Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Anwendung der Konvergenzkriterien Bearbeiten

Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)

1. Wurzelkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Quotientenkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe absolut.

Alternativ: Majorantenkriterium:

 

Da   absolut konvergiert (geometrische Reihe mit  ), konvergiert auch   absolut.

3. Minorantenkriterium: Es gilt

  •  
  •   divergiert. (Harmonische Reihe)

Damit divergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium:

 

Daher divergiert die Reihe.

5. Wurzelkriterium:

 

Daher konvergiert die Reihe absolut.

6. Leibnizkriterium: Zunächst gilt

 

Damit ist

  •   monoton fallend, denn  
  •   eine Nullfolge, denn  .

Also konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut als Teleskopsumme, denn

 

7. Trivialkriterium:

 

Also gibt es eine Teilfolge von  , die nicht gegen Null konvergiert, und damit ist   keine Nullfolge. Also divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da   keine Nullfolge ist!

8. Leibnizkriterium: Für   gilt

  •   ist monoton fallend
  •  , da  . Also ist   eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

Die Reihe konvergiert nicht absolut nach dem Minorantenkriterium:

  •  , da   monoton steigend ist.
  •   divergiert. (Harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe  .

Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

  1.  
  2.  
  3.  ,  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  ,  
  8.  

Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 2)

1. Quotientenkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Quotientenkriterium:

 

Damit divergiert die Reihe.

3. Wurzelkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe absolut.

4. Wurzelkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe absolut.

5. Minorantenkriterium: Es gilt

  •  
  •   divergiert, da   keine Nullfolge ist.

Damit divergiert die Reihe.

6. Majorantenkriterium: Es gilt

  •  
  •   konvergiert absolut, nach dem Quotientenkriterium. (Siehe Aufgabe 2 im Kapitel Quotientenkriterium).

Damit konvergiert die Reihe absolut.

7. Majorantenkriterium:

  • Für   und damit   gilt:  
  • Daraus folgt  
  •   konvergiert absolut.

Damit konvergiert die Reihe absolut.

  • Für   ist  . Damit ist  . Damit folgt die absolute Konvergenz ebenfalls.

8. Majorantenkriterium:

  • Für   gilt:  
  • Daraus folgt  
  •   konvergiert absolut, da  .

Damit konvergiert die Reihe absolut.

Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 3)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  

Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 3)

1. Majorantenkriterium: Es gilt

  •  
  •  

Damit konvergiert die Reihe absolut.

2. Minorantenkriterium: Es gilt

  •  , da   ist
  •   divergiert

Damit divergiert die Reihe.

3. Quotientenkriterium: Für   gilt

 

Damit konvergiert die Reihe.

Alternativ mit Wurzelkriterium:

 

Damit konvergiert die Reihe.

4. Trivialkriterium: Für   gilt

 

Also ist   keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da   keine Nullfolge ist!

5. Leibnizkriterium: Es gilt

  •  , da   monoton fallend ist. Also ist auch   monoton fallend.
  •  , da   stetig ist. Also ist   eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

6. Majorantenkriterium: Für   gilt

  •  , da   ist.
  •   (Geometrische Reihe)

Damit konvergiert die Reihe.

7. Majorantenkriterium: Es gilt

  •  
  •  

Damit konvergiert die Reihe.

Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da   nicht monoton fallend ist!

8. Leibnizkriterium: Es gilt

  •  , da   monoton steigend ist. Außerdem ist
 

Dies ist wegen   für   der Fall. Also ist   monoton fallend.

  •  . Also ist   eine Nullfolge.

Damit konvergiert die Reihe.

Aufgabe (Reihen mit Parametern 1)

Bestimme alle  , für welche die folgenden Reihen (absolut) konvergieren:

  1.  
  2.  

Lösung (Reihen mit Parametern 1)

Teilaufgabe 1: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:  

Hier ist   und   als geometrische Reihe.

Daher konvergiert die Reihe   nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:  

In diesem Fall gilt   und  

Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.

Teilaufgabe 2: Wir unterscheiden erneut zwei Fälle:

Fall 1:  

Hier ist   und   als geometrische Reihe, da  .

Daher konvergiert die Reihe   nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:  

In diesem Fall gilt   und  

Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.

Aufgabe (Reihen mit Parametern 2)

Bestimme alle  , für welche die folgenden Reihen (absolut) konvergieren:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Lösung (Reihen mit Parametern 2)

Teilaufgabe 1: Für alle   gilt

 

Daher konvergiert die Reihe für alle   absolut.

Teilaufgabe 2: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:  

Hier ist   und  

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:  

 , da  

Also divergiert die Reihe nach dem Wurzelkriterium.

Teilaufgabe 3: Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1:  

 

Daher konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut.

Fall 2:  

 . Daher ist   keine Nullfolge

Also divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium.

Teilaufgabe 4: Wir unterscheiden vier Fälle:

Fall 1:  

Hier ist   und   (geometrische Reihe)

Daher konvergiert die Reihe nach dem Majorantenkriterium absolut.

Fall 2:  

  divergiert (harmonische Reihe)

Fall 3:  

  konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium (alternierende harmonische Reihe)

Die Reihe konvergiert nicht absolut, da   divergiert

Fall 4:  

Hier ist  , und   divergiert. (harmonische Reihe)

Also divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium.

Anmerkung: Die Fälle   und   können auch mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium behandelt werden.

Aufgabe (Grenzwertkriterium oder Majorantenkriterium)

Untersuche die Reihe

 

auf Konvergenz.

Lösung (Grenzwertkriterium oder Majorantenkriterium)

Es gilt

 

Daher gilt mit  :

 

Da die Reihe   konvergiert, konvergiert nach dem Grenzwertkriterium auch  .

Alternative Lösung: Mit Majorantenkriterium.

Mit   und   gilt

 

Daher gibt es ein   mit

  für alle  

Da   konvergiert, konvergiert auch  . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch   (absolut).

Trivialkriterium: Verschärfung Bearbeiten

Aufgabe (Verschärfung des Trivialkriteriums)

  1. Sei   eine monoton fallende Folge und   konvergent, so ist   eine Nullfolge.
    Hinweis: Diese Aussage ist auch als Satz von Oliver bekannt.
  2. Zeige mit Hilfe von Teilaufgabe 1 erneut, dass die harmonische Reihe   divergiert.
  3. Gib ein Beispiel einer divergenten Reihe   an, so dass   monoton fallend ist, und   eine Nullfolge ist.

Lösung (Verschärfung des Trivialkriteriums)

Lösung Teilaufgabe 1:

Beweisschritt:   ist eine Nullfolge

Da die Reihe   konvergiert, gibt es nach dem Cauchy-Kriterium zu jedem   ein  , so dass für alle   gilt

 

Damit gilt für alle  :

 

Also ist   und damit auch   eine Nullfolge.

Beweisschritt:   ist eine Nullfolge

Da die Reihe   konvergiert, gibt es nach dem Cauchy-Kriterium zu jedem   ein  , so dass für alle   gilt

 

Damit gilt für alle  :

 

Also ist   und damit auch   eine Nullfolge.

Da die Folgen   und   Nullfolgen sind, ist schließlich auch   eine Nullfolge.

Lösung Teilaufgabe 2:

Die harmonische Folge   ist monoton fallend, jedoch gilt  . Angenommen   würde konvergieren, so müsste nach Teilaufgabe 1   gelten. Also muss die harmonische Reihe   divergieren.

Lösung Teilaufgabe 3:

Ein Beispiel ist die Reihe  . Es gilt:   ist monoton fallend (da   monoton steigend ist). Und  . Allerdings divergiert die Reihe beispielsweise mit dem Verdichtungskriterium. Dieses Beispiel zeigt, dass das Kriterium aus Teilaufgabe 1 nur notwendig und nicht hinreichend für die Konvergenz einer Reihe   ist. D.h. die Umkehrung der Aussage aus Teilaufgabe 1 gilt nicht.

Cauchy Kriterium: Anwendungsbeispiel Bearbeiten

Aufgabe (Alternierende harmonische Reihe)

Zeige mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass die altenierende harmonische Reihe   konvergiert.

Lösung (Alternierende harmonische Reihe)

Es gilt

 

Da   eine Nullfolge ist, gibt es zu jedem   ein  , so dass   für alle  .

Wurzel- und Quotientenkriterium: Fehlerabschätzungen und Folgerungen Bearbeiten

Aufgabe (Fehlerabschätzung für das Wurzelkriterium)

Sei   eine Folge und  . Weiter gelte   für alle  . Dann gilt für die Summe   des nach dem Wurzelkriterium absolut konvergenten Reihe   für alle   die Fehlerabschätzung

 

Lösung (Fehlerabschätzung für das Wurzelkriterium)

Nach Voraussetzung gilt für alle  :

 

Daraus folgt für alle  :

 

Aufgabe (Fehlerabschätzung für das Quotientenkriterium)

Sei   eine Folge und  . Weiter gelte   und   für alle  . Dann gilt für die Summe   des nach dem Quotientenkriterium absolut konvergenten Reihe   für alle   die Fehlerabschätzung

 

Lösung (Fehlerabschätzung für das Quotientenkriterium)

Nach Voraussetzung gilt für alle  :

 

Daraus folgt für alle  :

 

Damit ergibt sich

 

Aufgabe (Kriterium für Nullfolgen)

  1. Sei   eine Folge und  . Weiter gelte   und   oder  . Dann gilt folgt  .
  2. Zeige   für   und  .

Lösung (Kriterium für Nullfolgen)

  1. Aus   bzw.   folgt mit dem Quotientenkriterium bzw. Wurzelkriterium, dass die Reihe   konvergiert. Mit dem Trivialkriterium folgt daraus jeweils  .
  2. Setzen wir   so folgt
 

Mit dem Kriterium aus 1. folgt  .

Leibniz Kiterium: Anwendungsaufgabe mit Fehlerabschätzung Bearbeiten

Aufgabe (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Zeige, dass die Reihe

 

konvergiert. Bestimme anschließend einen Index  , ab dem sich die Partialsummen   der Reihe vom Grenzwert um weniger als   unterscheiden.

Lösung (Leibniz-Kriterium mit Fehlerabschätzung)

Beweisschritt: Die Reihe konvergiert

Für   gilt

 

Also ist   monoton fallend. Weiter gilt

 

Damit ist   eine Nullfolge. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Reihe.

Beweisschritt: Bestimmung von  

Mit der Fehlerabschätzung zum Leibnizkriterium gilt

 

Hier ist  . Um nicht zu viel rechnen zu müssen, schätzen wir den Bruch noch durch einen einfacheren Ausdruck nach oben ab:

 

Ist nun  , so gilt auch  . Es gilt

 

Also ist  . Für   unterscheiden sich daher die Partialsummen der Reihe garantiert um weniger als   vom Grenzwert.

Verdichtungskriterium Bearbeiten

Aufgabe (Reihe mit Parameter)

Bestimme, für welche   die folgende Reihe konvergiert:

 

Lösung (Reihe mit Parameter)

Da   eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe nach dem Verdichtungskriterium genau dann, wenn die folgende Reihe konvergiert:

 

Nach der Übungsaufgabe im Hauptartikel zum Verdichtungskriterium konvergiert die Reihe   für   und divergiert für  . Genau diese beiden Fälle unterscheiden wir auch hier:

Fall 1:  

Hier gilt

 

und  . Nach dem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe für alle  .

Fall 2:  

Hier ist

 

und   divergiert. Nach dem Minorantenkriterium divergiert die Reihe für alle  .

Weitere Konvergenzkriterien Bearbeiten

Aufgabe (Absolute Konvergenz von Reihen mit Produktgliedern)

Seien   und   zwei reelle Zahlenfolgen. Zeige:

  1. Konvergiert die Reihe   absolut und ist   beschränkt, so konvergiert auch die Reihe   absolut.
  2. Konvergiert die Reihe   und ist   beschränkt, so muss die Reihe   nicht konvergieren.

Lösung (Absolute Konvergenz von Reihen mit Produktgliedern)

1. Teilaufgabe:

1. Möglichkeit: Mit Beschränktheit der Partialsummen.

Da   absolut konvergiert, ist die Partialsummenfolge   beschränkt. Weiter ist   beschränkt. Daher gibt es eine   mit   für alle  . Damit folgt

 

Da nun   beschränkt ist, ist auch   beschränkt. Aus der Ungleichung folgt, dass auch   beschränkt ist. Damit konvergiert   absolut.

2. Möglichkeit: Mit Majorantenkriterium.

Da   beschränkt ist, gibt es eine   mit   für alle  . Damit folgt

 

Da nun   absolut konvergiert, konvergiert auch   absolut. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert   absolut.

Teilaufgabe 2:

Wir wissen, dass die harmonische Reihe   divergiert und die alternierende harmonische Reihe   konvergiert (jedoch nicht absolut). Nun können wir   wie folgt umschreiben:

 

Weiter ist   beschränkt, denn  . Also ist   konvergent,   beschränkt, aber   divergent.

Hinweis

Wie wir sehen reicht bei gewöhnlicher Konvergenz der Reihe   die Beschränktheit der Folge   nicht aus, damit die Reihe   konvergiert. Ist   jedoch zusätzlich monoton, so folgt daraus die Konvergenz der Reihe der Produktglieder. Siehe hierzu das Abel-Kriterium weiter unten.

Aufgabe (Kriterium von Raabe)

  1. Seien   und   zwei reelle Zahlenfolgen. Zeige: Gilt für fast alle     und
    •   für ein  , so ist   absolut konvergent.
    •  , so ist   divergent.
  2. Zeige mit dem Kriteriums von Raabe, dass die folgende Reihe für jedes   konvergiert:
     

Lösung (Kriterium von Raabe)

Teilaufgabe 1:

  • Zunächst gilt die Äquivalenzumformung
 

Da die Umformung für fast alle   gilt, gibt es ein  , so dass sie für alle   gilt. Summieren wir nun beide Seiten bis zu einer natürlichen Zahl   auf, so erhalten wir

 

Also ist die Folge der Partialsummen   beschränkt. Somit konvergiert die Reihe   absolut, und damit auch die Reihe  .

  • Im 2. Fall gilt für alle   die Umformung
 

Dies ist nun äqivalent zu

 

Da nun die Reihe   divergiert (harmonische Reihe), divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe  , und damit auch  .

Teilaufgabe 2: Hier ist  , und damit

 

Mit   folgt nun mit dem Kriterium von Raabe die absolute Konvergenz der Reihe  .

Aufgabe (Dirichlet-Kriterium)

Beweise das Dirichlet-Kriterium: Seien   und   reelle Folgen mit

  1. Die Partialsummen   bilden eine beschränkte Folge,