Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel lernst du ein einfaches und nützliches Kriterium zur Divergenz einer Reihe kennen: das Trivialkriterium, welches auch Nullfolgenkriterium oder Divergenzkriterium genannt wird. Es besagt, dass jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, bei der $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge ist, divergieren muss. Dies kannst du auch so formulieren: Bei jeder konvergenten Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ muss zwangsweise $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$ sein.

Trivialkriterium

Ein Video zur Erklärung des Trivialkriteriums. (YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Erklärung des Trivialkriteriums

Das Trivialkriterium lautet:

Satz (Trivialkriterium)

Wenn eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert, dann ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge. Dies bedeutet, dass jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergieren muss, falls $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ divergiert oder $\lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0$ ist.

Beispiel (Trivialkriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}$ divergiert, weil die Folge $\left((-1)^{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ divergent ist (sie besitzt mit $1$ und $-1$ mehr als einen Häufungspunkt und kann deshalb nicht konvergieren).

Auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\sqrt[{k}]{4}}$ divergiert, weil $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{4}}=1\neq 0$ ist.

Warnung

Dass $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist, ist nur ein notwendiges, aber kein hinreichendes Kriterium für Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Das bedeutet: Aus der Tatsache, dass $\lim _{k\to \infty }a_{k}=0$ kann nicht gefolgert werden, dass $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Beispielsweise ist die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergent, auch wenn $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{k}}=0$ ist.

Beweis über Teleskopsumme

Beweis des Trivialkriteriums über die Teleskopsumme

Beweis (Trivialkriterium über Teleskopsumme)

Wir nehmen an, dass $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine konvergente Reihe ist. Nun wollen wir zeigen, dass $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist.

Die Koeffizientenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ lässt sich als Differenz der beiden Partialsummen $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ und $S_{n-1}=\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}$ schreiben:

${\begin{aligned}a_{n}&=a_{n}+0\\&=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{2}+a_{1}-a_{n-1}-a_{n-2}-\ldots -a_{2}-a_{1}\\&={\color {Teal}(a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{2}+a_{1})}-{\color {Indigo}(a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{2}+a_{1})}\\&={\color {Teal}\sum _{k=1}^{n}a_{k}}-{\color {Indigo}\sum _{k=1}^{n-1}a_{k}}=S_{n}-S_{n-1}\end{aligned}}$

Nun gilt, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ gegen einen Grenzwert $s\in \mathbb {R}$ konvergiert. Also ist

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}=s$

Ebenso gilt $\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=s$, da sich der Grenzwert bei Verschiebung der Folgenglieder nicht ändert. Zusammen erhalten wir nun:

${\begin{aligned}&\lim _{n\to \infty }a_{n}\\[0.3em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}{\text{ (siehe oben)}}\right.}\\[0.3em]=&\lim _{n\to \infty }(S_{n}-S_{n-1})\\[0.3em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}-\lim _{n\to \infty }b_{n}\right.}\\[0.3em]=&\lim _{n\to \infty }S_{n}-\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=s-s=0\end{aligned}}$

Also ist $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge.

Beweis über Cauchy-Kriterium

Beweis des Trivialkriteriums mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums

Beweis (Trivialkriterium über Cauchy-Kriterium)

Du kannst den Beweis des Trivialkriteriums auch mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums führen. Dieses besagt, dass jede konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ das Cauchy-Kriterium für Reihen erfüllt:

$\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\geq m\geq N:\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\epsilon$

Betrachten wir nicht alle $n\geq m$, sondern nur den Fall $m=n$:

${\begin{aligned}&\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n=m\geq N:\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \\&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ n=m\right.}\\\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N:\left|\sum _{k=n}^{n}a_{k}\right|<\epsilon \\&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=n}^{n}a_{k}=a_{n}\right.}\\[0.5em]\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N:\left|a_{n}\right|<\epsilon \\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ |a_{n}|=|a_{n}-0|\right.}\\[0.5em]\Rightarrow \ &\forall \epsilon >0\,\exists N\in \mathbb {N} \,\forall n\geq N:\left|a_{n}-0\right|<\epsilon \end{aligned}}$

Die letzte Aussageform ist genau die $\epsilon$-Definition dafür, dass $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist. Damit haben wir bewiesen, dass $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ ist.

Beispielaufgabe

Beispielaufgabe zum Trivialkriterium

Aufgabe

Beweise, dass $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+1}}$ divergiert.

Lösung

Es ist

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{n+1}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{1+{\frac {1}{n}}}}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {\lim _{n\to \infty }1}{\lim _{n\to \infty }1+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}}}={\frac {1}{1+0}}=1\end{aligned}}$

Dies zeigt, dass die Folge $a_{n}={\tfrac {n}{n+1}}$ keine Nullfolge ist. Damit divergiert die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{n+1}}$ nach dem Trivialkriterium.

Ausblick: Verschärfung des Trivialkriteriums (Satz von Oliver)

Unter der Zusatzvoraussetzung, dass $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ monoton fallend ist, gilt sogar dass $(na_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge ist. Siehe hierzu die entsprechende Übungsaufgabe.