Nebenklassen eines Unterraums – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Herleitung Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Geraden im $\mathbb {R} ^{2}$

Wahrscheinlich kennst du schon den Begriff der Gerade. Doch wie beschreiben wir eine Gerade im $\mathbb {R} ^{2}$ mathematisch? Aus der Schule ist bekannt, dass man Geraden durch $v+tu$ parametrisieren kann, wobei $v,u\in \mathbb {R} ^{2},u\neq 0$ zwei feste Vektoren sind und $t$ alle Werte in $\mathbb {R}$ annimmt. Das heißt, dass alle Punkte auf der Geraden die Menge $G:=\{v+tu\mid t\in \mathbb {R} \}$ bilden. Geometrisch beschrieben ist das die (unendlich lange) Gerade, die durch $v$ in Richtung von $u$ verläuft.

Eine affine Gerade wird durch den Stützvektor v und den Richtungsvektor u beschrieben.

Im Allgemeinen verläuft so eine Gerade nicht durch den Ursprung $(0,0)$. Somit ist $G$ kein Untervektorraum des $\mathbb {R} ^{2}$, da per Definition jeder Untervektorraum den Ursprung enthält. Allerdings ist die Gerade $G$ eine Verschiebung der Gerade $U:=\{tu\mid t\in \mathbb {R} \}$ um den Vektor $v$. Hier ist $U$ eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Diese ist ein Untervektorraum, da sie den Ursprung enthält und unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist. Das heißt, jede Gerade ist durch die Wahl eines (ein-dimensionalen) Untervektorraums $U\subset \mathbb {R} ^{2}$ und eines Vektors $v\in \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Das rechtfertigt die Notation $G=v+U$. Diese Notation kann man auch formalisieren:

Sei für einen Untervektorraum $W$ und einen Vektor $v$ die Menge $v+W$ definiert durch $v+W:=\{v+w\mid w\in W\}$. Dann gilt für die oben definierten Mengen $G$ und $U$, dass $G=\{v+tu\mid t\in \mathbb {R} \}=\{v+w\mid w\in U\}=v+U$ ist.

Ebenen im $\mathbb {R} ^{3}$

Erhöhen wir die Dimension und schauen uns den $\mathbb {R} ^{3}$ an. Eine Gerade können wir analog als die Menge $G:=\{v+tu\mid t\in \mathbb {R} \}$ mit Vektoren $v$ und $u\in \mathbb {R} ^{3},u\neq 0$ beschreiben. Diese ist eine Verschiebung einer Gerade durch den Ursprung um einen Vektor $v$. Formal ist also wieder jede Gerade von der Form $v+U$ für einen Vektor $v\in \mathbb {R} ^{3}$ und einen ein-dimensionalen Untervektorraum $U\subset \mathbb {R} ^{3}$.

Wie sieht es mit den Ebenen im $\mathbb {R} ^{3}$ aus? Diese parametrisiert man durch $v+t_{1}u_{1}+t_{2}u_{2}$, wobei $v,u_{1},u_{2}\in \mathbb {R} ^{3}$ feste Vektoren sind und $t_{1},t_{2}$ alle Werte in $\mathbb {R}$ durchlaufen. Die Vektoren $u_{1}$ und $u_{2}$ dürfen keine skalaren Vielfachen voneinander sein – sonst würden wir eine Gerade bekommen. Alle Punkte auf der Ebene bilden die Menge $E:=\{v+t_{1}u_{1}+t_{2}u_{2}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \}$. Wie im Fall der Geraden ist die Ebene $E$ im Allgemeinen kein Untervektorraum, da der Ursprung nicht in $E$ liegen muss. Jedoch ist die Ebene eine Verschiebung des Untervektorraums $U:=\{t_{1}u_{1}+t_{2}u_{2}\mid t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \}$ um den Vektor $v$. Es gilt also analog, dass jede Ebene durch einen zwei-dimensionalen Untervektorraum und einen Vektor gegeben ist, also dass $E=v+U$ ist.

Eine affine Ebene wird durch den Stützvektor v und den Richtungsvektoren u_1 und u_2 beschrieben.

Geraden in $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$

Wir können uns auch bestimmte Geraden in einem komplizierteren Raum ansehen: Wir betrachten den $\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$-Vektorraum $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$. Im Artikel Vektorraum haben wir schon gesehen, dass wir uns diesen Vektorraum als regälmäßige Punkte auf einem Torus vorstellen können. Was ist nun eine "Gerade" auf diesem Torus? Wir haben in den vorangegangenen zwei Abschnitten gesehen, wie wir Geraden in den Vektorräumen $\mathbb {R} ^{2}$ und $\mathbb {R} ^{3}$ beschreiben können: Dort ist eien Gerade das gleiche wie eine Menge $G=\{v+tu\mid t\in \mathbb {R} \}$ mit einem Stützvektor $v$ und einem Richtungsvektor $u$. In anderen Worten ist es die Menge $G=v+U$, wobei $U=\{tu\mid u\in \mathbb {R} \}$ ein eindimensionaler Unterraum ist. Diese Konstruktion können wir auf $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$ übertragen, das heißt wir können eine Gerade betrachten als $G=v+U$, wo $U$ ein eindimensionaler Unterraum von $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$ ist. Das heißt $G$ ist von der Form $G=\{v+tu\mid t\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} \}$. Wir können diese Menge auf einem Torus visualisieren:

Punkte einer affinen Gerade in (Z/5Z)^2 auf einem Torus

Die Punkte scheinen auf einer Linie zu liegen. Wenn wir die Punkte jeweils auf die kürzeste Weise verbinden, so erhalten wir eine geschlossene Linie, die sich wie eine Gerade auf dem Torus anfühlt.

Punkte einer affinen Gerade in (Z/5Z)^2 auf einem Torus, verbunden durch eine Linie

Damit entsprechen auch hier verschobene eindimensionale Untervektorräume Geraden.

Wir betrachten noch ein Beispiel einer Gerade in $(\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$. Wir haben den eindimensionalen Untervektorraum $U:=\{n(1,1)\mid n\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} \}$. Diesen verschieben wir um den Vektor $(2,0)\in (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{2}$. So erhalten wir die Gerade $G:=(2,0)+U$. Hier besteht eine Gerade aus nur fünf Vektoren. Bei uns ist $G=\{(2,0),(3,1),(4,2),(0,3),(1,4)\}$.

Wir haben in verschiedenen Vektoräumen geometrische Objekte (z.B. Geraden und Ebenen) als verschobene Untervektorräume charakterisiert. Diesen wollen wir jetzt einen Namen geben.

Definition Nebenklasse bzw. affiner Unterraum

Definition (Affiner Unterraum bzw. Nebenklasse)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$, also $U\subseteq V$. Weiter sei $v\in V$. Dann nennen wir die Menge $v+U:=\{v+u\mid u\in U\}$ den von $v$ erzeugten affinen Unterraum bzgl. $U$ oder auch die von $v$ erzeugte Nebenklasse bzgl. $U$.

Hinweis

Aus der Schule ist dir vermutlich noch die Darstellung von Geraden und Ebenen in der Parameterform bekannt. Eine Gerade kann man mit folgender Formel beschreiben

$g\colon \quad {\vec {x}}={\vec {p}}+\lambda {\vec {u}}$

Wir nutzen hier folgende Notation: Für einen Punkt $a$ ist ${\vec {a}}$ immer der Ortsvektor zu diesem Punkt. Also ist ${\vec {p}}$ der Ortsvektor zum Punkt $p$, ${\vec {u}}$ ist der Ortsvektor zu $u$ und ${\vec {x}}$ ist der Ortsvektor zum Punkt $x$. Die Formel beschreibt, wann ein Punkt $x$ auf der Gerade $g$ liegt. Das gilt, wenn sein Ortsvektor ${\vec {x}}$ sich als Summe des Stützvektors ${\vec {p}}$ und einer Skalierung des Richtungsvektors ${\vec {u}}$ schreiben lässt.

Haben wir obige Gerade $g$ in $\mathbb {R} ^{3}$ können wir sie auch als eine Nebenklasse $v+U$ beschreiben. Wir haben $g$ und damit den Stützvektor ${\vec {p}}$ und den Ortsvektor ${\vec {u}}$ gegeben. Damit können wir den Vektor $v$ und den Untervektorraum $U$ wie folgt wählen:

${\begin{aligned}&v:={\vec {p}}\\&{\text{und}}\\&U:=\left\{\lambda {\vec {u}}\mid \lambda \in \mathbb {R} \right\}\end{aligned}}$

Also ist $v$ wie ein Stützvektor und der Untervektorraum $U$ ist die Gerade durch den Ursprung in Richtung des Richtungsvektors ${\vec {u}}$.

Herleitung der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

Wir haben Nebenklassen als Verschiebungen von Unterräumen definiert. Betrachten wir das folgende Beispiel einer Verschiebungen eines Unterraums $U$ des $\mathbb {R} ^{2}$ um zwei verschiedene Vektoren $v$ und $v'$:

Verschiedene Verschiebungen eines Unterraums, die zum gleichen affinen Unterraum führen

Im obigen Beispiel sehen wir, dass verschiedene Verschiebungen eines Unterraums zum gleichen affinen Unterraum führen können. Wir stellen uns also folgende Frage:

Wann sind zwei verschobene Unterräume $v+U$ und $v'+U'$ gleich?

Stellen wir uns das Ganze zunächst im $\mathbb {R} ^{2}$ vor, wobei beide verschobenen Unterräume Geraden sind. Wenn sie gleich sind, haben sie die gleiche Steigung. Diese charakterisiert die durch den Ursprung gehenden Geraden $U$ und $U'$. Es folgt, dass $U$ und $U'$ gleich sein müssen.

Betrachten wir die Frage jetzt für allgemeine Vektorräume. Seien also $V$ ein Vektorraum, $U,U'\subseteq V$ Untervektorräume, $v,v'\in V$ Vektoren und gelte $v+U=v'+U'$ als Mengen. Wir würden gerne (wie im $\mathbb {R} ^{2}$) zunächst folgern, dass $U=U'$. Dazu wäre es schön $U$ aus $v+U$ zu bekommen. Wir können aber von jedem Vektor in $v+U$ den Vektor $v$ abziehen, um $U$ zu erhalten. Dann können wir $U$ wie folgt umformen:

${\begin{aligned}U&=\{w-v\mid w\in v+U\}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ v+U=v'+U'\right.}\\&=\{w-v\mid w\in v'+U'\}\\&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ w\in v'+U'\iff \exists u'\in U':w=v'+u'\right.}\\&=\{v'+u'-v\mid u'\in U'\}\\&=(v'-v)+U'\end{aligned}}$

Da $U$ ein Untervektorraum ist, gilt $0\in U$. Die obige Gleichung impliziert also $0\in (v'-v)+U'$, d.h. es gibt ein $u'\in U'$, sodass $(v'-v)+u'=0$, also $v'-v=-u'$. Insbesondere ist $v'-v\in U'$.

Es gilt allgemein für jeden Untervektorraum $W$ und Vektor $w\in W$, dass $w+W=W$ ist. Das liegt daran, dass man jedes $w'\in W$ schreiben kann als $w'=w+(w'-w)$. Da $w'-w\in W$ ist, gilt $w'\in w+W$. Geometrisch kann man sich das Ganze auch so vorstellen: Verschiebt man den Untervektorraum $W$ in eine Richtung, in der er schon liegt, ändert er sich (als Menge) nicht.

Zurück zu unserer ursprünglichen Frage: Da $v'-v\in U'$ gilt, folgt, dass $(v'-v)+U'=U'$. Insgesamt erhalten wir also das Gewünschte $U=U'$. Unterwegs haben wir zudem gesehen, dass $v'-v\in U'=U$ auch ein notwendiges Kriterium ist, damit $v+U=v'+U'$ gilt.

Sind diese Kriterien auch hinreichend? Ja, denn: Angenommen wir haben $v,v'\in V$ und $U,U'\subset V$ mit $U=U'$ und $v'-v\in U'=U$ gegeben, dann gilt $U=U'=(v'-v)+U'$ und damit durch Addition mit $v$ auf beiden Seiten auch $v+U=v'+U'$.

Fassen wir zusammen: Zwei verschobene Untervektorräume $v+U,v'+U'$ sind genau dann gleich, wenn die (nicht verschobenen) Untervektorräume gleich sind, also $U=U'$, und die Differenz der Verschiebungen in $U$ liegen, d.h. $v-v'\in U$.

Haben wir einen Untervektorraum gegeben, können wir nun herausfinden, ob zwei Verschiebungen um $v$ bzw. $v'$ den gleichen affinen Unterraum ergeben. Wir können damit eine Art "neue Gleichheit" konstruieren, indem wir $v$ und $v'$ als "gleich" betrachten, wenn sie den gleichen affinen Unterraum erzeugen. Solche neuen Gleichheiten verhalten sich vernünftig, wenn sie Äquivalenzrelationen sind.

Wir erinnern uns an die Definition einer Äquivalenzrelation.

Definition (Äquivalenzrelation)

Eine Äquivalenzrelation ist eine homogene, binäre Relation auf einer Grundmenge, die folgende Eigenschaften besitzt:

• reflexiv: "Für jedes Element $x$ aus der Grundmenge gilt: $x\sim x$"
• symmetrisch: "Für je zwei Elemente $x,y$ aus der Grundmenge gilt: $x\sim y\implies y\sim x$"
• transitiv: "Für je drei Elemente $x,y,z$ aus der Grundmenge gilt: $x\sim y$ und $y\sim z\implies x\sim z$"

Zwei Elemente, die bezüglich einer Äquivalenzrelation in Relation stehen, heißen äquivalent. Wenn zwei Elemente $x$ und $y$ äquivalent zueinander bezüglich einer Äquivalenzrelation $R$ sind, schreibt man oft $x\sim _{R}y$ oder einfach $x\sim y$.

Um die oben angesprochene "neue Gleichheit" formal hinzuschreiben, definieren wir uns eine Relation $\sim$, die durch $v\sim v':\iff v+U=v'+U\iff v-v'\in U$ gegeben ist. Intuitiv sollte unsere Relation eine Äquivalenzrelation sein, da sie besagt, wann zwei verschobene Untervektorräume gleich sind. Das überprüfen wir nun formal:

Satz ($\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

Die Relation $\sim$ definiert über $v\sim w\iff v-w\in U$ ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Wie kommt man auf den Beweis? ($\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

Um die Behauptung zu zeigen, müssen wir die drei Axiome einer Äquivalenzrelation nachprüfen: Reflexivität, Symmetrie und Transitivität. Für die Reflexivität müssen wir für alle $v\in V$ zeigen, dass $v\sim v$ erfüllt ist. Per Definition von $\sim$ müssen wir zeigen, dass $v-v\in U$. Nun ist $v-v=0$ und $U$ ist ein Untervektorraum. Daher ist $v-v=0\in U$ und somit gilt die Reflexivität.

Bei der Transitivität und Symmetrie verfahren wir genauso: Wir setzen die Definition ein und folgern die gewünschte Eigenschaft aus der Tatsache, dass $U$ ein Untervektorraum ist.

Beweis ($\sim$ ist eine Äquivalenzrelation)

Beweisschritt: Reflexivität

Da $U$ ein Untervektorraum ist, gilt $0\in U$. Für einen beliebigen Vektor $v\in V$ gilt $0=v-v\in U$. Nach Definition der Relation folgt damit $v\sim v$ für alle $v\in V$.

Beweisschritt: Symmetrie

Wir wollen zeigen, dass aus $v\sim w$ die dazu symmetrische Beziehung $w\sim v$ folgt. Sei also $v\sim w$. Somit ist $v-w\in U$. Da $U$ ein Untervektorraum ist, ist $U$ abgeschlossen unter Inversenbildung. Damit ist auch $-(v-w)\in U$. Dies ist gleichbedeutend mit $w-v\in U$. Also gilt $w\sim v$.

Beweisschritt: Transitivität

Abschließend ist zu zeigen, dass aus $v\sim w$ und $w\sim z$ die Beziehung $v\sim z$ folgt. Seien dafür $v\sim w$, also $v-w\in U$, und $w\sim z$, also $w-z\in U$. Da $U$ ein Untervektorraum ist, ist $U$ abgeschlossen unter Addition, insbesondere ist damit auch $(v-w)+(w-z)\in U$. Weil $v-w+w-z=v-z$ gilt, ist also $v-z\in U$ und damit $v\sim z$.

Wir können nun die Äquivalenzklassen dieser Relation betrachten, das heißt zu $v\in V$ die Menge $[v]:=\{w\in V\mid v\sim w\}$. Die Menge $[v]$ besteht also aus allen Vektoren $w$, die $U$ zu dem gleichen affinen Unterraum $v+U$ verschieben. Wie können wir diese Äquivalenzklassen noch charakterisieren? Es gilt:

$[v]=\{w\in V\mid v\sim w\}=\{w\in V\mid v-w\in U\}=\{v+u\mid u\in U\}=v+U$

Das heißt die Äquivalenzklassen unserer Relation sind genau die Nebenklassen.

Genauso wie wir zu einer Äquivalenzrelation ihre Äquivalenzklassen betrachten können, können wir auch einen Raum konstruieren, in dem die "neue Gleichheit" der Äquivalenzrelation eine echte Gleichheit wird. Dies ist die Menge der Äquivalenzklassen, der wir jetzt einen besonderen Namen geben wollen.

Definition der Menge der Nebenklassen eines Unterraums

Definition (Menge der Nebenklassen eines Unterraums)

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U$ ein Untervektorraum von $V$, also $U\subseteq V$. Weiter seien $v,w\in V$. Definiere $v\sim w:\iff v-w\in U$. Dann ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $V$ und die Äquivalenzklasse zu einem Element $v\in V$ ist die Menge $v+U$. Diese nennen wir die von $v$ erzeugte Nebenklasse bezüglich $U$.

Wir definieren

$V/U:=\{v+U\mid v\in V\}$

die Menge der Nebenklassen von $U$.

Wir haben die Menge der Nebenklassen $V/U$ als die Menge der Äquivalenzklassen nach $\sim$ definiert. Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass die von $v\in V$ erzeugte Äquivalenzklasse genau durch den affinen Unterraum $v+U$ gegeben ist. Damit ist eine Äquivalenzklasse bezüglich $\sim$ das gleiche wie eine Verschiebung von $U$. Dies liefert zwei äquivalente Sichtweisen auf die Menge $V/U$: Einerseits ist $V/U$ die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich $\sim$; andererseits ist es die Menge der Verschiebungen von $U$.

Hinweis

Je nachdem, welche der beiden Interpretationen der Elemente von $V/U$ man benutzt, benutzt man verschiedene Bezeichnungen für die Elemente $v+U$ von $V/U$. Wenn man die Äquivalenzrelation benutzt, um die Elemente von $V$ in verschiedene Mengen aufzuteilen, spricht man von Nebenklassen. Betrachtet man hingegen eine Verschiebung von $U$, so spricht man von einem affinen Unterraum.

Beispiele für Nebenklassen

Beispiel (Physik: Veränderung von Potentieller Energie)

Wir betrachten den dreidimensionalen Raum, der sich in einem Gravitationsfeld mit einer positiven Gravitationskonstante $g$ befinden soll. Wir beschreiben ihn durch die $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$- Achsen. Ein solcher Raum kann zum Beispiel das Zimmer sein, in dem du gerade diesen Artikel liest. Wir setzten unseren Ursprung an irgendeine Stelle auf deinem Tisch, defienieren die potentelle Energie an dem Punkt also als 0. Von diesem Punkt aus kann ich ein Objekt an unterschiedliche Punkte bewegen, jedem dieser Zielpunkte können wir dabei die potentielle Energie eines Punktteilchens zuordnen, das wir dorthin bewegen, die nur von seiner Höhe über dem Tisch abhängt. Wir können es auch so auffassen dass wir jeder Bewegung vom Ursprung aus seine Veränderung der potentiellen Energie zuordnen wollen. Der Tisch sei in unserer Betrachtung die $x_{1}$-$x_{2}$- Ebene. Die potentielle Energie eines Teilchens bzw. die Veränderung der pot. Energie durch eine Bewegung vom Ursprung nach $(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$ ist somit:

$E_{pot}=m\cdot g\cdot x_{3}$

Wir wollen die möglichen geradlinigen Verschiebungen vom Ursprung aus basierend auf ihrer Veränderung der potentiellen Energie klassifizieren, und bezeichnen zwei Verschiebungen als gleichwertig, falls ihre Veränderung der potentiellen Energie eines Punktteilchens übereinstimmt. Verschiebungen, die die pot. Energie gleich verändern, wollen wir in eine eigene Klasse zusammenfassen. Die Masse sowie die Gravitationskonstante sind für unser Punktteilchen gegeben. Deshalb verleien zwei betrachtete Verschiebungen genau dann die gleiche potentielle Energie, wenn sie in ihrer Höhehenveränderung übereinstimmen. Die Verschiebungen sind also in der selben Klasse, wenn ihr $x_{3}$-Wert übereinstimmt.

Abstrahieren wir nun unser anschauliches Beispiel. Unser Raum ist der $\mathbb {R}$-Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$. Geradlinige Verschiebungen vom Ursprung aus sind Vektoren. Verschiebungen, die bei einem Punktteilchen die gleiche Veränderung der pot. Energie verursachen, bewegen dieses vom Ursprung in $\mathbb {R} ^{3}$ aus auf dieselbe Ebene parallel zur $x_{1}$-$x_{2}$-Ebene, da genau die Punktteilchen auf dieser Ebene dieselbe potentielle Energie haben. Wir können für eine bestimmte Veränderung der pot. Energie jeden der eine solche Veränderung verursachenden Vektoren als Repräsentanten auswählen.

Im Kapitel über Untervektorräume haben wir bereits gesehen, dass die $x_{1}$-$x_{2}$-Ebene ein Untervektorraum $U$ des $\mathbb {R} ^{3}$ ist. In unserem physikalischen Beispiel haben wir gesehen, dass entlang der $x_{3}$- Achse verschobene Ebenen Äquivalenzklassen bzgl. der Veränderung potentieller Energie waren. Diese Klassen heißen auch Nebenklassen.

Beispiel (Finanzen: Veränderung der Bilanz von zwei Konten)

Nehmen wir an, jede Person würde immer genau zwei Bankkonten besitzen. Nun wollen wir wissen, wie viel Geld jede Person insgesamt hat. Also interessiert uns die Summe aller Gelder, die jede Person auf ihren Bankkonten hat. Wir betrachten die zwei Bankkonten, die Anna besitzt. In diesen hat sie Beträge von $A_{1}$ bzw. $A_{2}$ angespart. Anna hat insgesamt Geld im Wert von $A_{1}+A_{2}$.

Betrachten wir jetzt zwei Personen, Emma und Fritz. Emma besitzt in ihren Konten $E=(E_{1},E_{2})^{T}$. Fritz hat in seinen Konten $F=(F_{1},F_{2})^{T}$. Emma und Fritz haben also genau dann gleich viel Geld, wenn gilt $E_{1}+E_{2}=F_{1}+F_{2}$. Wir nennen die beiden Konten-Paare $(E_{1},E_{2})^{T}$ und $(F_{1},F_{2})^{T}$ äquivalent, wenn gleich viel Geld auf ihnen liegt, also wenn gilt $E_{1}+E_{2}=F_{1}+F_{2}$.

Mit dieser Definition sind zum Beispiel folgende Paare an Konten äquivalent:

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}700\\300\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}900\\100\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Das liegt daran, dass $700+300=1000=900+100$.

Die zwei Konten von Emma und Fritz sind also äquivalent, wenn $E_{1}+E_{2}-(F_{1}+F_{2})=0$. Das ist gleichbedeutend mit $E_{1}-F_{1}+E_{2}-F_{2}=0$. Wir definieren den Unterschied der Vektoren $E$ und $F$ durch

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}E_{1}-F_{1}\\E_{2}-F_{2}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Die Vektoren $E$ und $F$ sind genau dann äquivalent, wenn gilt $x+y=0$.

Anders ausgedrückt, die Summe der Gelder aus zwei Konten ist durch die folgende lineare Abbildung gegeben:

${\begin{aligned}f{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=x+y\end{aligned}}$

Somit ist der Kern von $f$ die Menge an Paaren von Konten, deren Summe Null ist. Also sind zwei Paare von Konten äquivalend, wenn sie sich nur durch einen Vektor aus $\ker(f)$ unterscheiden. Den Kern von $f$ können wir weiter umformen:

${\begin{aligned}\ker(f)=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}{\bigg |}x+y=0\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}a\\-a\end{pmatrix}}{\bigg |}a\in \mathbb {R} \right\}=\operatorname {span} \left(\left\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\right\}\right).\end{aligned}}$

Die Äquivalenzklassen bezüglich der Summe der Kontostände sind also genau die Nebenklassen modulo dem Untervektorraum $U:=\operatorname {span} \left(\left\{(1,-1)^{T}\right\}\right)$. Alle Nebenklassen sind von der Form

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}a\\0\end{pmatrix}}+U\end{aligned}}$

mit $a\in \mathbb {R}$.

Wir können uns das auch so vorstellen: Wir wollen die summierte Bilanz der zwei Konten betrachten. Dabei geht Information verloren. Wir wissen zwar nach wie vor, wie viel Geld eine Person insgesamt besitzt, aber nicht mehr, wie sich das Geld auf die beiden Konten verteilt.

Beispiel (Zwei Lichtschalter für eine Lichtquelle)

Wir betrachten folgendes Szenario: Ein Hausflur hat zwei Lichtschalter, die beide die Deckenlampe kontrollieren sollen. Dafür kann man eine Wechselschaltung benutzen. Wir wollen das Verhalten dieser Schaltung mithilfe von Vektorräumen modellieren.

Ein Lichtschalter, der nach oben zeigt.

Wir fangen mit den Lichtschaltern an. Jeder Lichtschalter hat zwei Zustände: Er zeigt entweder nach oben oder nach unten. Damit können wir ihn mit $\mathbb {F} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ modellieren. Die $0$ steht für den Lichtschalter in der oberen Position und die $1$ für den Lichtschalter in der unteren Position. Wenn man den Lichtschalter umlegt, wechselt der Zustand von $0$ nach $1$ oder von $1$ nach $0$ – je nachdem in welcher aktuellen Position sich der Lichtschalter befindet. Dieser Zustandswechsel entspricht der mathematischen Operation $+1$ im Körper $\mathbb {F} _{2}$.

Nachdem wir nun wissen, wie wir einen Lichtschalter und das Umlegen eines Lichtschalters modellieren können, verarbeiten wir jetzt alle Eingangsdaten der Wechselschaltung: Dies sind die beiden Lichtschalter. Wir haben vier Zustände, da jeder Lichtschalter den Zustand oben ($0$) und unten ($1$) hat. Damit bietet sich $\mathbb {F} _{2}^{2}$ zum Modellieren der Zustände an. Der Zustand des ersten Lichtschalters wird in der ersten Komponente angegeben und der Zustand des Zweiten in der zweiten Komponente. Bei dieser Modellierung entspricht das Umlegen des ersten Lichtschalters dann $+(1,0)^{T}$ und das Umlegen des zweiten Lichtschalters $+(0,1)^{T}$. Befinden sich beide Lichtschalter in der oberen Position (dies entspricht $(0,0)^{T}$) und wir legen den ersten Lichtschalter um, so kommen wir in den Zustand $(0,0)^{T}+(1,0)^{T}=(1,0)^{T}$.

Um diesem Modell die Information zu entlocken, ob die Lampe ein- oder ausgeschaltet ist, müssen wir diesen Umstand zunächst bei der Wechselschaltung verstehen. Die Wechselschaltung erlaubt uns an dieser Stelle Freiheiten: Wie können sie so bauen, dass beide Schalter in der gleichen Position sein müssen, damit die Lampe eingeschaltet ist. Genauso gut können wir sie auch so bauen, dass die Lampe eingeschaltet ist, wenn die beiden Schalter in verschiedenen Positionen sind. Für dieses Beispiel betrachten wir den Fall, dass die Lampe genau dann eingeschaltet ist, wenn sich beide Schalter in verschiedenen Positionen befinden. Damit identifizieren wir die Zustände $(1,0)^{T}$ und $(0,1)^{T}$ mit einer eingeschalteten Lampe. Die anderen Zustände $(0,0)^{T}$ und $(1,1)^{T}$ identifizieren wir mit einer ausgeschalteten Lampe. Letztere bilden einen Untervektorraum $U:=\{(0,0)^{T},(1,1)^{T}\}\subseteq \mathbb {F} _{2}^{2}$. Wenn wir diesen um $(1,0)^{T}$ oder $(0,1)^{T}$ verschieben, erhalten wir die Zustände einer eingeschalteten Lampe $(1,0)^{T}+U$. Dies sind alle Nebenklassen von $U$ in $\mathbb {F} _{2}^{2}$. Damit können wir die Situation der Wechselschaltung wie folgt zusammenfassen: Gegeben einen Schalterzustand $v\in \mathbb {F} _{2}^{2}$, bekommen wir die Information, ob die Lampe eingeschaltet ist, indem wir die von $v$ erzeugte Nebenklasse in $\mathbb {F} _{2}^{2}/U$ bestimmen. Ist diese $U$, so ist die Lampe ausgeschaltet. Ist sie $(1,0)^{T}+U$, so ist die Lampe eingeschaltet.

Mit diesem Verständnis des Lampenzustands können wir auch den Einfluss beschreiben den das Umlegen eines Schalters hat. Jede der Operationen $+(1,0)^{T}$ und $+(0,1)^{T}$ wirkt auf die Lampenzustände $\mathbb {F} _{2}^{2}/U$, indem sie den Zustand der Lampe wechselt. Wenn die Lampe im ausgeschalteten Zustand $U$ ist, und mit $+(0,1)^{T}$ der zweite Schalter umgelegt wird, ist sie danach im eingeschalteten Zustand $(0,1)^{T}+U=(1,0)^{T}+U$. Wird nun der erste Schalter betätigt, so wechselt die Lampe wieder in den ausgeschalteten Zustand. Mathematisch wird dies durch $(1,0)^{T}+((0,1)^{T}+U))=(1,1)^{T}+U=U$ abgebildet.

Eigenschaften von Äquivalenzklassen angewendet auf Nebenklassen

Wir haben oben gesehen, dass Nebenklassen eines ein-dimensionalen Unterraums im $\mathbb {R} ^{2}$ parallele Geraden sind. Das können wir auch durch die Charakterisierung der Nebenklassen als Äquivalenzklassen erklären: Zwei Äquivalenzklassen sind als Mengen entweder gleich oder disjunkt. Das heißt für uns, dass zwei Nebenklassen, also zwei Geraden entweder gleich sind oder dass sie keinen Schnittpunkt haben. Letzteres bedeutet, dass sie parallel sind.

Außerdem wissen wir über Äquivalenzklassen, dass sie den ganzen Raum überdecken, d.h. die Vereinigung aller Äquivalenzklassen ergibt die gesamte Menge. Daraus schließen wir, dass die Vereinigung aller Nebenklassen (in unserem Fall parallele Geraden) den ganzen $\mathbb {R} ^{2}$ ergibt. Wir können den Vektorraum also in die Nebenklassen zerlegen. Diese Zerlegung nennt man auch Partition. Die Nebenklassen partitionieren also den Vektorraum. In unserem Beispiel heißt das, dass wir den $\mathbb {R} ^{2}$ in Verschiebungen einer Ursprungsgeraden $U$ zerlegen können. Das veranschaulicht das folgende Bild:

V=\R ^2 partitioniert durch Geraden

Beide angesprochenen Punkte funktionieren auch allgemein (nicht nur im $\mathbb {R} ^{2}$), da wir in keinem unserer Argumente eine Eigenschaft des $\mathbb {R} ^{2}$ benutzt haben. Es gilt also für einen Vektorraum $V$ und einen Untervektorraum $U$:

$V$ ist die Vereinigung der Nebenklassen von $U$ und verschiedene Nebenklassen sind disjunkt.

Ausblick

Nebenklassen treten beim Lösen von linearen Gleichungssystemen auf: Die Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssystems $U$ bilden einen Untervektorraum. Wenn das lineare Gleichungssystem eine Lösung hat, bilden die Lösung ein affiner Unterraum bezüglich $U$.

To-Do:

Verlinkung setzen, sobald der Artikel zum Lösen von linearen Gleichungssystemen geschrieben ist.