Faktorraum, Quotientenraum – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Artikel betrachten wir den Faktorraum eines -Vektorraums bezüglich eines Untervektorraums . Wir können uns den Faktorraum als ein Komplement von vorstellen, das unabhängig von jeglichen Wahlen ist.

Der Faktorraum wird auch häufig Quotientenraum genannt.

EinführungBearbeiten

To-Do:

Generell sollte im Folgenden mehrfach das Wort Faktorraum zusammen mit der Notation V/U notiert werden, damit beim Leser eine stärkere Verbindung zwischen beidem entsteht.

  • Wir haben Mengenoperationen auf Vektorräume übertragen
  • Wir kennen bei Vektorräumen schon die Summe zweier Unterräume und den Schnitt zweier Unterräume
  • Beide Konstruktionen sind wieder Vetktorräume
  • Vergleichen wir diese mit den elementaren Mengenoperationen, so entspricht der Schnitt von UVRs dem Schnitt von Teilmengen und die Summe von UVRs der Vereinigung von Teilmengen.
  • Wir kennen noch eine weitere elementare Mengenoperation: Differenz (auch bekannt als "ohne")
  • Haben wir eine Menge A und eine Teilmenge B\subseteq A, dann besteht A\setminus B aus allen Elementen in A, die nicht in B sind
  • Dieses wollen wir jetzt auf UVRs übertragen.
  • D.h. wir suchen einen Vektorraum, der aus V hervorgeht, wenn wir U streichen.
  • Würden wir jetzt wie bei Mengen vorgehen, so würden wir V \setminus U betrachten.
  • Gleichzeitig wollen wir, dass unsere Konstruktion wieder eine Vektorraumstruktur trägt. Das tut V\setminus U im Allgemeinen nicht.
  • Also suchen wir ein VR-Äquivalent von V\setminus U
  • Was macht die "ohne"-Operation bei Mengen aus: Wenn wir V\setminus U und U wieder vereinigen, so erhalten wir V. D.h. V = V\setminus U \cup U. Weiter sind die beiden Mengen V\setminus U und U disjunkt.
  • Wenn wir diese Begriffe in die Welt der Vektorräume übersetzen, so suchen wir W \subseteq V mit zwei Eigenschaften: Wenn wir W und U wieder zusammentun erhalten wir V, dies entspricht der Summe von Vektorräumen, also V = W + U. Disjunktheit von Untervektorräumen entspricht W\cap U = 0. Dies ist genau die direkte Summe, also wollen wir W \subseteq V mit V = W \oplus U.
  • Damit ist W aber genau ein Komplement von  . Das heißt Komplemente sind eine sinnvolle Lösung für unser Problem.
  • Komplemente haben im Gegensatz zu V\setminus U ein Problem: Sie sind nicht eindeutig.
  • Das heißt, wir würden gerne ein basisunabhängiges Komplement konstruieren. Oder zumindest einen VR bauen, der die Vergessensfeatures eines Komplements hat, ohne von der Wahl einer Basis abzuhängen.
  • Das heißt für ein gegebenes Komplement W von U, können wir v \in V zerlegen in einen U-Teil und einen "nicht-U"-Teil. Der "nicht-U"-Teil entspricht dabei dem teil von v in W. Da V = W\oplus U, erhalten wir eine Zerlegung v = v_W + v_U mit v_W \in W und v_U \in U. v_W entspricht dann dem nicht-U-Teil von v.
To-Do:

Bild

  • Wenn wir ein anderes Komplement Z von U wählen, erhalten wir eine zweite Zerlegung von v als v = v'_Z + v'_U mit v'_Z \in Z und v'_U \in U. Diese Zerlegungen sind verschieden, wie man im Bild sieht. Das heißt wir bekommen ein anderes v_W \in V als nicht-U-Teil von v \in V als v'_Z \in V.
  • Also ist eine konkrete Realisierung eines nicht-U-Teils in V nicht kanonisch (TODO: Wort ersetzen) möglich.
  • Wir wollen den nicht-U-Teil in "irgendeinem" (eigentlich wollen wir noch eine Abbildung dahin haben) VR realisieren und zwar auf eine Weise, die nicht von der Wahl eines Komplements abhängt.
  • Das heißt, wir wählen uns wieder ein Komplement W von U. Und suchen nach etwas, das den nicht-U-Anteil unabhängig von W beschreibt.
  • Dafür fragen wir zunächst:
  • Was zeichnet zwei verschiedene Vektoren, die den gleichen nicht-U-Teil in W haben aus? Sie unterscheiden sich nur um ihren U-Teil.
  • Seien v,\tilde v \in V mit gleichem nicht-U-Teil in W, das heißt, wir haben die Zerlegung v = v_W + v_U und \tilde v =\tilde v_W + \tilde v_U mit v_W,\tilde v_W\in W und v_U, \tilde v_U \in U. Dass v und \tilde v den gleichen nicht-U-Teil haben bedeutet, dass v_W = \tilde v_W und sich v und \tilde v nur in v_U und \tilde v_U unterscheiden.
  • Wie können wir v und \tilde v auf diesen Unterschied reduzieren? Wir können sie voneinander abziehen und erhalten v-\tilde v = v_U - \tilde v_U. Das liegt in U!
  • Wir haben also festgestellt: Wenn v und \tilde v den gelichen nicht-U-Teil in W haben, so ist v-\tilde v \in U.
  • Gilt auch die Umkehrung? Ja, denn ... (liegt an Eindeutiger Zerlegung im Komplement)
  • Damit haben wir gezeigt: v und \tilde v haben genau dann den gleichen nicht-U-Teil in W, wenn v-\tilde v \in U liegt.
  • Die eine Seite dieser Charakterisierung ist unabhängig von W, da wir W nicht brauchen um zu überprüfen, ob v-\tilde v \in U erfüllt ist.
  • Die Bedingung, dass v und \tilde v "ohne U" gleich sind genau dann wenn v-\tilde v \in U liegt, ist genau die Gleichheitsbedingung für Nebenklassen von U. Das heißt wir wir haben v und \tilde v "ohne U" gleich sind, bedeutet genau, dass v+U = \tilde v + U in V/U gilt.
  • Damit haben wir eine Menge, die ohne Wahlen "Gleichheit ohne U" realisiert: V/U.
  • Wir haben die Rolle, die Komplemente beim ignorieren von U spielen, ersetzt durch die Menge der Nebenklassen von U. Nun sind Komplemente von Untervektorräumen selber Vektorräume, daher können wir jetzt versuchen auf V/U eine VR-Struktur zu konstruieren. Damit würden wir dann auch unser VR-Ziel des Ignorierens erreichen.
  • Um unser Ziel zu erreichen müssen wir V/U noch eine Vektorraumstruktur geben. Diese sollte der VR-Struktur eines Komplements entsprechen, da wir gerade versuchen diese duch V/U wahlunabhängig zu machen.
  • Erster Ansatz: Nimm Komplement und rechne mit den Repräsentanten. -> liefert kompatible VR-Struktur auf den Nebenklassen. (Bild) (Wir müssen diesen Ansatz wählen, sonst fällt die Wahl der Vektorraumstruktur vom Himmel)
  • Problem/Frage zu ersten Ansatz: Wir wollten mit Nebenklassen und Arbeiten mit nicht-U von Wahlen unabhängig machen. Ist diese Struktur unabhängig von der Wahl eines Komplements?
  • Antwort: Ja. ggf. kurze Begrüngung warum (die Nebenklassen hängen auch schon nicht vom Komplement ab) (Bild)
  • Haben Nerviges Detail: Für die Addition von Vektoren müssen wir immer noch mit Komplementen arbeiten. Können wir diese auch komplett loswerden - ohne die bisherige schöne Struktur zu verändern/verlieren?
  • Antwort: Ja. Das was wir eigentlich gemacht haben, ist die Rechnung auf Repräsentanten auszuführen. -> Diese Rechnung ist aber von der Wahl eines Komplements vollkommen unabhängig. (Bild)

DefinitionBearbeiten

Wir wollen nun die Vektorraumstruktur auf   formal definieren. Wie wir in der Einleitung gesehen haben, induzieren wir die Addition und Skalarmultiplikation auf   aus der Addition und Skalarmultiplikation auf  . Induzieren bedeutet, dass wir die „alte“ Operation von   benutzen, um die „neue“ Operation auf   zu definieren. Dies machen wir auf die einfachste Weise, die uns einfällt. Solche Definitionen erlauben es häufig, Eigenschaften der alten Struktur auf die neue Struktur zu übertragen. In unserem Fall werden wir gleich sehen, dass wir die Vektorraumaxiome für   zeigen können, indem wir diese auf die Vektorraumaxiome für   zurückführen.

In der Einleitung haben wir die einfachste Weise, auf   eine Addition und Skalarmultiplikation zu definieren bereits gesehen: Wir führen alle Rechnungen mit Repräsentanten der Nebenklasse durch. Das heißt, um die Ergebnis der Rechnung   zu finden, nehmen wir uns die Repräsentanten   und  . Diese addieren wir jetzt in   und erhalten  . Dies liefert einen Repräsentanten der Ergebnis-Nebenklasse. Das heißt, das Ergebnis dieser Addition ist  . Analoges geschieht bei der Skalarmultiplikation.

Um die Addition und Skalarmultiplikation auf   von der auf   zu unterscheiden, schreiben wir für diese zunächst „ “ und „ “. Später werden wir dann – wie gewohnt – „ “ und „ “ schreiben.

Definition (Faktorraum bzw. Quotientenraum)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Untervektorraum von   und

 

die Menge der Nebenklassen von   in  . (Dieser Begriff stammt aus der Gruppentheorie.) Weiter seien  .

Wir definieren die Addition in   durch:

 

Analog definieren wir die skalare Multiplikation auf   als:

 

Wohldefiniertheit der Operationen im FaktorraumBearbeiten

Wir wollen prüfen, ob die Operationen von   und   von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind.

To-Do:

Hier ggf Grafik im ℝ² einfügen, die das verdeutlicht+ genauer erklären warum diese Gleichungen gelten

Satz (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Untervektorraum. Dann sind die Addition in und skalare Multiplikation auf   wohldefiniert.

Beweis (Wohldefiniertheit der Operationen im Quotientenraum)

Für die Wohldefiniertheit müssen wir folgenden zeigen: Wenn wir in der Definition unterschiedliche Repräsentanten derselben Nebenklasse einsetzen, erhalten wir das gleiche Ergebnis. Mathematisch bedeutet dies, dass wir Folgendes zeigen müssen:

  • Für  : Sind   und  , so ist  .
  • Für  : Sind   und  , so ist  .

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der Addition

Für die Addition müssen wir, wie bei den Nebenklassen, zeigen, dass   gilt. Wegen   ist dies äquivalent dazu, dass  . Nun repräsentieren   und   bzw.   und   die jeweils gleiche Nebenklasse modulo  . Also ist  . Da   Untervektorraum von   ist, folgt  . Also ist die Definition von   unabhängig von der Wahl der Repräsentanten.

Beweisschritt: Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation

Die Wohldefiniertheit der skalaren Multiplikation   sehen wir genauso: Wir müssen in obiger Notation zeigen, dass   gilt. Da   und   die gleiche Nebenklasse modulo   repräsentieren, ist per Definition von Nebenklassen  . Weil   ein Untervektorraum ist, gilt folglich  . Also ist die skalare Multiplikation unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.

Beweis der VektorraumaxiomeBearbeiten

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein  -Vektorraum ist, indem wir die Axiome für   auf die für   geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen  -Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

Aufgabe (Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Untervektorraum, dann ist   mit den oben definierten Verknüpfungen ein  -Vektorraum

Lösung (Nachweis der Vektorraumaxiome im Faktorraum)

Beweisschritt: Eigenschaften der kommutativen, additiven Gruppe (auch abelsche Gruppe genannt)

Wir betrachten als erstes die Eigenschaften der Addition. Dafür seien  .

1. Assoziativität:

Wir führen zurück auf die Assoziativität in  

 


2. Kommutativivät

Auch die Kommutativität führen wir zurück auf die in  

 


3. Existenz des neutralen Elements

Da wir Verschiebungen von   betrachten, sollte   (als Nebenklasse  ), das neutrale Element bezüglich der Addition sein. Wir führen zurück auf die Neutralität von   in  :

 

4. Existenz inverser Elemente

Wir betrachten die Nebenklasse  . Für das zu   inverse Element   muss gelten:

 

Die Addition eines Elements mit seinem Inversen liefert also das neutrale Element  .

Wir führen das Inverse von   auch wieder zurück auf Inverse in  . Sei   ein Repräsentant von  ,   sein Inverses in  . Dann gilt:

 

Das zu   inverse Element ist also  .

Beweisschritt: Distributivgesetze

1. Skalares Distributivgesetz

Für die Multiplikation eines Vektors (im Faktorraum also einer Nebenklasse) mit der Summe von Skalaren gilt:

 

2. Vektorielles Distributivgesetz

Genauso können wir zeigen, dass auch das Distributivgesetz für die Multiplikation eines Skalars mit der Summe zweier Vektoren (d.h. im Faktorraum Nebenklassen) gilt:

 

Beweisschritt: Eigenschaften der Skalarmultiplikation

Wir zeigen jetzt, dass die skalare Multiplikation von Nebenklassen auch die entsprechenden Vektorraumaxiome erfüllt, wieder durch Zurückführung auf die entsprechenden Eigenschaften der skalaren Multiplikation in  . Dazu seien   und  . Dann gelten folgende Axiome:

1. Assoziativgesetz für Skalare

Die skalare Multiplikation ist assoziativ, da

 

gilt.

2. Neutrales Element der skalaren Multiplikation

Wir wollen nachweisen, dass   auch für   das neutrale Element ist. Das heißt es muss   gelten. Mit Zurückführung auf die Neutralität von 1 in   erhalten wir: Wegen   ist

 

Also ist   das neutrale Element der skalaren Multiplikation und   ein  -Vektorraum.

BeispieleBearbeiten

SatellitenbilderBearbeiten

Beispiel (Satellitenbilder)

 
Skyline von New York

Wir stellen uns vor, dass wir auf einem Aussichtspunkt in New York stehen, von dem aus wir die Skyline betrachten. In dieser Situation sehen wir unsere Umgebung dreidimensional. In einigen Fällen, beispielsweise bei der Erstellung von Karten, wollen wir die Umwelt bewusst zweidimensional darstellen. Dies geschieht unter anderem bei Satellitenbildern. Hier sehen wir eine solche Satellitenaufnahme von New York.


Wenn wir eine Karte beziehungsweise ein Satellitenbild erstellen wollen, müssen wir die zusätzlichen Informationen, welche in der dritten Dimension stecken, in zwei Dimensionen einbetten. Wir überlegen uns nun, wie das gelingen kann. Dafür schauen wir uns zum Beispiel die Kante eines Hochhauses an. Auf dem Schrägbild erkennen wir, dass eine Kante in etwa 180 Meter senkrecht in die Luft ragt. Im Satellitenbild hingegen sehen wir die Kante lediglich als einen Bildpunkt. Dieser Bildpunkt kommt zustande, indem alle Punkte der Kante des Hochhauses auf diesen Punkt abgebildet werden. Analog erhalten wir alle anderen Punkte des Satellitenbildes.

Mathematisch können wir uns das Erstellen eines Satellitenbildes als Reduktion einer Dimension eines dreidimensionalen Raumes zu einem zweidimensionalen Raum vorstellen. Dies gelingt uns durch Entfernen der  - Achse. Alle Punkte, die auf derselben Gerade parallel zur  - Achse liegen, werden dabei auf einen Punkt abgebildet. Diese Punkte nennen wir gleichwertig und fassen sie in einer Klasse zusammen.

Beispiel im endlichen VektorraumBearbeiten

Bis jetzt haben wir uns nur anschauliche Beispiele angeschaut. In unserem letzten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns noch ein etwas abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Beispiel (Quotientenraum in  )

Im Vektorraum-Artikel haben wir gesehen, wie wir uns   als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen können. Mit der gleichen Methode können wir uns   ebenfalls als Gitterpunkte auf einem Torus vorstellen:

Einen Torus erhalten wir aus einem Quadrat durch Verkleben der Kanten wie folgt:

 
Eine Ebene zu einem Torus verkleben

Das heißt, wir können einen Torus mit einem Quadrat identifizieren, bei dem man, wenn man über eine Kante läuft, auf der gegenüberliegenden Seite wieder heraus kommt. Damit erhalten wir   folgendermaßen: Auf obigem Torus zeichnen wir neun Punkte in Gitterform ein. Wir erhalten dann das folgende Bild:

Der von   erzeugte Unterraum  , entspricht einer diskreten Gerade. Diese legen wir durch obige Punke.

Wir haben nun auf zwei verschiedenen Seiten direkt neben der Geraden punkte Liegen. Wir haben Punkte, die direkt rechts neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um   von der Geraden verschoben. Weiter haben wir Punkte, die direkt links neben der Geraden liegen; das heißt sie sind um   von der Geraden verschoben. Im Bild sieht das so aus:

Wir erhalten folgende Relationen zwischen den Punkten:

  1. Wenn wir einen direkt linken Punkt und einen direkt rechten Punkt addieren erhalten wir einen Punkt auf der Geraden: Zum Beispiel ist  .
  2. Wenn wir zwei direkt linke Punkte addieren, erhalten wir einen direkt rechten Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Wir haben zum Beispiel  .
  3. Wenn wir zwei direkt rechte Punkte addieren, erhalten wir einen direkt linken Punkt, da wir über eine Verklebestelle gehen: Beispielsweise ist  .

Wenn wir die Nebenklassen von   bilden, so können wir beobachten, dass zwei Punkte genau dann gleich um die Gerade liegen, wenn sie in der gleichen Nebenklasse sind. Ferner können wir sehen, dass unsere Relationen zwischen den Punkten genau der Addition in   entspricht. Somit haben wir mit diesen Positionen um die Gerade und obigen Relationen den Faktorraum   vollständig beschrieben.

Zusammenhang Faktorraum und KomplementBearbeiten

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Unterrraum. Wir wählen nun für jede Nebenklasse in   einen Repräsentanten  . Dann können wir einen beliebigen Vektor   in eindeutiger Weise als einen Vektor in   schreiben: Für die Nebenklasse   haben wir einen Repräsentanten   gewählt. Da   und   in der gleichen Nebenklasse liegen ist  . Das heißt wir können   als   darstellen. Dies ist eine bijektive Zuordnung: Indem wir ein Element   das Element   zuordnen erhalten wir eine inverse Zuordnung.

Insgesamt können wir   nach der Wahl eines Repräsentantensystems von   als die konstruierte direkte Summe   auffassen. Diese Identifikation ist im Allgemeinen nicht mit der Vektorraumstruktur von   und   verträglich. Da diese Identifikation von der Wahl eines Repräsentantensystems abhängt, können wir uns die Frage stellen, ob wir ein Repräsentantensystem finden können, für welches diese Identifikation mit den Vektorraumstrukturen beider Räume verträglich ist. Die Antwort auf diese Frage führt zu einem Zusammenhang zwischen dem Faktorraum und dem Komplement:

Satz (Isomorphismus zum Komplement)

Sei   ein Komplement von   in  . Dann gibt es einen linearen Isomorphismus zwischen dem Quotientenraum   und  .

Beweis (Isomorphismus zum Komplement)

Wir betrachten die Projektion  . Wir wollen zeigen, dass diese eine Bijektion ist, die mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich ist.

Beweisschritt: Surjektivität von  

Sei  . Da   ein Komplement zu   ist, finden wir   und   mit  . Dann gilt

 

Also ist   surjektiv.

Beweisschritt: Injektivität von  

Seien   mit  . Wir wollen zeigen, dass   gilt. Da   und   in der gleichen Nebenklasse liegen, ist  . Nun liegt  . Das heißt, es gilt  , da   ein Komplement zu   ist.

Beweisschritt: Verträglichkeit mit der Addition und skalaren Multiplikation

Da   ein Unterraum ist und die Skalarmultiplikation und Addition auf Repräsentanten definiert ist, ist   mit Addition und skalarer Multiplikation verträglich. Das heißt es gilt für   und  

 

sowie

 

Das heißt, durch die Wahl eines Komplements erhalten wir ein Repräsentantensystem von  , das mit der Vektorraumstruktur von   verträglich ist. Dies ist für konkrete Rechnungen sinnvoll. Mit diesem Repräsentantensystem ist die Identifikation von   mit   mit der Addition verträglich. Auf diese Weise stellt der Faktorraum ein von Wahlen unabhängiges Komplement von   in   dar. Dennoch können wir ein Komplement nicht unabhängig von Wahlen in   realisieren. Daher hängt obige Identifikation immer noch von der Wahl eines Komplements als Repräsentantensystem ab. In gewisser Weise ist   das abstrakte Komplement und jede Wahl eines Komplements in   eine Realisierung dieses in  .