Rechenregeln für Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir haben die Reihen als unendliche Summe kennen gelernt. Wie geht man aber mit ihr um? Darf man bei unendlichen Summen dieselben Rechenregeln anwenden, die für endliche Summen gelten? Kann man beispielsweise „wahllos“ Klammern setzen und entfernen (Assoziativgesetz der Addition) oder Summanden „nach Lust und Laune“ umordnen (Kommutativgesetz der Addition)? Nein, nicht unbedingt: Wie wir sehen werden, gibt es beim Setzen von Klammern und beim Umordnen von Summanden bei Reihen Einschränkungen. Jedoch gibt es auch nützliche Rechenregeln: So darf man konvergente Reihen miteinander addieren und diese mit einer Konstanten multiplizieren.

Übersicht

Rechenregeln

Im Kapitel zu den Grenzwertsätzen von Folgen haben wir unter anderem gezeigt, dass ${\textstyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ für konvergierende Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist. Auch für Reihen können ähnliche Sätze gezeigt werden. So gelten die folgenden Formeln für konvergente Reihen ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ sowie für eine Konstante $\lambda \in \mathbb {R}$:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}+b_{k})&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\\[0.5em]\sum _{k=1}^{\infty }\lambda a_{k}&=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\end{aligned}}$

Ferner konvergiert eine Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, wenn die beiden Reihen ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}}$ konvergieren, welche man erhält, wenn man die Reihe aufteilt. Dabei ist:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$

Innerhalb einer konvergenten Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ können neue Klammern eingefügt werden. Es gilt also:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)$

Dabei ist $(j_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ die streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit $j_{1}=1$, bei der $j_{l}$ jeweils den Index der ersten Summanden einer Klammer bezeichnen. Demgegenüber können bei divergenten Reihen beliebig viele Klammern weggelassen werden. Divergiert nämlich die Reihe ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$, dann divergiert auch die Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$.

Was bei Reihen nicht so einfach funktioniert

Für die Partialsummen gilt: $\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\neq \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}$. Das Multiplizieren von zwei oder mehr Reihen ist bei weitem komplexer, derart, dass wir es hier nicht behandeln werden.

Verständnisfrage: Finde ein Beispiel für zwei Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$, bei denen $\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\right)\neq \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}$ gilt!

Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch $a_{1}=2,a_{2}=1,a_{k}=0$ für $k\geq 3$ und $b_{1}=1,b_{k}=0$ für $k\geq 2$. Es gilt also

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\right)&=(2+1+0+\ldots )\cdot (1+0+\ldots )=3\cdot 1=3\\[0.3em]\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}b_{k}&=2\cdot 1+1\cdot 0+0\cdot 0+\ldots =2\end{aligned}}$

Ein allgemein gültiges Assoziativ- und Kommutativgesetz für Reihen existiert nicht. Bei endlichen Summen kommt es nicht auf die Reihenfolge der Summanden an, man darf sie also nach Belieben umordnen und ebenso nach Belieben darf man Klammern setzen und entfernen: Nicht aber bei unendlichen Summen, denn das Setzen bzw. Entfernen von Klammern sowie das Umordnen von Gliedern ist bei Reihen nicht zwangsläufig wirkungslos. An Stelle eines allgemeinen Assoziativ- und Kommutativgesetz für Reihen gibt es stattdessen den Umordnungssatz und das Cauchy-Produkt für Reihen. Bei diesen gelten jedoch zusätzliche Voraussetzungen an die konvergenten Reihen.

Summenregel

Beweis der Summenregel

Satz (Summenregel für Reihen)

Seien ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ zwei konvergente Reihen. Dann gilt

$\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$

Beweis (Summenregel für Reihen)

Es ist:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}+b_{k})&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}+\lim _{n\to \infty }b_{n}\right.}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}b_{k}\\[0.5em]&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\end{aligned}}$

Dabei durften wir den Grenzwertsatz ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}+\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ verwenden, weil die beiden Reihen ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ nach Voraussetzung konvergieren und damit die Grenzwerte ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ und ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$ existieren.

Beispielaufgabe Summenregel

Aufgabe (Summenregel für Reihen)

Berechne den Wert der Reihe ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {1+(-1)^{k}}{2^{k}}}}$.

Lösung (Summenregel für Reihen)

Es gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1+(-1)^{k}}{2^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {1}{2^{k}}}+{\frac {(-1)^{k}}{2^{k}}}\right]\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}+\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}\right]\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }(a_{k}+b_{k})=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right.}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}+\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}&={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\\[0.5em]\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}&={\frac {1}{1-(-{\frac {1}{2}})}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}={\frac {2}{3}}\end{aligned}}\right.}\\[0.5em]&=2+{\frac {2}{3}}={\frac {8}{3}}\end{aligned}}$

Weil die einzelnen Reihen konvergieren, durften wir die Summenregel anwenden.

Faktorregel

Beweis der Faktorregel

Satz (Faktorregel für Reihen)

Sei ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ eine konvergente Reihe und sei $\lambda \in \mathbb {R}$ eine beliebige reelle Zahl. Es ist dann:

$\sum _{k=1}^{\infty }\lambda a_{k}=\lambda \cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$

Beweis (Faktorregel für Reihen)

Es ist:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }\lambda a_{k}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\lambda a_{k}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }\left(\lambda \cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{n\to \infty }\lambda \cdot a_{n}=\lambda \cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}\right.}\\[0.5em]&=\lambda \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}\\[0.5em]&=\lambda \cdot \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\end{aligned}}$

Dabei dürfen wir ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\left(\lambda \cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)=\lambda \cdot \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ verwenden, weil ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert und damit der Grenzwert ${\textstyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ existiert.

Beispielaufgabe Faktorregel

Aufgabe

Berechne ${\textstyle \sum _{k=4}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}}$.

Lösung

Es ist

${\begin{aligned}\sum _{k=4}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k+4}}}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4}}}\cdot {\frac {1}{2^{k}}}\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\lambda a_{k}=\lambda \cdot \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{2^{4}}}\cdot 2={\frac {1}{2^{3}}}={\frac {1}{8}}\end{aligned}}$

Wegen der Konvergenz der Reihe durften wir die Faktorregel anwenden.

Aufteilungsregel

Beweis der Aufteilungsregel

Satz (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Folge. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$ konvergieren, dann ist auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergent, und es gilt:

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$

Beweis (Aufteilungsregel für Reihen)

Diese Regel ist eine Folgerung aus der obigen Summenregel. Zunächst schauen wir uns die beiden Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$ an. Zu ihnen gehören die Partialsummenfolgen:

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{2k-1}\right)_{n\in \mathbb {N} }&=(a_{1},a_{1}+a_{3},a_{1}+a_{3}+a_{5},\ldots )\\[0.5em]\left(\sum _{k=1}^{n}a_{2k}\right)_{n\in \mathbb {N} }&=(a_{2},a_{2}+a_{4},a_{2}+a_{4}+a_{6},\ldots )\end{aligned}}$

Zunächst bilden wir zwei neue Folgen $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ und $(c_{k})_{k\in \mathbb {N} }$, indem wir $(a_{2k-1})_{k\in \mathbb {N} }$ und $(a_{2k})_{k\in \mathbb {N} }$ geschickt mit Nullen auffüllen:

${\begin{aligned}(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }&=(a_{1},0,a_{3},0,a_{5},\ldots )\\[0.5em](c_{k})_{k\in \mathbb {N} }&=(0,a_{2},0,a_{4},0,\ldots )\end{aligned}}$

Zu diesen Folgen zugehörigen Partialsummenfolgen lauten damit:

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }&=(a_{1},a_{1}+0,a_{1}+0+a_{3},a_{1}+0+a_{3}+0,\ldots )\\[0.5em]\left(\sum _{k=1}^{n}c_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }&=(0,0+a_{2},0+a_{2}+0,0+a_{2}+0+a_{4},\ldots )\end{aligned}}$

Da $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$ konvergieren, konvergieren auch $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$, wobei für die Grenzwerte dieser Reihen gilt:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}\\[0.5em]\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}\end{aligned}}$

Aus der Summenregel folgt, dass $\sum _{k=1}^{\infty }(b_{k}+c_{k})$ konvergieren muss. Nun ist $a_{k}=b_{k}+c_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Damit muss auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergieren, wobei

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(b_{k}+c_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}+\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$

Verständnisfrage: Gilt auch die Umkehrung der Aufteilungsregel? Folgt also aus der Konvergenz der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ auch die Konvergenz der Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}$?

Nein, die Umkehrung gilt nicht. Betrachte beispielsweise die konvergente alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\tfrac {1}{k}}$. Dann divergiert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k}=\sum _{k=1}^{\infty }-{\tfrac {1}{2k}}$, weil sie der Hälfte der harmonischen Folge $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ entspricht. Ebenso divergiert $\sum _{k=1}^{\infty }a_{2k-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2k-1}}$.

Beispielaufgabe Aufteilungsregel

Aufgabe (Aufteilungsregel für Reihen)

Sei $a_{n}={\begin{cases}({\frac {1}{3}})^{n}&{\text{ für }}n=2k,\\0&{\text{ für }}n=2k-1.\end{cases}}$ Berechne den Wert der Reihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$.

Lösung (Aufteilungsregel für Reihen)

Es gilt

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[a_{2k}+a_{2k+1}\right]\\[0.5em]&\ {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{2k}+\sum _{k=0}^{\infty }a_{2k-1}\right.}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{2k}+\sum _{k=0}^{\infty }0\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{9}}\right)^{k}+0\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{9}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{9}}}}={\frac {9}{8}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {9}{8}}\end{aligned}}$

Weil die Reihe konvergiert, durften wir die Rechenregeln anwenden.

Das Assoziativgesetz bei Reihen

Warum es kein allgemeines Assoziativgesetz für Reihen gibt

Bei endlichen Summen ist es dank des Assoziativgesetzes der Addition erlaubt, beliebige Klammern zu setzen. Beispielsweise ist

${\begin{aligned}1-1+1-1+1-1&=(((((1-1)+1)-1)+1)-1)\\[0.3em]&=((((0+1)-1)+1)-1)\\[0.3em]&=\ldots =0\end{aligned}}$

Analog gilt

$(1-1)+(1-1)+(1-1)=0+0+0=0$

Bei unendlichen Reihen müssen wir hingegen aufpassen. Betrachten wir in Analogie die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}=1-1+1-1\pm \ldots$

Diese Reihe hat die folgende Folge von Partialsummen:

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}\right)_{n}&=(1,1-1,1-1+1,1-1+1-1,\ldots )\\[0.3em]&=(1,0,1,0,\ldots )\end{aligned}}$

Diese Folge springt zwischen den Werten $0$ und $1$ hin und her und ist damit divergent (da sie mit $0$ und $1$ zwei verschiedene Häufungspunkte besitzt). Durch Setzen von Klammern erhalten wir jedoch eine gegen Null konvergente Reihe:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{2k}+(-1)^{2k+1}\right)&=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots \\[0.3em]&=0+0+0+0+\ldots =0\end{aligned}}$

In einer divergenten Reihe dürfen Klammern nicht beliebig gesetzt oder weggelassen werden, da sonst das Konvergenzverhalten der Reihe verändert werden kann. Obiges Beispiel zeigt auch, dass bei konvergenten Reihen Klammern nicht weggelassen werden dürfen. Die obige Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{2k}+(-1)^{2k+1}\right)}$ ist konvergent. Wenn wir aber die Klammern weglassen, erhalten wir die Ausgangsreihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}}$, welche divergiert.

Frage: Gibt es auch Klammerungen der Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}$, die gegen $1$ beziehungsweise $-1$ konvergieren?

Gegen $1$ konvergiert die Klammerung

${\begin{aligned}1+\sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{2k+1}+(-1)^{2k+2}\right)&=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots \\[0.3em]&=1+0+0+0+\ldots =1\end{aligned}}$

Eine Klammerung, die gegen $-1$ konvergiert, ist nicht möglich.

Beispiel: Eine Situation, wo Klammern gesetzt werden können

Betrachten wir die konvergente Reihe ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}}$. Diese Reihe stellt die unendliche Summe $1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots$ dar. Zu ihr gehört die Partialsummenfolge:

$\left(\sum _{k=0}^{n}2^{-k}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1,\ 1+{\frac {1}{2}},\ 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}},\ \ldots \right)$

Was passiert, wenn wir neue Klammern in der unendlichen Folge einfügen? Beispielsweise können wir zwei benachbarte Summanden durch eine Klammer zusammenfassen und erhalten so den Ausdruck ${\textstyle \left(1+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}\right)+\ldots }$. In der Reihenschreibweise erhalten wir ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(2^{-2k}+2^{-(2k+1)}\right)}$. Damit erhalten wir folgende Partialsummenformel

$\left(\sum _{k=0}^{n}\left(2^{-2k}+2^{-(2k+1)}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(1+{\frac {1}{2}},\ 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}},\ \ldots \right)$

Diese Partialsummenfolge ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert die Reihe ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }2^{-k}}$ und damit auch die dazugehörige Partialsummenfolge. Da bei konvergenten Folgen auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, muss auch die neu geklammerte Partialsummenfolge ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(2^{-2k}+2^{-(2k+1)}\right)}$ gegen denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Partialsummenfolge konvergieren. Es ist also möglich, Klammern in Reihen zu setzen.

Wann Klammern gesetzt und weggelassen werden können

Wenn wir in einer Reihe benachbarte Summanden durch Klammern zusammenfassen, bevor die Reihe gebildet wird, dann entsteht eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun gilt:

• Konvergiert eine Folge, dann konvergiert jede Teilfolge.
• Divergiert eine Teilfolge, dann divergiert auch die ursprüngliche Folge.

Da Klammersetzung in einer Reihe eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge ergibt, erhalten wir:

• In konvergierenden Reihen können Klammern beliebig gesetzt werden.
• In divergenten Reihen können Klammern beliebig weggelassen werden.

Wir erhalten den folgenden Satz:

Satz (Klammersetzen in Reihen)

Konvergiert eine Reihe, so konvergiert auch jede Reihe gegen denselben Grenzwert, die durch neue Klammern aus der ursprünglichen Reihe entstanden ist. Divergiert eine Reihe, so können beliebig Klammerungen weggelassen werden.

Sei ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ eine konvergente Reihe. Sei außerdem $(j_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit $j_{1}=1$. Hier gibt $j_{l}$ den Index des ersten Summanden der $l$-ten Teilsumme an, die durch die Klammerung zusammengefasst wird. Es gilt also:

• Konvergiert ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ so konvergiert auch ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$ gegen denselben Grenzwert.
• Divergiert ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$, so divergiert auch ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$. In divergenten Reihen können also Klammerungen weggelassen werden, ohne dass das Grenzwertverhalten verändert wird.

Beweis (Klammersetzen in Reihen)

Sei ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ eine konvergente Reihe. Durch Einführung neuer Klammern entsteht die Reihe ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$, wobei $(j_{l})_{l\in \mathbb {N} }$ eine streng monoton steigende Folge natürlicher Zahlen mit $j_{1}=1$. Die Zahl $j_{l}$ ist dabei jeweils der Index des ersten Summanden, welcher in einer Teilsumme durch eine Klammersetzung zusammengefasst wird. Die dazugehörige Partialsummenfolge lautet

${\begin{aligned}\left(\sum _{l=1}^{n}\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)\right)_{n\in \mathbb {N} }&=\left(\sum _{k=1}^{j_{2}-1}a_{k},\ \sum _{k=1}^{j_{2}-1}a_{k}+\sum _{k=j_{2}}^{j_{3}-1}a_{k},\ \ldots \right)\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=1}^{j_{2}-1}a_{k},\ \sum _{k=1}^{j_{3}-1}a_{k},\ \sum _{k=1}^{j_{4}-1}a_{k},\ \ldots \right)\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=1}^{j_{n+1}-1}a_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}$

Dies ist eine Teilfolge der ursprünglichen Partialsummenfolge. Nun konvergiert eine Folge genau dann gegen einen Grenzwert, wenn jede ihrer Teilfolgen gegen denselben Grenzwert konvergiert. Daraus folgt:

• Konvergiert ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ so konvergiert auch ihre Teilfolge ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$ gegen denselben Grenzwert.
• Divergiert die Teilfolge ${\textstyle \sum _{l=1}^{\infty }\left(\sum _{k=j_{l}}^{j_{l+1}-1}a_{k}\right)}$, so divergiert auch ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$.

Damit können in konvergenten Reihen beliebig Klammern gesetzt und in divergenten Reihen beliebig Klammern weggelassen werden.

Warnbeispiel: Summe aller natürlichen Zahlen gleich -1/12?!

In vielen Youtube-Videos und Presse-Artikeln findet sich ein „Beweis“, dass die Summe der natürlichen Zahlen gleich $-{\tfrac {1}{12}}$ sei:

$\sum _{k=1}^{\infty }k=1+2+3+4+5+6+7+8+\ldots =-{\frac {1}{12}}$

Diese offensichtlich falsche Aussage zeigt, was passiert, wenn mit falschen Grenzwerten hantiert und die Rechenregeln für Reihen ohne Prüfung der Voraussetzungen angewendet werden. Der „Beweis“ dazu lautet wie folgt: Zunächst gilt mit der Formel für die geometrische Reihe:

$1-1+1-1+1-1+1-1\pm \ldots =\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}={\frac {1}{1-(-1)}}={\frac {1}{2}}$

Verständnisfrage: Was ist daran falsch?

Die geometrische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}$ divergiert für $q=-1$. Daher ist der Grenzwert ${\frac {1}{1-q}}$ für $q=-1$ falsch.

Weiter erhalten wir für die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k$ die Identität

${\begin{aligned}2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k&=2\cdot (1-2+3-4+5-6+7-8\pm \ldots )\\[0.3em]&=2-4+6-8+10-12+14-16\pm \ldots \\[0.3em]&=1+1-2-2+3+3-4-4+5+5-6-6+7+7-8-8+\ldots \\[0.3em]&=1+(1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+(-6+7)+(7-8)+\ldots \\[0.3em]&=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots \\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Was ist hier falsch?

${\begin{aligned}2\cdot \sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k&=2\cdot (1-2+3-4+5-6+7-8\pm \ldots )\\[0.3em]&\ {\color {Red}=}\ 2-4+6-8+10-12+14-16\pm \ldots \\[0.3em]&=1+1-2-2+3+3-4-4+5+5-6-6+7+7-8-8+\ldots \\[0.3em]&\ {\color {Red}=}\ 1+(1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+(-6+7)+(7-8)+\ldots \\[0.3em]&=1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots \\[0.3em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}k$ divergiert, da die Partialsummen unbeschränkt sind. Daher darf der Faktor $2$ nicht in die Reihe gezogen werden, da die Faktorregel für divergente Reihe nicht gilt. Ebensowenig dürfen hier Klammern gesetzt werden, da das Assoziativgesetz für divergenten Reihen nicht anwendbar ist.

Dividieren wir diese Gleichung durch $2$, so erhalten wir $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k={\frac {1}{4}}$. Subtrahieren wir nun dies von unserer ursprünglichen Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }k$, so ergibt sich

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{\infty }k\right)-{\frac {1}{4}}&=\sum _{k=1}^{\infty }k-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k\\[0.3em]&=(1+2+3+4+5+6+7+8+\ldots )-(1-2+3-4+5-6+7-8\pm \ldots )\\[0.3em]&=0+4+0+8+0+12+0+16+\ldots \\[0.3em]&=4\cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+\ldots )\\[0.3em]&=4\cdot \sum _{k=1}^{\infty }k\end{aligned}}$

Verständnisfrage: Wo liegen hier die Fehler begraben?

${\begin{aligned}\left(\sum _{k=1}^{\infty }k\right)-{\frac {1}{4}}&=\sum _{k=1}^{\infty }k-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}k\\[0.3em]&=(1+2+3+4+5+6+7+8+\ldots )-(1-2+3-4+5-6+7-8\pm \ldots )\\[0.3em]&\ {\color {Red}=}\ 0+4+0+8+0+12+0+16+\ldots \\[0.3em]&\ {\color {Red}=}\ 4\cdot (1+2+3+4+5+6+7+8+\ldots )\\[0.3em]&=4\cdot \sum _{k=1}^{\infty }k\end{aligned}}$

Die divergenten Reihen $\sum _{k=1}^{\infty }k$ und $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}k$, dürfen nicht einfach voneinander gliedweise abgezogen werden, da die Additions- bzw. hier Subtraktionsregel für divergente Reihen nicht gilt. Ebensowenig darf der Faktor $4$ aus der divergenten Reihe $4+8+12+16+\ldots =\sum _{k=1}^{\infty }4k$ gezogen werden, da die Faktorregel für divergente Reihe erneut nicht angewendet werden darf.

Daraus folgt

${\begin{aligned}&\left(\sum _{k=1}^{\infty }k\right)-{\frac {1}{4}}=4\cdot \sum _{k=1}^{\infty }k\\[0.3em]\iff &-3\left(\sum _{k=1}^{\infty }k\right)-{\frac {1}{4}}=0\\[0.3em]\iff &-3\left(\sum _{k=1}^{\infty }k\right)={\frac {1}{4}}\\[0.3em]\iff &\sum _{k=1}^{\infty }k=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}$

q.e.d. bzw. w.t.f.

Ausblick: Reihen und Vektorräume

Für Reihen ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ und ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }b_{k}}$ sowie $\lambda \in \mathbb {R}$ geltenden die folgenden Rechenregeln:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(a_{k}+b_{k})&=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}+\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}\\[0.5em]\sum _{k=1}^{\infty }\lambda a_{k}&=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}\end{aligned}}$

Mit Hilfe des Begriffs des Vektorraums und der lineare Abbildungen können diese Regeln auch so interpretiert werden: Die Menge aller reellwertigen Folgen ${\textstyle V=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in V:a_{n}\in \mathbb {R} \right\}}$ bildet unter der punktweisen Addition und der skalaren Multiplikation einen Vektorraum (Vektorräume sind Mengen, deren Elemente man addieren und skalieren kann). Aus den obigen Regeln folgt, dass die Menge ${\textstyle U=\left\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }:\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}{\text{ konvergiert}}\right\}}$ aller Folgen $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, bei denen die Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ konvergiert, ein Untervektorraum der Menge $V$ aller Folgen ist. Außerdem ist die Abbildung ${\textstyle f:U\to \mathbb {R} :(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$, die einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ den Grenzwert von ihrer Reihe ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}}$ zuordnet, eine lineare Abbildung.