Körperaxiome – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Was würdest du auf folgende Frage antworten: „Was sind die reellen Zahlen?“ Manche meinen: „Reelle Zahlen sind das, mit dem man rechnen kann“. Diese Antwort kommt der tatsächlichen Definition reeller Zahlen durchaus nah. Sie muss aber noch konkretisiert werden. Was bedeutet es, dass man „mit Zahlen rechnen kann“? In diesem Kapitel erfährst du die Antwort darauf...

Einleitung

Wir beginnen die Definition der reellen Zahlen mit den sogenannten Körperaxiomen. Diese bilden neben den Anordnungsaxiomen und dem Vollständigkeitsaxiom die Basis, um die reellen Zahlen zu charakterisieren. Zur Wiederholung: Axiome sind Aussagen, die ohne Beweis als wahr angenommen werden. Die Körperaxiome beschreiben damit Eigenschaften der reellen Zahlen, die wir nicht hinterfragen. Es sind Eigenschaften, die wir als charakteristisch für die reellen Zahlen ansehen. Die Körperaxiome (und die anderen Axiome der reellen Zahlen) entsprechen damit folgender Aussagenstruktur

Reelle Zahlen sind Objekte, die folgende Eigenschaften besitzen: …

Dabei definieren die Körperaxiome die vier Grundrechenarten der reellen Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. In den Körperaxiomen selbst wird die Addition und die Multiplikation charakterisiert. Die Subtraktion und die Division werden anschließend, wie du noch sehen wirst, über gesonderte Definitionen eingeführt.

Die Körperaxiome

Die Körperaxiome lauten: Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei (zweistellige) Verknüpfungen definiert:

• eine Verknüpfung der Addition: $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$
• eine Verknüpfung der Multiplikation: $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

Die Schreibweise $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ bezeichnet eine zweistellige Operation. Das bedeutet beispielsweise in der Schreibweise $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, dass die Addition zwei reelle Zahlen als Argumente annimmt und ihnen eine reelle Zahl als Ergebnis zuordnet. Analog macht auch die Multiplikation aus zwei reellen Zahlen als Argumente eine reelle Zahl als Ergebnis. Weiterhin fordern die Körperaxiome, dass diese Verknüpfungen folgende Eigenschaften besitzen sollen:

Definition (Körperaxiome)

Auf der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ sind zwei Operationen $+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ und $\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ definiert. Diese erfüllen folgende Eigenschaften:

• Eigenschaften der Addition:
  • Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x+(y+z)=(x+y)+z$.
  • Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x+y=y+x$.
  • Existenz der Null: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $0\in \mathbb {R}$, für die $0+x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
  • Existenz des Negativen: Für jede reelle Zahl $x$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $-x$ mit $x+(-x)=0$.
• Eigenschaften der Multiplikation:
  • Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$.
  • Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ gilt $x\cdot y=y\cdot x$.
  • Existenz der Eins: Es gibt mindestens eine reelle Zahl $1\in \mathbb {R}$ mit $1\neq 0$, für die $1\cdot x=x$ für alle reellen Zahlen $x$ gilt.
  • Existenz des Inversen: Für jede reelle Zahl $x\neq 0$ gibt es mindestens eine reelle Zahl $x^{-1}$ mit $x\cdot x^{-1}=1$.
• Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen $x,y,z$ gilt $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$.

Definitionen im Zusammenhang mit den Körperaxiomen

Die Körperaxiome nehmen noch keinen Bezug auf die Subtraktion und Division. Diese müssen erst auf Grundlage der Körperaxiome definiert werden:

Definition (Subtraktion und Division)

Die Subtraktion wird auf eine Addition und die Division auf eine Multiplikation zurückgeführt:

${\begin{aligned}-&:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &:(x,y)\mapsto x-y&:=x+(-y)\\\div &:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \setminus \{0\}\rightarrow \mathbb {R} &:(x,y)\mapsto x\div y&:=x\cdot y^{-1}\\\end{aligned}}$

Die Subtraktion ist damit die Addition des Negativen einer Zahl und die Division die Multiplikation mit dem Inversen einer Zahl.

So entpuppt sich nach unserer Definition die Subtraktion als eine Addition und die Division als eine Multiplikation. Die Eigenschaften der Division und der Subtraktion werden damit auch durch die Körperaxiome beschrieben. In der Mathematik sagt man dementsprechend zu Differenzen oft Summen und zu Quotienten oft Produkte.

Definition weiterer Begriffe

Im Folgenden verwenden wir die aus der Schule bekannten Bezeichnungen:

$\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Summand}}+\underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Summand}}} ^{\text{Summe}}$

$\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Minuend}}-\underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Subtrahend}}} ^{\text{Differenz}}$

$\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Faktor}}\cdot \underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Faktor}}} ^{\text{Produkt}}$

$\overbrace {\underbrace {x{\underset {}{}}} _{\text{Dividend}}\div \underbrace {y{\underset {}{}}} _{\text{Divisor}}} ^{\text{Quotient}}$

Weiterhin nennen wir eine Struktur, die alle Körperaxiome erfüllt, einen Körper:

Definition (Körper)

Eine Menge, die eine Addition und eine Multiplikation mit den obigen Eigenschaften besitzt, nennt man einen „Körper“.

Somit ist $\mathbb {R}$ mit der Addition und Multiplikation ein Körper. Es gibt aber auch andere Körper wie beispielsweise die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$. Für das Studium der reellen Analysis ist der Körperbegriff nur insofern wichtig, als dass du wissen musst, dass die reellen Zahlen alle Körperaxiome erfüllen und $\mathbb {R}$ demnach ein Körper ist. Der Körperbegriff als solcher wird in der Algebra näher untersucht.

Verständnisfrage: Kann es für die einelementige Menge $\{0\}$ eine geeignete Addition und Multiplikation geben, so dass diese Menge ein Körper ist?

Nein, denn laut Körperaxiom "Existenz der Eins" muss $1\neq 0$ sein. Jeder Körper muss also mindestens zwei Elemente, nämlich $0$ und $1$, besitzen. Somit kann $\{0\}$ als einelementige Menge kein Körper sein.

Anmerkungen zu den Körperaxiomen

• Assoziativgesetz der Addition und Multiplikation ($x+(y+z)=(x+y)+z$ bzw. $x\cdot (y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$): Dank des Assoziativgesetzes ist die Reihenfolge der Ausführung einer endlichen Addition/Multiplikation egal. Dementsprechend können Klammern in endlichen Summen/Produkten weggelassen werden. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
• Kommutativgesetz der Addition und Multiplikation ($x+y=y+x$ bzw. $x\cdot y=y\cdot x$): Dank dieses Axioms ist die Reihenfolge der Terme in endlichen Summen/Produkten egal. (Dies gilt nicht für unendliche Summen/Produkte!)
• Existenz des neutralen Elements der Addition und Multiplikation ($0+x=x$ und $1\cdot x=x$): Hier wird explizit nur die Existenz, nicht die Eindeutigkeit, der Null beziehungsweise Eins definiert. Die Eindeutigkeit lässt sich aus den Körperaxiomen herleiten und damit ist es unnötig, diese Eigenschaft zu fordern. Da laut der Axiome die Zahl Eins ungleich Null ist, muss ein Körper mindestens zwei Elemente besitzen (in der Algebra wirst du lernen, dass es einen Körper mit genau zwei Elementen gibt).
• Existenz des Negativen und Inversen ($x+(-x)=0$ und $x\cdot x^{-1}=1$): Auch hier wird erst einmal nur die Existenz des Negativen und Inversen gefordert. Wir werden aber später die Eindeutigkeit des Negativen und Inversen beweisen.
• Distributivgesetz ($x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$): Dieses Axiom stellt eine Verbindung zwischen Addition und Multiplikation her und ist deshalb ziemlich hilfreich. Es ist auch das einzige Axiom, das einen solchen Zusammenhang herstellt. Beachte, dass $(x+y)\cdot z=x\cdot z+y\cdot z$ nicht definiert wurde und deswegen noch bewiesen werden muss.

Nachvollziehbarkeit der Körperaxiome

Die Kommutativität der Addition ist bereits aus dem Alltag bekannt.

Visualisierung des Distributivgesetzes für positive reelle Zahlen

Eines der Ziele, die ich im vorherigen Kapitel für die Axiome der reellen Zahlen formuliert habe, ist ihre Nachvollziehbarkeit. Deswegen sollten wir jetzt schauen, ob die gewählten Axiome auch wirklich unserer intuitiven Idee der reellen Zahlen entsprechen.

Man erkennt, dass die gewählten Körperaxiome aus der Schule oder aus dem Alltag bekannt sind. Einige der Axiome können wir auch mit dem Modell der reellen Zahlen als Punkte auf der Zahlengeraden verstehen. So trifft es beispielsweise zu, dass die Addition mit Null auf der Zahlengeraden den zweiten Summanden nicht ändert. Auch die Assoziativität der Addition lässt sich mit dem Zahlengeradenmodell einfach verstehen (die grünen Vektoren werden hierbei zuerst miteinander addiert):

Zeichnung zur Assoziativität der Addition reeller Zahlen

Leider können wir nicht alle Körperaxiome mit der Zahlengeraden erklären. So ist beispielsweise die Assoziativität der Multiplikation schwierig darzustellen. Jedoch entsprechen alle Körperaxiome unserer Erfahrung im Umgang mit reellen Zahlen.