisschritt:   ist Infimum der Menge  

Beweisschritt:   ist untere Schranke der Menge  

Für alle   gilt

 

Damit ist   kleiner gleich jedem Element von  .

Beweisschritt: Keine Zahl größer   ist untere Schranke der Menge  

Sei   beliebig. Es ist damit   und somit gibt es nach dem archimedischen Axiom ein   mit  . Es ist

 

Weil   ist, gibt es damit ein Element aus  , welches kleiner als   ist. Somit ist   keine untere Schranke von  .

Beweisschritt:   ist kein Minimum von  

Es ist   und damit  . Somit ist   kein Element und damit auch kein Minimum von  .

Menge von FunktionswertenBearbeiten

Supremum beweisen - Vorgehen anhand eines Beispiels erklärt (Youtube-Video vom Youtube-Kanal „MJ Education“)

Aufgabe

Bestimmen Sie Supremum und Infimum der Menge

 

Wie kommt man auf den Beweis?

Sei im Folgenden  . Gehen wir nun schrittweise vor:

Schritt 1: Veranschauliche die Menge  .

Die Funktion   hat den Graphen:

Die Menge   ist nun die Menge aller tatsächlich durch   getroffenen Werte, also das Bild der Funktion  .

Schritt 2: Stelle eine Hypothese an, welche Zahlen Supremum bzw. Infimum der Menge sind.

Wir können vermuten, dass   das Supremum von   ist. Weil   ist, wird   auch durch die Funktion   getroffen. Damit liegt diese Zahl in   und müsste demnach Maximum dieser Menge sein.

Außerdem liegt die Vermutung nahe, dass   das Infimum von   ist. Die Funktion scheint immer positiv, also größer gleich null zu sein. Je größer bzw. je kleiner  , desto näher gehen die Funktionswerte gegen null (so sieht es zumindest auf den ersten Blick aus). Es sollte also insgesamt   Infimum der Menge   sein, wobei es nicht direkt in   liegt und somit kein Minimum sein sollte.

Schritt 3: Finde einen Beweis für das Supremum / Maximum.

Wir vermuten, dass   das Maximum der Menge   ist. Weil   ist, können wir beweisen, dass   sein muss. Es fehlt jetzt nur noch der Beweis, dass   eine obere Schranke der Menge   ist. Hierzu müssen wir beweisen, dass für alle reellen Zahlen   wir folgende Ungleichung haben:

 

Formen wir diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen um:

 

Wir wissen bereits, dass die letzte Ungleichung für alle   erfüllt ist. Da wir nur Äquivalenzumformungen verwendet haben, können wir aus dieser später die Ungleichung   wieder herleiten.

Schritt 4: Finde einen Beweis für das Infimum / Minimum.

Hier müssen wir zunächst zeigen, dass alle Elemente aus   größer gleich null sind. Jedoch ist   der Quotient von zwei positiven Zahlen, welches damit wieder positiv ist. Alle Elemente aus   sind somit positiv und damit insbesondere größer gleich  .

Fehlt noch der Beweis, dass   auch die größte untere Schranke von   ist. Sei hierzu   beliebig. Wir müssen nun ein Element aus   finden, welches kleiner als   ist. Es muss also ein   geben, so dass

 

ist. Formen wir diese Ungleichung durch Äquivalenzumformungen um:

 

Um die Wurzel ziehen zu können, muss   also   sein. Für die weitere Beweisfindung ist es aber kein Problem   anzunehmen, denn für   ist die letzte Ungleichung immer erfüllt. Die Quadratzahl   ist dann nämlich immer größer als die negative Zahl  .

Sei also  . Wir erhalten weiter:

 

Für   müssen wir also nur ein   mit   wählen. Dieses   erfüllt dann automatisch

 

was zeigt, dass   keine untere Schranke von   ist.

Beweis

  ist Maximum (und damit Supremum) der Menge   und   ist Infimum, aber kein Minimum der Menge  .

Beweisschritt:   ist Maximum der Menge  

Beweisschritt:   ist Element der Menge  

Für   ist  . Damit ist  .

Beweisschritt:   ist eine obere Schranke der Menge  

Es ist

 

Damit ist   eine obere Schranke von  .

Beweisschritt:   ist Infimum der Menge  

Beweisschritt:   ist untere Schranke der Menge  

Es ist für alle  :

 

Damit ist null eine untere Schranke von  .

Beweisschritt: Keine Zahl größer   ist untere Schranke der Menge  

Sei   beliebig. Für   ist

 

für jedes reelle  , weil   dann negativ ist. Für   wähle   so, dass   ist. Dann ist nämlich auch obige Ungleichung erfüllt.

Für jedes   gibt es also mindestens eine reelle Zahl   mit  . Für diese reelle Zahlen haben wir

 

Damit kann aber   keine untere Schranke von   sein, was beweist, dass   die größte untere Schranke von   ist.