Arkussinus und Arkuskosinus – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Arkussinus und Arkuskosinus sind die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus (wenn man ihren Definitions- und Wertebereich geeignet einschränkt).

Definition und HerleitungBearbeiten

 
Arkussinus und Arkuskosinus
  •  arcsin (x)
  •  arccos (x)
  • Wir wissen bereits, dass die Sinus- und Kosinusfunktion   die Definitionsmenge   und die Zielmenge   haben. Insbesondere sind beide Funktionen nicht bijektiv, da sie weder injektiv noch surjektiv sind. Zur Erinnerung: Eine Funktion ist surjektiv, wenn sie jedes Element der Zielmenge trifft und eine Funktion ist injektiv, wenn unterschiedliche Argumente auf unterschiedliche Funktionswerte abgebildet werden. Eine Funktion ist nur dann bijektiv, sprich: umkehrbar, wenn sie sowohl surjektiv, als auch injektiv ist.

    In der folgenden Grafik der Sinusfunktion sieht man, dass nur Zahlen zwischen   und   getroffen werden. Damit ist sie nicht surjektiv, da ihre Zielmenge mit   viel größer als   ist. Auch wird jeder Funktionswert durch mehrere Argumente angenommen und somit kann die Funktion nicht injektiv sein:

    Um die Sinusfunktion surjektiv zu machen, müssen wir ihre Zielmenge auf die Werte einschränken, die auch tatsächlich angenommen werden. Diese Menge ist das Bild der Sinusfunktion, also die Menge  . Dadurch erhalten wir eine neue Funktion  , welche definiert ist als  . Beachte, dass   ist, obwohl die Funktionsvorschrift identisch ist. Beide Funktionen unterscheiden sich nämlich in der Zielmenge.

    Als nächstes überlegen wir uns, wie wir   injektiv machen können. Hierzu schränken wir den Definitionsbereich soweit ein, dass nicht mehr mehrere Argumente auf denselben Funktionswert abgebildet werden. Dies gelingt uns am Besten, wenn wir   auf ein Intervall einschränken, wo die Sinusfunktion streng monoton ist. Dann ist nämlich die Injektivität garantiert. Dabei gibt es zahlreiche Möglichkeiten. Zum Beispiel ist der Sinus auf den Intervallen   oder   streng monoton:

    Es ist dabei grundsätzlich egal, auf welches Monotonieintervall die Definitionsmenge des Sinus eingeschränkt wird. Allerdings ist es in der Literatur üblich, das Intervall   zu nehmen. Dies hat den Grund, dass der Kosinus im Intervall   nichtnegativ ist. Die bijektive, eingeschränkte Sinusfunktion lautet daher:

     

    Auf analog Weise wird zunächst   definiert, um eine surjektive Version der Kosinusfunktion zu erhalten. Ihr Definitionsbereich wird dann auf ein Intervall eingeschränkt, wo die Kosinusfunktion streng monoton steigt und die Sinusfunktion nichtnegtaiv ist:

     

    Beide Funktionen sind sowohl injektiv und surjektiv und können damit umgekehrt werden. Die jeweiligen Umkehrfunktionen sind der Arkussinus und der Arkuskosinus:

    Definition (Arkussinus und Arkuskosinus)

    Wir definieren die Funktionen   (Arkussinus) und   (Arkuskosinus) durch

     

    EigenschaftenBearbeiten

    Übersicht über die EigenschaftenBearbeiten

      Arkussinus Arkuskosinus
    Funktions-
    Graphen
       
    Definitionsbereich    
    Wertebereich    
    Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
    Symmetrien Ungerade Funktion:   Punktsymmetrie zu  
     
    Asymptoten   für     für  
    Nullstellen    
    Unstetigkeitsstellen keine keine
    Polstellen keine keine
    Extrema keine keine
    Wendepunkte    

    SymmetrieBearbeiten

    Satz

    Der Arkussinus   ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Arkuskosinus   ist punktsymmetrisch zum Punkt  .

    Beweis

    Wir nutzen aus, dass   und   die Umkehrfunktionen von   und   sind.

    To-Do:

    Beweis ergänzen

    StetigkeitBearbeiten

    Satz

    Der Arkussinus   und der Arkuskosinus   sind stetig.

    Beweis

    Wir wissen bereits aus vorangegangenen Kapitel, dass die Sinus- und Kosinusfunktion stetig sind. Insbesondere folgt daraus auch die Stetigkeit von   und  , da die Einschränkung einer stetigen Funktion immer stetig ist (dies folgt direkt aus der Definition der Stetigkeit).

    Es gilt also:   und   sind jeweils stetig, streng monoton und bijektiv. Darüber hinaus ist die Definitionsmenge des eingeschränkten Sinus und Kosinus jeweils ein Intervall. Somit sind alle Voraussetzungen für den Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion erfüllt und darf hier angewendet werden. Es folgt: Die Umkehrfunktionen   und   sind stetig.

    AbleitungBearbeiten

    In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über die späteren Kapitel Ableitungsregeln und Ableitungen sowie Ergebnisse aus dem Kapitel Ableitung der Umkehrfunktion.


    Satz (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

    Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen  ,   sind differenzierbar, und es gilt

     

    Hinweis: Zwar sind   und   auf   definiert und stetig, jedoch nur auf   differenzierbar.

    Beweis (Ableitungen des Arkussinus und -kosinus)

    Ableitung von  :

    Für die Sinusfunktion   gilt:  . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen   für alle  , auf diesem Intervall streng monoton steigend. Weiter ist  . Also ist   surjektiv. Die Umkehrfunktion ist die Arcussinus-Funktion

     

    Aus dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion folgt nun für jedes  :

     

    Ableitung von  :

    Für die Cosinusfunktion   gilt:  . Also ist die Funktion differenzierbar, und wegen  , streng monoton fallend. Weiter ist  . Also ist   surjektiv. Die Umkehrfunktion

     

    ist nach dem Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion differenzierbar, und für jedes   gilt:

     

    IntegralBearbeiten

    In diesem Abschnitt verwenden wir Kenntnisse über Integrale, insbesondere die Substitutionsregel und die Partielle Integration.

    Satz

    Die Funktionen   und   haben   und   als Stammfunktion. Es gilt:

     
     

    Beweis

    Die Stammfunktionen ergeben sich durch Differenzieren der rechten Seite, mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

     

    Aufgabe

    Zeige:

     

    Lösung

    Analog zu oben gilt mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion:

     

    Satz (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

    Der Arkussinus   und der Arkuskosinus   haben eine Stammfunktion

    Für alle   gilt:

     
     

    Beweis (Stammfunktion des Arkussinus und Arkuskosinus)

    Wir zeigen dies anhand des Arkussinus, für den Arkuskosinus geht das ganze analog.

    Wir beginnen mit Partieller Integration. Schreibe  . Dann folgt nach Anwendung der partiellen Integration:

     

    Als nächstes wollen wir das Integral   bestimmen. Dazu benutzen wir die Substitutionsregel. Wir raten die Substitution  . Dann gilt   und umgestellt  . Da wir die Stammfunktion herausfinden wollen, ist es hier nicht notwendig, die Grenzen zu ersetzen. Es folgt also:

     

    Insgesamt folgt also:

     

    Aufgabe (Stammfunktion von Arkuskosinus)

    Zeige:

     

    Lösung (Stammfunktion von Arkuskosinus)

    Wir gehen analog zum   vor, indem wir zunächst den Faktor Eins ergänzen, und anschließend partiell zu Integrieren und zu Substituieren:

     

    MonotonieBearbeiten

    Satz

    Der Arkussinus   ist streng monoton steigend und der Arkuskosinus   ist streng monoton fallend.

    Beweis

    Aus der Ableitungsfunktion des Arkussinus kann man direkt ablesen, dass   im Intervall   streng monoton steigend ist. Der Arkussinus ist darüber hinaus stetig und springt daher an den Randpunkten   und   nicht. Daraus folgt, dass der Arkussinus auf der gesamten Definitionsmenge   streng monoton steigt.

    Mit analoger Argumentation zeigt man, dass der Arkuskosinus streng monoton fällt.

    Maxima und MinimaBearbeiten

    Satz

    Der Arkussinus   hat das absolute Minimum   bei   und das absolute Maximum   bei  .

    Der Arkuskosinus   hat das absolute Minimum   bei   und das absolute Maximum   bei  .

    Beweis

    Die Arkussinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall   definiert. Nach dem Satz vom Minimum und Maximum existiert also eine Maximalstelle und eine Minimalstelle. Da die Funktion   streng monoton steigt, folgt direkt mit der Definition eines Minimums und Maximums, dass die Minmal- und Maximalstellen bei   und   liegen. Da die Arkussinusfunktion die Umkehrfunktion von   ist, folgt   und  .

    Die Arkuskosinusfunktion ist auf dem kompakten Intervall   definiert und dort streng monoton fallend. Mit analoger Argumentation wie beim Arkussinus folgt die Behauptung.

    RelationenBearbeiten

    Satz

    Es gilt für alle   folgende Relation zwischen den beiden Arkusfunktionen:

     

    Beweis

    Sei   beliebig. Wir stellen die obige Gleichung nach   um und wenden auf beiden Seiten die Umkehrfunktion   an. Wir erhalten:  . Nun nutzen wir die bereits bekannte Relation   und erhalten die Gleichung:  . Letztere Gleichung ist offensichtlich wahr und mit der ursprünglichen äquivalent (alle vorgenommenen Schritte waren Äquivalenzumformungen!).

    To-Do:

    weitere Eigenschaften?! Nullstellen, Wendepunkte, Asymptoten und Stammfunktion