Äußere Maße, Messbarkeit, Satz von Caratheodory, Fortsetzungssatz – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, wann eine Fortsetzung einer Mengenfunktion zu einem Maß existiert und überlegen uns, wie eine solche konstruiert werden kann. Wir lernen -Subadditivität und äußere Maße kennen und leiten den Satz von Carathéodory und den Maßfortsetzungssatz her.

VorüberlegungenBearbeiten

Unter welchen Voraussetzungen kann eine auf einem beliebigen Mengensytem   definierte Mengenfunktion   zu einem Maß auf der von   erzeugten  -Algebra   fortgesetzt werden? Die Antwort auf diese Frage wollen wir uns in diesem Kapitel Schritt für Schritt überlegen.

Wir werden gleich an einem einfachen Beispiel sehen, dass die ganze Sache komplizierter ist, als man im ersten Moment vermuten könnte. Denn müsste es nicht intuitiv ausreichen, dass   auf dem Definitionsbereich   die Maßeigenschaften besitzt, um daraus (irgendwie) eine Fortsetzung zu einem Maß auf der erzeugten  -Algebra   zu konstruieren? Die Mengenfunktion   besitzt die Maßeigenschaften, wenn   und  -Additivität gilt, mit anderen Worten, wenn   ein Prämaß auf   ist. Dass diese Bedingung notwendig ist, ist klar: Wenn   kein Prämaß auf dem Mengensystem   ist, dann kann insbesondere keine Fortsetzung von   ein Prämaß sein. Damit ist es aber ausgeschlossen, dass es eine Fortsetzung von   zu einem Maß gibt, da jedes Maß ein Prämaß mit einer  -Algebra als Definitionsbereich ist.

Es muss also   ein Prämaß auf   sein, damit eine Fortsetzung zu einem Maß existieren kann. Aber leider ist das nicht hinreichend, denn diese Eigenschaft sagt im Allgemeinen nicht genug über   aus: Das Problem ist, dass wir nichts über die Struktur des Mengensystems   wissen. Insbesondere kann die Eigenschaft der ( -)Additivität trivialerweise erfüllt sein, einfach weil es in   keine disjunkten Mengen gibt. Dennoch kann   Eigenschaften haben, die es direkt ausschließen, daraus einen Inhalt oder ein Maß zu machen, etwa weil die Monotonie verletzt ist. Ein Beispiel dafür haben wir schon ganz zu Beginn im Artikel Inhalte auf Ringen gesehen:

Beispiel (eine  -additive, aber nicht monotone Mengenfunktion)

  mit  

Deshalb gehen wir zunächst ein paar Schritte zurück und erinnern uns an unsere allerersten Überlegungen zu Messfunktionen.

Subadditive MengenfunktionenBearbeiten

Im Artikel Inhalte auf Ringen haben wir Messfunktionen als extensive Größen aufgefasst. Das sind Größen, die sich mit der Größe des zugrundeliegenden Systems ändern (z.B. Volumen, Masse, Energie, etc.). Dabei haben wir als zentrale Gemeinsamkeit aller extensiven Messfunktionen die Monotonie beobachtet, d.h. die Eigenschaft, dass ein Vergrößern der gemessenen Menge auch zur Vergrößerung der Messgröße führt. Die Monotonie haben wir konkretisiert zur Subadditivität, aus welcher man die Monotonie folgern kann. Die Subadditivität besagt, dass sich der gemessene Wert auch dann vergößern soll, wenn die Obermenge durch Zusammenlegen endlich vieler einzelner Mengen entsteht. Wenn wir nun mit   ein allgemeines Mengensystem haben, dann ist es also angebracht, auch diese allgemeine Eigenschaft extensiver Größen zu fordern: die Subadditivität. Zur Erinnerung die Definition:

Definition (Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt (endlich) subadditiv, falls für alle   und   mit   gilt:

 

Erst später haben wir diese extensive Eigenschaft ergänzt durch die "exakte" Eigenschaft der Additivität und in dem Zusammenhang den Mengenring als möglichen Definitionsbereich von Messfunktionen beschrieben. Auf Mengenringen war es ausreichend, nur die Additivität zu fordern, um daraus auch Subadditivität und Monotonie zu folgern. Aber im Allgemeinen folgen diese beiden Eigenschaften einer Mengenfunktion nicht aus der Additivität, wenn der Definitionsbereich   keine weitere Struktur besitzt, wie das Beispiel oben gezeigt hat. Deswegen wird unser erstes Ziel sein, eine subadditive Fortsetzung von   zu konstruieren, die auf einem möglichst großen Mengensystem definiert ist.

Konstruktion eines äußeren InhaltsBearbeiten

Eine subadditive Mengenfunktion lässt sich als eine äußere Approximation interpretieren: Wird eine Menge   von Mengen   überdeckt, dann ist ihr Volumen auf jeden Fall kleiner oder gleich dem Volumen der überdeckenden Mengen. Dabei spielt es keine Rolle, ob sich die Mengen   disjunkt zur Menge   zusammensetzen oder ob sie   nur "grob" überdecken:

Unter Umständen ist die Summe der Volumina einer disjunkten Zerlegung echt größer als die Vereinigung, aber das macht nichts: Eine Approximation von außen lässt Abweichungen des Volumens nach oben zu. Deshalb ist die Subadditivität bei der Fortsetzung leichter zu handhaben als die Additivität, und es ist sogar eine subadditive Fortsetzung auf ganz   möglich. Beachte, dass wir dagegen von einer additiven Mengenfunktion im Allgemeinen nicht erwarten können, sie auf der gesamten Potenzmenge zu definieren, wie wir am Beispiel von Banach-Tarski gesehen haben. Anschaulich besagt das, dass nicht jede Teilmenge der Grundmenge   exakt messbar ist. Von außen approximieren lässt sich dagegen jede beliebige Menge  .

Nutzen wir also diesen Zusammenhang zwischen Subadditivität und der Approximation von Mengen durch Überdeckungen bei der Konstruktion der subadditiven Fortsetzung. Sei   eine auf dem Mengensystem   definierte subadditive Mengenfunktion. Natürlich muss auch   gelten. Deshalb können wir ohne Einschränkung   annehmen, indem wir   festlegen (selbst, wenn   sein sollte). Mithilfe von approximierenden Überdeckungen koknstruieren wir nun eine auf der Potenzmenge definierte subadditive Fortsetzung  : Für eine Menge  , die von Mengen   überdeckt wird (d.h.  ), definieren wir

 

Problem: Der Wert von   hängt von der gewählten Überdeckung ab!

Beispiel

Betrachte das Mengensystem   und die Mengenfunktion  . Für die Menge   ist sowohl   als auch   eine Überdeckung mit Mengen aus  . Der Wert für   ist dann entsprechend   bzw.  . Intuitiv ist die zweite Variante besser als die erste, weil sie   genauer approximiert.

Damit also   wohldefiniert ist, müssen wir unter allen möglichen Überdeckungen mit Mengen aus   auswählen. Wir wählen für jede Menge   den Wert für  , der zu der Überdeckung gehört, die   am genauesten von außen approximiert. Weil wir von außen approximieren, ist das gerade diejenige Überdeckung, die den kleinsten Wert für   liefert. Es gibt unter Umständen unendlich viele mögliche Überdeckungen, deshalb bilden wir das Infimum:

 

Hinweis

Das Infimum der leeren Menge ist definiert durch   (die leere Menge besitzt keine größte untere Schranke). Das entspricht dem Fall, dass   zu "groß" ist und es keine Überdeckung mit Mengen aus   gibt.

Evtl. gibt es keine Überdeckung, die genau den Wert   liefert, aber nach Definition des Infimums kann man dem Wert beliebig nahekommen.

Nach Konstruktion mit dem Infimum gilt für jedes   und jede beliebige Überdeckung mit Mengen  :

 

Bei der Abschätzung nach oben wurde benutzt, dass die   in der Menge der Überdeckungen von   enthalten sind, über die das Infimum gebildet wird.

Diese Ungleichung ist schon sehr ähnlich zur Subadditivität, die unser Ziel ist. Allerdings steht links der Ungleichung  , rechts  . Deshalb müssen wir die Subadditivität noch extra beweisen.

Satz

Sei   ein Mengensystem mit   und   eine Mengenfunktion mit  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

subadditiv und es gilt  .

Beweis

Wir zeigen zuerst  .

Da   eine Überdeckung der leeren Menge mit Mengen aus   ist, gilt  . Da außerdem   gilt für alle  , ist auch   und es folgt  .

Nun zur Subadditivität. Seien   beliebig mit  . Wir müssen zeigen, dass   gilt.

Sei ohne Einschränkung   für alle  , denn andernfalls gilt die Ungleichung sowieso. Die Idee ist nun, die Überdeckung   von   auf eine Überdeckung mit Mengen aus   zurückzuführen. Für diese können wir ausnutzen, dass sie in der Menge der Überdeckungen enthalten ist, über die das Infimum gebildet wird, und erhalten so eine Abschätzung nach oben. Dafür wählen wir für jedes einzelne   eine Überdeckung   mit Mengen aus   (die existiert, weil   ist). Dann ist

 

eine Überdeckung von  . Nach Konstruktion von   gilt somit

 

Bei der zweiten Ungleichung geht ein, dass, wie in der Summe davor, über die Mengen aus   summiert wird, mit dem Unterschied, dass einige Mengen möglicherweise doppelt gezählt werden. (Hier benutzten wir, dass   nichtnegativ ist!)

Nun wollen wir aber etwas von der Form

 

erreichen. Dafür müssen wir die Überdeckungen   der   wieder auf die   zurückführen und dabei die Ungleichung beibehalten. Mit anderen Worten, wir brauchen

 

Die Konstruktion von   garantiert aber nur

 

Da wir aber den Wert des Infimums in der definierenden Gleichung von   beliebig genau approximieren können, können wir die Überdeckungen   so wählen, dass sie nur wenig größer sind als  . Sei also  . Zu jedem   wählen wir   so, dass gilt:

 

Dann erhalten wir aus obiger Abschätzung

 

und da   beliebig war, folgt

 

Hinweis

Beachte, dass wir im Satz nicht die Subadditivität von   gefordert haben. Damit   subadditiv ist, muss   nicht selbst subadditiv sein. Um den Satz zu zeigen, reicht es, dass   eine nichtnegative Mengenfunktion mit   ist. Die Subadditivität von   werden wir dennoch gleich brauchen, damit   tatsächlich eine Fortsetzung von   ist.

Wir haben nun eine auf ganz   subadditive Mengenfunktion   mit   konstruiert. In Anlehnung an die Überlegungen zur äußeren Approximation nennen wir eine auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion mit diesen Eigenschaften einen äußeren Inhalt.

Definition (Äußerer Inhalt)

Eine Mengenfunktion   heißt äußerer Inhalt, falls gilt:

  1.  ,
  2.   ist subadditiv.

Warnung

Dieser Begriff wird nicht in der Literatur verwendet.

Beachte auch: Was wir hier als äußeren Inhalt bezeichnen, ist kein Inhalt im eigentlichen Sinne, denn er ist im Allgemeinen nicht additiv.

Es bleibt noch die Frage, ob   durch   fortgesetzt wird, d.h. ob   für alle   gilt. Das ist nicht so klar: wir wissen bisher nur,   ist, denn   ist eine mögliche Überdeckung von  . Aber nichts garantiert, dass es keine "bessere" Approximation gibt und das Infimum über alle möglichen Überdeckungen nicht doch einen kleineren Wert liefert. Wir wollen also auch die umgekehrte Ungleichung:   für alle  . Das ist der Fall, wenn für alle endlichen Überdeckungen von   mit Mengen   gilt, dass   ist. Mit anderen Worten, wir brauchen zusätzlich die Subadditivität von   auf  .

Satz

Sei   ein Mengensystem mit  , sei   eine subadditive Mengenfunktion mit   und sei   definiert wie oben. Dann ist   eine Fortsetzung von  .

Beweis

Wir müssen zeigen, dass   für alle   ist. Da   von   überdeckt wird, gilt   nach Definition von   als Infimum über alle Überdeckungen. Umgekehrt gilt für beliebige   mit   wegen Subadditivität von   auch  . Da dies für alle Überdeckungen von   erfüllt ist, gilt die Ungleichung auch für das Infimum über alle möglichen Überdeckungen und es folgt  .

Um den wie oben definierten äußeren Inhalt   als Fortsetzung von   zu kennzeichnen, schreiben wir   dafür. Zusammengefasst haben wir bewiesen:

Satz (von der Konstruktion des äußeren Inhalts)

Seien   ein Mengensystem mit   und   eine subadditive Mengenfunktion mit  . Dann ist

 

ein äußerer Inhalt, der   fortsetzt.

Warnung

Im Allgemeinen ist die im Satz definierte Mengenfunktion   eine mögliche Fortsetzung von   zu einem äußeren Inhalt. Neben dieser kanonischen Definition kann es weitere geben. Mit der Frage nach der Eindeutigkeit einer Fortsetzung beschäftigen wir uns später.

Abschließend betrachten wir noch ein kurzes Beispiel. Der äußere Jordan-Inhalt wird ausgehend vom elementargeometrischen Inhalt im   definiert.

Beispiel (äußerer Jordan-Inhalt)

Eine (halboffene) Quaderfigur ist eine endliche Vereinigung halboffener Quader der Form  .

Wir betrachten das Mengensystem

 

der Quaderfiguren im  . Dieses Mengensystem ist ein Ring. Auf dem Ring der Quaderfiguren betrachten wir den elementargeometrischen Inhalt  . Dieser ordnet einem Quader   sein Volumen

 

zu. Jede Quaderfigur   lässt sich auch als disjunkte Vereinigung endlich vieler Quader schreiben, und ihr Volumen   ist die Summe der einzelnen Quadervolumina. (Mache Dir klar, dass es immer möglich ist,   als disjunkte Vereinigung von halboffenen Quadern zu schreiben, und dass der Wert   nicht von der Wahl der Zerlegung abhängt!) Die so definierte Mengenfunktion   heißt Jordan-Inhalt. Man kann zeigen, dass   auf dem Mengensystem   tatsächlich additiv, also ein Inhalt ist. Insbesondere gilt   und da   ein Ring ist, folgt aus der Additivität von   auch die Subadditivität.

Wir können den äußeren Jordan-Inhalt   konstruieren, indem wir für eine beliebige Teilmenge   definieren:

 

Nach dem eben Bewiesenen ist   tatsächlich ein äußerer Inhalt (subadditiv) und setzt   fort. Anschaulich wird damit das Volumen beliebiger Teilmengen des   approximiert, indem diese durch Überdeckungen mit Quaderfiguren angenähert werden.

Vom äußeren Inhalt zum InhaltBearbeiten

Wir haben im vorherigen Abschnitt die Subadditivität als wesentliche Eigenschaft erkannt und sie zum Mittelpunkt der Konstruktion der Fortsetzung gemacht. Führen uns unsere Überlegungen zur Subadditivität aber überhaupt zum Ziel und wenn ja, wie können wir es erreichen? Denn nach wie vor sind wir ja an einer "exakten" (additiven) bzw. zusätzlich stetigen ( -additiven) Mengenfunktion auf einem möglichst großen Definitionsbereich interessiert. Eine subadditive Fortsetzung unserer Mengenfunktion auf die ganze Potenzmenge ist natürlich gut und schön, aber uns interessiert, auf welchen Mengen diese Fortsetzung additiv bzw.  -additiv ist. Gehen wir Schritt für Schritt vor und kümmern wir uns erstmal um die Additivität. Wenn wir die Mengen herausfinden können, auf denen sich eine subadditive Mengenfunktion additiv verhält, ist schon viel gewonnen: Durch einfaches Einschränken des Definitionsbereiches erhalten wir schon einen Inhalt, und von dort ist es nicht mehr weit (hoffentlich nur ein Grenzübergang  , aber das werden wir noch sehen) bis zu einem Maß.

Das Ziel ist nun also, den Definitionsbereich geschickt einzuschränken und damit zu erreichen, dass   darauf (endlich) additiv, also ein Inhalt wird. Wie können wir herausfinden, auf welchen Mengen   "exakt", d.h. additiv ist?

Die Messbarkeitsbedingung von CarathéodoryBearbeiten

Gesucht sind diejenigen  , für die gilt:

 

Das sind aber zwei gesuchte Größen (  und  ) in einem Ausdruck. Damit ist schwierig umzugehen, deshalb halten wir nur   als die gesuchte Größe fest und betrachten   (und damit auch  ) als beliebig. Auf der linken Seite der Gleichung können wir nichts mehr vereinfachen. Versuchen wir also, auf der rechten Seite alle Ausdrücke mit   durch   und   auszudrücken:

 

Da wir über   nichts wissen, müssen wir für   alle Mengen   mit   zulassen. Für die Mengen  , auf denen   additiv ist, soll also gelten:

 

Erinnern wir uns an die Überlegungen zur Approximation mit Überdeckungen und an die Additivität als Eigenschaft, "exakt" messbar zu sein. Dann sind intuitiv die Mengen  , für welche die Bedingung erfüllt ist, approximierbar. Approximierbarkeit einer Menge kann man als Eigenschaft interpretieren, dass Approximation von Außen und von Innen dasselbe Ergebnis liefern, so wie bei integrierbaren Funktionen die Werte für Ober- und Untersumme im Grenzwert gleich sein sollen. Fassen wir die innere Approximation einer Menge als äußere Approximation des Komplements auf (siehe Bild), so folgt aus dieser Überlegung, dass mit einer Menge   stets auch ihr Komplement   messbar sein soll.

Diese Äquivalenz kommt in der obigen Formel schon zum Ausdruck, denn wegen   ist sie symmetrisch in   und  :

 

Nun haben wir aber das Erfülltsein der Gleichung nur für diejenigen   mit   gefordert. Ist eine Menge   messbar, so können wir wegen   noch nicht die Messbarkeit des Komplements   folgern. Um die gewünschte Symmetrie zwischen der Approximierbarkeit einer Menge   und ihrem Komplement   herzustellen, muss die definierende Gleichung der Messbarkeit für jedes beliebige   erfüllt sein. Die Mengen  , für welche die Gleichung für alle   gilt, sind die durch   exakt approximierten Mengen, deswegen werden diese auch  -messbare Mengen genannt. Diese Bedingung der Messbarkeit wurde von dem Mathematiker Constantin Carathéodory eingeführt.

Definition (Messbarkeitsbedingung nach C. Carathéodory)

Sei   ein äußerer Inhalt. Eine Menge   heißt  -messbar, falls für alle   gilt:

 

Die Menge   ist die Menge der  -messbaren Mengen.

Hinweis

Oft wird die Gleichung in der Messbarkeitsbedingung äquivalent formuliert:

 

Außerdem findet man manchmal " " statt " ", d.h.

 

denn wegen Subadditivität gilt ja " " sowieso.

Warnung

In der Literatur findet man die Messbarkeitsbedingung für sogenannte äußere Maße anstelle von äußeren Inhalten definiert. Äußere Maße werden wir noch kennenlernen, und unsere Definition der Messbarkeit überträgt sich unverändert darauf.

Anwendung der MessbarkeitsbedingungBearbeiten

Wir haben uns eine Bedingung überlegt, um die Mengen zu finden, auf denen ein äußerer Inhalt   additiv ist. In der Tat funktioniert sie, und der Beweis ist nicht schwer:

Satz

Sei   ein äußerer Inhalt. Dann ist   additiv auf  .

Beweis

Wir zeigen die Aussage für zwei disjunkte Mengen, die Additivität für beliebig endlich viele paarweise disjunkte Mengen folgt induktiv.

Seien   disjunkt. Es gilt wegen der Messbarkeit von  :

 

Genauso gut kann man natürlich mit der Messbarkeit von   argumentieren.

Wir können sogar schon etwas über die Struktur von   sagen:

Satz

Sei   ein äußerer Inhalt. Dann gilt:

  1.  
  2.  
  3.  

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen fast unmittelbar aus der Messbarkeitsdefinition:

Sei   beliebig. Wegen   und   gilt:

 

Sei nun  . Verwendet man die äquivalente Messbarkeitsbedingung  , so sieht man, dass aus Symmetriegründen   gilt.

Seien schließlich   und   beliebig. Mehrfache Anwendung der Eigenschaft  -messbarer Teilmengen ergibt:

 

Wir haben also schon eine  -Algebra ohne " ": alles, was fehlt, ist die Abgeschlossenheit gegenüber abzählbar unendlichen Vereinigungen. Ein Mengensystem mit diesen Eigenschaften heißt entsprechend Algebra:

Definition (Algebra)

Ein Mengensystem   heißt Algebra, falls gilt:

  1.  
  2.  
  3.  

Induktiv folgt aus   natürlich die Abgeschlossenheit gegenüber beliebigen endlichen Vereinigungen. Jede Algebra ist ein Ring; jeder Ring   mit   ist eine Algebra.

Zusammengefasst haben wir herausgefunden:

Satz (Zwischenresultat)

Sei   ein äußerer Inhalt. Dann ist   eine Algebra und   endlich additiv, also ein Inhalt darauf.

-Subadditivität und äußere MaßeBearbeiten

Jetzt haben wir schon ziemlich viel erreicht, es fehlt nur noch die  -Additivität und Abgeschlossenheit gegenüber abzählbaren Vereinigungen. Es ist verlockend, einfach zum Grenzwert   über zu gehen und das so auch für abzählbar unendlich viele Mengen zu folgern. Aber es ist nicht klar, ob die Subadditivität (als verallgemeinerte Monotonie) auch beim Übergang zu Grenzwerten erhalten bleibt!

Beispiel (Äußerer Jordan-Inhalt)

Sei   der äußere Jordan-Inhalt auf  , der uns in allgemeinerer Form für   schon oben in einem Beispiel begegnet ist. Das dort betrachtete Mengensystem   der Quaderfiguren im   entspricht hier der Menge aller endlichen Vereinigungen von halboffenen Intervallen der Form  . Aus obigem Beispiel wissen wir, dass   tatsächlich ein äußerer Inhalt, also endlich subadditiv ist. Betrachtet man außerdem Mengen der Form   als approximierende Überdeckungen für Ein-Punkt-Mengen  , so sieht man, dass

 

gilt. Daraus folgt, dass   nicht nur den halboffenen, sondern auch beliebigen Intervallen gerade ihre elementargeometrische Länge zuordnet (denn die Randpunkte spielen keine Rolle). Wir betrachten nun die Menge  .

Da   subadditiv ist (vgl. das Beispiel oben), gilt für jede endliche Überdeckung von   mit Mengen  :

 

Allerdings gilt diese Ungleichung nicht mehr, wenn man zu abzählbar unendlichen Überdeckungen übergeht.

Es leuchtet ein, dass jede endliche Überdeckung von   mit Mengen   ganz   überdecken muss, da   dicht in   liegt. Die genauestmögliche Überdeckung von   ist also offenbar das Intervall   selbst, und damit gilt  . Sei nun   eine Aufzählung der Elemente von   (diese Menge ist abzählbar). Dann ist  , aber es gilt

 

Die Subadditivität bleibt also nicht beim Übergang zu unendlichen Überdeckungen erhalten!

Historische Notiz: Bei der Definition des äußeren Jordan-Inhalts statt endlicher Überdeckungen abzählbar unendliche zu betrachten, war die entscheidende Idee bei der Entwicklung der Integrationstheorie nach Lebesgue. Wir werden gleich sehen, warum.

Die Argumentation, die wir im vorherigen Abschnitt für die endliche Additivität benutzt haben, funktioniert also unter Umständen nicht, wenn wir die Additivität für unendlich viele disjunkte Mengen wollen. Denn damit wir daraus auch die  -Additivität und Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen folgern können, ist erforderlich, dass sich die Subadditivität auch unter Grenzwerten erhält. Mit anderen Worten, die Ungleichung in der Definition der Subadditivität soll auch für Überdeckungen mit (abzählbar) unendlich vielen Mengen gelten. Das Beispiel zeigt, dass das im Allgemeinen nicht klar ist und extra gefordert werden muss. Wir erweitern also den Begriff der Subadditivität auf Überdeckungen mit abzählbar vielen Mengen und bezeichnen diese Eigenschaft entsprechend als  -Subadditivität:

Definition ( -Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt  -subadditiv, falls für alle   mit   gilt:

 

Bevor wir untersuchen, ob wir mit dieser Eigenschaft unser Ziel einer auf    -additiven Mengenfunktion erreichen, führen wir für äußere Inhalte mit dieser Eigenschaft noch eine neue Bezeichnung ein. Wir haben auf der Potenzmenge definierte subadditive Mengenfunktionen mit   vorhin als äußeren Inhalt bezeichnet, da liegt es nahe, für  -subadditive Mengenfunktionen mit   eine daran angelehnte Bezeichnung zu wählen: äußeres Maß. Das ist ein für die Maßfortsetzung sehr zentraler Begriff.

Definition (Äußeres Maß)

Eine Mengenfunktion   heißt äußeres Maß, falls gilt:

  1.  ,
  2.   ist  -subadditiv.

Warnung

Auch hier gilt: Ein äußeres Maß ist kein Maß im eigentlichen Sinne, denn es ist im Allgemeinen nicht  -additiv auf  .

Wegen   ist jedes äußere Maß auch endlich subadditiv (und damit monoton): wähle   als überdeckende Mengen.

Konstruktion eines äußeren MaßesBearbeiten

Um ausgehend von einer auf einem beliebigen Mengensystem   mit   definierten Mengenfunktion   mit   einen äußeren Inhalt   zu konstruieren, haben wir mit endlichen Überdeckungen gearbeitet und beliebige   mit Mengen aus   approximiert:

 

Die dadurch definierte Mengenfunktion   ist tatsächlich subadditiv auf der gesamten Potenzmenge mit  , ist also ein äußerer Inhalt. Wir haben gesehen, dass sie   fortsetzt, also mit   auf dem Mengensystem   übereinstimmt, wenn   ebenfalls die Eigenschaften eines äußeren Inhalts hat, also zusätzlich zu   noch subadditiv auf   ist.

Nun wollen wir eine auf der Potenzmenge definierte  -subadditive Mengenfunktion   mit   konstruieren. Eine Mengenfunktion mit diesen Eigenschaften bezeichnen wir als äußeres Maß. Es soll also auch für abzählbar unendliche Überdeckungen einer Menge  ,   gelten, dass

 

Beim Nachweis des Subadditivität des wie oben konstruierten äußeren Inhalts haben wir ausgenutzt, dass der Wert   über das Infimum über alle möglichen endlichen Überdeckungen einer Menge   gebildet wird. Aus der Definition folgte unmittelbar die zur Subadditivität sehr ähnliche Ungleichung

 

für eine von Mengen   überdeckte Menge  . Wir können aber von obiger Definition nicht erwarten, dass die damit konstruierte Mengenfunktion   auch  -subadditiv ist: Weil das Infimum nur über endliche Überdeckungen gebildet wird, ist nicht garantiert, dass die Ungleichung auch beim Übergang zu abzählbar unendlichen Überdeckungen erhalten bleibt. Mit dem Jordan-Inhalt auf   und der Menge   haben wir schon ein Beispiel dafür gesehen.

Um also die  -Subadditivität von   folgern zu können und die Ungleichung auch für unendliche Überdeckungen zu erhalten, bilden wir das Infimum auch über diese und verbessern die Definition zu:

 

Beachte, dass wir wegen   auch endliche Überdeckungen darin eingeschlossen haben: wähle  . Die so konstruierte Mengenfunktion   ist tatsächlich  -subadditiv, und der Beweis ist analog zum Nachweis der Subadditivität des oben konstruierten äußeren Inhalts:

Satz

Sei   ein Mengensystem mit   und   eine Mengenfunktion mit  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

ein äußeres Maß.

Beweis

Wir zeigen die beiden Eigenschaften eines äußeren Maßes, zuerst dass   ist und dann die  -Subadditivität. Dafür halten wir zunächst Folgendes fest: Sei   eine Überdeckung von  , d.h. es gelte  . Dann gilt wegen

 

gemäß der Definition von  , dass

 

Da außerdem wegen der Nichtnegativität von   für beliebige   alle Elemente in   nichtnegativ sind, ist auch immer  .

Indem wir die Überdeckung   von   betrachten, folgt mit diesen zwei Aussagen direkt

 

Jetzt zeigen wir die  -Subadditivität. Sei dafür   eine beliebige Mengenfolge,  . Wir werden zeigen, dass  .

O.B.d.A. sei   für alle  . Denn ist   für ein  , so folgt wegen   auch  , sodass gilt

 

Sei nun   beliebig.

Aus der Definition von   mithilfe des Infimums folgt für jedes  : Es gibt eine Überdeckung von   mit Mengen  , sodass

 

Da jede einzelne der Folgen   die Menge   überdeckt, ist

 

Das heißt,   ist eine abzählbare Überdeckung von  , bestehend aus Mengen aus  . Daraus folgt

 

Da diese Ungleichung für alle   gilt, folgt durch einen Grenzübergang   die Behauptung

 

Aus denselben Gründen wie bei der Konstruktion eines äußeren Inhalts muss auch hier   die Eigenschaften eines äußeren Maßes auf   aufweisen, um durch   fortgesetzt zu werden:

Satz

Sei   ein Mengensystem mit  , sei   eine  -subadditive Mengenfunktion mit   und sei   definiert wie oben. Dann ist   eine Fortsetzung von  .

Beweis

Sei  . Wir zeigen nun  . Da   von   überdeckt wird, gilt  .

Wir zeigen die andere Ungleichung. Sei dazu   eine beliebige Überdeckung von  . Dann gilt wegen der  -Subadditivität von  , dass

 

Da dies für alle solche Überdeckungen   gilt, gilt auch

 

Um das oben definierte äußere Maß   als Fortsetzung von   zu kennzeichnen, schreiben wir wieder   dafür. Zusammengefasst haben wir bewiesen:

Satz (von der Konstruktion des äußeren Maßes)

Seien   ein Mengensystem mit   und   eine  -subadditive Mengenfunktion mit  . Dann ist

 

ein äußeres Maß, das   fortsetzt.

Warnung

Auch hier gilt: Die im Satz konstruierte Mengenfunktion ist eine mögliche Fortsetzung von   zu einem äußeren Maß. Es muss aber nicht die einzig mögliche sein.

Vom äußeren Maß zum MaßBearbeiten

Mit der zusätzlichen Eigenschaft der  -Additivität ausgestattet, können wir nun auch zeigen, dass   eine  -Algebra ist und   sogar  -additiv darauf ist. Der Beweis beruht tatsächlich auf der Idee, ausgehend vom Zwischenresultat zur endlichen Additivität einen Grenzübergang zu machen:

Satz

Sei   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra.

Beweis

Da jedes äußere Maß insbesondere ein äußerer Inhalt ist, gilt das oben bewiesene Zwischenresultat und wir wissen schon, dass   eine Algebra ist. Wir müssen also nurnoch die Abgeschlossenheit von   gegenüber abzählbar unendlichen Vereinigungen beweisen, d.h. dass Vereinigungen messbarer Mengen wieder messbar sind. Es soll also für alle   und alle   gelten:

 

Die Hauptarbeit besteht darin, " " nachzuweisen, denn wegen endlicher Subadditivität gilt " " ja sowieso. Wir zeigen die Aussage zuerst für unendliche Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen aus  . Seien also   paarweise disjunkt. Es gilt für alle  :

 

Dabei haben wir in den ersten beiden Gleichheiten benutzt, dass endliche Vereinigungen von Mengen aus   wieder in   liegen und dass sich   auf   endlich additiv verhält. Die letzte Abschätzung kommt aufgrund der Monotonie von   zustande, denn es gilt

 

Da die oben gezeigte Abschätzung für alle   gilt, bleibt die Ungleichung auch beim Grenzübergang   erhalten und wir haben

 

Beachte, dass es wirklich notwendig war, vor dem Grenzübergang die endliche Additivität auszunutzen, damit klar ist, dass die Abschätzung erhalten bleibt! Es ist nun   ein äußeres Maß, also  -subadditiv, und wir erhalten aus einer weiteren Abschätzung des ersten Summanden

 

wobei die letzte Ungleichung aus der endlichen Subadditivität folgt. Es gilt also überall Gleichheit und wir haben die Messbarkeit von   für paarweise disjunkte   gezeigt.

 
Überlappende Mengen   werden durch "herausschneiden" in disjunkte Mengen   überführt

Um die Aussage für beliebige abzählbar unendliche Vereinigungen zu erhalten, nutzen wir wiederum das schon bewiesene Zwischenresultat, nach dem   eine Algebra ist. Um eine Vereinigung "künstlich" disjunkt zu machen, nehmen wir aus jeder Menge   den Teil heraus, der bereits in der Vereinigung der ersten   Mengen enthalten ist.

Dafür benutzen wir den Zusammenhang  . Es gilt also wegen Schnitt-, Vereinigungs- und Komplementstabilität der Algebra:

 

Dann ist   eine Vereinigung paarweiser disjunkter Mengen aus   und liegt nach dem oben Gezeigten ebenfalls in  . Wir haben also auch für nicht-disjunkte  , dass

 

und sind fertig.

Aus der oben gemachten Abschätzung folgt durch geeignete Wahl von   direkt die  -Additivität von   auf  :

Satz

Sei   ein äußeres Maß. Dann ist    -additiv auf  .

Beweis

Seien   paarweise disjunkt. Im oberen Beweis haben wir mithilfe der  -Subadditivität für disjunkte Mengen die folgende Abschätzung erreicht:

 

Es gilt also überall Gleichheit und es folgt

 

für alle  . Die Wahl von   liefert die Behauptung.

Zusammengefasst haben wir also den folgenden Satz bewiesen, der nach dem Mathematiker Constantin Carathéodory benannt ist:

Satz (von C. Carathéodory, 1914)

Sei   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra und   ein Maß darauf.

ZwischenresultatBearbeiten

Wir fassen die bisherigen Definitionen und Ergebnisse kurz zusammen.

Konstruktion eines äußeren MaßesBearbeiten

Wir haben die Eigenschaft der  -Subadditivität kennengelernt. Sie verallgemeinert die Subadditivität auf Überdeckungen (Approximationen) einer Menge mit abzählbar unendlich vielen Mengen und kann aufgefasst werden als eine Form der Subadditivität, die beim Übergang zu Grenzwerten erhalten bleibt.

Definition ( -Subadditivität einer Mengenfunktion)

Eine Mengenfunktion   heißt  -subadditiv, falls für alle   mit   gilt:

 

Ein äußeres Maß ist eine auf der gesamten Potenzmenge definierte  -subadditive Mengenfunktion. Es kann interpretiert werden als Approximation des Volumens der Teilmengen von  , ist aber im Allgemeinen kein Maß (nicht  -additiv) auf der Potenzmenge.

Definition (Äußeres Maß)

Eine Mengenfunktion   heißt äußeres Maß, falls gilt:

  1.  ,
  2.   ist  -subadditiv.

Mit fast jeder auf einem Mengensystem definierten Mengenfunktion   kann man ein äußeres Maß konstruieren. Die Idee der Konstruktion ist die Eigenschaft eines äußeren Maßes als äußere Approximation durch möglichst genaue Überdeckungen. Hat   selbst die Eigenschaften eines äußeren Maßes ( -Subadditivität), so ist das damit konstruierte äußere Maß eine Fortsetzung von  .

Satz (Von der Konstruktion eines äußeren Maßes)

Sei   ein Mengensystem mit   und   eine Mengenfunktion mit  . Dann ist die auf der Potenzmenge definierte Mengenfunktion

 

ein äußeres Maß. Ist   zusätzlich  -subadditiv auf  , so ist das so definierte äußere Maß eine Fortsetzung von   und wir schreiben auch   dafür.

Satz von CarathéodoryBearbeiten

Mithilfe der Messbarkeitsbedingung von Carathéodory kann man diejenigen Mengen finden, auf denen sich ein äußeres Maß additiv verhält. Die Mengen, für welche die Bedingung erfüllt ist, können aufgefasst werden als exakt durch das äußere Maß approximierbare oder messbare Mengen.

Definition (Messbarkeitsbedingung nach C. Carathéodory)

Sei   ein äußeres Maß. Eine Menge   heißt  -messbar, falls für alle   gilt:

 

Die Menge   ist die Menge der  -messbaren Mengen.

Die Menge der bzgl. eines äußeren Maßes messbaren Mengen ist eine  -Algebra. Weiter ist ein äußeres Maß   auf der Menge der messbaren Mengen ein Maß: Nach Definition der Messbarkeitsbedingung verhält sich eine subadditive Mengenfunktion auf den messbaren Mengen additiv. Bleibt die Subadditivität auch im Übergang zum Grenzwert erhalten, gilt also  -Subadditivität, so kann aus der Additivität mithilfe eines Grenzübergangs die  -Additivität gefolgert werden.

Satz (von C. Carathéodory, 1914)

Sei   ein äußeres Maß. Dann ist   eine  -Algebra und   ein Maß darauf.

Der FortsetzungssatzBearbeiten

Wir wissen nun: Ist   eine auf einem beliebigen Mengensystem   mit   definierte  -subadditive Mengenfunktion mit  , dann können wir damit ein äußeres Maß   auf der Potenzmenge konstruieren, das   fortsetzt. Dafür definieren wir für beliebige  

 

Wir können die bezüglich eines äußeren Maßes messbaren Mengen definieren. Diese bilden eine  -Algebra und das äußere Maß ist  -additiv (ein Maß) darauf. Im Folgenden behalten wir die Bezeichnungen  ,   und   bei und verwenden sie im eben gebrauchten Sinn.

Das Ziel ist jetzt, diese Resultate anzuwenden, um die Fortsetzung zu konstruieren. Dafür wollen wir   auf die von   erzeugte  -Algebra einschränken und so ein Maß auf   bekommen. Noch sind wir aber nicht ganz fertig! Es ist noch nicht klar, ob das Mengensystem  , auf dem die fortzusetzende Mengenfunktion definiert ist, in der  -Algebra   der   messbaren Mengen enthalten ist. Ist das nicht der Fall, gilt also  , so ist natürlich auch  . Dann können wir   auch nicht geeignet einschränken. Umgekehrt folgt aus den Eigenschaften des  -Operators, (  ist eine  -Algebra): Ist  , so ist auch  . Was wir also zusätzlich brauchen, ist die Messbarkeit der Mengen aus  . Mit anderen Worten: Es soll

 

für alle   und alle   gelten. Wenn das erfüllt ist, haben wir unser Ziel einer Fortsetzung von   zu einem Maß auf   erreicht.

Anstatt einfach die Gültigkeit der obigen Gleichung als Voraussetzung zur Konstruktion einer Fortsetzung aufzunehmen, benutzen wir eine etwas schwächere Bedingung der Messbarkeit der Mengen aus  . Dafür approximieren wir die beliebige Menge   durch Mengen  . Dann genügt es für die Messbarkeit einer Menge  , wenn die obige Gleichheit nur für alle Mengen   gilt, anstatt für beliebige  . Um das einzusehen, benutzen wir jetzt diese abgeschwächte Messbarkeitsbedingung, um daraus die Messbarkeit der Mengen aus   zu folgern.

Sei also   die Menge, deren Messbarkeit wir zeigen wollen. Sei ferner   beliebig und seien  , sodass

 

Das Ziel ist,

 

zu zeigen, indem wir ausnutzen, dass die Gleichung für die   an Stelle von   erfüllt ist. Es gilt wegen der Subadditivität und  -Subadditivität des äußeren Maßes  :

 

Nun haben wir angenommen, dass die Gleichung der Messbarkeit für Mengen aus