Konstruktion von Maßen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir kennen jetzt die Grundbegriffe der Maßtheorie und wissen unter anderem, was ein Maß auf einer $\sigma$-Algebra ist. Unser nächstes großes Ziel ist es, den Existenz- und Eindeutigkeitssatz für Maßfortsetzungen zu beweisen. Dieser Artikel fasst die drei wichtigsten Fragen zusammen, die wir noch klären müssen, und gibt einen Überblick über das Vorgehen bei der Konstruktion von Maßen.

Problem

Oft ist man in der Situation, ein Maß über einer gewissen Grundmenge definieren zu wollen, das möglichst vielen Teilmengen dieser Grundmenge ein Maß zuordnet und evtl. weitere Eigenschaften erfüllt.

Beispiel (Maße mit gewissen Eigenschaften)

• Wir suchen ein Maß $\mu$, das die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse beschreibt, die bei $n$-maligem Werfen eines fairen Würfels auftreten können. Zusätzlich sollen zwei Eigenschaften erfüllt sein: Alle einelementigen Ereignisse sollen gleich wahrscheinlich sein, und die Einzelwahrscheinlichkeiten sollen sich zu Eins summieren.
• Ein anderes Beispiel ist die geometrische Länge auf $\mathbb {R}$: Gesucht ist ein Maß $\lambda$, das möglichst vielen Teilmengen von $\mathbb {R}$ ein Maß zuordnet. Zusätzlich soll $\lambda$ jedem Intervall seine Länge zuordnen (d.h. $\lambda ([a,b])=b-a$) und translationsinvariant sein (d.h. $\lambda (A)=\lambda (A+r)$ für alle $r\in \mathbb {R}$).

• 
  Ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\mu$ ordnet Mengen von Ereignisses $A,B$ ihre Wahrscheinlichkeit $0\leq \mu (A),\mu (B)\leq 1$ zu. Hier: 2-maliges Werfen eines Würfels.
• 
  Intervalle in $\mathbb {R}$ sollten als Maß $\lambda (A)$ ihre Länge zugeordnet bekommen. Diese ist translationsinvariant.

Noch wissen wir nicht, ob es das Maß mit den gewünschten Eigenschaften gibt und auf welcher (möglichst großen) $\sigma$-Algebra es definiert werden kann. Es ist auch unklar, wie wir vorgehen müssen, um ein solches Maß zu finden. Deshalb müssen wir uns mit den folgenden Fragen auseinandersetzen:

• Welche $\sigma$-Algebra können wir als Definitionsbereich für das gesuchte Maß wählen? Auf der einen Seite wollen wir möglichst viele Mengen messen können, also eine große $\sigma$-Algebra haben. Auf der anderen Seite haben wir mit dem Beispiel von Banach-Tarski schon gesehen, dass eine zu große $\sigma$-Algebra als Definitionsbereich sogar die Existenz des Maßes gefährdet.
• Wie können wir bei der Konstruktion des Maßes sicherstellen, dass es tatsächlich die gewünschten Eigenschaften hat und gleichzeitig $\sigma$-additiv ist? Sind die gewünschten Eigenschaften überhaupt vereinbar mit der $\sigma$-Additivität, gibt es also ein Maß mit diesen Eigenschaften?
• Oft sind $\sigma$-Algebren sehr groß, sogar überabzählbar. Es ist nicht sofort klar, wie man überhaupt das Maß definieren und dabei die Werte auf dem gesamten Definitionsbereich vorschreiben kann. Wie kann eine Abbildungsvorschrift für das Maß aussehen, um es dadurch eindeutig festzulegen?

Lösung

Wir sind nicht zu gierig und betrachten zunächst ein kleineres Mengensystem ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ von Teilmengen von $\Omega$. Insbesondere muss ${\mathcal {C}}$ noch keine $\sigma$-Algebra sein. Auf diesem kleineren Mengensystem versuchen wir das Ziel zu erreichen, d.h. eine $\sigma$-additive Mengenfunktion auf ${\mathcal {C}}$ zu finden, das die gewünschten Eigenschaften erfüllt. Es darf einerseits ${\mathcal {C}}$ nicht zu groß sein, damit es nicht zu schwierig ist, eine solche Mengenfunktion zu finden. Andererseits muss ${\mathcal {C}}$ umfassend genug sein, um alle wichtigen Informationen über das gesuchte Maß zu enthalten. Es scheint sinnvoll, ${\mathcal {C}}$ als ein Mengensystem von "atomaren" Teilmengen zu definieren, welche die Besonderheiten des gesuchten Maßes enthalten und als Bausteine für viele verschiedene Mengen dienen können.

Beispiel ("atomare" Teilmengen)

• Im obigen Beispiel mit dem Würfelwurf kann ${\mathcal {C}}$ beispielsweise als das Mengensystem aller einelementigen Ereignisse gewählt werden.
• Für die elementargeometrische Länge kann ${\mathcal {C}}$ als das Mengensystem gewählt werden, das alle halboffenen Intervalle $(a,b]$ ($a,b\in \mathbb {R}$) enthält. Halboffene Intervalle haben gegenüber abgeschlossenen und offenen Intervallen den Vorteil, dass sie disjunkt und lückenlos aneinandergefügt werden können - eine Eigenschaft, die sich später bei der tatsächlichen Konstruktion des Maßes als hilfreich herausstellen wird.

Nicht sinnvoll wäre es dagegen, im zweiten Beispiel das Mengensystem ${\mathcal {C}}=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}$ zu wählen: Zwar finden wir darauf leicht ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften. Aber ${\mathcal {C}}$ ist nicht annähernd umfangreich genug, um Informationen über die Translationsinvarianz und die Eigenschaft $\lambda ([a,b])=b-a$ zu enthalten.

Danach setzen wir die auf ${\mathcal {C}}$ definierte Mengenfunktion fort, um um ein Maß auf einer $\sigma$-Algebra zu erhalten. Die Frage nach der Existenz eines Maßes auf einer $\sigma$-Algebra wird so zur Frage nach der Existenz einer Fortsetzung einer $\sigma$-additiven Mengenfunktion von einem kleineren Mengensystem aus. Die folgenden Punkte sind noch zu untersuchen:

• Auf welche $\sigma$-Algebra können wir ausgehend von ${\mathcal {C}}$ fortsetzen? Das schauen wir uns im Artikel zu erzeugten $\sigma$-Algebren an.
• Existiert überhaupt eine solche Fortsetzung über ${\mathcal {C}}$ hinaus? Das schauen wir uns im Artikel zur Existenz einer Fortsetzung an.
• Ist die Fortsetzung, und damit das gesuchte Maß, durch die Werte auf ${\mathcal {C}}$ schon eindeutig bestimmt? Das schauen wir uns im Artikel zur Eindeutigkeit einer Fortsetzung an.