Nebenklassen eines Unterraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung Nebenklasse bzw. affiner UnterraumBearbeiten

Geraden im  Bearbeiten

Jeder kann etwas mit dem Begriff einer Gerade anfangen. Doch wie beschreiben wir eine Gerade im   mathematisch? Aus der Schule ist bekannt, dass man Geraden durch   parametrisieren kann, wobei   zwei feste Vektoren sind und   alle Werte in   annimmt. Das heißt, dass alle Punkte auf der Geraden die Menge   bilden. Geometrisch beschrieben ist das die (unendlich lange) Gerade, die durch   in Richtung von   verläuft.

Im Allgemeinen verläuft so eine Gerade nicht durch den Ursprung  . Somit ist   kein Untervektorraum des  , da per Definition jeder Untervektorraum den Ursprung enthält. Allerdings ist die Gerade   eine Verschiebung der Gerade   um den Vektor  , wobei   eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft und damit ein Untervektorraum ist. Das heißt, jede Gerade ist durch die Wahl eines (ein-dimensionalen) Untervektorraums   und eines Vektors   gegeben. Das rechtfertigt die Notation  . Diese Notation kann man auch formalisieren:

Sei für einen Untervektorraum   und einen Vektor   die Menge   definiert durch  . Dann gilt für die oben definierten Mengen   und  , dass  .

Ebenen im  Bearbeiten

Erhöhen wir die Dimension und schauen uns den   an. Die Geraden können wir analog beschreiben. Jede ist eine Verschiebung einer Gerade durch den Ursprung um einen Vektor  . Formal ist also wieder jede Gerade von der Form   für einen Vektor   und einen ein-dimensionalen Untervektorraum  .

Wie sieht es mit den Ebenen im   aus? Diese parametrisiert man durch  , wobei   feste Vektoren sind und   alle Werte in   annehmen. Wie im Fall der Geraden ist die Ebene   im Allgemeinen kein Untervektorraum, aber eine Verschiebung des Untervektorraums   um  . Es gilt also analog, dass jede Ebene durch einen zwei-dimensionalen Untervektorraum und einen Vektor gegeben ist und dass  .

Geraden in  Bearbeiten

Jetzt noch ein Beispiel eines komplizierteren Vektorraums, nämlich  . Auch hier können wir Geraden als verschobene eindimensionale Untervektorräume definieren. In diesem Beispiel ist eine Gerade also nicht mehr durch die klassisch geometrische Vorstellung gegeben, aber algebraisch analog definiert. Zum Beispiel ist   ein Untervektorraum, also eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Diese können wir beliebig verschieben. So erhalten wir zum Beispiel die Gerade  . In diesem Fall besteht eine Gerade aus nur   Punkten. Bei uns ist  .

Wir haben jetzt in verschiedenen Vektoräumen geometrische Objekte (z.B. Geraden und Ebenen) als verschobene Untervektorräume charakterisiert. Diesen wollen wir jetzt einen besonderen Namen geben.

Definition Nebenklasse bzw. affiner UnterraumBearbeiten

Definition (Affiner Unterraum bzw. Nebenklasse)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Untervektorraum von  , also  . Weiter sei  . Dann nennen wir die Menge   den von   erzeugten affinen Unterraum bzgl.   oder auch die von   erzeugte Nebenklasse bzgl.  .

Herleitung der Menge der Nebenklassen eines UnterraumsBearbeiten

  • Bsp im \R^2: zwei verschiedene Verschiebungen, die zum gleichen affinen Unterraum führen (Bild)

Das obige Beispiel zeigt, dass verschiedene Verschiebungen eines Unterraums zum gleichen affinen Unterraum führen können. Wir stellen uns also folgende Frage:

Wann sind zwei verschobene Unterräume   und   gleich?

Stellen wir uns das Ganze zunächst im   vor, wobei beide verschobenen Unterräume Geraden sind. Wenn sie gleich sind, haben sie die gleiche Steigung. Diese charakterisiert die durch   gehenden Geraden   und  . Es folgt, dass   und   gleich sein müssen.

Betrachten wir die Frage jetzt für allgemeine Vektorräume. Seien also   ein Vektorraum,   Untervektorräume,   Vektoren und sei  . Wir würden gerne (wie im  ) zunächst folgern können, dass  . Dazu wäre es schön   aus   zu bekommen. Wir können dafür einfach von jedem Vektor in   den Vektor   abziehen. Wir erhalten

 

Da   ein Untervektorraum ist, gilt  . Die obige Gleichung impliziert also  , d.h. es gibt ein  , sodass  , also  . Insbesondere ist  .

Es gilt allgemein für jeden Untervektorraum   und Vektor  , dass   ist. Das liegt daran, dass man jedes   schreiben kann als  . Geometrisch kann man sich das Ganze auch so vorstellen, dass man den Untervektorraum   in eine Richtung verschiebt in der er schon liegt, er sich (als Menge) also nicht ändert.

Zurück zu unserer ursprünglichen Frage: Da   gilt, folgt, dass  . Insgesamt erhalten wir also das Gewünschte  . Unterwegs haben wir zudem gesehen, dass   auch ein notwendiges Kriterium ist, damit   gilt.

Sind diese Kriterien auch hinreichend? Ja, denn: Angenommen wir haben   und   mit   und   gegeben, dann gilt   und damit durch Addition mit   auf beiden Seiten auch  .

Fassen wir zusammen: Zwei verschobene Untervektorräume   sind genau dann gleich, wenn die (nicht verschobenen) Untervektorräume gleich sind, also  , und die Differenz der Verschiebungen in   liegen, d.h.  .

Haben wir einen Untervektorraum gegeben, können wir nun herausfinden, ob zwei Verschiebungen um   bzw.   den gleichen affinen Unterraum ergeben. Wir können damit eine Art "neue Gleichheit" konstruieren, indem wir   und   als "gleich" betrachten, wenn sie den gleichen affinen Unterraum geben. Solche neuen Gleichheiten verhalten sich vernünftig, wenn sie Äquivalenzrelationen sind.

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

  • reflexiv
  • symmetrisch
  • transitiv

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente   und   äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation   sind, schreibt man oft   oder einfach  .

Um die oben angesprochene "neue Gleichheit" formal hinzuschreiben, definieren wir uns eine Relation  , die durch   gegeben ist. Intuitiv sollte unsere Relation eine Äquivalenzrelation sein, da sie besagt wann zwei verschobene Untervektorräume gleich sind. Das überprüfen wir nun formal:

Satz (  ist eine Äquivalenzrelation)

Die Relation   definiert über   ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Wie kommt man auf den Beweis? (  ist eine Äquivalenzrelation)

To-Do:

schreiben

Beweis (  ist eine Äquivalenzrelation)

Beweisschritt: Reflexivität

Da   ein Untervektorraum ist, gilt  , also ist für einen beliebigen Vektor    . Nach Definition der Relation gilt damit   für alle  .

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus   die dazu symmetrische Beziehung   folgt. Sei also  . Somit ist  . Da   ein Untervektorraum ist, ist   abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch  . Dies ist gleichbedeutend mit  . Also gilt  .

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus   und   die Beziehung   folgt. Seien dafür  , also  , und  , also  . Da   ein Untervektorraum ist, ist   abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch  . Weil   gilt, ist also   und damit  .

Wir können nun die Äquivalenzklassen dieser Relation betrachten, das heißt zu   die Menge  . Die Menge   besteht also aus allen Vektoren  , die   zu dem gleichen affinen Unterraum   verschieben. Wie können wir diese Äquivalenzklassen noch charakterisieren? Es gilt:

 

Das heißt die Äquivalenzklassen unserer Relation sind genau die Nebenklassen.

Genauso wie wir zu einer Äquivalenzrelation ihre Äquivalenzklassen betrachten können, können wir auch einen Raum konstruieren, in dem die "neue Gleichheit" der Äquivalenzrelation eine echte Gleichheit wird. Dies ist die Menge der Äquivalenzklassen, der wir jetzt einen besonderen Namen geben wollen.

Definition der Menge der Nebenklassen eines UnterraumsBearbeiten

To-Do:

Definition zu Menge der Nebenklassen umbauen.

Definition (Menge der Nebenklassen eines Unterraums)

Sei   ein  -Vektorraum und   ein Untervektorraum von  , also  . Weiter seien  . Definiere  . Dann ist   eine Äquivalenzrelation auf   und die Äquivalenzklasse zu einem Element   die Menge  . Diese nennen wir die von   erzeugte Nebenklasse bezüglich  .

To-Do:

Hinweis Ergänzen: Wann spricht man von Nebenklassen und wann von affinem Unterraum.

Beispiele für NebenklassenBearbeiten

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante   befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die  ,  ,  - Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die  - - Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach   ist somit:

 

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr  -Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der  -Vektorraum  . Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungen, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in   aus auf dieselbe Ebene parallel zur  - -Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die  - -Ebene ein Untervektorraum   des   ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der  - Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.

Beispiel (Finanzen: Veränderung der Bilanz von zwei Konten)

Nehmen wir an, jede Person würde immer genau zwei Bankkonten besitzen. Nun wollen wir wissen, wie viel Geld jede Person insgesamt hat. Also interessiert uns die Summe aller Gelder, die jede Person auf ihren Bankkonten hat. Wir betrachten die zwei Bankkonten, die Anna besitzt. In diesen hat sie Beträge von   bzw.   angespart. Anna hat insgesamt Geld im Wert von  .

Betrachten wir jetzt zwei Personen, Emma und Fritz. Emma besitzt in ihren Konten  . Fritz hat in seinen Konten  . Emma und Fritz haben also genau dann gleich viel Geld, wenn gilt  . Wir nennen wir die Paare an Konten   und   äquivalent, wenn gleich viel Geld auf ihnen liegt, also wenn gilt  .

Mit dieser Definition sind zum Beispiel folgende Paare an Konten äquivalent:

 

Das liegt daran, dass  .

Die zwei Konten von Emma und Fritz sind also äquivalent, wenn  . Das ist gleichbedeutend mit  . Wir definieren den Unterschied der Vektoren   und   durch

 

Die Vektoren   und   sind genau dann äquivalent, wenn gilt  .

Anders ausgedrückt, die Summe der Gelder aus zwei Konten ist durch die folgende lineare Abbildung gegeben:

 

Somit ist der Kern von   die Menge an Paaren von Konten, deren Summe Null ist. Also sind zwei Paare von Konten äquivalend, wenn sie sich nur durch einen Vektor aus   unterscheiden. Den Kern von   können wir weiter umformen:

 

Die Äquivalenzklassen bezüglich der Summe der Kontostände sind also genau die Nebenklassen modulo dem Untervektorraum  . Alle Nebenklassen sind von der Form

 

mit  .

Wir können uns das auch so vorstellen: Wir wollen die summierte Bilanz der zwei Konten betrachten. Dabei geht Information verloren. Wir wissen zwar nach wie vor, wie viel Geld eine Person insgesamt besitzt, aber nicht mehr, wie sich das Geld auf die beiden Konten verteilt.

To-Do:

“Abstraktes” Beispiel, mögl. in endlichem Körper, das aber sinnvoll ist um wieder Eigenschaften der Nebenklassen darin zu erkennen.

Eigenschaften von Äquivalenzklassen angewendet auf NebenklassenBearbeiten

  • Wir haben oben schon gesehen, dass in   die Nebenklassen verschobene parallele Geraden sind
  • Dass die Objekte parallel sind kann man auch durch die Äquivalenzklassen erklären:
    • Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt
    • das heißt die Geraden sind gleich oder, wenn sie nicht gleich sind, haben sie keinen Schnittpunkt. Sie sind also parallel
  • Die Äquivalenzklassen decken den ganzen VR ab. Wenn wir alle Äquivalenzklassen vereinigen, erhalten wir den ganzen Vektorraum
  • alle Geraden zusammen decken den ganzen Raum ab.
  • Insgesamt gilt also: der VR ist die Vereinigung der Nebenklassen und verschiedene Nebenklassen sind disjunkt
  • Wir können den VR in die Nebenklassen zerlegen. Diese Zerlegung nennt man auch Partition
  • Die Nebenklassen partionieren den Raum
  • Diese Zerlegung funktioniert auch allgemein, nicht nur im  
    • Äquivalenzklassen sind entweder gleich oder disjunkt   wenn sich Nebenklassen schneiden sind sie schon gleich
    • alle Nebenklassen zusammen ergeben den gesamten Vektorraum.

AusblickBearbeiten

To-Do:

Die Lösung von Gleichungssystemen bilden Nebenklassen. Schreiben sobald ein Artikel zu Lösungen von Gleichungssystemen fertig ist.