Stetige Inhalte auf Sigma-Ringen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel leiten wir die Definition für Stetigkeit von Inhalten her. Wir untersuchen, wie die Begriffe Stetigkeit von unten und von oben zusammenhängen und lernen -Ringe als Definitionsbereiche von stetigen Inhalten kennen.

Motivation der Stetigkeit von InhaltenBearbeiten

Im letzten Kapitel haben wir auf Ringen definierte Inhalte als Formalisierung des Messens extensiver Größen kennengelernt. Beim Messen solcher Größen erwarten wir oft, dass kleine Änderungen des gemessenen Objekts nur kleine Änderungen des Messergebnisses zur Folge haben. Beispiele hierfür sind

  • das Wiegen einer Zutat: Nimmt man nur wenig dazu, dann ändert sich auch das Gewicht nicht viel.
  • das Zählen von Objekten: Bestimmt man die Anzahl einer höchstens abzählbar unendlichen Menge von Objekten, so verändert sich diese nur wenig, wenn nur wenige Objekte hinzugetan oder weggenommen werden.
  • der Flächeninhalt/Umfang eines Kreises: Er ändert sich nur wenig, wenn der Radius nur wenig verändert wird.

Es bietet sich die Formulierung an, dass solche Größen sich stetig verhalten. Allerdings werden wir noch definieren müssen, was unter der Stetigkeit eines Inhalts genau zu verstehen ist, sodass wir diesen Begriff vorerst nur intuitiv benutzen können.

Tatsächlich ist es schwierig, extensive Größen in der Natur zu finden, die sich nicht stetig verhalten. Es ist also eine natürliche und wichtige Frage, ob und wann Inhaltsfunktionen stetig sind. Darüber hinaus hat Stetigkeit eine sehr nützliche Eigenschaft zur Folge: Sie erlaubt die Approximation von zu messenden Mengen. Da geringe Abweichungen der Mengen voneinander nur geringe Abweichungen der Messwerte bewirken, kann der Fehler der Approximation über die Genauigkeit der approximierenden Mengen kontrolliert werden. Damit können auch "komplizierte" Mengen gemessen werden, indem man sie mit (möglicherweise einfacher zu messenden) Mengen approximiert. Ein Beispiel ist die Approximation des Flächeninhalts eines Kreises durch Rechteckfiguren, deren Flächeninhalt einfacher zu bestimmen ist.

Stetigkeit scheint deshalb eine wünschenswerte Eigenschaft eines Inhalts zu sein. Bevor wir diesen Begriff genauer untersuchen: Gibt es überhaupt Inhalte, die sich (in unserem intuitiven Sinne) unstetig verhalten?

Beispiel (Ein unstetiger Inhalt)

Wir betrachten die Grundmenge   und den Inhalt  , der von einer beliebigen Teilmenge der natürlichen Zahlen bestimmt, ob sie endlich oder unendlich ist:

 

Im Artikel Inhalte auf Ringen haben wir gesehen, dass   wirklich ein auf dem Ring   definierter Inhalt ist. Betrachten wir nun für   die Mengen  . Für   approximieren diese offenbar die Grundmenge  . Da aber jedes einzelne der   endlich ist, ist   für jedes  . Durch Approximation von   lässt sich nicht der Funktionswert   approximieren, der Übergang von endlich zu unendlich ist "unstetig".

Es ist also nicht jeder Inhalt stetig. Wie können wir die Stetigkeit eines Inhalts mathematisch formalisieren? In Anlehnung an die Folgenstetigkeit reeller Funktionen versuchen wir die folgende Definition:

Definition (Stetiger Inhalt, erster Versuch)

Ein Inhalt   auf einem Ring   heißt stetig, wenn für eine Folge   mit   gilt, dass   ist.

Aber hier müssen wir vorsichtig sein: Was ist unter   zu verstehen, wenn die   Mengen sind? Wir brauchen zuerst einen Konvergenzbegriff für Mengenfolgen.

MengenfolgenBearbeiten

Es ist schwer zu sagen, wogegen die Folge  ,   konvergiert. Dagegen kann man vermuten, dass die Folge der   gegen die Menge   konvergiert: Da die   fallend ineinander enthalten sind, kann man die Mengenfolge als Approximation der Menge   "von Außen" auffassen. Ebenso kann man Folgen aufsteigend ineinander enthaltener Mengen als Approximation einer Menge "von Innen" auffassen (zum Beispiel die Folge der  , welche   ausschöpfen). Naheliegend ist dann, den Schnitt bzw. die Vereinigung der   als Grenzwert der Folge zu setzen.

Definition (Monotone Mengenfolge)

Sei   eine Menge und   eine Folge von Teilmengen.

Die Folge   heißt aufsteigend oder monoton wachsend, falls   für alle   gilt. In diesem Fall setzen wir

 

und schreiben  .

Die Folge   heißt absteigend oder monoton fallend, falls   für alle   gilt. In diesem Fall setzen wir

 

und schreiben  .

Hinweis

Mit unserer Definition können wir nur dann vom Grenzwert einer Mengenfolge sprechen, wenn diese monoton ist. Uns reicht das an dieser Stelle. Man kann aber für beliebige Mengenfolgen   und   definieren, die wie bei reellen Zahlenfolgen immer existieren.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel (Monotone Mengenfolgen)

Die Folge der   ist monoton fallend mit Grenzwert

 

Die Inklusion " " gilt, da   für alle   ist. Andererseits kann der Grenzwert nicht mehr Elemente enthalten, da keines der   negative Zahlen enthält und jede Zahl echt größer als Eins für einen Index   nicht mehr in  , also auch nicht im Schnitt liegt.

Ein weiteres Beispiel für eine monoton fallende Mengenfolge ist die Folge der  . Man zeigt mit ähnlichen Argumenten, dass für diese Folge   gilt.

Die Folge der   ist ein Beispiel für eine monoton wachsende Mengenfolge. Ihr Grenzwert ist

 

Die Inklusion " " gilt, da jedes   für einen Index   in der Menge   liegt. Andererseits kann der Grenzwert kein größeres Intervall sein, da keines der   negative Zahlen oder die Eins enthält.

Ebenfalls monoton wachsend ist die Folge der  . Der Grenzwert ist  , wie man auf ähnliche Weise begründen kann.

Wie vertragen sich Grenzwerte monotoner Mengenfolgen mit Mengenringen? Schauen wir uns den Ring   der Quaderfiguren im   und zwei Beispiele von monoton wachsenden Mengenfolgen in diesem Ring an. Im linken Bild wird ein Rechteck durch eine Folge von Quaderfiguren approximiert. Der Grenzwert ist selbst eine Quaderfigur und liegt wieder in  . Rechts sehen wir, wie ein Kreis durch Quaderfiguren approximiert wird. Der Grenzwert ist aber keine Quaderfigur mehr und liegt damit nicht in  .

   

Offenbar muss also der Grenzwert einer monotonen Folge von Mengen aus einem Ring nicht unbedingt wieder im Ring liegen. Unsere Begründung dafür war mit den Quaderfiguren eher intuitiv, aber wir können auch ein ganz konkretes Beispiel angeben:

Beispiel (Grenzwert liegt nicht im Ring)

Betrachten wir den Ring   aller endlichen Teilmengen von   (diesen Ring haben wir hier kennengelernt). Die Folge   mit   ist monoton wachsend und liegt in  . Ihr Grenzwert ist aber ganz   und liegt damit nicht mehr im Ring aller endlichen Teilmengen von  .

Stetigkeit von unten und von obenBearbeiten

Definition der StetigkeitBearbeiten

Ausgestattet mit dieser Definition von Grenzwerten von Mengenfolgen können wir nun einen weiteren Versuch machen, die Stetigkeit eines Inhalts   auf einem Ring   zu definieren. Wir haben eben gesehen, dass für eine monotone Mengenfolge in einem Ring   ihr Grenzwert nicht unbedingt wieder im Ring liegt. Beachte, dass wir deshalb die einschränkende Bedingung stellen müssen, dass der Grenzwert der Mengenfolge wieder im Ring liegt, damit die Definition sinnvoll ist.

Definition (Stetiger Inhalt, zweiter Versuch)

Ein Inhalt   auf einem Ring   heißt stetig von unten (von oben), falls für jede aufsteigende (absteigende) Mengenfolge   mit Grenzwert  

 

gilt. Ein Inhalt heißt stetig, falls er stetig von unten und von oben ist.

Schauen wir an einem Beispiel, ob diese verbesserte Definition den Begriff der Stetigkeit schon zu unserer Zufriedenheit beschreibt.

Beispiel (Ein Problem in der Definition)

In der Einleitung haben wir das Zählen der in einer Menge enthaltenen Elemente als Beispiel eines (intuitiv) stetigen Inhalts kennengelernt. Schauen wir das Mengensystem

 

aller endlichen Teilmengen von   an. Im Artikel Inhalte auf Ringen haben wir gesehen, dass das Zählen der Elemente endlicher Teilmengen von  

 

wirklich ein auf einem Ring definierter Inhalt ist. Wir erwarten nun, dass   stetig von unten und von oben im Sinne der neuen Definition ist. Sei also   eine monoton wachsende Folge, deren Grenzwert   ebenfalls in   liegt. Da die   gegen   konvergieren, muss die Anzahl der Elemente in   der Grenzwert der Anzahl der Elemente der   sein. Mit anderen Worten, es gilt

 

Damit ist   stetig von unten im Sinne unserer Definition. Sei nun   eine monoton fallende Folge, deren Grenzwert   ebenfalls in   liegt. Auch hier muss aus denselben Gründen die Bedingung für die Stetigkeit erfüllt sein. Damit ist   auf dem Ring   stetig im Sinne der Definition.

Man kann den Inhalt   auch auf der ganzen Potenzmenge   betrachten. Intuitiv sollte das Zählen von Elementen bei beliebigen Teilmengen von   genauso stetig sein wie bei endlichen Teilmengen. Bei der Argumentation sollten wir aber sicherheitshalber zwischen Endlich und Unendlich eine Unterscheidung treffen. Sei also   wieder eine monoton wachsende Folge von Teilmengen mit Grenzwert  . Enthält   nur endlich viele Elemente, dann wegen der Monotonie auch jedes der   und wir können wie oben argumentieren. Da aber   der Grenzwert der   ist, funktioniert das Argument auch, wenn   unendlich viele Elemente enthält: Wäre  , dann würde die Anzahl der Elemente in den   ab einem Index nicht mehr wachsen. Damit wäre die Folge der   ab einem Index konstant und könnte insbesondere nicht gegen eine unendliche Menge konvergieren. Also muss   sein und es gilt auch für unendliches  

 

Bilden die   nun eine monoton fallende Folge und sind alle Mengen der Folge endlich, dann ist wegen der Monotonie auch der Grenzwert   eine endliche Menge und wir können wie oben argumentieren. Genauso funktioniert es, wenn nur endlich viele der   unendlich sind: Wir können ohne Einschränkung alle unendlichen Folgenglieder weglassen, da das Weglassen endlich vieler Glieder einer Folge ihren Grenzwert nicht ändert, und bekommen wieder eine Folge nur aus endlichen Mengen. Anders sieht es aus, wenn alle   der Folge unendliche Mengen sind. Um die Bedingung der Stetigkeit zu erfüllen, müsste

 

gelten, der Grenzwert   der Folge also ebenfalls unendlich viele Elemente enthalten. Da die Folge aber monoton fallend ist, ist das nicht garantiert. Es ist nicht ausgeschlossen, dass eine absteigende Folge unendlicher Mengen gegen eine endliche Menge konvergiert. Versuche, eine solche Folge zu finden, bevor du weiterliest!

Nehmen wir die Folge   mit  . Die   konvergieren absteigend gegen die leere Menge. Gleichzeitig gilt aber   für alle  . Wir haben also

 

Der Inhalt  , der intuitiv stetig sein sollte, ist also nicht stetig von oben im Sinne unserer Definition.

Es gibt also Inhalte, die intuitiv stetig, aber unstetig im Sinne unserer Definition sind. Offenbar gibt es ein Problem bei der Definition der Stetigkeit von oben. Beachte: Bei der Stetigkeit von unten können auch solche "unvernünftigen" Fälle auftreten. Es kann etwa die monotone Folge der   beschränkt sein, also gegen einen endlichen Wert konvergieren, während   für den Grenzwert der Mengenfolge gilt. Einen solchen Inhalt als unstetig zu bezeichnen widerspricht aber nicht unserer Intuition, im Gegenteil. Ein Beispiel dafür haben wir am Anfang des Artikels gesehen.

Was ist nun das Problem bei der Stetigkeit von oben? Es liegt offenbar am Auftreten des Werts Unendlich: Zwar ist jedes der   etwas "weniger" unendlich als seine Vorgänger, es gilt aber trotzdem  . Diesen Fall muss man in der Definition der Stetigkeit von oben ausschließen. Dafür fordern wir Endlichkeit der absteigenden Folge ab einem Index.

Definition (Stetiger Inhalt (finale Version))

Ein Inhalt   auf einem Ring   heißt stetig von unten, falls für jede aufsteigende Mengenfolge   mit Grenzwert  

 

gilt.

Er heißt stetig von oben, falls für jede absteigende Mengenfolge   mit   für ein (und damit für alle darauffolgenden)   und mit Grenzwert  

 

gilt.

Ein Inhalt heißt stetig, falls er stetig von unten und von oben ist.

Hinweis

Die Stetigkeit von Inhalten oder allgemeiner von Mengenfunktionen wird manchmal auch als  -Stetigkeit ("Sigma-Stetigkeit") bezeichnet. Der Präfix   soll an "Summe" erinnern und bedeutet in diesem Zusammenhang so viel wie "abzählbar":  -stetige Inhalte verhalten sich stetig beim Übergang von endlichen zu abzählbaren Vereinigungen bzw. Schnitten.

Beachte: Es ist nicht nötig, die Endlichkeit ab einem Index bei der Stetigkeit von unten zu fordern: Gilt   für einen Index  , dann gilt   auch für alle darauffolgenden   wegen der Monotonie des Inhalts  . Aus demselben Grund gilt es dann auch für den Grenzwert  .

Aus der Stetigkeit von unten folgt die Stetigkeit von obenBearbeiten

Stetigkeit von oben und Stetigkeit von unten scheinen nicht ganz äquivalent zu sein: Zumindest muss man bei der Stetigkeit von oben Einschränkungen treffen, die bei der Stetigkeit von unten nicht nötig sind. Wie hängen die beiden Begriffe genau zusammen? Wir versuchen eine Analogie zu Folgen reeller Zahlen zu finden.

Sei   eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Man kann daraus eine monoton steigende Folge nichtnegativer reeller Zahlen machen, indem man die Folge   betrachtet. Wenn diese Folge gegen einen Wert   konvergiert, können wir daraus schließen, dass die ursprüngliche Folge   gegen   konvergiert.

Angenommen, wir wissen nun von einem Inhalt, dass er stetig von unten ist. Dann können wir daraus die Stetigkeit von oben folgern, indem wir auf dieselbe Art aus einer monoton fallenden Mengenfolge   die monoton steigende Folge   machen. Für diese können wir dann die Stetigkeit von unten ausnutzen. Entscheidend dabei ist, dass wir nur fallende Mengenfolgen mit Mengen endlichen Inhalts betrachten zu brauchen, sodass wir keine Probleme bei der Subtraktion bekommen.

Satz (Stetigkeit von unten impliziert Stetigkeit von oben)

Sei   ein Inhalt auf einem Ring  . Ist   stetig von unten, so ist   auch stetig von oben. Insbesondere ist Stetigkeit eines Inhalts von unten äquivalent zur Stetigkeit.

Beweis (Stetigkeit von unten impliziert Stetigkeit von oben)

Sei   eine monoton fallende Mengenfolge mit   ab einem Index  . Da das Weglassen endlich vieler Folgenglieder den Grenzwert nicht ändert, können wir ohne Einschränkung   annehmen. Der Grenzwert   liege ebenfalls in  . Wir wollen   zeigen.

Die Folge   ist monoton steigend und liegt ebenfalls im Ring  . Auch der Grenzwert   liegt in  . Ferner haben aufgrund der Monotonie alle diese Mengen ebenfalls endlichen Inhalt. Aus der Stetigkeit von unten wissen wir, dass   gilt. Da außerdem   für alle   gilt, ist  . Mit der Additivität des Inhalts   folgt damit

 

also  . (Alternativ kann man direkt mit der Subtraktivität von Inhalten auf Ringen argumentieren.) Genauso gilt  . Da die Inhalte aller beteiligten Mengen endlich sind, sind diese Differenzen sinnvoll und wir haben wegen der Stetigkeit von unten

 

Aus der Stetigkeit von oben folgt nicht die Stetigkeit von untenBearbeiten

Genauso müsste es funktionieren, wenn wir wissen, dass ein Inhalt stetig von oben ist: Wir machen aus einer aufsteigenden Folge eine absteigende und nutzen die Stetigkeit von oben aus. Aber hier müssen wir vorsichtig sein! Wir haben die Stetigkeit von oben nur für Folgen von Mengen, die ab einem Index endlichen Inhalt haben. Es ist nicht garantiert, dass diese Bedingung erfüllt ist, wenn wir ausgehend von einer beliebigen aufsteigenden Mengenfolge eine absteigende Folge konstruieren. Dieses Problem kann auch bei reellen Zahlenfolgen auftreten: Aus einer gegen ein   konvergenten, monoton steigenden Folge   nichtnegativer reeller Zahlen kann man die monoton fallende Folge   machen. Wenn aber   nicht nach oben beschränkt ist, sondern gegen Unendlich strebt, ist das nicht mehr möglich.

Bei Mengenfolgen ist zwar für jede monoton wachsende Folge   mit Grenzwert   die Folge   monoton fallend. Aber dasselbe Problem wie bei den reellen Zahlenfolgen kann auch hier auftreten, denn es kann   für alle   sein. Bei einer solchen Folge können wir nicht die Stetigkeit von oben benutzen. Wir können also nicht erwarten, dass aus der Stetigkeit von oben immer die Stetigkeit von unten folgt. Das zeigt das folgende Beispiel, das wir schon im ersten Abschnitt als Beispiel eines unstetigen Inhalts kennengelernt haben:

Beispiel (Stetigkeit von oben impliziert nicht die Stetigkeit von unten)

Die Mengenfolge   mit   ist aufsteigend mit  . Damit ist die Folge der   eine absteigende Folge mit  . Während alle   endliche Mengen sind, sind die   alle unendlich. Betrachten wir nun den Inhalt, der von einer Teilmenge der natürlichen Zahlen bestimmt, ob sie endlich oder unendlich ist:

 

Offenbar ist   stetig von oben: Die einzigen absteigenden Mengenfolgen, die die Endlichkeitsbedingung erfüllen, sind ab einem Index endlich, und da ist ihr Inhalt konstant  .

Nun erfüllt die Folge der   aber nicht die Bedingung der Endlichkeit ab einem Index, sodass wir sie nicht benutzen können, um die Stetigkeit von unten von   für die Folge der   zu folgern. Und in der Tat gilt

 

  ist nicht stetig von unten. Insbesondere folgt aus der Stetigkeit eines Inhalts von oben im Allgemeinen nicht die Stetigkeit von unten!

Wir haben diesen Inhalt schon in der Einleitung als Beispiel für einen (intuitiv) unstetigen Inhalt kennengelernt. Das Beispiel zeigt, dass   auch im Sinne unserer Definition nicht stetig ist.

Wir halten diese Erkenntnis fest:

Warnung

Aus der Stetigkeit eines Inhalts von oben folgt im Allgemeinen nicht die Stetigkeit von unten.

Äquivalenz von "unten" und "oben" für endliche InhalteBearbeiten

Intuitiv ist die Stetigkeit von oben schwächer, weil man die Bedingung der Endlichkeit des Inhalts der Mengen der Folge ab einem Index stellen muss und auf diese Weise ein paar Folgen "verliert", wenn der Inhalt nicht nur endliche Werte annimmt. In der Tat sind "von oben" und "von unten" für endliche Inhalte äquivalent:

Satz (Stetigkeit von oben und von unten bei endlichen Inhalten)

Sei   ein endlicher Inhalt auf einem Ring  , d.h.   für alle  . Dann gilt

 

Beweis (Stetigkeit von oben und von unten bei endlichen Inhalten)

Wir haben bereits gezeigt, dass Stetigkeit von unten immer Stetigkeit von oben impliziert. Folglich reicht es nun für den endlichen Fall, die andere Richtung zu zeigen.

Sei also   stetig von oben und   eine von unten gegen ein   konvergente Folge von Mengen in  , also  .

Wir halten fest, dass   stets wieder im Ring   liegt. (Differenzstabilität).

Wir konstruieren aus der aufsteigenden eine absteigende Mengenfolge  , um danach die Stetigkeit von oben auszunutzen.

Dazu definieren wir:   für alle  . Da   aufsteigend war, ist   absteigend.

Daraus folgt, dass  .

Also ist   eine gegen   konvergente Mengenfolge in  . Wegen der angenommenen Stetigkeit von oben gilt dann

 

Hier benutzten wir zudem die Endlichkeit von   um die Stetigkeit von oben anwenden zu dürfen (  ist immer endlich).

Für jedes   ist wegen der Additivität  .

Damit ist  

Äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit von obenBearbeiten

Zuletzt geben wir noch eine einfachere Charakterisierung der Stetigkeit von oben. Sie kann nützlich sein, um die Stetigkeit endlicher Inhalte nachzuweisen:

Satz (Stetigkeit von oben und Stetigkeit in  )

Für einen Inhalt   auf einem Ring   sind äquivalent:

  1.   ist stetig von oben.
  2.   ist stetig in  , d.h. für alle monoton fallenden Folgen   mit   ab einem   und   gilt  .

Beweis (Stetigkeit von oben und Stetigkeit in  )

 : Dies ist einfach die Definition von "Stetigkeit von oben" auf   angewandt.

 : Sei nun   stetig in  , und sei   mit   ab einem   und  .

Dann ist   monoton fallend, und mit der Monotonie-Eigenschaft von Inhalten gilt   ab einem  .

Da zudem gilt, dass  , konvergiert   von oben gegen  .

Nach unserer Annahme ist dann  .

Da   für hinreichend große   endlich ist, und da immer   gilt, folgt  .

Wir können also folgern:

 

Beispiele für stetige InhalteBearbeiten

Jetzt wo wir so viel über stetige Inhalte wissen, können wir uns ein paar konkrete Beispiele angucken.

Beispiel

Sei   ein Ring. Ein Inhalt der Form

 

ist immer stetig. Konvergiert   von unten gegen ein  , so gibt es zwei Möglichkeiten:

 : Dann folgt wegen  , dass   für alle  . Also gilt  .

 : Dann folgt wegen  , dass es ein   gibt mit  . Folglich gilt wegen der Monotonie der Mengenfolge, dass   für alle  . Daher gilt  .

Damit ist   stetig von unten und somit auch stetig.

Beispiel (Inhalte auf Ringer endlicher Kardinalität)

Ist   ein Inhalt auf  , mit  , dann sind die in   konvergenten Folgen gerade die Mengenfolgen, die ab einem Index konstant die gleiche Menge (ihrem Grenzwert) sind. Die Stetigkeit von   folgt dann direkt.

Beispiel (Der elementargeometrische Inhalt)

Wir kennen schon den Ring der Quaderfiguren (oder elementargeometrischen Mengen): Es ist die Menge aller endlichen Vereinigungen von achsenparallelen Quadern im  . (Ein achsenparalleler Quader im   ist ein Produkt   von Intervallen (jeweils offen, halboffen oder abgeschlossen).)

Den elementargeometrischen Inhalt   auf diesem Ring haben wir wie folgt definiert:

Für einen einzelnen Quader   ist   das Produkt der Seitenlängen.

Für eine Quaderfigur   (wobei die   achsenparallele Quader sind, ohne Einschränkung paarweise diskunkt) definiere  .

Man kann zeigen, dass der elementargeometrische Inhalt   stetig ist.

To-Do:

Zeige, das \lambda stetig (von unten) ist / skizziere den Beweis. dies geht genauso wie man auch zeigt, dass \lambda ein Prämaß ist, mit etwas epsilontik...

Weiterhin kann man leicht zeigen, dass endliche Linearkombinationen von stetigen Inhalten wieder stetig sind.

Sigma-RingeBearbeiten

Wir wissen nun, was Stetigkeit eines Inhalts auf einem Ring bedeutet. In der Einleitung haben wir festgestellt, dass Stetigkeit ermöglicht, Mengen durch Approximation zu messen, da kleine Abweichungen der Mengen voneinander nur kleine Abweichungen der Messwerte zur Folge haben. Ist also ein Inhalt auf einem Ring   stetig, so sollten nicht nur die Mengen aus   gemessen werden können, sondern auch alle mit Mengen aus   approximierbaren Mengen. Die approximierbaren Mengen sind gerade die Grenzwerte monoton steigender bzw. fallender Mengenfolgen. Es ist bei stetigen Inhalten also sinnvoll, einen Ring als Definitionsbereich zu benutzen, welcher auch die Grenzwerte solcher Folgen enthält:

Definition ( -Ring)

Ein Ring   über einer Grundmenge   heißt  -Ring, falls gilt:

  • Grenzwerte aufsteigender Mengenfolgen aus   liegen in  ,
  • Grenzwerte absteigender Mengenfolgen aus   liegen in  .

Für die Stetigkeit eines Inhalts reichte die Stetigkeit von unten, weil man aus jeder fallenden eine aufsteigende Mengenfolge machen kann. Genauso reicht es, die Abgeschlossenheit von   nur für Grenzwerte aufsteigender Mengenfolgen zu formulieren: Ist   eine monoton fallende Mengenfolge mit Grenzwert  , dann ist die Folge der   eine monoton wachsende Folge mit Grenzwert  . Da   ein Ring, also insbesondere stabil unter Differenzen ist, gilt

 

für alle   und

 

Bei den Gleichheiten auf der linken Seite haben wir   bzw.   ausgenutzt. Es reicht also zu fordern, dass Grenzwerte monoton steigender Mengenfolgen wieder im Mengensystem   liegen, und wir haben die äquivalente Definition:

Definition ( -Ring (äquivalente Definition))

Ein Ring   über einer Grundmenge   heißt  -Ring, falls für jede aufsteigende Mengenfolge in   auch ihr Grenzwert in   liegt.

In der Literatur werden  -Ringe oft anders definiert. Wir beweisen diese äquivalente Charakterisierung.

Satz (Alternative Charakterisierung von  -Ringen)

Ein Mengensystem   über einer Grundmenge   ist genau dann ein  -Ring, falls gilt:

  1.  
  2.  
  3.  

Beweis (Alternative Charakterisierung von  -Ringen)

Sei   ein  -Ring. Dann sind, da   ein Ring ist, die Eigenschaften 1) und 3) dieses Satzes direkt erfüllt. Sei nun   eine Folge in  . Da   ein Ring ist, sind endliche Vereinigungen der Form  . Da   ein  -Ring ist, und da   eine aufsteigende Mengenfolge in   ist, folgt  . Damit ist auch Eigenschaft 2) gezeigt.

Sei   nun ein Mengensystem mit den Eigenschaften 1), 2) und 3). Wegen 1) und 3) gilt  . Denn es gibt   und daraus folgt  . Damit folgt aus der Vereinigungsstabilität bezüglich abzählbar unendlichen Vereinigungen auch die Vereinigungsstabilität bezüglich endlicher Vereinigungen, weshalb   ein Ring ist. Um zu zeigen, dass   ein  -Ring ist, sei   eine aufsteigende Mengenfolge in  . Dann ist wegen Eigenschaft 2) direkt  . Das heißt   ist abgeschlossen im Bezug auf Grenzwertbildung von aufsteigenden Mengenfolgen und damit ist   ein  -Ring.

Beispiele für sigma-RingeBearbeiten

Beispiel (Potenzmenge und endliche Ringe)

Für jede Grundmenge   ist die Potenzmenge   ein  -Ring.

Jeder endliche Ring   (d.h. enthält nur endlich viele Mengen) ist ein  -Ring: Die zweite Eigenschaft in der Definition ist trivialerweise erfüllt, da es nur endlich viele Mengen gibt, die vereinigt werden können, und   als Ring abgeschlossen unter endlichen Vereinigungen ist.

Beispiel (abzählbare Teilmengen)

Wir haben schon den Ring   der abzählbaren Teilmengen von   kennengelernt. Es ist sogar ein  -Ring:

  1. Da die leere Menge abzählbar ist, ist   nichtleer.
  2. Ist   eine Folge von abzählbaren Mengen, dann ist auch ihre Vereinigung abzählbar, also gilt  .
  3. Sind   abzählbar, dann ist wegen   auch ihre Differenz abzählbar und es gilt  .

Beispiel (endliche Teilmengen)

Im Gegensatz dazu ist das Mengensystem   der endlichen Teilmengen von   zwar ein Ring, aber kein  -Ring: Für die Mengen   gilt

 

Beispiel (Von den Quaderfiguren erzeugter  -Ring)

Betrachte das Mengensystem

 

der achsenparallelen Quader im  . (Die Intervalle im Produkt können offen, halboffen oder abgeschlossen sein.) Wir kennen schon den Ring der Quaderfiguren in  . Er ist definiert als der von   erzeugte Ring, das heißt der kleinste Ring, der   enthält. Genauso kann man den von   erzeugten  -Ring   betrachten. Wie der Ring der Quaderfiguren, so kann auch   als Durchschnitt aller  -Ringe über   definiert werden, welche die Quader   enthalten. (Vergleiche auch den Artikel zu erzeugten  -Algebren.)

 
Eine Quaderfigur im  

Während der von den Quadern erzeugte Ring nur Quaderfiguren enthält, liegen im  -Ring   zusätzlich alle Mengen, die sich durch Quaderfiguren approximieren lassen, wie etwa der Kreis.