Ableitung und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Mit der Ableitung werden wir eines der wichtigsten Konzepte der Analysis kennenlernen. Die Ableitung entspricht der Änderungsrate einer Funktion. Sie wird in den Naturwissenschaften oft genutzt, um in mathematischen Modellen die Veränderung eines Systems zu modellieren. Mit Hilfe der Ableitung können wir eine Funktion auf viele ihrer Eigenschaften untersuchen.

Intuitionen der Ableitung Bearbeiten

Für die Ableitung gibt es mehrere Intuitionen, die alle eng zusammenhängen:

  • Ableitung als momentane Änderungsrate: Die Ableitung entspricht dem, was wir intuitiv als momentane Änderungsrate einer Funktion verstehen. Eine Änderungsrate beschreibt dabei, wie stark sich eine Größe bezüglich einer anderen Bezugsgröße ändert. Bei der momentanen Änderungsrate wird diese Bezugsgröße als „unendlich klein“ angenommen. Es wird also der Grenzwert der Änderungsrate betrachtet, wenn die Bezugsgröße gegen Null konvergiert. Ein Beispiel hierfür ist die Geschwindigkeit. Diese ist die momentane Änderungsrate des Ortes bezüglich der Zeit und gibt an, wie stark sich der Ort eines Objekts zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Zeit ändert.
  • Ableitung als Tangentensteigung: Die Ableitung entspricht der Steigung, die die Tangente des Graphen an der Stelle der Ableitung besitzt. Damit löst die Ableitung das geometrische Problem, die Tangente an einen Graphen durch einen Punkt zu bestimmen.
  • Ableitung als Steigung der lokal besten linearen Approximation: Jede an einer Stelle ableitbare Funktion kann in einer Umgebung um diesen Punkt gut durch eine lineare Funktion approximiert werden. Die Ableitung entspricht der Steigung dieser linearen Funktion. Damit kann die Ableitung genutzt werden, um Funktionen lokal durch lineare Funktionen gut anzunähern.
  • Ableitung als verallgemeinerte Steigung: Zunächst ist der Begriff der Steigung einer Funktion nur für lineare Funktionen definiert. Man kann die Ableitung aber benutzen, um die Steigung auch für nicht-lineare Funktionen zu definieren.

Diese Intuitionen werden wir im Folgenden detailliert besprechen und aus ihnen eine formale Definition der Ableitung herleiten. Außerdem werden wir sehen, dass ableitbare Funktionen „knickfrei“ sind, weshalb sie auch glatte Funktionen genannt werden.

Ableitung als momentane Änderungsrate Bearbeiten

Berechnung der Ableitung Bearbeiten

Die Ableitung entspricht der momentanen Änderungsrate einer Funktion  . Wie kann diese momentane Änderungsrate einer Funktion bestimmt oder definiert werden? Sei zum Beispiel   eine reellwertige Funktion, die folgenden Graph besitzt:

 
Die Funktion f

So kann   eine physikalische Größe in Abhängigkeit von einer anderen Größe beschreiben. Beispielsweise könnte   dem zurückgelegten Weg eines Objekts zum Zeitpunkt   entsprechen.   könnte auch der Luftdruck in der Höhe   oder die Populationsgröße einer Art zum Zeitpunkt   sein. Nehmen wir nun das Argument  , an dem die Funktion den Funktionswert   besitzt:

 
Die Funktion f mit eingezeichnetem Argument und Funktionswert

Nehmen wir einmal an, dass   der zurückgelegte Weg eines Autos zum Zeitpunkt   ist. Dann ist die momentane Änderungsrate von   an der Stelle   gleich der Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt  . Wie kann diese Geschwindigkeit bestimmt werden?

Anstatt die Geschwindigkeit direkt zu berechnen, können wir sie schätzen. Wir nehmen einen Zeitpunkt   in der Zukunft und schauen, welchen Weg das Auto im Zeitraum von   bis   zurückgelegt hat. Der in dieser Zeit zurückgelegte Weg ist gleich der Differenz  , während die Zeitdifferenz gleich   ist. Nun ist die Geschwindigkeit gleich dem Quotienten  . Damit hat das Auto im Zeitraum von   nach   die durchschnittliche Geschwindigkeit

 

Dieser Quotient, der die durchschnittliche Änderungsrate von der Funktion   im Intervall   angibt, wird Differenzenquotient genannt. Entsprechend seines Namens ist er ein Quotient von zwei Differenzen. In folgender Abbildung sehen wir, dass dieser Differenzenquotient gleich der Steigung derjenigen Sekante ist, die durch die Punkte   und   geht:

 
Die durchschnittliche Änderungsrate ist gleich der Steigung der Sekante

Diese durchschnittliche Geschwindigkeit ist eine erste Approximation der aktuellen Geschwindigkeit unseres Autos zum Zeitpunkt  . Nun muss die Bewegung des Autos zwischen den Zeitpunkten   und   nicht gleichförmig verlaufen sein – es kann beschleunigen oder abbremsen. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt   ist also im Allgemeinen eine andere als die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitraum zwischen   und  . Ein besseres Ergebnis sollten wir erhalten, wenn wir den Zeitraum für die Berechnung der durchschnittlichen Geschwindigkeit verkürzen. Wir betrachten also einen Zeitpunkt  , der näher an   liegt, und bestimmen die durchschnittliche Geschwindigkeit   für den neuen Zeitraum zwischen   und  :

 
Sekante bei einem Punkt näher an der Ableitungstelle

Diesen Prozess wiederholen wir beliebig oft. Wir betrachten also eine Folge   von Zeitpunkten, die alle von   verschieden sind und die gegen   konvergieren. Für jedes   berechnen wir die durchschnittliche Geschwindigkeit   des Autos im Zeitraum von   bis  . Je kürzer   ist, desto weniger sollte das Auto in diesem Zeitraum beschleunigen oder abbremsen können und umso mehr entspricht dann die durchschnittliche Geschwindigkeit der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt  :

 
Die Sekantensteigungen (= durchschnittliche Änderungsrate) geht in die Ableitung (= momentane Änderungsrate) über
 
Für   geht die durchschnittliche Änderungsrate   in die momentane Änderungsrate der Funktion an der Stelle   über.

Weil der Zeitabstand   beliebig klein wird (es ist  ), sollte die Folge der Durchschnittsgeschwindigkeiten   gleich der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt   sein.

Damit haben wir eine Methode gefunden, um die momentane Änderungsrate von   an der Stelle   zu bestimmen: Wir nehmen eine beliebige Folge von Argumenten  , die alle verschieden von   sind und für die   ist. Für jedes   bestimmen wir den Quotienten  . Die momentane Änderungsrate ist der Grenzwert dieser Quotienten:

 

Für die Ableitung von   an der Stelle   schreiben wir  . Damit können wir notieren:

 

Der dabei auftretende Grenzwert der Differenzenquotienten wird Differentialquotient genannt.

Konkretisierung Bearbeiten

Nun haben wir in unserem Beispiel stets Zeitpunkte in der Zukunft von   betrachtet. Was passiert, wenn wir einen Zeitpunkt   in der Vergangenheit von   betrachten? Hier erhalten wir folgendes Bild:

 
Die durchschnittliche Änderungsrate bezüglich eines Arguments kleiner der Ableitungsstelle

Die durchschnittliche Geschwindigkeit im Zeitraum von   bis   ist dann gleich  . Wenn wir diesen Quotienten um   erweitern, erhalten wir:

 

Wir erhalten denselben Term wie im vorherigen Abschnitt. Dieser gibt die durchschnittliche Geschwindigkeit an, egal ob   oder   ist. Damit sollte dessen Wert im Fall   auch nah an der momentanen Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt   liegen, wenn   nur hinreichend nah an   liegt. Es ist also

 

wobei   eine beliebige Folge von Argumenten ungleich   mit   ist. Die Folgenglieder von   können dabei je nach Index   manchmal größer und manchmal kleiner als   sein:

 
Eine Folge von Sekanten, um die Ableitung zu berechnen

Verfeinerung der Definition Bearbeiten

Sei nun   eine beliebige reellwertige Funktion und sei  . Wie wir im obigen Abschnitt gesehen haben, ist

 

wobei   eine Folge von Argumenten ungleich   ist, die gegen   konvergiert. Damit es mindestens eine solche Folge von Argumenten gibt, muss   ein Häufungspunkt vom Definitionsbereich   sein (eine Zahl ist genau dann Häufungspunkt einer Menge, wenn es eine Folge in dieser Menge ungleich dieser Zahl gibt, die gegen diese Zahl konvergiert). Das hört sich jetzt vielleicht komplizierter an, als es häufig ist. In den meisten Fällen ist   ein Intervall und dann ist jedes   ein Häufungspunkt von  . Für die Definition des Differentialquotienten soll es egal sein, welche Folge   wir wählen. Dementsprechend können wir die Ableitung definieren:

Sei   mit   und sei   ein Häufungspunkt von  . Die Funktion   ist an der Stelle   ableitbar mit der Ableitung  , wenn für jede Folge   von Argumenten ungleich   und mit   gilt:

 

Nun können wir diese Definition abkürzen, indem wir die Grenzwertdefinition für Funktionen benutzen. Zur Erinnerung: Es ist nach Definition genau dann  , wenn   für alle Folgen   von Argumenten ungleich   mit   ist. Also:

Sei   mit   und sei   ein Häufungspunkt von  . Die Funktion   ist an der Stelle   ableitbar mit der Ableitung  , wenn gilt:

 

Die h-Methode Bearbeiten

 
Definition der Ableitung über die h-Methode: Zu den jeweiligen h-Werten sind die dazugehörigen Sekanten eingezeichnet. Du siehst, dass für   die Sekante in die Tangente und somit die Sekantensteigung (Differenzenquotien) in die Tangentensteigung (Ableitung) übergeht.

Es gibt eine weitere Möglichkeit, die Ableitung zu definieren. Hierzu gehen wir vom Differentialquotienten   aus und führen die Variablenersetzung   durch. Die neue Variable   ist also der Unterschied zwischen der Stelle  , bei der die Ableitung bestimmt werden soll, zu dem Punkt, wo der Differenzenquotient gebildet wird. Für   geht  . Damit können wir die Ableitung auch definieren als

Sei   mit   und sei   ein Häufungspunkt von  . Die Funktion   ist an der Stelle   ableitbar mit der Ableitung  , wenn gilt:

 

Anwendungen in den Naturwissenschaften Bearbeiten

Die Ableitung haben wir als momentane Änderungsrate einer Größe kennengelernt. Als solche tritt sie in den Naturwissenschaften häufig auf. Folgende Größen sind beispielsweise als Änderungsraten definiert:

  • Geschwindigkeit: Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate des zurückgelegten Wegs eines Objekts.
  • Beschleunigung: Die Beschleunigung ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit eines Objekts.
  • Druckänderung: Sei   der Luftdruck in der Höhe  . Die Ableitung   ist die Änderungsrate des Luftdrucks mit der Höhe. Dieses Beispiel zeigt, dass die Änderungsrate nicht immer auf die Zeit bezogen sein muss. Es kann auch die Änderungsrate bezüglich einer anderen Größe, wie zum Beispiel der Höhe, sein.
  • Chemische Reaktionsrate: Betrachten wir eine chemische Reaktion  . Sei   die Konzentration des Stoffs   zum Zeitpunkt  . Die Ableitung   ist die momentane Änderungsrate der Stoffkonzentration von   und damit gibt sie an, wie viel des Stoffs   in den Stoff   umgesetzt wird. Damit gibt   die chemische Reaktionsrate für die Reaktion   an.
  • Änderung der Population: Oft betrachtet man die Anzahl an Individuen   in einer Population (zum Beispiel die Anzahl an Menschen auf dem Planeten, die Anzahl an Bakterien in einer Petrischale, die Anzahl an Tieren einer Gattung oder die Anzahl der Atome eines radioaktiven Stoffs). Die Ableitung   gibt die momentane Änderungsrate der Individuen zum Zeitpunkt   wieder.

Definitionen Bearbeiten

Ableitung und Differenzierbarkeit Bearbeiten

Definition (Ableitung)

Sei   mit   und sei   ein Häufungspunkt von  . Die Funktion   ist an der Stelle   ableitbar mit der Ableitung  , wenn gilt:

 

Äquivalent kann in der Definition auch gefordert werden:

 

Eine an der Stelle   ableitbare Funktion nennt man an der Stelle   differenzierbar. Eine Funktion heißt ableitbar oder differenzierbar, wenn an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs der obige Grenzwert existiert. Differenzierbare Funktionen sind also überall, wo sie definiert sind, differenzierbar.

Differenzenquotient und Differentialquotient Bearbeiten

 
Der Differenzenquotient zwischen   und   entspricht der Steigung der blauen Sekanten

Die Begriffe „Differenzenquotient“ und „Differentialquotient“ sind folgendermaßen definiert:

 

Es gelten also folgende Definitionen:

Definition (Differenzenquotient)

Der Differenzenquotient einer Funktion   mit   im Intervall   ist der Quotient

 

Dieser Quotient entspricht der Steigung der Sekanten zwischen den Punkten   und  .

Definition (Differentialquotient)

Sei   mit  . Sei   ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs  . Der Differentialquotient dieser Funktion an der Stelle   ist der Grenzwert:

 

Wenn dieser Grenzwert existiert und eine reelle Zahl ist, entspricht er der Ableitung  .

Ableitungsfunktion Bearbeiten

 
Die Ableitungsfunktion ordnet jedem Argument   der Funktion   ihre Ableitung   zu. In dieser Animation wird die Ableitungsfunktion an verschiedenen Stellen der Funktion ausgewertet. Dabei wird die Tangente wie die Ableitung an dieser Stelle angezeigt.

Ist eine Funktion   mit   an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar, so besitzt   an jedem Punkt in   eine Ableitung. Die Funktion, die jedem Argument   ihre Ableitung   zuordnet, heißt Ableitungsfunktion von  :

Definition (Ableitungsfunktion)

Sei   eine differenzierbare Funktion mit  . Wir definieren die Ableitungsfunktion   durch

 

Ist die Ableitungsfunktion   zusätzlich noch stetig, so nennt man   stetig differenzierbar.

Warnung

Die Begriffe „stetig differenzierbar“ und „differenzierbar“ sind nicht äquivalent. Die Stetigkeit der Ableitungsfunktion ist eine echte zusätzliche Forderung.

Notationen Bearbeiten

Geschichtlich bedingt wurden unterschiedliche Notationen entwickelt, um die Ableitung einer Funktion darzustellen. In diesem Artikel haben wir bisher nur die Notation   für die Ableitung von   kennengelernt. Sie geht auf den Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der sie 1797 einführte[1]. Mit dieser Notation wird die zweite Ableitung von   mit   und die  -te Ableitung mittels   notiert.

Isaac Newton - neben Leibniz der Begründer der Differentialrechnung - notierte die erste Ableitung von   mit  , entsprechend notierte er die zweite Ableitung durch  . Heutzutage wird diese Schreibweise hauptsächlich in der Physik für die Ableitung nach der Zeit verwendet.

Gottfried Wilhelm Leibniz führt für die erste Ableitung von   nach der Variablen   die Notation   ein. Gelesen wird diese Schreibweise als „d f von x nach d x“. Für die zweite Ableitung notierte Leibniz   und die  -te Ableitung wird mittels   notiert.

Bei den Schreibweisen von Leibniz handelt es sich nicht um einen Bruch! Die Symbole   und   werden als Differentiale bezeichnet, welche aber in der modernen Analysis (abgesehen von der Theorie der sogenannten „Differentialformen“) lediglich eine symbolische Bedeutung haben. Sie sind nur in dieser Schreibweise als formaler Differentialquotient erlaubt. Nun gibt es Anwendungen der Ableitung (wie zum Beispiel die „Kettenregel“ oder „Integration durch Substitution“), in denen man mit den Differentialen   beziehungsweise   so umgehen kann, als seien sie gewöhnliche Variablen und in denen man so zu richtigen Lösungen kommt. Da es aber in der modernen Analysis keine Differentiale gibt, handelt es sich bei solchen Rechnungen nicht um formal richtige Argumentationen.

Die Notation   oder   für die erste Ableitung von   geht auf Leonhard Euler zurück. In dieser Notation wird die zweite Ableitung durch   oder   und die  -te Ableitung durch   oder   geschrieben.

Übersicht zu allen Notationen Bearbeiten

Schreibweise von … 1. Ableitung 2. Ableitung  -te Ableitung
Lagrange      
Newton      
Leibniz      
Euler      

Ableitung als Tangentensteigung Bearbeiten

 
Für   geht die Sekantensteigung   in die Tangentensteigung über. Damit ist die Ableitung   gleich der Steigung der Tangenten, die den Graphen am Punkt   berührt.
 
Bei differenzierbaren Funktionen kann an jedem Punkt es Graphen eine Tangente angelegt werden. Die Ableitung entspricht der Steigung dieser Tangente.

Die Ableitung   entspricht dem Grenzwert  . Dabei ist der Differenzenquotient   die Steigung der Sekante zwischen den Punkten   und  . Bei der Grenzwertbildung   geht diese Sekante in die Tangente über, die den Graphen von   im Punkt   berührt:

 
Funktion mit eingezeichneter Sekante und Tangente

Damit ist die Ableitung   gleich der Steigung der Tangente am Graphen durch den Punkt  . Die Ableitung kann also genutzt werden, um die Tangente an einem Graphen zu bestimmen. Somit löst sie auch ein geometrisches Problem. Mit   kennen wir die Steigung der Tangente und mit   einen Punkt auf der Tangente. Damit können wir die Funktionsgleichung dieser Tangente bestimmen.

Verständnisfrage: Wie lautet die Tangentengleichung, wenn ihre Steigung gleich   und sie durch den Punkt   geht?

Die allgemeine Formel einer linearen Funktion   ist  . Dabei ist   die Steigung von   und   ist der Schnittpunkt von   mit der y-Achse. Sei nun   die gesuchte Tangente. Diese besitzt die Steigung   und damit gilt  .

Wir müssen noch   bestimmen. Weil   durch den Punkt   geht, ist

 

Damit ist

 

Durch Kenntnis der Ableitung   kann also die Tangengleichung bestimmt werden.

Ableitung als Steigung der lokal besten linearen Approximation Bearbeiten

Approximation einer differenzierbaren Funktion Bearbeiten

Die Ableitung kann auch zur Approximation einer Funktion genutzt werden. Um diese Approximation zu finden gehen wir von der Grenzwertdefinition der Ableitung aus:

 

Der Differenzenquotient   liegt also beliebig nah an der Ableitung  , wenn   hinreichend nah an   ist. Für   können wir schreiben:

 

Im Folgenden nehmen wir an, dass der Ausdruck   für „  ist ungefähr so groß wie  “ wohldefiniert ist und den üblichen Rechengesetzen für Gleichungen gehorcht. Damit können wir diese Gleichung umstellen zu

 

Wenn   hinreichend nah an   liegt, dann ist   ungefähr gleich dem Wert  . Dieser Wert kann somit in der Nähe der Ableitungsstelle als Approximation von   verwendet werden. Dabei ist die Funktion mit der Zuordnungsvorschrift   eine lineare Funktion, da   ein beliebiger aber fester Punkt ist.

Die Zuordnungsvorschrift   beschreibt dabei die Tangente, die den Funktionsgraphen an der Stelle der Ableitung berührt. Die Tangente ist also in der Nähe des Berührungspunkts eine gute Approximation des Funktionsgraphen. Dies zeigt auch das folgende Diagramm. Wenn man in einer differenzierbaren Funktion an einer Stelle nah genug reinzoomt, so sieht der Funktionsgraph näherungsweise wie eine Gerade aus:

 
Differenzierbare Funktion sehen lokal wie eine Gerade aus

Diese Gerade wird durch die Zuordnungsvorschrift   beschrieben und entspricht der Tangente des Graphen an dieser Stelle.

Beispiel: Kleinwinkelnäherung des Sinus Bearbeiten

Schauen wir uns das gerade Besprochene an einem Beispiel an. Hierfür betrachten wir die, für gewöhnlich aus der Schule bekannte, Sinusfunktion  . Ihr Graph ist

 
Der Graph der Sinus-Funktion

Wie wir noch sehen werden, ist die Ableitung des Sinus der Kosinus und damit ist

 

Nach dem Abschnitt zur Approximation gilt damit

 

In der Nähe der Null ist also  . Dies ist die sogenannte Kleinwinkelnäherung. So kann   durch   angenähert werden. Mit   ist diese Annäherung auch recht gut. Im folgenden Diagramm sieht man, dass in der Nähe des Nullpunkts die Sinusfunktion ungefähr durch   beschrieben werden kann:

 
Die Kleinwinkelnäherung für die Sinus-Funktion

Das Diagramm zeigt aber auch, dass diese Approximation nur in der Nähe der Ableitungstelle gut ist. Bei Werten   weit weg von der Null unterscheidet sich   stark von  . Die Approximation   ist folglich nicht immer sinnvoll.

Qualität der Approximation Bearbeiten

Wie gut ist die Approximation  ? Um dies zu beantworten, sei   derjenige Wert mit

 

Der Wert   ist damit der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten   und der Ableitung  . Dieser Unterschied verschwindet für den Grenzübergang  , weil für diesen Grenzübergang der Differenzenquotient in den Differentialquotienten, also der Ableitung  , übergeht. Es gilt also  . Nun können wir die obige Gleichung umstellen und erhalten so

 

Der Fehler zwischen   und   ist damit gleich dem Term  . Wegen   ist auch

 

Der Fehler   verschwindet also für  . Wir können aber noch mehr sagen:   fällt schneller als ein linearer Term gegen Null ab. Selbst wenn wir   durch   teilen und so diesen Term in der Nähe von   stark vergrößern, verschwindet   für  . Es ist nämlich

 

Der Fehler   in der Approximation   fällt also für   schneller als linear gegen Null ab. Fassen wir die bisherige Argumentation in einem Satz zusammen:

Satz (Approximation einer differenzierbaren Funktion)

Sei   und sei   ein Häufungspunkt von  . Sei außerdem   an der Stelle   differenzierbar mit der Ableitung  . Seien   und   so definiert, dass für alle   gilt

 

Dann verschwindet der Fehlerterm   für  , das heißt  . Für   gilt dementsprechend  .

Alternative Definition der Ableitung Bearbeiten

Dass differenzierbare Funktionen durch lineare Funktionen approximiert werden können, charakterisiert den Begriff der Ableitung. Jede Funktion   ist an der Stelle   ableitbar, wenn eine reelle Zahl   sowie eine Funktion   existieren, so dass   und   gelten. Ihre Ableitung ist dann  . Es gilt nämlich

 

Somit können wir die Ableitung auch wie folgt definieren:

Definition (Alternative Definition der Ableitung)

Sei   eine Funktion und   ein Häufungspunkt von  . Die Funktion   ist genau dann im Punkt   differenzierbar mit der Ableitung  , wenn eine Funktion   existiert, so dass

 

und   gelten.

Beschreibung der Ableitung über stetige Funktion Bearbeiten

Es gibt eine weitere Charakterisierung der Ableitung. Wir beginnen hierfür mit der Formel

 

Dabei ist   der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung, welcher für   verschwindet. Wenn wir diese Formel umstellen erhalten wir:

 

Dabei erfüllt   für   die Eigenschaft

 

Damit kann   in eine an der Stelle   stetige Funktion erweitert werden, wobei der Funktionswert   gewählt wird. Diese Darstellung einer ableitbaren Funktion ermöglicht eine weitere Charakterisierung stetiger Funktionen:

Satz (Äquivalente Charakterisierung der Ableitung)

Eine Funktion   ist in   genau dann differenzierbar, wenn es eine in   stetige Abbildung   gibt, die folgende Gleichung erfüllt:

 

In diesem Fall ist  .

Beweis (Äquivalente Charakterisierung der Ableitung)

Beweisschritt:   mit       mit  

Gelte also  , wobei   eine Funktion mit   sei. Nun gilt für  

 

Setzen wir nun  . So folgt

 

Also ist   stetig (fortsetzbar) in   mit  .

Beweisschritt:   mit       mit  

Gelte nun   mit einer in   stetigen Funktion  , wobei  . Für   gilt dann

 

Setzen wir nun  . So folgt

 

Ableitung als verallgemeinerte Steigung Bearbeiten

 
Die Steigung einer linearen Funktion entspricht dem Quotienten  .

Die Steigung ist zunächst nur für lineare Funktionen   mit der Zuordnungsvorschrift   mit   definiert. Bei solchen Funktionen ist die Steigung gleich dem Wert   und kann über den Differenzenquotienten berechnet werden. Für zwei verschiedene Argumente   und   aus dem Definitionsbereich von   gilt nämlich

 

Nun ist   auch die Ableitung von   an jedem Häufungspunkt   des Definitionsbereichs:

 

Die Ableitung linearer Funktionen ist daher stets gleich ihrer Steigung. Der Begriff der Ableitung stimmt also bei linearen Funktionen mit jenem der Steigung überein. Außerdem ist er bei allen differenzierbaren Funktionen definiert. Somit stellt die Ableitung eine Verallgemeinerung der Steigung dar. Zur Erinnerung: Ein Begriff   ist genau dann eine Verallgemeinerung eines anderen Begriffs  , wenn   überall dort mit   übereinstimmt, wo   definiert ist und   auf weitere Fälle angewandt werden kann.

Somit können wir die Ableitung als momentane Steigung einer Funktion ansehen. Der Steigungsbegriff geht damit von einer globalen Eigenschaft (die Steigung bei linearen Funktionen ist für die gesamte Funktion definiert), in eine lokale Eigenschaft über (die Ableitung ist die momentane Änderungsrate einer Funktion).

Beispiele Bearbeiten

Beispiel einer differenzierbaren Funktion Bearbeiten

 
Graph der Quadratfunktion
 
Die Ableitungsfunktion der Quadratfunktion mit der Zuordnungsvorschrift  

Beispiel (Quadratfunktion ist an der Stelle   ableitbar)

Die Quadratfunktion   ist ableitbar an der Stelle   mit der Ableitung  . Dieses Resultat erhalten wir, wenn wir den Differentialquotienten an der Stelle   auswerten:

 

Der letzte Ausdruck zeigt, dass der Differenzenquotient gleich   für   ist (für   ist der Differenzenquotient nicht definiert, weil sonst durch Null geteilt wird). Nun müssen wir den Grenzwert von   für   bestimmen:

 

Damit ist die Ableitung von   an der Stelle   gleich  , also  . Analog können wir die Ableitung von   an einer beliebigen Stelle   bestimmen:

 

Damit ist die Ableitung der Quadratfunktion an der Stelle   gleich  . Die Ableitungsfunktion von   ist damit die Funktion  .

Beispiel einer nicht differenzierbaren Funktion Bearbeiten

 
Die Betragsfunktion ist an der Stelle   nicht ableitbar.

Beispiel (Betragsfunktion ist nicht differenzierbar)

Wir betrachten die Betragsfunktion   und prüfen, ob sie an der Stelle   ableitbar ist. Hier wählen wir die Folgen  ,   und   mit

 

Diese konvergieren alle gegen  . Nun betrachten wir die Differentialquotienten zu den einzelnen Folgen. Für   ergibt sich:

 

Für   bekommen wir:

 

Für   gilt:

 

Dieser Grenzwert für die Folge   existiert nicht. Wir sehen daher, dass je nach gewählter Folge   der Grenzwert   unterschiedlich ist oder nicht existiert. Damit existiert nach Definition auch nicht der Grenzwert  , womit die Funktion   an der Stelle   nicht ableitbar ist. Die Betragsfunktion besitzt am Nullpunkt keine Ableitung.

Links- und rechtsseitige Ableitung Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Die Ableitung einer Funktion   ist der Grenzwert des Differenzenquotienten   für  . Der Differenzenquotient kann dabei als eine Funktion   aufgefasst werden, die für alle   außer für   definiert ist. Damit handelt es sich beim Grenzwert   um einen Grenzwert einer Funktion.

Die Begriffe „linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert“ können auch für den Differenzenquotienten betrachtet werden. So erhalten wir die Begriffe „linksseitige“ beziehungsweise „rechtsseitige“ Ableitung. Bei der linksseitigen Ableitung werden nur Sekanten links von der betrachteten Stelle evaluiert. Es werden also nur Differenzenquotienten   betrachtet, bei der   ist. Dann wird überprüft, ob diese Differenzenquotienten für den Grenzübergang   gegen eine Zahl konvergieren. Wenn ja, dann ist diese Zahl der linksseitige Grenzwert. Also:

 

Dabei ist   die Schreibweise für die linksseitige Ableitung von   an der Stelle  . Damit dieser Grenzwert Sinn ergibt, muss es mindestens eine Folge   von Argumenten geben, die von links gegen   konvergiert. Es muss also   ein Häufungspunkt der Menge   sein.

Definition (Linksseitige Ableitung)

Sei   eine Funktion und   ein Häufungspunkt der Menge  . Die Zahl   ist die linksseitige Ableitung von   an der Stelle  , wenn gilt

 

Dies ist äquivalent dazu, dass für alle Folgen   aus   mit   und   sowie   gilt

 

Auf analoge Weise kann die rechtsseitige Ableitung folgendermaßen definiert werden:

Definition (Rechtsseitige Ableitung)

Sei   eine Funktion und   ein Häufungspunkt der Menge  . Die Zahl   ist die rechtsseitige Ableitung von   an der Stelle  , wenn gilt

 

Dies ist äquivalent dazu, dass für alle Folgen   aus   mit   und   sowie   gilt

 

Funktionen besitzen an einer Stelle in ihrem Definitionsbereich nur dann einen Grenzwert, wenn sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwer