Erzeugte sigma-Algebren – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel lernen wir, was die von einem Mengensystem erzeugte $\sigma$-Algebra ist. Wir beweisen ein paar wichtige Eigenschaften und lernen die Borelsche $\sigma$-Algebra kennen.

Motivation

Sei ${\mathcal {C}}$ ein Mengensystem über einer Grundmenge $\Omega$ und $\mu \colon {\mathcal {C}}\to [0,\infty ]$ eine Mengenfunktion. Unser Ziel ist herauszufinden, wie und unter welchen Bedingungen sich $\mu$ zu einem Maß auf einer $\sigma$-Algebra fortsetzen lässt. In diesem Artikel gehen wir der Frage nach, welche $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ ein sinnvoller Definitionsbereich einer Fortsetzung von $\mu$ sein könnte.

Eine Fortsetzung sollte mindestens auf dem Definitionsbereich der fortzusetzenden Funktion definiert sein. Deshalb sollte das Mengensystem ${\mathcal {C}}$ in ${\mathcal {A}}$ enthalten sein.

Eine Möglichkeit wäre, standardmäßig die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ als Definitionsbereich der Fortsetzung zu wählen: Sie ist eine $\sigma$-Algebra und enthält ${\mathcal {C}}$. Aber das ist nicht immer eine sinnvolle Wahl:

• Die Potenzmenge ist im Allgemeinen ein zu ehrgeiziges Ziel für eine Fortsetzung: Das Inhaltsproblem zeigt, dass es schon bei Inhalten Probleme geben kann, sie auf der ganzen Potenzmenge zu definieren. Insbesondere kann diese also zu groß sein, als dass noch eine Fortsetzung zu einem Maß darauf existiert.
• Die Potenzmenge ist möglicherweise unnötig allgemein: Verglichen mit dem Mengensystem ${\mathcal {C}}$ kann ${\mathcal {P}}(\Omega )$ "zu viele" Mengen enthalten, auf welche fortzusetzen dann nicht sinnvoll ist. Ein einfaches Beispiel für diesen Fall ist, wenn $\mu$ ein Maß und ${\mathcal {C}}$ selbst schon eine $\sigma$-Algebra, aber nicht die Potenzmenge ist.

Ein weiteres Beispiel für den zweiten Punkt ist das folgende:

Beispiel (Sinnvolle Erweiterung von ${\mathcal {C}}$)

Seien $\Omega =\{1,2,3,4\}$ und ${\mathcal {C}}=\{\{1,2\},\{3,4\}\}$. Sei weiter $\mu$ eine auf ${\mathcal {C}}$ definierte Mengenfunktion mit $\mu (\{1,2\})=1=\mu (\{3,4\})$. Das Mengensystem

${\mathcal {A}}:={\mathcal {C}}\cup \{\Omega \}\cup \{\emptyset \}$

ist eine $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {C}}$ enthält. Aber natürlich ist auch die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ eine solche $\sigma$-Algebra. Intuitiv ist ${\mathcal {P}}(\Omega )$ als Definitionsbereich einer Fortsetzung $\nu$ von $\mu$ aber wenig sinnvoll. Das liegt daran, dass die Potenzmenge auch die einelementigen Teilmengen von $\Omega$ enthält. Über diese liefert $\mu$ aber gar keine Information: Wir könnten den Wert für $\nu (\{1\})$ beliebig aus $[0,1]$ wählen. Ein größerer Wert ist wegen der Monotonie nicht möglich, denn es muss $\nu (\{1\})\leq \mu (\{1,2\})=1$ gelten. Aufgrund der Additivität ist dann $\nu (\{2\})=1-\nu (\{1\}).$

Die gesuchte $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ soll also nicht größer als nötig sein. Wir haben oben schon festgestellt, dass sie aber zumindest das Mengensystem ${\mathcal {C}}$ enthalten sollte. Wir betrachten also zunächst alle Ober-$\sigma$-Algebren von ${\mathcal {C}}$, d.h. alle $\sigma$-Algebren, die ${\mathcal {C}}$ enthalten. Um unter diesen die kleinste zu finden, gehen wir wie beim Konstruieren des (topologischen) Abschlusses einer Menge vor: Der Abschluss einer Menge ist die kleinste abgeschlossene Obermenge und wird als Schnitt über alle abgeschlossenen Obermengen definiert. Analog wählen wir die kleinste Ober-$\sigma$Algebra ${\mathcal {A}}$ von ${\mathcal {C}}$ als den Schnitt über alle diese $\sigma$-Algebren.

Definition: Erzeugte $\sigma$-Algebra

Die $\sigma$-Algebra, die wir im vorherigen Abschnitt als Schnitt über alle Ober-$\sigma$-Algebren von ${\mathcal {C}}$ definiert haben, wird erzeugte $\sigma$-Algebra genannt:

Definition (Erzeugte $\sigma$-Algebra)

Sei $\Omega$ eine Menge und ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ ein Mengensystem. Die $\sigma$-Algebra

$\sigma ({\mathcal {C}}):=\bigcap \{{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ):{\mathcal {F}}{\text{ ist eine }}\sigma {\text{-Algebra, }}{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\}$

heißt die von ${\mathcal {C}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra, der dadurch definierte Operator $\sigma$ heißt $\sigma$-Operator. Das Mengensystem ${\mathcal {C}}$ wird Erzeuger von $\sigma ({\mathcal {C}})$ genannt.

Hinweis

$\bigcap \{{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ):{\mathcal {F}}{\text{ ist eine }}\sigma {\text{-Algebra, }}{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\}$

ist eine andere Schreibweise für den Schnitt $\bigcap _{{\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {F}}$, wobei ${\mathcal {M}}=\{{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ):{\mathcal {F}}{\text{ ist eine }}\sigma {\text{-Algebra, }}{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\}$.

Hinweis

Obwohl wir das in der Notation "$\sigma ({\mathcal {C}})$" unterschlagen, hängt die von einem Mengensystem ${\mathcal {C}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma ({\mathcal {C}})$ natürlich von der zugrundeliegenden Grundmenge $\Omega$ ab. Sei etwa ${\mathcal {C}}=\{\emptyset \}$. Dann ist $\sigma ({\mathcal {C}})=\{\emptyset ,\Omega \}$ die von ${\mathcal {C}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra über $\Omega$. Für eine andere Grundmenge $\Omega$ ist das ein anderes Mengensystem. Meist ist das gemeinte $\Omega$ aber aus dem Kontext klar und wird daher in der Notation des $\sigma$-Operators weggelassen.

Hinweis

Man kann nach demselben Prinzip auch andere Arten von erzeugten Mengensystemen definieren. Zum Beispiel kann man den von einem Mengensystem ${\mathcal {C}}$ erzeugten Ring oder $\sigma$-Ring definieren.

Wir müssen noch überprüfen, dass die erzeugte $\sigma$-Algebra wohldefiniert, dass die Definition also sinnvoll ist. Dafür müssen wir zeigen:

• Die Menge, über die der Schnitt gebildet wird, ist nicht leer. D.h. es gibt mindestens eine $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {C}}$ enthält.
• $\sigma ({\mathcal {C}})$ ist eine $\sigma$-Algebra.

Der erste Punkt ist klar, da die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ eine $\sigma$-Algebra ist, die ${\mathcal {C}}$ enthält. Für den Beweis des zweiten Punkts müssen wir nachweisen, dass der Schnitt von beliebig vielen $\sigma$-Algebren stets wieder eine $\sigma$-Algebra ist. Dann folgt, dass $\sigma ({\mathcal {C}})$ als Schnitt über gewisse $\sigma$-Algebren tatsächlich eine $\sigma$-Algebra ist.

Satz (Der Schnitt von $\sigma$-Algebren ist eine $\sigma$-Algebra.)

Sei ${\mathcal {M}}$ eine nichtleere Menge von $\sigma$-Algebren über $\Omega$. Das bedeutet, jedes Element in ${\mathcal {M}}$ ist eine $\sigma$-Algebra. Dann ist ${\mathcal {A}}:=\bigcap _{{\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}}{\mathcal {F}}$ eine $\sigma$-Algebra.

Beweis (Der Schnitt von $\sigma$-Algebren ist eine $\sigma$-Algebra.)

Wir müssen nachweisen, dass ${\mathcal {A}}$ die drei Eigenschaften einer $\sigma$-Algebra erfüllt:

1. $\Omega \in {\mathcal {A}}$
2. $A\in {\mathcal {A}}\implies A^{\complement }\in {\mathcal {A}}$
3. $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}\implies \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {A}}$

Die Grundmenge $\Omega$ liegt in ${\mathcal {A}}$: Jedes Element von ${\mathcal {M}}$ ist eine $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und enthält somit die Grundmenge. Damit ist $\Omega$ auch im Schnitt über alle diese Elemente, d.h. in ${\mathcal {A}}$ enthalten.

Komplementstabilität: Sei $A\in {\mathcal {A}}$ beliebig. Per Definition von ${\mathcal {A}}$ liegt $A$ im Schnitt über alle $\sigma$-Algebren aus ${\mathcal {M}}.$ Es folgt $A\in {\mathcal {F}}$ für alle ${\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}.$ Da jedes ${\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}$ eine $\sigma$-Algebra ist, liegt auch das Komplement $A^{\complement }$ in ${\mathcal {F}}$ für alle ${\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}.$ Dann liegt $A^{\complement }$ auch im Schnitt über alle diese $\sigma$-Algebren, also in ${\mathcal {A}}.$

Abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen: Seien $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {A}}$. Per Definition von ${\mathcal {A}}$ liegen diese Mengen im Schnitt über alle $\sigma$-Algebren aus ${\mathcal {M}}$, also gilt $A_{1},A_{2},\dots \in {\mathcal {F}}$ für alle ${\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}.$ Da jedes ${\mathcal {F}}\in {\mathcal {M}}$ eine $\sigma$-Algebra und somit abgeschlossen unter Bildung abzählbarer Vereinigungen ist, enthält jedes ${\mathcal {F}}$ aus ${\mathcal {M}}$ auch die Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}.$ Somit liegt diese Vereinigung auch im Schnitt über alle diese $\sigma$-Algebren aus ${\mathcal {M}}$, also in ${\mathcal {A}}$.

Wir haben nun gezeigt, dass $\sigma ({\mathcal {C}})$ eine $\sigma$-Algebra ist. Intuitiv müsste sie die kleinste $\sigma$-Algebra sein, die das Mengensystem ${\mathcal {C}}$ enthält. Das beweisen wir im nächsten Abschnitt "Eigenschaften des $\sigma$-Operators".

Eigenschaften des $\sigma$-Operators

Wir zeigen ein paar Eigenschaften des $\sigma$-Operators:

Satz

Seien ${\mathcal {C}},{\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ Mengensysteme. Für den $\sigma$-Operator gelten die folgenden Eigenschaften:

1. Extensivität: ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$
2. Minimalität: $\sigma ({\mathcal {C}})$ ist die kleinste $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {C}}$ enthält. Ist ${\mathcal {C}}$ eine $\sigma$-Algebra, so gilt $\sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {C}}$.
3. Idempotenz: $\sigma (\sigma ({\mathcal {C}}))=\sigma ({\mathcal {C}})$
4. Monotonie: ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {E}}\implies \sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$

Beweis

1. Extensivität: Per Definition ist ${\mathcal {C}}$ Teilmenge jeder $\sigma$-Algebra über die wir bei der Definition des $\sigma$-Operators schneiden. Das heißt für beliebiges $A\in {\mathcal {C}}$ ist $A$ Element jeder $\sigma$-Algebra über die wir schneiden. Dann ist $A$ auch Element des Schnittes all dieser $\sigma$-Algebren und das ist gerade $\sigma ({\mathcal {C}})$. Da dies für alle $A\in {\mathcal {C}}$ gilt, ist ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$.
2. Minimalität: Sei ${\mathcal {G}}$ eine $\sigma$-Algebra mit ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {G}}$. Da ${\mathcal {G}}$ eine der Mengen ist, über die wir bei der Definition von $\sigma ({\mathcal {C}})$ schneiden, gilt $\sigma ({\mathcal {C}})=\bigcap \{{\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega ):{\mathcal {F}}{\text{ ist eine }}\sigma {\text{-Algebra, }}{\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\}\subseteq {\mathcal {G}}$. Ist ${\mathcal {C}}$ eine $\sigma$-Algebra so folgt hieraus sofort $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq {\mathcal {C}}$. Aus der Extensivität folgt die andere Inklusion und daher gilt in dem Fall ${\mathcal {C}}=\sigma ({\mathcal {C}})$.
3. Idempotenz: Die Idempotenz folgt direkt aus der Minimalität. Es ist $\sigma ({\mathcal {C}})$ immer eine $\sigma$-Algebra, und daher folgt $\sigma (\sigma ({\mathcal {C}}))=\sigma ({\mathcal {C}})$.
4. Monotonie: Sei ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {E}}$. Dann gilt aufgrund der Extensivität ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {E}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$. Da $\sigma ({\mathcal {E}})$ eine $\sigma$-Algebra ist, folgt aus der Minimalität, dass $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$ gilt.

Hinweis

Die Eigenschaften 1., 3. und 4. (Extensivität, Idempotenz und Monotonie) machen den $\sigma$-Operator zu einem Hüllenoperator, wie auch der Abschluss "${\bar {}}$" von Mengen einer ist.

Beispiele

Im Abschnitt "Motivation" haben wir ein erstes Beispiel für eine erzeugte $\sigma$-Algebra gesehen: Sei $\Omega =\{1,2,3,4\}$ und ${\mathcal {C}}=\{\{1,2\},\{3,4\}\}.$ Dann ist $\sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {C}}\cup \{\Omega \}\cup \{\emptyset \}$ die von ${\mathcal {C}}$ erzeugte $\sigma$-Algebra: ${\mathcal {C}}\cup \{\Omega \}\cup \{\emptyset \}$ ist eine $\sigma$-Algebra und die kleinste, die ${\mathcal {C}}$ enthält. Ein weiteres Beispiel für eine endliche erzeugte $\sigma$-Algebra ist das folgende:

Beispiel

Will man die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignissen beim Werfen eines Würfels mit einem Maß beschreiben, bietet sich als Definitionsbereich die $\sigma$-Algebra an, die alle Elementarereignisse enthält. Das sind alle einelementigen Teilmengen $\{x\}$ der Grundmenge $\Omega =\{1,\dots ,6\}.$ Die von der Menge ${\mathcal {C}}=\{\{1\},\dots ,\{6\}\}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega ).$

Die von den einelementigen Teilmengen einer abzählbaren Grundmenge erzeugte $\sigma$-Algebra taucht in der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie oft als Definitionsbereich der Verteilung von diskreten Zufallsgrößen auf. In diesem Fall einer diskreten, d.h. abzählbaren Grundmenge (etwa $\Omega =\{0,1\},\Omega =\{1,\dots ,n\}$ oder $\Omega =\mathbb {N}$) ist die von diesen Elementarereignissen erzeugte $\sigma$-Algebra die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$. Anders sieht es aus, wenn die Grundmenge überabzählbar ist:

Satz (Von einelementigen Mengen erzeugte $\sigma$-Algebra über $\mathbb {R}$)

Sei $\Omega =\mathbb {R}$ die Grundmenge. Die von der Menge der einelementigen Teilmengen ${\mathcal {E}}=\{\{x\}\mid x\in \mathbb {R} \}$ erzeugte $\sigma$-Algebra ist ${\mathcal {A}}=\{A\subseteq \mathbb {R} \mid A{\text{ oder }}A^{\complement }{\text{ abzählbar}}\}.$

Beweis (Von einelementigen Mengen erzeugte $\sigma$-Algebra über $\mathbb {R}$)

Wir führen den Beweis in zwei Schritten. Zuerst zeigen wir, dass ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra ist, die ${\mathcal {E}}$ enthält, d.h. dass ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}$ gilt. Danach zeigen wir${\mathcal {A}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$. Dann folgern wir ${\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})$.

Beweisschritt: ${\mathcal {A}}$ ist eine $\sigma$-Algebra, die ${\mathcal {E}}$ enthält

Die Elemente aus ${\mathcal {E}}$ sind einelementig, also abzählbar. Daraus folgt direkt, dass jedes Element aus ${\mathcal {E}}$ auch in ${\mathcal {A}}$ enthalten ist, also ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}$. Wir zeigen nun, dass ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra ist. Dafür überprüfen wir die drei Kriterien:

Es gilt natürlich $\Omega \in {\mathcal {A}}$, da $\Omega ^{\complement }=\emptyset$ abzählbar ist.

Ist $A\in {\mathcal {A}}$, dann ist $A$ abzählbar oder $A^{\complement }$ abzählbar. In Fall 1 ist $(A^{\complement })^{\complement }=A$ abzählbar, also in ${\mathcal {A}}$ enthalten. In Fall 2 hat $A$ ein abzählbares Komplement, also ist $A=(A^{\complement })^{\complement }$ in ${\mathcal {A}}$ enthalten.

Sei nun $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ eine Vereinigung von Mengen aus ${\mathcal {A}}$. Dann unterscheiden wir zwei Fälle. In Fall 1 hat für mindestens ein $k\in \mathbb {N}$ die Menge $A_{k}$ abzählbares Komplement. Dann ist aber $\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)^{\complement }\subseteq A_{k}^{\complement }$ als Teilmenge einer abzählbaren Menge ebenfalls abzählbar und somit in ${\mathcal {A}}$ enthalten. In Fall 2 ist für alle $n\in \mathbb {N}$ die Menge $A_{n}$ abzählbar. Dann ist natürlich auch deren Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}$ abzählbar und somit in ${\mathcal {A}}$ enthalten.

Damit ist ${\mathcal {A}}$ eine $\sigma$-Algebra und sie enthält ${\mathcal {E}}$.

Beweisschritt: ${\mathcal {A}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$

Sei $A\in {\mathcal {A}}$ beliebig. Dann unterscheiden wir zwei Fälle. In Fall 1 ist $A$ abzählbar. Betrachte $A=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\{x_{n}\}$ als abzählbare Vereinigung von Mengen aus ${\mathcal {E}}$. Dann ist $A$ insbesondere auch eine abzählbare Vereinigung von Mengen in $\sigma ({\mathcal {E}})$ und wegen der Vereinigungsstabilität von $\sigma$-Algebren bezüglich abzählbarer Vereinigungen, folgt $A\in \sigma ({\mathcal {E}})$. In Fall 2 ist $A^{\complement }$ abzählbar, also laut Fall 1 in $\sigma ({\mathcal {E}})$ enthalten. Aus der Komplementstabilität von $\sigma ({\mathcal {E}})$ folgt nun, dass auch $A^{\complement }\in \sigma ({\mathcal {E}})$ gilt.

Es gilt also ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {A}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$. Nach der Monotonie des $\sigma$-Operators gilt $\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {A}})\subseteq \sigma (\sigma ({\mathcal {E}})).$ Da ${\mathcal {A}}$ und $\sigma ({\mathcal {E}})$ bereits $\sigma$-Algebren sind, folgt mit der Minimalität des $\sigma$-Operators, dass

$\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq {\mathcal {A}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$ gilt, d.h. ${\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})$.

Manche $\sigma$-Algebren sind so groß, dass man sie nicht wie in den vorherigen Beispielen explizit hinschreiben kann. Sie lassen sich dann nur über den Erzeuger charakterisieren. Ein Beispiel dafür ist die von den Intervallen erzeugte $\sigma$-Algebra über $\mathbb {R}$.

Beispiel (Von Intervallen/Quadern erzeugte $\sigma$-Algebra)

Die elementargeometrische Länge ist die Mengenfunktion über $\mathbb {R}$, die allen Intervallen $(a,b)$ bzw. $(a,b]$, $[a,b]$, $[a,b)$ ihre Länge $b-a$ zuordnet. Wir wissen noch nicht, ob sich diese Mengenfunktion zu einem Maß auf einer $\sigma$-Algebra fortsetzen lässt. Aber ein sinnvoller Definitionsbereich einer solchen Fortsetzung wäre dann die von allen solchen Intervallen erzeugte $\sigma$-Algebra, d.h. $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$ mit ${\mathcal {C}}=\{I\subseteq \mathbb {R} \mid I{\text{ Intervall}}\}$.

Allgemeiner kann man das elementargeometrische Volumen betrachten, dass allen achsenparallelen Quadern im $\mathbb {R} ^{n}$ ihr Volumen, d.h. das Produkt der Seitenlängen zuordnet. Ein Quader ist ein Produkt $Q=\prod _{k=1}^{n}I_{k}$ von Intervallen $I_{k}\subseteq \mathbb {R}$ (offen, halboffen oder abgeschlossen). Auch hierfür wissen wir noch noch nicht, ob sich diese Mengenfunktion zu einem Maß fortsetzen lässt. Aber ein sinnvoller Definitionsbereich für eine Fortsetzung wäre dann die vom Mengensystem der Quader ${\mathcal {C}}=\{Q\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid Q{\text{ achsenparalleler Quader}}\}$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma ({\mathcal {C}})$.

To-Do:

Verlinken zum Artikel, wo die Fortsetzung dieser beiden Mengenfunktionen konstruiert wird.

Beweisen, dass zwei Mengensysteme die gleiche $\sigma$-Algebra erzeugen

Es kommt häufig vor, dass man herausfinden möchte, ob zwei $\sigma$-Algebren ${\mathcal {A}}$ und ${\mathcal {F}}$ gleich sind. Dafür würden wir am liebsten einfach direkt gegenseitige Inklusion zeigen, also ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}$ und ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {A}}$ beweisen. Doch wenn ${\mathcal {A}},{\mathcal {F}}$ nur über Erzeuger $\sigma ({\mathcal {C}}),\sigma ({\mathcal {E}})$ definiert wurden, ist dies nicht so einfach. Wir müssten ja im Inklusionsbeweis eine beliebige Menge $M\in {\mathcal {A}}$ nehmen und zeigen, dass auch $M\in {\mathcal {F}}$ gilt. Das Problem ist, dass wir im Allgemeinen nicht wissen, wie so eine Menge aus ${\mathcal {F}}$ überhaupt aussieht und was sie für Eigenschaften hat. Wir wissen nur, dass sie in jeder Ober-$\sigma$-Algebra von ${\mathcal {C}}$ enthalten ist.

Teilmengenbeziehungen nur für die Erzeuger

Wir gehen stattdessen wie folgt vor, um die Inklusion zu zeigen.

Satz

Seien ${\mathcal {A}},{\mathcal {F}}$ $\sigma$-Algebren und sei ${\mathcal {C}}$ ein Erzeuger von ${\mathcal {A}}$ (das heißt eine Menge ${\mathcal {C}}$ mit $\sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {A}}$). Ist jetzt der Erzeuger ${\mathcal {C}}$ von ${\mathcal {A}}$ eine Teilmenge von ${\mathcal {F}}$, so ist auch unsere $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}$ schon eine Teilmenge von der $\sigma$-Algebra ${\mathcal {F}}$. Das heißt ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}\implies {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}}$.

Beweis

Zuerst sehen wir, dass aus der Minimalität des $\sigma$-Operators folgt, $\sigma ({\mathcal {F}})={\mathcal {F}}$. Jetzt nutzen wir die Monotonie des $\sigma$-Operators: ${\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})={\mathcal {F}}.$

Damit haben wir unser Problem schon einmal erheblich vereinfacht. Wir müssen nicht mehr für beliebige Mengen $M\in {\mathcal {A}}$ zeigen, dass $M\in {\mathcal {F}}$ gilt. Es reicht dies für Mengen aus dem Erzeuger ${\mathcal {C}}$ von ${\mathcal {A}}$ zu tun.

Die entgegengesetzte Inklusion kann man nach dem gleichen Prinzip vereinfachen. Das heißt, statt für ein beliebiges $M\in {\mathcal {F}}$ zu zeigen, dass $M\in {\mathcal {A}}$ gilt, nehmen wir uns einen Erzeuger ${\mathcal {E}}$ von ${\mathcal {F}}$ und zeigen für alle $M\in {\mathcal {E}}$, dass $M\in {\mathcal {A}}$ gilt.

Beweisen, dass eine Menge in einer $\sigma$-Algebra liegt

Wir wissen nun, dass es genügt, nur für die Mengen aus dem Erzeuger zu zeigen, dass sie in der jeweils anderen $\sigma$-Algebra liegen. Wie kann man aber allgemein für eine Menge $M$ nachweisen, dass sie in einer gewissen $\sigma$-Algebra ${\mathcal {A}}=\sigma ({\mathcal {E}})$ liegt?

Wir wissen, dass ${\mathcal {A}}$ abgeschlossen unter den Operationen Komplement und abzählbare Vereinigung (und somit auch unter Differenzbildung und abzählbaren Schnitten) ist. Darum liegt jede Menge, die mithilfe dieser Operationen aus Mengen aus dem Erzeuger ${\mathcal {E}}$ gebildet wird, wiederum in ${\mathcal {A}}$. Um nun nachzuweisen, dass eine Menge $M$ in ${\mathcal {A}}$ liegt, genügt es also, diese mit den genannten Mengenoperationen durch Mengen aus dem Erzeuger ${\mathcal {E}}$ darzustellen.

Da $\sigma$-Algebren aber sehr groß sein können, gibt es keine allgemeingültige Methode, um eine solche Darstellung von $M$ über die Mengen aus dem Erzeuger zu finden.

Beispiel: Von Intervallen erzeugte $\sigma$-Algebra

Wir demonstrieren dieses Prinzip nun an einem Beispiel.

Satz

Betrachte die Mengensysteme ${\mathcal {C}}=\{[a,b[{\text{ }}|a,b\in \mathbb {R} \}$, ${\mathcal {D}}=\{]a,b[{\text{ }}|a,b\in \mathbb {R} \}$, ${\mathcal {E}}=\{[a,b]{\text{ }}|a,b\in \mathbb {R} \}$. Dann gilt $\sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})=\sigma ({\mathcal {E}})$. Im übrigen erzeugt ${\mathcal {F}}=\{I\subseteq \mathbb {R} |I{\text{ Intervall }}\}$ die gleiche $\sigma$-Algebra.

Beweis

Wir zeigen $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$, dann folgt die Behauptung.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$

Es reicht laut dem vorherigen Satz zu zeigen, dass ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$ gilt. Sei also $[a,b[\in {\mathcal {C}}$. Dann ist $[a,b]$ und auch $[b,b]=\{b\}\in \sigma ({\mathcal {E}})$. Aufgrund der Differenzstabilität von $\sigma ({\mathcal {E}})$ ist dann auch $[a,b[=[a,b]\setminus \{b\}\in \sigma ({\mathcal {E}})$. Da $[a,b[\in {\mathcal {C}}$ beliebig war, folgt ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$, und daraus folgt die Behauptung dieses Beweisschrittes.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$

Wir zeigen wieder ${\mathcal {E}}\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$. Sei dafür $[a,b]\in {\mathcal {E}}$. Die Mengen $]-\infty ,a[=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ,n\geq 1}]a-n,a[$ und $]b,\infty [=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ,n\geq 1}]b,b+n[$ sind als abzählbare Vereinigungen von Mengen aus $\sigma ({\mathcal {D}})$ ebenfalls in $\sigma ({\mathcal {D}})$. Die Vereinigung $]-\infty ,a[\cup ]b,\infty [$ ist (wieder wegen Vererinigungsstabilität) in $\sigma ({\mathcal {D}})$ enthalten, und mit der Komplementstabilität von $\sigma ({\mathcal {D}})$ folgt dann $[a,b]\in {\mathcal {D}}$. Da $[a,b]\in {\mathcal {D}}$ beliebig war, folgt ${\mathcal {E}}\subseteq {\mathcal {D}}$.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$

Wie in den beiden anderen Beweisschritten, zeigen wir wieder ${\mathcal {D}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$. Sei dafür $]a,b[\in {\mathcal {D}}$ beliebig. Es ist dann für alle $n\in \mathbb {N}$, $n\geq 1$ die Menge $[a+1/n,b[\in {\mathcal {C}}$. Wegen der Vereinigungsstabilität bezüglich abzählbaren Vereinigungen ist dann $]a,b[=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ,n\geq 1}[a+1/n,b[\in \sigma ({\mathcal {C}})$. Da $]a,b[\in {\mathcal {D}}$ beliebig war, folgt ${\mathcal {D}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$, und damit auch $\sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$.

Damit ist $\sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})=\sigma ({\mathcal {E}})$. Es macht im folgenden Sinn, ${\mathcal {B}}:=\sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})=\sigma ({\mathcal {E}})$ zu definieren.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}$

Wir zeigen nun, dass ${\mathcal {F}}=\{I\subseteq \mathbb {R} |I{\text{ Intervall }}\}$ ebenfalls diese $\sigma$-Algebra erzeugt.

Aufgrund der Monotonie gilt wegen ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}$ direkt ${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})$. Für die andere Mengeninklusion zeigen wir nach unserem Prinzip wieder ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {B}}$. Sei dafür $I\in {\mathcal {F}}$ beliebig. Wir können annehmen, dass $I$ beschränkt ist, denn ist das nicht der Fall, so können wir I als abzählbare Vereinigung von beschränkten Intervallen schreiben und die Aussage so auf den beschränkten Fall zurückführen. Das bedeutet es gibt $a,b\in \mathbb {R}$, sodass, einer der $4$ folgenden Fälle eintritt

$I=[a,b[$,

$I=]a,b[$,

$I=[a,b]$,

oder $I=]a,b]$.

In den ersten drei Fällen ist $I$ in einem bekannten Erzeuger aus ${\mathcal {B}}$ enthalten, und somit auch in ${\mathcal {B}}$. Im Fall $I=]a,b]$ ist $I=\bigcup _{n\in \mathbb {N} ,n\geq 1}[a+1/n,b]$ als abzählbare Vereinigungen von Mengen in ${\mathcal {B}}$ wieder in ${\mathcal {B}}$. Da $I$ aus ${\mathcal {F}}$ beliebig war, folgt ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {B}}$. Damit gilt schließlich $\sigma ({\mathcal {F}})\subseteq {\mathcal {B}}$.

Es sind beide Inklusionen gezeigt und es gilt daher $\sigma ({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}.$

Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra

Wir verwenden das Prinzip des letzten Abschnittes nun an einem sehr wichtigen Beispiel, nämlich der sogenannten Borelschen $\sigma$-Algebra.

Satz (Verschiedene Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra über den reellen Zahlen)

Sei ${\mathcal {C}}=\left\{\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} {\text{ und }}1\leq i\leq n\right\}\subseteq {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})$. Dann nennen wir ${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {C}})$ die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$. Wir zeigen, dass die folgenden Mengen ebenfalls ${\mathcal {B}}$ erzeugen: ${\mathcal {D}}=\{U\subseteq \mathbb {R} ^{n}|U{\text{ offen}}\}$, ${\mathcal {E}}=\{A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid A{\text{ abgeschlossen}}\}$. Das heißt, ${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})=\sigma ({\mathcal {E}})$.

Beweis (Verschiedene Erzeuger der Borelschen $\sigma$-Algebra über den reellen Zahlen)

Wir zeigen, $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$. Dann müssen all diese $\sigma$-Algebren gleich sein.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$

Wie im vorigen Satz bewiesen, reicht es zu zeigen, dass ${\mathcal {D}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$ gilt. Sei also $U\in {\mathcal {D}}$ beliebig. Unsere Idee ist es, $U$ als abzählbare Vereinigung von Mengen aus $\sigma ({\mathcal {C}})$ darzustellen.

Sei für $x'=(x_{1}',x_{2}',\dots ,x_{n}')\in \mathbb {R} ^{n}$ und $q\in \mathbb {Q}$ die Menge $A_{(x',q)}:=[x_{1}'-q,x_{1}'+q[\times [x_{2}'-q,x_{2}'+q[\times \dots \times [x_{n}'-q,x_{n}'+q[$, dann ist $M=\bigcup _{q\in \mathbb {Q} ,x'\in \mathbb {Q} ^{n},A_{(x',q)}\subseteq U}A_{x',q}$ eine abzählbare Vereinigung von Elementen aus $\sigma ({\mathcal {C}})$, und damit wegen der Vereinigungsstabilität bezüglich abzählbarer Mengen von $\sigma$-Algebren auch selbst ein Element von $\sigma ({\mathcal {C}})$.

Wir zeigen nun $M=U$.

$M$ ist als Vereinigung von Teilmengen von $U$ natürlich auch Teilmenge von $U$, d.h. $M\subseteq U$.

Für die entgegengesetzte Inklusion sei $x\in U$ beliebig. Wir werden jetzt geschickt einen halboffenen Würfel $A_{x',q}$ mit rationaler Seitenlänge und rationalem Mittelpunkt konstruieren, sodass $x\in A_{x',q}\subseteq U$ gilt.

Da $U$ offen ist, ist $U$ auch offen bezüglich der Maximumsnorm. Im folgenden sei $U_{c}$(x) immer die $c$-Umgebung von x bezüglich der Maximumsnorm. Es gibt wegen der Offenheit von $U$ dann $\varepsilon >0$ mit $U_{\varepsilon }(x)\subseteq U$.

Sei $p\in \mathbb {Q}$, $0<p<\varepsilon$. Dann gilt $U_{p}(x)\subseteq U_{\varepsilon }(x)\subseteq U$. Sei $q={\frac {p}{4}}.$ Da $\mathbb {Q} ^{n}$ dicht in $\mathbb {R} ^{n}$ liegt, gibt es nun $x'\in U_{q}(x)\cap \mathbb {Q} ^{n}$. Daraus folgt umgekehrt $x\in U_{q}(x')\subseteq A_{x',q}$. Zudem ist $A_{x',q}\subseteq U_{2q}(x')\subseteq U_{4q}(x)=U_{p}(x)\subseteq U$.

Damit ist $A_{x',q}$ eine der Mengen, über die bei der Definition von $M$ vereinigt wird. Es gilt also $x\in A_{x',q}\subseteq M$. Da $x$ aus $U$ beliebig war, ist $U\subseteq M$ und folglich $U=M\in \sigma ({\mathcal {C}})$.

Da $U\in {\mathcal {D}}$ beliebig war, ist ${\mathcal {D}}\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$, woraus ja $\sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$ folgt.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$

Wir zeigen wieder ${\mathcal {E}}\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$. Sei dazu $A\in {\mathcal {E}}$ beliebig, d.h. $A$ ist abgeschlossen. Es ist dann per Definition $A^{\complement }$ offen, also $A^{\complement }\in {\mathcal {D}}\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$. Wegen der Komplementstabilität von $\sigma$-Algebren ist dann $A=(A^{\complement })^{\complement }\in \sigma ({\mathcal {D}})$.

Da $A\in {\mathcal {E}}$ beliebig war, folgt also ${\mathcal {E}}\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$ und damit $\sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})$.

Beweisschritt: $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$

Wir gehen vor wie in Schritt 1 und 2 und zeigen ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$.

Sei $A=[a_{1},b_{1}[\times \dots \times [a_{n},b_{n}[\in {\mathcal {C}}$ beliebig. Sei $A'=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{n},b_{n}].$ Dann ist $A'$ abgeschlossen, also $A'\in \sigma ({\mathcal {E}})$. Wir definieren nun $n$ Mengen wie folgt: für $i=1,\dots ,n$ sei $F_{i}=[a_{1},b_{1}]\times \dots \times [a_{i-1},b_{i-1}]\times \{b_{i}\}\times [a_{i+1},b_{i+1}]\times \dots \times [a_{n},b_{n}]$. Dann sind diese $F_{i}$ abgeschlossene Mengen, also gilt auch $F_{i}\in \sigma ({\mathcal {E}})$. Die $F_{i}$ sind die "fehlenden" $(n-1)$-dimensionale Seitenflächen des $n$-dimensionalen halboffenen Quaders $A$

Weiterhin gilt $A=A'\setminus \left(\bigcup _{n=1,\dots ,n}F_{i}\right).$

Da $\sigma ({\mathcal {E}})$ als $\sigma$-Algebra differenzstabil und vereinigungsstabil bezüglich abzählbaren Vereinigungen ist, folgt $A\in \sigma ({\mathcal {E}})$.

Da dies für beliebige $A\in {\mathcal {C}}$ gilt, ist ${\mathcal {C}}\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$ und deswegen ist $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})$.

Jetzt gilt wie vorher überlegt, $\sigma ({\mathcal {C}})\subseteq \sigma ({\mathcal {E}})\subseteq \sigma ({\mathcal {D}})\subseteq \sigma ({\mathcal {C}})$ und daraus folgt ${\mathcal {B}}=\sigma ({\mathcal {C}})=\sigma ({\mathcal {D}})=\sigma ({\mathcal {E}})$. Das bedeutet, die Borelsche $\sigma$-Algebra wird von der Menge der halboffenen Quader, der Menge der abgeschlossenen und der Menge der offenen Mengen erzeugt.

Hinweis

Im Satz haben wir die Borelsche $\sigma$-Algebra als die vom Mengensystem ${\mathcal {C}}=\left\{\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} {\text{ und }}1\leq i\leq n\right\}$ der rechts offenen Quader erzeugte $\sigma$-Algebra definiert. Man kann zeigen, dass die folgenden Systeme von Quadern ebenfalls die Borelsche $\sigma$-Algebra erzeugen:

• das Mengensystem der offenen Quader $\left\{\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i})\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} {\text{ und }}1\leq i\leq n\right\}$
• das Mengensystem der abgeschlossenen Quader $\left\{\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} {\text{ und }}1\leq i\leq n\right\}$
• das Mengensystem der links offenen Quader $\left\{\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid a_{i},b_{i}\in \mathbb {R} {\text{ und }}1\leq i\leq n\right\}$
• das Mengensystem aller Quader $\left\{\prod _{i=1}^{n}I_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\mid I_{i}\subseteq \mathbb {R} {\text{ Intervall und }}1\leq i\leq n\right\}$

Das zuletzt genannte Mengensystem und die davon erzeugte $\sigma$-Algebra ist uns schon oben im Abschnitt "Beispiele" begegnet.

Hinweis

Wir wissen nun, dass die Borelsche $\sigma$-Algebra auf $\mathbb {R} ^{n}$ auch von allen offenen bzw. allen abgeschlossenen Teilmengen von $\mathbb {R} ^{n}$ erzeugt wird. Man kann allgemeiner die Borelsche $\sigma$-Algebra auf einem topologischen Raum als die von der Topologie (den offenen Mengen) erzeugte $\sigma$-Algebra definieren. Auf dem $\mathbb {R} ^{n}$ stimmt das mit unserer Definition überein.

Die Borelsche $\sigma$-Algebra ist eine der wichtigsten $\sigma$-Algebren und wird uns bei der Konstruktion des Lebesgue-Maßes wieder begegnen.

To-Do:

Verlinken zur Definition bzw. zum Artikel, wo die Borelsche $\sigma$-Algebra genauer behandelt wird.