Quotientenkriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Das Quotientenkriterium erlaubt Konvergenz- und Divergenzbeweise bei vielen konkret gegebenen Reihen und wird deswegen häufig eingesetzt. Es ist zwar bei weniger Reihen einsetzbar als das Wurzelkriterium, jedoch sind Beweise mit dem Quotientenkriterium in der Regel einfacher zu führen als solche mit dem Wurzelkriterium.

Das Quotientenkriterium wurde erstmals vom Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert veröffentlicht, zu dessen Ehren es auch d’Alembertsches Konvergenzkriterium genannt wird.[1]

HerleitungBearbeiten

Erste SchritteBearbeiten

Genau wie beim Wurzelkriterium wird beim Quotientenkriterium die Konvergenz einer Reihe über das Majorantenkriterium auf die Konvergenz einer geometrischen Reihe zurückgeführt. Sei also   eine gegebene Reihe mit   für alle  . Die Forderung, dass die Reihe nur nichtnegative Summanden besitzt, brauchen wir für das Majorantenkriterium. Wir wissen, dass die Reihe konvergiert, wenn es ein   mit   für alle   gibt. Dies folgt aus dem Majorantenkriterium und der Tatsache, dass die geometrische Reihe   für   konvergiert.

Beim Wurzelkriterium wird die Ungleichung   direkt zu   umgeformt. Beim Quotientenkriterium wählt man ein rekursives Kriterium, das   impliziert. Zunächst wissen wir, dass   sein muss. Im Rekursionsschritt brauchen wir eine Bedingung, mit der man aus der Ungleichung   die Ungleichung   schließen kann. Gehen wir also davon aus, dass wir   bereits bewiesen haben. Es gilt dann (wenn wir davon ausgehen, dass   ist):

 

Um   zu beweisen, genügt es aufgrund der obigen Umformung auch   zu zeigen. Dies reduziert sich weiter zu der Ungleichung  , welche wir zeigen müssen. Hierzu benötigen wir die Aussage  , die wir im Folgenden annehmen. Aus der Bedingung   können wir wiederum folgern, dass   und damit auch   ist. Nun haben wir eine Idee, was wir zu zeigen haben und welche Induktionsannahmen wir treffen werden.

Zusammenfassung der ersten ÜberlegungenBearbeiten

Aus   und   können wir zeigen, dass   ist und die Reihe somit nach dem Majorantenkriterium konvergiert. Ein Beweis ist hier über vollständige Induktion möglich. Zunächst haben wir den Induktionsanfang   direkt gegeben. Im Induktionsschritt gehen wir davon aus, dass   wahr ist und können damit folgern

 

Erste VerbesserungBearbeiten

Die Konvergenz einer Reihe hängt nicht vom Wert von endlich vielen Summanden ab. Das heißt, die Änderung endlich vieler Summanden beeinflusst die Konvergenz der Reihe nicht. Dementsprechend kann man vermuten, dass die Bedingung   nicht benötigt wird. Wenn wir nur die Bedingung   annehmen, dann erhalten wir

 

Insgesamt erhalten wir so  . Dies reicht aus, um mit Hilfe des Majorantenkriteriums die Konvergenz zu zeigen, weil   eine konvergente Reihe ist. Damit kann man allein aus   für alle   die Konvergenz der Reihe zeigen.

Zweite VerbesserungBearbeiten

Wir können weiter verallgemeinern, indem wir   nur für fast alle anstatt für alle natürlichen Zahlen   fordern. Sei   die erste natürliche Zahl, ab der   für alle   gilt. Dann ist

 

Insgesamt erhalten wir so  . Indem man   setzt, folgt die Ungleichung   und somit:

 

Damit konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium. Es reicht also,   nur für fast alle   zu fordern.

Umformulierung mit Limes superiorBearbeiten

Die Bedingung, dass   für ein festes   mit   und für fast alle   ist, kann auch mit dem Limes superior ausgedrückt werden. Diese Bedingung gilt nämlich genau dann, wenn   ist.

Einerseits folgt aus   für fast alle  , dass der größte Häufungspunkt, also der Limes superior, von   kleiner als   und damit kleiner als   ist.

Sei andererseits  . Dann ist für alle   die Ungleichung   für fast alle   erfüllt. Wegen   kann ein   so klein gewählt werden, dass   ist. Setzen wir  . Dann ist zum einen   und zum anderen ist   für fast alle  .

Zusammenfassung: Aus   folgt zunächst für ein  , dass   für fast alle   ist. Daraus folgt die Konvergenz der Reihe  .

Die Sache mit der absoluten KonvergenzBearbeiten

In der obigen Argumentation haben wir nur Reihen betrachtet, deren Summanden nichtnegativ sind. Was passiert mit Reihen  , bei denen einige Summanden   negativ sind?

Wir können obige Argumentation zumindest auf die Reihe   anwenden. So können wir die absolute Konvergenz beweisen, die ja auch die normale Konvergenz der Reihe impliziert. Bei Reihen mit nichtnegativen Summanden ändert sich beim Übergang von   auf   nichts, da für solche Reihen die Gleichung   für alle   erfüllt ist. Wir können also zusammenfassen:

Ist  , dann konvergiert die Reihe   absolut.

Quotientenkriterium für DivergenzBearbeiten

Lässt sich mit einer ähnlichen Argumentation auch die Divergenz einer Reihe beweisen? Schauen wir uns   an. Wenn der Quotient im Betrag größer gleich eins ist, dann ist

 

Wenn also ab einem beliebigen Index   für alle nachfolgenden Indizes   die Ungleichung   erfüllt ist, dann wächst die Folge   ab dem Index   monoton. Diese Folge kann keine Nullfolge sein, da sie nach dem Folgenglied   monoton wächst und  . Wenn aber   keine Nullfolge ist, dann ist auch   keine Nullfolge. Daraus folgt nach dem Trivialkriterium, dass die Reihe   divergiert. Das Trivialkriterium besagt ja, dass   wäre, wenn die Reihe   konvergieren würde. Fassen wir zusammen:

Ist   für fast alle   erfüllt, dann ist   keine Nullfolge. Die Reihe   divergiert nach dem Trivialkriterium.

Das QuotientenkriteriumBearbeiten

SatzBearbeiten

Erklärung zur Konvergenz mit dem Quotienten-Kriterium. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Satz (Quotienten-Kriterium für Konvergenz)

Sei   eine Reihe mit   für alle  . Wenn   ist, dann ist die Reihe   absolut konvergent.

Wenn   für fast alle   ist (also für alle   für ein bestimmtes  ), dann ist die Reihe   divergent.

Fassen wir die obige Herleitung in einem Beweis zusammen:

Beweis (Quotienten-Kriterium für Konvergenz)

Sei   eine Reihe mit Summanden ungleich Null.

Beweisschritt: Konvergenz mit dem Quotientenkriterium

Sei  . Wir wählen nun   so klein, dass   ist. Wegen   existiert dieses   (beispielsweise kann   gewählt werden). Aus den Eigenschaften des Limes superior folgt, dass für fast alle   die Ungleichung   erfüllt ist. Es gibt also eine natürliche Zahl  , sodass   für alle   ist. Es folgt:

 

Insgesamt erhält man so  . Indem man   setzt, folgt die Ungleichung   und somit:

 

Damit konvergiert die Reihe   nach dem Majorantenkriterium. Dies bedeutet wiederum, dass   absolut konvergiert.

Beweisschritt: Divergenz mit dem Quotientenkriterium

Sei nun   eine natürliche Zahl, sodass   für fast alle  . Es ist dann für alle  :

 

Damit wächst die Folge   ab dem Index   monoton.   ist keine Nullfolge, weil   ist (wegen  ). Damit ist aber auch   keine Nullfolge. Aus dem Trivialkriterium für Reihen folgt, dass die Reihe   divergiert.

Verschärfung mit Limes inferiorBearbeiten

Die gerade behandelte Voraussetzung für die Divergenz lässt sich mit Hilfe des Limes inferior verschärfen. So ist das Kriterium leichter anzuwenden. Gilt  , folgt daraus   für fast alle  . Also divergiert die Reihe. Die umgekehrte Richtung muss nicht gelten. Aus   für fast alle   muss nicht   folgen, da die Folge   nicht zwangsläufig einen kleinsten Häufungspunkt besitzt. Es handelt sich also um eine stärkere Voraussetzung für die Divergenz der Reihe.

Hinweis

Ist  , dann gibt es ein   mit   für fast alle  , womit die Reihe absolut konvergiert. Analog divergiert die Reihe, wenn   ist.

Grenzen des QuotientenkriteriumsBearbeiten

Bei   können wir nichts über Konvergenz bzw. Divergenz der Reihe aussagen. Es gibt nämlich sowohl konvergente als auch divergente Reihen, die diese Bedingung erfüllen. Ein Beispiel hierfür ist die divergente Reihe  :

 

Auch die konvergente Reihe   erfüllt diese Gleichung:

 

Wir können also aus   weder folgern, dass die Reihe konvergiert, noch, dass sie divergiert. Wir müssen in einem solchen Fall ein anderes Konvergenzkriterium verwenden.

Vorgehen bei der Anwendung des QuotientenkriteriumsBearbeiten

 
Entscheidungsbaum für das Quotientenkriterium

Um das Quotientenkriterium auf eine Reihe   anzuwenden, bilden wir zunächst   und betrachten den Grenzwert:

  1. Ist  , dann konvergiert die Reihe absolut.
  2. Ist  , dann divergiert die Reihe.
  3. Ist   für fast alle  , dann divergiert die Reihe.
  4. Können wir keinen der drei Fälle anwenden, können wir nichts über die Konvergenz der Reihe aussagen.

BeispielaufgabenBearbeiten

Aufgabe 1Bearbeiten

Aufgabe

Untersuche die Reihe   auf Konvergenz oder Divergenz.

Wie kommt man auf den Beweis?

Zunächst bilden wir den Quotienten   und betrachten dessen Grenzwert:

 

Damit ist  , womit aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut konvergiert.

Beweis

Die Reihe   konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium, denn es ist

 

Aufgabe 2Bearbeiten

Aufgabe

Untersuche die Reihe   auf Konvergenz bzw. Divergenz.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir haben  . Schauen wir uns nun   an

 

Nun ist   und damit auch  . Daraus folgt, dass   für alle   und damit insbesondere für fast alle  . Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe divergiert.

Beweis

Die Reihe   divergiert, denn für   ist

 

Hinweis

Du weißt vielleicht schon, dass   ist. Dementsprechend kannst du alternativ auch den Beweis darüber führen, dass  . Diese Argumentation kann aber nur angewandt werden, wenn   bereits in der Vorlesung bewiesen wurde.

Aufgabe 3Bearbeiten

Aufgabe

Untersuche für welche   die Reihe   konvergiert, absolut konvergiert bzw. divergiert.

Beweis

Wir nutzen das Quotientenkriterium mit  :

 

Damit folgt

 

Weil der Grenzwert existiert, stimmen Limes superior und Limes inferior überein. Also gilt

 

Uns interessiert für welche   Konvergenz, absolute Konvergenz und Divergenz vorliegt. Aus dem Quotientenkriterium folgt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn   ist. Im Fall   folgt mit dem Quotientenkriterium widerum die Divergenz der Reihe. Den Fall   müssen wir extra untersuchen:

Fall 1:  

Wir wollen herausfinden, für welche   die Ungleichung   gilt. Durch Umformungen finden wir:

 

Für   oder  , wenn also   gilt, konvergiert die Reihe absolut.

Fall 2:  

Hier gilt:

 

Für   oder   bzw. für   divergiert die Reihe.

Fall 3:  

Zuletzt gilt

 

Da das Quotientenkriterium hier keine Konvergenzaussage liefert, müssen wir die beiden Fälle einzeln untersuchen:

Fall 1:  

Es gilt

 

Da es sich um die harmonische Reihe handelt, divergiert diese.

Fall 2:  

Es gilt

 

Die Reihe ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, jedoch nicht absolut konvergent, da   als harmonische Reihe divergiert.

Vergleich zwischen Quotienten- und WurzelkriteriumBearbeiten

Das Quotientenkriterium lässt sich bei einigen Reihen wesentlich leichter anwenden als das Wurzelkriterium. Ein Beispiel ist die Reihe  , deren Konvergenz man mit dem Quotientenkriterium gut beweisen kann:

 

Im Wurzelkriterium muss man folgenden Grenzwert betrachten:

 

Hier ist unklar, ob und wogegen eine Konvergenz vorliegt. Dass   schnell anwächst, könnte für eine Nullfolge sprechen. Allerdings wird die Folge   durch das Ziehen der  -ten Wurzel stark abgeschwächt. Tatsächlich lässt sich   zeigen (und damit folgt  ). Dieser Beweis ist jedoch sehr aufwändig. Ähnlich verhält es sich bei der Reihe  . Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir

 

Damit ist die Folge divergent nach dem Quotientenkriterium. Im Wurzelkriterium haben wir folgenden Grenzwert zu betrachten:

 

Man kann beweisen, dass diese Folge gegen   konvergiert. Das ist jedoch aufwendig und erfordert zusätzliche Konvergenzkriterien, die oftmals in einer Analysis-Grundvorlesung nicht zur Verfügung stehen. In beiden Fällen ist die Lösung mit dem Quotientenkriterium einfacher.

Allerdings gibt es auch Reihen, die mit dem Wurzelkriterium lösbar sind und bei denen das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Ein Beispiel dafür ist die Reihe

 

Das Quotientenkriterium ist hier nicht anwendbar. Für die Quotientenfolge gilt nämlich

 

Damit ist  , da die Quotientenfolge für ungerade   wegen   nach oben unbeschränkt ist. Andererseits gilt   für alle geraden   und damit für unendlich viele Quotienten. Insgesamt müssen wir aber feststellen, dass das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist. Hingegen liefert das Wurzelkriterium

 

Damit ist   und die Reihe konvergiert absolut. Damit ist im obigen Beispiel das Wurzelkriterium anwendbar, während das Quotientenkriterium kein Ergebnis ergibt. Insgesamt ist es so, dass das Wurzelkriterium einen größeren Anwendungsbereich als das Quotientenkriterium hat. Auf jede Reihe, deren Konvergenzverhalten mit dem Quotientenkriterium feststellbar ist, kann auch das Wurzelkriterium angewendet werden. Dies folgt aus folgender Ungleichung:

 

Hier wird offensichtlich: Ist  , so ist automatisch  . Ist  , ist automatisch  . Ist also das Quotientenkriterium anwendbar, ist immer das Wurzelkriterium anwendbar. Die Umkehrung gilt nicht, wie es das obige Beispiel zeigt. Wir verzichten hier auf den etwas theoretischen und langwierigen Beweis der Ungleichung. Fortgeschrittene können sich gerne an der entsprechenden Übungsaufgabe versuchen.

Vertiefung: Kriterium von RaabeBearbeiten

Falls das Quotientenkriterium in obiger Form scheitert, weil beispielsweise   ist, gibt es eine verschärfte Form, bei der man die Quotientenfolge   genauer abschätzen muss. Sie nennt sich Kriterium von Raabe und ist nach dem Schweizer Mathematiker Joseph Ludwig Raabe benannt.

Das Kriterium von Raabe lässt sich oft nicht so leicht wie das Quotientenkriterium anwenden und wird in den Grundvorlesungen häufig nicht behandelt. Deshalb erwähnen wir es hier nur und verzichten auf eine Herleitung. Fortgeschrittenen, die das Kriterium herleiten möchten, empfehlen wir die entsprechende Übungsaufgabe. Das Kriterium von Raabe lautet

Satz (Raabe-Kriterium)

  1. Ist   für fast alle   mit einer Konstanten  , konvergiert die Reihe   absolut.
  2. Ist   für fast alle  , divergiert die Reihe  .

Beispiel (Raabe-Kriterium)

Sehr einfach lässt sich mit dem Raabe-Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe   zeigen. Hier ist nämlich  . Für alle   gilt damit

 

Also divergiert die Reihe.

Beispiel (Konvergenz mit dem Raabe Kriterium)

Etwas schwerer ist es die Konvergenz der Reihe   zu zeigen. Hier gilt für  :

 

Mit   folgt  . Also konvergiert die Reihe (absolut).