Substitutionsregel für Integrale – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die Substitutionsregel ist eine Methode zur Bestimmung von bestimmten und unbestimmten Integralen. Diese wird aus der Kettenregel der Ableitung mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung gewonnen. Durch diese Regel wird das ursprüngliche Integral in ein anderes Integrationsproblem überführt, welches idealerweise leichter zu lösen ist.

Herleitung Bearbeiten

Leider gibt es im Allgemeinen keine „Formeln“ zur Bestimmung von Stammfunktionen, wie es zum Beispiel bei Ableitungen der Fall ist. Jedoch können aus den Ableitungsregeln über den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Umformungsregeln für Integrale gewonnen werden. Die Substitutionsregel ist ein solches Beispiel: Wir wissen, dass die Kettenregel   für eine Funktion   mit differenzierbaren Funktionen   und   gilt. Daher muss umgekehrt eine Funktion   mit der Zuordnungsvorschrift   die Funktion   als Stammfunktion besitzen. Dies kann für die Integralrechnung ausgenutzt werden.

Beispiel (Umkehrung Kettenregel)

Sei die Funktion   gegeben. Wir erkennen, dass die vordere Funktion   genau die Ableitung der Funktion   ist, die „innerhalb“ des Sinus steht. Setzen wir  ,   und  , so ist   von der Form  . Nach der Kettenregel hat eine Stammfunktion die Gestalt  . Die Stammfunktion von   lautet  . Daraus folgt, dass   eine Stammfunktion von   ist. Durch Ableiten von   können wir dies leicht verifizieren. Für das Integrationsproblem   folgt nun mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

 

Allgemeine Formulierung Bearbeiten

Damit die Substitutionsregel aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung hergeleitet werden kann, nehmen wir alle Voraussetzungen des Hauptsatzes an:

Satz (Substitutionsregel)

Sei   ein reelles Intervall. Seien   und   zwei stetig differenzierbare Funktionen. Es ist dann

 

Insbesondere gilt

 

Beweis (Substitutionsregel)

Sei   ein reelles Intervall sowie   und   stetig differenzierbar. Nach der Kettenregel gilt für die Ableitung der zusammengesetzten Funktion  :

 

Dann folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI):

 

Anwendung Bearbeiten

Das Ziel bei der Substitution ist es, einen Integranden der Form   durch Anwendung der Substitutionsmethode in den „einfacheren“ Integranden   umzuwandeln.

Anwendungsbeispiel Bearbeiten

Beispiel

Gegeben sei das Integral  . Der Integrand ist hier  . Wichtig ist es nun zu erkennen, dass die „äußere“ Funktion   ein Vielfaches der Ableitung der „inneren“ Funktion   ist. Genauer gilt   und damit  . Daher „packen“ wir den Faktor   zur „äußeren“ Funktion  , d.h. wir setzen  . Wir können nun die Substitutionsregel anwenden:

 

Berechnung von bestimmten Integralen Bearbeiten

Sei ein Integrationsproblem   gegeben, bei dem   von der Gestalt   ist. Über folgende Schritte kann die Substitution durchgeführt werden:

  1. Suche den Ausdruck   im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable  .
  2. Bilde die erste Ableitung   und ersetze   durch  .
  3. Ersetze die Grenzen   und   durch   und  .

Der zweite Schritt kann auch mit Hilfe der Leibnizschen Schreibweise gewonnen werden:

 

Beispiel

Zu lösen sei das Integral

 
  1. Wir erkennen, dass für   (Funktion unter der Wurzel im Nenner) gilt:   (Doppeltes der Funktion im Zähler). Daher Substituieren wir  
  2. Es folgt  . Nach   umgestellt, erhalten wir  . Wir ersetzen nun   durch  .
  3. Schließlich ersetzen wir noch die Integrationsgrenzen   und   durch   und  .

Insgesamt erhalten wir:

 

Berechnung von unbestimmten Integralen Bearbeiten

Auch unbestimmte Integrale   mit   können über die Substitutionsregel bestimmt werden. Das Vorgehen ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Berechnung von bestimmten Integralen. Jedoch besitzen unbestimmte Integrale keine Integrationsgrenzen und so fällt die Bestimmung der neuen Integrationsgrenzen weg. Auch muss am Ende die neue Variable zurücksubstituiert werden. Im Einzelnen lauten die Schritte:

  1. Suche den Ausdruck   im Integranden. Definiere diesen Ausdruck als deine neue Variable  .
  2. Bilde die erste Ableitung   und ersetze   durch  .
  3. Nach Anwendung der Substitutionsregel muss in der bestimmten Stammfunktion   die Variable   wieder durch   ersetzt werden.

Beispiel

Wir bestimmen das unbestimmte Integral  .

  1. Wir erkennen, dass für   (Funktion in der Klammer) gilt:   (Dreifaches der Funktion hinter der Klammer). Daher substituieren wir  .
  2. Es folgt  . Nach   umgestellt, erhalten wir  . Deswegen ersetzen wir   durch  . So erhalten wir:
     
  3. Schließlich ersetzen wir   wieder durch   und erhalten
     

Warnung

In Schritt 2 in dem Beispiel passiert die Magie: Durch unsere Wahl   heben sich im zweiten Ausdruck die  -Terme auf. Hätten wir eine andere Wahl für   getroffen, bliebe hier möglicherweise ein Ausdruck in   übrig. In dem Fall dürfen wir nicht   aus dem Integral herausziehen oder Ähnliches, da   über die Definition von   von der Integrationsvariable   abhängt! Tritt dieser Fall auf, hat man zwei Möglichkeiten: Entweder man versucht eine andere Substitution   oder man invertiert  , falls möglich, und setzt den Ausdruck   in das Integral ein und hofft, dass das somit entstehende Integral einfacher zu lösen ist als das ursprüngliche. Das Erraten einer passenden Substitution erfordert viel Übung!

Spezialfälle Bearbeiten

Lineare Verkettungen Bearbeiten

Satz (Lineare Verkettungen)

Sei   stetig und   eine lineare Funktion. Dann gilt:

 

Insbesondere ist

 

Beweis (Lineare Verkettungen)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution  :

 

Beispiel (Lineare Verkettung)

Für   und   gilt

 

Quadratische Verkettungen Bearbeiten

Satz (Quadratische Verkettungen)

Sei   stetig. Dann gilt:

 

Insbesondere ist

 

Beweis (Quadratische Verkettungen)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution  :

 

Beispiel (Quadratische Verkettung)

Für   gilt

 

Logarithmische Integration Bearbeiten

Satz (Logarithmische Integration)

Sei   stetig differenzierbar und  . Dann gilt:

 

Insbesondere ist

 

Beweis (Logarithmische Integration)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution  :

 

Beispiel (Logarithmische Integration)

Für   und   gilt für  :

 

Exponentielle Integration Bearbeiten

Satz (Exponentielle Integration)

Sei   stetig differenzierbar. Dann gilt:

 

Insbesondere ist

 

Beweis (Exponentielle Integration)

Es folgt nach der Substitutionsregel mit der Substitution  :

 

Beispiel (Exponentielle Integration)

Für   und   gilt

 

Aufgaben Bearbeiten

Aufgabe (Bestimmte/unbestimmte Integrale)

Bestimme die folgenden bestimmten/unbestimmten Integrale:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Lösung (Bestimmte/unbestimmte Integrale)

Teilaufgabe 1:

 

Teilaufgabe 2:

 

Teilaufgabe 3:

 

Teilaufgabe 4:

 

Aufgabe (Bestimmtes Integral)

Berechne folgendes bestimmte Integral:  .

Lösung (Bestimmtes Integral)

Zunächst spalten wir das Integral folgendermaßen auf:

 

Rechtes Integral: Wir erkennen, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Also ist hier   und  . Daher substitutieren wir  . Dann gilt  , oder umgestellt  . Die Grenzen ersetzen wir durch   und  . Insgesamt ergibt sich:

 

Linkes Integral: Dieses ist etwas schwieriger. Wir schreiben den Integranden um, damit wir eine ähnliche Substitution wie oben machen können. Dies erreichen wir, indem wir im Zähler und Nenner   ausklammern und anschließend kürzen:

 

Nun steht im Zähler wieder die Ableitung des Nenners. Wir wählen daher die Substitution  . Dann gilt  , oder umgestellt  . Die Grenzen ersetzen wir durch   und  . Es ergibt sich:

 

Insgesamt folgt:

 

Alternative Lösung:

Diese Lösung geht schneller, benötigt aber einen nicht ganz offensichtlichen Unformungstrick. Durch einfügen von   erhalten wir für den Integranden:

 

Damit folgt

 

Da vordere Integral leicht zu lösen, das hintere entspricht dem hinteren von der Lösung oben. Mit der Substitution von oben und dem HDI folgt daher

 

Aufgabe (Integration von Potenzen von Funktionen)

  1. Zeige: Sei   differenzierbar und  , dann gilt:   und  
  2. Welche Stammfunktionen ergeben sich für die Fälle  ,   und  ?
  3. Warum wurde der Fall   ausgeschlossen?

Beweis (Integration von Potenzen von Funktionen)

Teilaufgabe 1: Mit der Substitution   gilt

 

Teilaufgabe 2: Im Fall   gilt

  bzw.  

Im Fall   gilt

  bzw.  

Im Fall   gilt

  bzw.  

Teilaufgabe 3: Im Fall   handelt es sich um die logarithmische Integration von oben, und es gilt

  bzw.  

Der Betrag kann weggelassen werden, da wir hier   vorausgesetzt haben.

„Umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel mit Beispielen Bearbeiten

Wir haben oben die Substitutionsregel verwendet, um ein Integral der Form   in ein neues Integral der Form   zu überführen, das leichter zu lösen ist. Formal haben wir dazu   definiert und   durch   ersetzt. Es gibt aber auch Integrale, die sich auf umgekehrtem Wege bestimmen lassen: Man will also ein Integral der Form   in ein Integral der Form   umwandeln, wozu man   durch   substituiert. Um dabei die Integrationsgrenzen richtig zu „verschieben“, muss man die Urbilder   und   bestimmen. Damit diese eindeutig sind, muss man die Umkehrbarkeit von   voraussetzen. Meist lassen sich die Urbilder durch die Umkehrfunktion   bestimmen. Die Umkehrbarkeit von   erzwingen wir durch zwei zusätzliche Bedingungen:   und   ist surjektiv. Dann gilt:  . Die „umgekehrte“ Variante der Substitutionsregel lautet also

 

Satz (Substitutionsregel)

Sei   ein reelles Intervall mit  ,   und   stetig differenzierbar und surjektiv mit  . Dann ist   umkehrbar, und es gilt

 

sowie

 

Hinweis

Ist die Ableitung   nur in einzelnen isolierten Punkten gleich null, und sonst überall ungleich null, so ist   ebenfalls umkehrbar. In diesem Fall ist die Substitutionsregel ebenfalls anwendbar.

Der Beweis funktioniert ähnlich wie bei der Standardversion oben. Wir müssen allerdings noch die Umkehrbarkeit von   begründen.

Beweis (Substitutionsregel Variante 2)

  ist stetig und ungleich null. Mit dem Zwischenwertsatz ist   somit überall positiv oder negativ. Also ist   streng monoton und nach Voraussetzung stetig, also injektiv. Da   nach Voraussetzung auch surjektiv ist, ist die Funktion bijektiv und damit umkehrbar.

Ähnlich zu oben folgt mit der Kettenregel und dem Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung:

 

Wir wollen auch diese Variante an einem Beispiel veranschaulichen.

Beispiel (Umgekehrte Substitutionsregel)

Sei folgendes Problem gegeben:

 

Bei diesem Integral ist es entscheidend, zu erkennen, dass sich der Integrand durch die Substitution   vereinfacht. Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt nämlich  . Damit löst sich die Wurzel auf. Wir müssen nur beachten, dass wir wegen   noch ein   multiplizieren müssen. Die Substitution ist nach dem Hinweis von oben auch zulässig, denn   für alle   und der Randpunkt   ändert an der Bijektivität von   nichts. Damit erhalten wir

 

Dieses Integral kann nun mit Hilfe von Partielle Integration berechnet werden, oder mit Hilfe der Formel

 

die sich mit Hilfe der Additionstheoreme zur Trigonometrie ergibt. Damit ist

 

Hinweis

Neben der oben angeprochenen Möglichkeit   mittels partieller Integration zu lösen, gibt es noch zwei weitere Möglichkeiten unser Ausgangsintegral  , ohne unsere Substitution  , zu lösen. Zum einen könnten wir auch direkt partiell Integrieren, dazu müssen wir den Integrand als   schreiben. Zum anderen ist das Integral auch über die Euler-Substitution lösbar, welche wir im Kapitel Fortgeschrittene Substitutionen besprechen werden.

Rezept zur Anwendung der „umgekehrten“ Substitutionsregel Bearbeiten

Auch für diese Variante können wir wieder eine Rezept formulieren:

Sei ein Integrationsproblem der Form   gegeben.

1. Schritt: Suche eine passende Substitution  , wobei   bijektiv sein muss.
2. Schritt: Bilde die erste Ableitung   und ersetze   durch  .
3. Schritt: Ersetze die Grenzen   und   durch   und  .

Hinweis

Schritt 2 können wir uns wieder mit der Leibnizschen Schreibweise merken:

 

Hinweis

Im Falle eines unbestimmten Integrals entfällt Schritt 3. Stattdessen muss nach bilden einer Stammfunktion von   erneut   zurücksubstituiert werden.

Aufgaben Bearbeiten

Aufgabe (Substitutionsregel Variante 2)

Berechne die folgenden Integrale

  1.  
  2.  

Lösung (Substitutionsregel Variante 2)

Teilaufgabe 1:

Um hier die Wurzel „wegzusubstituieren“ müssen wir, wegen dem Faktor  , als Substitution   wählen. Dann ist   erneut stetig diffbar und bijektiv auf  . Damit erhalten wir

 

Mit Hilfe der Formel

 

ergibt sich nun, genau wie oben

 

Teilaufgabe 2:

Bei diesem Integral steht unter der Wurzel der Term  . Wegen   ist es hier sinnvoll die Substitution   zu wählen. Dann gilt  . Diese Substitution ist erneut zulässig, denn   für alle  . Damit ist   umkehrbar mit  . Damit erhalten wir

 

Dieses Integral kann nun mit Hilfe der Formel

 

vereinfacht werden. Damit ist

 

Nun möchten wir gerne   zurücksubstituieren. Um auf einen „schönen“ Ausdruck zu kommen, stört uns aber der Faktor   innerhalb des  . Um diesen los zu werden wenden wir die Formel

 

an. Mit dieser erhalten wir

 

Eine anschauliche Herleitungsmöglichkeit Bearbeiten

  • Zu Anfang sollte man irgendwo schon mal gehört haben, was mit einer Funktion f(x) passiert, wenn man in diese eine andere Funktion f(g(x)) einsetzt. Natürlich sollen f(x) und g(x) differenzierbar sein.
  • Antwort: f(x) bleibt quasi gleich und wird nur versetzt, gezerrt und gestaucht (und verdreht bei nicht monotonem g).
  • Um sich davon zu überzeugen, betrachte man bspw.
 
  • Dort, wo g(x) stärker als die Identität x steigt, wird f(x) gestaucht. Dort, wo g(x) langsamer als die Identität steigt, wird f(x) gestreckt.
  • Um sich davon zu überzeugen, betrachte man bspw.
 

Man kann das vielleicht auch wie folgt nachvollziehen: Angenommen, wir haben 2 reelle Funktionen f und g (differenzierbar und mit Intervallen als Definitionsmengen, g monoton) und wir wollen wissen, was mit f passiert, wenn man in diese g einsetzt.

Zuerst bemerke man, dass das ganze nur einen Sinn hat, wenn die Bildmenge von g eine Teilmenge der Definitionsmenge von f ist, denn sonst wäre f(g(x)) nicht definiert.

D.h. g(x) durchläuft das Definitionsintervall von f. Dort, wo g(x) stark steigt, durchläuft es das Intervall schnell, dort wo es schwach steigt, durchläuft es das Intervall langsam.

Dort, wo g(x) stark steigt, werden viele Zahlen aus dem Definitionsbereich von f pro Argumentenabschnitt von g durchlaufen. Wo g(x) schwach steigt, sind es pro Argumentenabschnitt wenige Zahlen.

D.h. bei starkem Anstieg von g wird ein einst großes Argumentenintervall von f innerhalb eines viel kleineren Intervalls "verarbeitet", f wird gestaucht. Ein einst kleines Teilintervall wird jetzt während eines viel größeren Intervalls verarbeitet, f wird also gestreckt.

Hierzu betrachte man

 

(evtl. animieren)

D.h. dort, wo g stark steigt, wird f gestaucht, dort, wo g schwach steigt, wird f gestreckt.

  • Angenommen, wir wollen nun irgendein ein Integral berechen:
 
ein integral
  • Nun betrachte man, was passiert, wenn man g(x) in f(x) einsetzt.
 
Die Abb zeigt bsp.haft wie eine funktion f(x) durch einsetzten von g(x) verformt wird.

(evtl. Animation einfügen)

  • Das gleiche passiert mit den Treppenfunktionen
 

mithilfe welcher versucht wird das Integral zu approximieren bzw. zu berechen

 

(evtl. animieren)

  • Offensichtlich verändert sich dabei der Flächeninhalt einer solchen Treppenfunktion. Um den Flächeninhalt aber trotzdem gleich zu halten, könnte man nun versuchen, die Rechtecke in ihrer Höhe zu modifizieren. Mit etwas Überlegung ist dies auch gar nicht so schwer:

Das Intervall, welches vorher die Länge

 

hatte, hat nun die Länge

 

(Monotonie vorausgesetzt). D.h. das Intervall, welches nun die Länge

 

hat, hatte vorher die Länge

 

. Wenn man annimmt, das neue Intervall b-a wäre kleiner als das alte g(b)-g(a), so würde das alte Intervall um den Faktor

 

verkleinert werden.

Damit das entsprechende Rechteck trotzdem noch den gleichen Flächeninhalt hat, müsste man es in seiner Höhe um das reziproke dieses Faktors vergrößern. Vergrößern heißt multiplizieren, als Formel

 

.

  • Wenn die Intervalle bei
     

immer kleiner werden, so nähert sich der Vergößerungsfakor immer mehr g'(y) an, was einen schließlich auf die Vermutung

 

bringen könnte.