Supremum und Infimum: Eigenschaften – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Da das Supremum auf Mengen angewandt wird, ist eine sehr naheliegende Frage: Was passiert mit dem Supremum, wenn wir die Menge verändern? Wenn wir sie mit einer anderen Menge beispielsweise schneiden oder vereinigen, wenn wir sie größer oder kleiner machen? Hier werden wir einige Regeln kennen lernen, die dir helfen werden, mit dem Supremum zu arbeiten.

Übersicht der Regeln zum Supremum und InfimumBearbeiten

Wir definieren zuerst einige Kurzschreibweisen.

Definition

Für alle Mengen   und alle   definieren wir:

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Für das Supremum und Infimum gelten folgende Regeln. Dabei ist   und   sowie  . Im Folgenden wird immer angenommen, dass das Supremum beziehungsweise das Infimum existiert.

Regeln für das SupremumBearbeiten

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  •  , falls   ist.
  •   für  
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  •  , falls   und   nur nichtnegative Elemente enthalten.
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  • Es gibt eine Folge   aus   mit  .

Frage: Warum gilt nicht  ? Finde ein Gegenbeispiel!

Ein Gegenbeispiel hierfür ist  .

Frage: Warum gilt nicht  ? Finde ein Gegenbeispiel!

Sei   und  . Dann gilt   und also  , aber   und  , also  .

 
Das Supremum der Summe zweier Funktionen kann kleiner als die Summe ihrer Suprema sein.

Frage: Warum gilt nicht  ? Finde ein Gegenbeispiel!

Wir setzen  . Als Funktionen wählen wir   und  . Also ist  . Es gilt

 

Regeln für das InfimumBearbeiten

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  •   für  
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  •  , falls   und   nur nichtnegative Elemente enthalten.
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  • Es gibt eine Folge   aus   mit  .

Beweis der RegelnBearbeiten

In den folgenden Abschnitten werde ich die obigen Eigenschaften nur für das Supremum beweisen.

Supremum ist größer gleich dem InfimumBearbeiten

Satz

Sei   eine nicht leere, beschränkte Menge. Es ist dann  .

Wie kommt man auf den Beweis?

Die Aussage bedeutet anschaulich gesprochen, dass die die kleinste obere Schranke einer Menge größer oder gleich als ihre die größte untere Schranke ist. Dies macht Sinn, da eine obere Schranke einer Menge immer größer oder gleich als die untere Schranke einer Menge sein sollte. Die einzige Schwierigkeit besteht nun darin, dies formal zu beweisen.

To-Do:

Lösungsweg ergänzen -> Wie ist der Gedankengang, der zur Lösung führt?

Beweis

Als nicht leere Menge besitzt   mindestens ein Element  . Da   eine obere Schranke ist, ist  . Analog gilt  . Insgesamt ist   und damit auch  .

Abschätzung des Supremums bei TeilmengenBearbeiten

Satz

Ist  , dann ist  .

Beweis

Nach der ersten Supremumsbedingung ist   eine obere Schranke von  , also wegen   insbesondere auch von  , d.h. für alle   gilt  . Das Supremum von   ist aber gerade charakterisiert als die kleinste obere Schranke von  , es muss also insbesondere kleiner oder gleich   sein.


Supremum bei der VereinigungBearbeiten

Satz

Es ist

 

Beweis

Ist  , so ist   oder  . Nach der ersten Supremumsbedingung gilt somit   oder  . Also insbesondere  . Damit ist   eine obere Schranke von  .

Den zweiten Teil erhalten wir wie folgt: Es gilt immer   oder  . Gehen wir vom ersten Fall aus (falls wir nicht im ersten Fall sind, benennen wir unsere Mengen einfach um): Dann gilt für alle   wegen der ersten Supremumsbedingung  , aber wegen   auch   und   ist eine obere Schranke von   und nach Definition auch von  , also von  . Dass es auch die kleinste obere Schranke ist, folgt aus der zweiten Supremumsbedingung: Jede kleinere Zahl ist keine obere Schranke mehr von  , also auch nicht von  .

Supremum beim SchnittBearbeiten

Satz

Es ist

 

Beweis

Dieser Teil folgt direkt aus 1. und der Tatsache, dass   und   gilt:   und  , also  . Theoretisch sind wir damit mit dem Beweis fertig, aber es ist sicherlich illustrativ, so zu überlegen, warum hier im Allgemeinen eine Ungleichheit steht.


Supremum und Multiplikation mit  Bearbeiten

Satz

Es ist

 

Beweis

Für alle   gilt  . Multiplikation der Ungleichung mit   ergibt gerade  . Da aber alle Elemente von   von dieser Form sind, ist   eine obere Schranke für  . Da jedoch das Supremum von   die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt  .

Sei nun   gegeben. Nach der Definition des Infimums ist   dann keine untere Schranke von  . Das bedeutet, dass ein   existiert, sodass  . Multipliziert man diese Ungleichung mit   so erhält man  . Es ist aber   ein Element in  , also kann   keine obere Schranke von   sein. Da unser   beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit  .

Hinweis

Aus dieser Regel erhalten wir zwischen Supremum und Infimum die Zusammenhänge   und  .

Supremum und Multiplikation mit einem nicht negativen SkalarBearbeiten

Satz

Für   gilt

 

Beweis

Ist  , so gibt es nicht viel zu zeigen, denn   und  .

Wir können also im Weiteren   voraussetzen. Für alle   gilt  . Multiplikation der Ungleichung mit   ergibt gerade  . Da aber alle Elemente von   von dieser Form sind, ist   eine obere Schranke für  . Da jedoch das Supremum von   die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt  .

Sei nun   gegeben und wir definieren  . Dies ist erlaubt, da wir   voraussetzen. Nach der Definition des Supremums ist   dann keine obere Schranke von  . Das bedeutet, dass ein   existiert, sodass  . Multipliziert man diese Ungleichung mit   so erhält man

 

Es ist aber   ein Element in  , also kann   keine obere Schranke von   sein. Da unser   beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit  .

Supremum und SummenBearbeiten

Satz

Es ist

 

Beweis

Jedes Element   besitzt die Form   für ein   und ein  . Nach der Definition des Supremums gilt   und  . Addition der beiden Ungleichungen ergibt  . Also ist   eine obere Schranke für  . Da jedoch das Supremum von   die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt  .

Sei nun   gegeben und wir definieren  . Nach der Definition des Supremums ist   dann keine obere Schranke von   und   keine obere Schranke von  . Das bedeutet, dass ein   und ein   existieren, sodass   und  . Durch Addition beider Ungleichungen erhält man

 

Es ist aber   ein Element in  , also kann   keine obere Schranke von   sein. Da unser   beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit  .

Supremum und ProdukteBearbeiten

Satz

Falls   und   nur nicht negative Elemente enthalten, ist

 

Beweis

Jedes Element   besitzt die Form   für ein   und ein  . Nach der Definition des Supremums gilt   und  . Multiplikation der beiden Ungleichungen ergibt  . Also ist   eine obere Schranke für  . Da jedoch das Supremum von   die kleinste aller oberen Schranken ist, folgt  .

Ist   oder  , so folgt   oder  , denn es wurden alle Elemente aus   und   als nicht negativ also größer oder gleich Null vorausgesetzt. Damit folgt sofort  .

Im Folgenden kann man also   und   voraussetzen. Sei nun   gegeben. Dann können wir nach dem vorangehenden Satz ohne Probleme   und   definieren.

Nach der Definition des Supremums ist   dann keine obere Schranke von   und   keine obere Schranke von  . Das bedeutet, dass ein   und ein   existieren, sodass   und  . Durch Produktbildung beider Ungleichungen erhält man

 

Man beachte das  -Zeichen im letzten Schritt. Hierbei wurde   verwendet. Nun ist   ein Element in  , also kann   keine obere Schranke von   sein. Da unser   beliebig gewählt war, folgt die gewünschte Gleichheit  .

Supremum der Summe zweier Funktionen kleiner gleich der Summe der Suprema dieser FunktionenBearbeiten

Satz

Es gilt  

Beweis

Es gilt

 


Existenz einer Folge   in   mit  Bearbeiten

Satz

Wenn   existiert, dann gibt es eine Folge   in   mit  .

Beweis

Wir erinnern und an den zweiten Teil der Definition des Supremums, die Epsilon-Definition: Für alle   gibt es ein   mit  .

Folglich gibt es für alle   ein   mit  . Da alle   aus   sind, gilt auch  . Damit ergibt sich für alle  :

 

Nach dem Sandwichtheorem gilt also  .