Geometrische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Die geometrische Reihe hat die Form $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$. Sie ist eine wichtige Reihe, die dir häufig in Beweisen und Herleitungen begegnen wird. Außerdem kann man mit der geometrischen Reihe Konvergenzkriterien wie das Quotienten- oder das Wurzelkriterium beweisen.

Geometrische Summenformel

Ein Video zur Erklärung der Geometrischen Reihe.(YouTube-Video vom Kanal Quatematik)

Wir wiederholen die geometrische Summenformel. Mit dieser Formel können wir die Partialsummen der geometrischen Reihe explizit ausrechnen. Beweisen wir nun die geometrische Summenformel:

Satz (Geometrische Summenformel)

Für alle reellen $q\neq 1$ und für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ ist:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{beide Seiten mit }}q{\text{ multiplizieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}-q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ (1+q+\dotsb +q^{n})-(q+q^{2}+\dotsb +q^{n+1})\\[0.5em]&=1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{links }}\sum _{k=0}^{n}q^{k}{\text{ ausklammern}}\right.}\\[0.5em]\implies \ (1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac {1}{1-q}}{\text{, da }}q\neq 1\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\[0.5em]\end{aligned}}$

Geometrische Reihe

Song über die geometrische Reihe (Youtube-Video von DorFuchs)

Die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}$ für $r={\tfrac {1}{2}}$, $r={\tfrac {1}{3}}$ oder $r={\tfrac {1}{4}}$ konvergiert.

Wir betrachten zwei Fälle: $|q|<1{\text{ und }}|q|\geq 1$.

Fall $|q|<1$

Kommen wir zur geometrischen Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$. Wir betrachten zunächst den Fall $|q|<1$ und damit $q\neq 1$, da wir nur in diesem Fall die geometrische Summenformel anwenden können. Mit dieser Formel können wir die Partialsumme explizit berechnen. Wir erhalten:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{k=0}^{n}q^{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }\\[1em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Geometrische Summenformel }}(q\neq 1)\right.}\\[1em]&=\left({\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\end{aligned}}$

Die geometrische Reihe konvergiert also genau dann, wenn die Folge $\left({\tfrac {1-q^{n+1}}{1-q}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\left(q^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge ist. Nun wissen wir, dass $\left(q^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $0$ konvergiert, wenn $|q|<1$ ist, und gegen $1$ konvergiert, wenn $q=1$ ist. Den Fall $q=1$ haben wir in diesem Abschnitt aber ausgeschlossen. Damit erhalten wir zunächst:

Wenn $|q|<1$ ist, dann konvergiert die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$.

Berechnen wir nun den Grenzwert der geometrischen Reihe für $|q|<1$:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}q^{k}\\[0.3em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.3em]&={\frac {1-\lim _{n\to \infty }q^{n+1}}{1-q}}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ |q|<1\right.}\\[0.3em]&={\frac {1-0}{1-q}}\\[0.3em]&={\frac {1}{1-q}}\end{aligned}}$

Aufgabe (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Zeige, dass die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ für $|q|<1$ gegen ${\tfrac {1}{1-q}}$ konvergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Wir müssen zeigen, dass es zu jedem $\epsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass

$\left|\sum _{k=0}^{n}q^{k}-{\frac {1}{1-q}}\right|<\epsilon$ für alle $n\geq N$

Mit der geometrischen Summenformel gilt nun

$\left|\sum _{k=0}^{n}q^{k}-{\frac {1}{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}-{\frac {1}{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{n+1}-1}{1-q}}\right|=\left|{\frac {q^{n+1}}{1-q}}\right|={\frac {1}{1-q}}\cdot |q^{n+1}|$

Da die geometrische Folge $(q^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ für $|q|<1$ gegen Null konvergiert, gilt dies auch für $(q^{n+1})_{n\in \mathbb {N} }$. Also gibt es zu jedem ${\tilde {\epsilon }}>0$ ein ${\tilde {N}}\in \mathbb {N}$ mit

$|q^{n+1}-0|<{\tilde {\epsilon }}$ für alle $n\geq {\tilde {N}}$

Weil ${\frac {1}{1-q}}$ konstant ist, gibt es auch ein $N\in \mathbb {N}$ mit

${\frac {1}{1-q}}\cdot |q^{n+1}|<\epsilon$ für alle $n\geq N$

Damit folgt die Behauptung.

Beweis (Alternativer Beweis für die Konvergenz der geometrischen Reihe)

Sei $\epsilon >0$ gegeben. Die geometrische Folge $(q^{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert für $|q|<1$ gegen null. Wegen $|q|<1$ gibt es für ${\tilde {\epsilon }}:=(1-q)\cdot \epsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$ mit

$|q^{n}|<{\tilde {\epsilon }}$ für alle $n\geq N$

Mit der geometrischen Summenformel folgt dann für alle $n\geq N$

${\begin{aligned}&\left|\sum _{k=0}^{n}q^{k}-{\frac {1}{1-q}}\right|=\left|{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}-{\frac {1}{1-q}}\right|\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{1-q}}\cdot |q^{n+1}|\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ n+1\geq N\right.}\\[0.3em]<\ &{\frac {1}{1-q}}\cdot {\tilde {\epsilon }}\\[0.3em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\tilde {\epsilon }}=(1-q)\cdot \epsilon \right.}\\[0.3em]=\ &{\frac {1}{1-q}}\cdot (1-q)\cdot \epsilon =\epsilon \end{aligned}}$

Somit folgt für den Grenzwert der Reihe: $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$.

Fall $|q|\geq 1$

Bei $|q|\geq 1$ gilt für alle $k\in \mathbb {N} _{0}$, dass $\left|q^{k}\right|\geq 1$. Also ist die Folge $\left(q^{k}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ keine Nullfolge. Damit divergiert die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ nach dem sogenannten Trivialkriterium, das wir später noch genauer betrachten.

Um die Divergenz zu veranschaulichen, betrachten wir den Fall für ein positives $q$, also $q\geq 1$. So folgt für alle $k\in \mathbb {N} {\text{, dass }}q^{k}\geq 1$. Damit können wir die Partialsummen abschätzen: $\sum _{k=1}^{n}q^{k}\geq \sum _{k=1}^{n}1=n$ Also ist die Folge der Partialsummen durch die Folge $(n)_{n\in \mathbb {N} }$ nach unten beschränkt. Da $(n)_{n\in \mathbb {N} }$ divergiert, divergiert auch die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ als Folge der Partialsummen.

Zusammenfassung

Fassen wir das bereits Bewiesene zusammen: Für $|q|>1$, $q=-1$ und $q=1$ divergiert die geometrische Reihe. Diese drei Fälle können wir in der Bedingung $|q|\geq 1$ zusammenfassen. Für den Fall $|q|<1$ konvergiert die geometrische Reihe und hat als Grenzwert ${\tfrac {1}{1-q}}$:

Satz (Geometrische Reihe)

Die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ konvergiert genau dann, wenn $|q|<1$ ist. Sie hat dann den Wert ${\tfrac {1}{1-q}}$:

$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\begin{cases}{\frac {1}{1-q}}&;|q|<1\\{\text{divergent}}&;|q|\geq 1\end{cases}}$

Beispiel (Geometrische Reihe)

Für $q={\tfrac {1}{2}}$, $q=-{\tfrac {1}{2}}$ und $q=2$ gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}&=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\ldots ={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {1}{2}}}=2\\[1em]\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}\right)^{k}&=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-\ldots ={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{\frac {3}{2}}}={\frac {2}{3}}\\[1em]\sum _{k=0}^{\infty }2^{k}&=1+2+4+8+16+\ldots \ {\text{ divergiert}}\end{aligned}}$

Beispielaufgaben

Beispielaufgabe 1

Aufgabe (Beispiele geometrischer Reihen)

Berechne die Grenzwerte folgender Reihen:

1. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}$
2. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}}{3^{k}}}$
3. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{k}}{3^{k}}}$
4. $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}$
5. $\sum _{k=4}^{\infty }{\frac {1}{3^{k-2}}}$

Lösung (Beispiele geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1^{k}}{3^{k}}}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{3}}}}={\frac {1}{\frac {2}{3}}}={\frac {3}{2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {3}{2}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 2:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}}{3^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {2}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {2}{3}}}}={\frac {1}{\frac {1}{3}}}=3\right.}\\[0.5em]&=3\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 3:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{k}}{3^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {2}{3}}\right)^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {2}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-(-{\frac {2}{3}})}}={\frac {1}{1+{\frac {2}{3}}}}={\frac {1}{\frac {5}{3}}}={\frac {3}{5}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {3}{5}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 4:

Illustration für ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\ldots =1$

Man beachte, dass diese Reihe bei 1 und nicht bei 0 beginnt! Dementsprechend müssen wir die Reihe zuerst umformen, bevor wir die obige Formel anwenden können:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\right)-{\frac {1}{2^{0}}}\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\right)-1\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}=2\right.}\\[0.5em]&=2-1=1\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 5:

Bei dieser Reihe führen wir zunächst eine Indexverschiebung durch und formen anschließend um:

${\begin{aligned}\sum _{k=4}^{\infty }{\frac {1}{3^{k-2}}}&{\underset {\text{schiebung}}{\overset {\text{Indexver-}}{=}}}\left(\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}\right)\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{3^{k}}}\right)-{\frac {1}{3^{0}}}-{\frac {1}{3^{1}}}\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}\right)-1-{\frac {1}{3}}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{3}}\right)^{k}={\frac {1}{1-{\frac {1}{3}}}}={\frac {3}{2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {3}{2}}-1-{\frac {1}{3}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\\[0.5em]&={\frac {3}{6}}-{\frac {2}{6}}={\frac {1}{6}}\end{aligned}}$

Hinweis

Eine ähnliche Aufgabe befindet sich im Aufgabenteil am Ende des Kapitels.

Beispielaufgabe 2

Aufgabe (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Seien $M,N\in \mathbb {N}$ mit $N\geq 2$ und $M<N$. Finde Formeln für die geometrischen Reihen

1. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{N^{k}}}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{N^{k}}}$
2. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}$
3. $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {M^{k}}{N^{k}}}$ und $\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{N^{k}}}$

Lösung (Sonderfälle geometrischer Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{N^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac {1}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac {1}{N}}}}={\frac {1}{\frac {N-1}{N}}}={\frac {N}{N-1}}\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac {1}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{N}}}}={\frac {1}{\frac {N+1}{N}}}={\frac {N}{N+1}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 2:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {M}{M+1}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac {M}{M+1}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac {M}{M+1}}}}={\frac {1}{\frac {1}{M+1}}}=M+1\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{(M+1)^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {M}{M+1}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac {M}{M+1}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac {M}{M+1}}}}={\frac {1}{\frac {2M+1}{M+1}}}={\frac {M+1}{2M+1}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 3:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {M^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {M}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q={\frac {M}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-{\frac {M}{N}}}}={\frac {1}{\frac {N-M}{N}}}={\frac {N}{N-M}}\end{aligned}}$

und

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {M^{k}}{N^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {M}{N}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe mit }}q=-{\frac {M}{N}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+{\frac {M}{N}}}}={\frac {1}{\frac {N+M}{N}}}={\frac {N}{N+M}}\end{aligned}}$

Beispielaufgabe 3

Aufgabe (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Sei $q\in \mathbb {R}$ mit $|q|<1$. Bestimme eine Formel für jede der folgenden drei Reihen

1. $\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}$
2. $\sum _{k=2}^{\infty }q^{k}$
3. $\sum _{k=m}^{\infty }q^{k}$ für $m\in \mathbb {N}$

Lösung (Verschiebung des Startindex in geometrischer Reihe)

Lösung Teilaufgabe 1:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\right)-q^{0}\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\right)-1\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-1\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q}{1-q}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 2:

${\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\right)-q^{0}-q^{1}\\[0.5em]&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\right)-1-q\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-1-q\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q}{1-q}}-{\frac {q(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q)-q(1-q)}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-1+q-q+q^{2}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q^{2}}{1-q}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 3:

Für $|q|<1$ und $m\in \mathbb {N}$ gilt

${\begin{aligned}\sum _{k=m}^{\infty }q^{k}&=\left(\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\right)-\sum _{k=0}^{m-1}q^{k}\\[0.5em]&\quad {\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{m-1}q^{k}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{1-q}}-{\frac {1-q^{m}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-(1-q^{m})}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {1-1+q^{m}}{1-q}}\\[0.5em]&={\frac {q^{m}}{1-q}}\end{aligned}}$

Beispielaufgabe 4

Aufgabe (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Löse folgende drei Aufgaben:

1. Zeige für alle reellen $q\neq 1$ und $n\in \mathbb {N}$ die Gleichung $\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}={\frac {1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}$.
2. Zeige für alle $q\in \mathbb {R}$ mit $|q|<1$ die Gleichung $\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)q^{k}={\frac {1}{(1-q)^{2}}}$.
3. Berechne die Reihen $\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{2^{k}}}$ und $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}$.

Lösung (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind)

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Aussage ist für alle $q\in \mathbb {R}$ und $n\in \mathbb {N}$ äquivalent zu

$(1-q)^{2}\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}=1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}$

Die linke Seite lässt sich nun wie folgt in die rechte umrechnen:

${\begin{aligned}(1-q)^{2}\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}&=(1-2q+q^{2})\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=(1-q-(q-q^{2}))\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=(1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}-(q-q^{2})\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}-\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k+1}-\left[\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k+1}-\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k+2}\right]\\[0.5em]&={\color {OliveGreen}1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\ldots +nq^{n-1}+(n+1)q^{n}}\\[0.5em]&\quad {\color {Red}-q-2q^{2}-3q^{3}-\ldots -(n-1)q^{n-1}-nq^{n}-(n+1)q^{n+1}}\\[0.5em]&\quad -\left[{\color {OliveGreen}q+2q^{2}+3q^{3}+\ldots +(n-1)q^{n-1}+nq^{n}+(n+1)q^{n+1}}\right.\\[0.5em]&\qquad \left.{\color {Red}-q^{2}-2q^{3}-\ldots -(n-2)q^{n-1}-(n-1)q^{n}-nq^{n+1}-(n+1)q^{n+2}}\right]\\[0.5em]&=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{n-1}+q^{n}-(n+1)q^{n+1}\\[0.5em]&\quad -[q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{n-1}+q^{n}+q^{n+1}-(n+1)q^{n+2}]\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teleskopsumme}}\right.}\\[0.5em]&=1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 2:

Im Kapitel Beispiele von Grenzwerten hatten wir $\lim _{n\to \infty }nq^{n}=0$ für $|q|<1$ gezeigt. Aus den Grenzwertregeln folgt damit $\lim _{n\to \infty }nq^{n+1}=q\cdot \lim _{n\to \infty }nq^{n}=0$ und $\lim _{n\to \infty }(n+1)q^{n+2}=0$. Daher ist

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)q^{k}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}\\[0.5em]&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Grenzwertsätze}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1-\lim _{n\to \infty }(n+2)q^{n+1}+\lim _{n\to \infty }(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1-0+0}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-q)^{2}}}\end{aligned}}$

Lösung Teilaufgabe 3:

Mit der Formel aus Teilaufgabe 2 ergibt sich mit $q={\tfrac {1}{2}}$:

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{2^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac {1}{2}})^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{({\frac {1}{2}})^{2}}}={\frac {1}{\frac {1}{4}}}=4\end{aligned}}$

Weiter gilt mit $q={\tfrac {1}{2}}$:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}&{\underset {\text{schiebung}}{\overset {\text{Indexver-}}{=}}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k+1}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\frac {1}{2}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{(1-{\frac {1}{2}})^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\frac {1}{4}}}={\frac {4}{2}}=2\end{aligned}}$

Lösung (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 1)

Die zu zeigende Gleichung können wir direkt rekonstruieren, indem wir wie beim Beweis der geometrischen Summelformel vorgehen: Es gilt

$\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}=\ 1+2q+3q^{2}+4q^{3}+5q^{4}+\ldots +nq^{n-1}+(n+1)q^{n}$

Indem wir beide Seiten mit $q$ multiplizieren, erhalten wir

$q\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}=\ q+2q^{2}+3q^{3}+4q^{4}+5q^{5}+\ldots +nq^{n}+(n+1)q^{n+1}$

Nun können wir die beiden Gleichungen voneinander subtrahieren

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}-q\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}&=(1+2q+3q^{2}+4q^{3}+\ldots +nq^{n-1}+(n+1)q^{n})\\[0.5em]&\quad -(q+2q^{2}+3q^{3}+4q^{4}+\ldots +nq^{n}+(n+1)q^{n+1})\\[0.5em]&=1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{n-1}+q^{n}-(n+1)q^{n+1}\\[0.5em]\end{aligned}}$

Jetzt klammern wir auf der linken Seite $\sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}$ aus.

${\begin{aligned}(1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{n-1}+q^{n}-(n+1)q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac {1}{1-q}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}(k+1)q^{k}&=\ {\frac {1+q+q^{2}+q^{3}+\ldots +q^{n-1}+q^{n}-(n+1)q^{n+1}}{1-q}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{mit }}1-q{\text{ erweitern und ausmultiplizieren}}\right.}\\[0.5em]&=\ {\frac {1-(n+2)q^{n+1}+(n+1)q^{n+2}}{(1-q)^{2}}}\\[0.5em]\end{aligned}}$

Lösung (Reihen, die mit der geometrischen Reihe verwandt sind, Alternative für Teilaufgabe 3)

Wir rechnen:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2^{k}}}&=\sum _{k=0}^{\infty }k\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1-1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Reihen }}\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}{\text{ konvergieren}}\right.}\\[0.5em]&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{Teilaufgabe 2 mit }}q={\tfrac {1}{2}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac {1}{2}})^{2}}}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{geometrische Reihe}}\right.}\\[0.5em]&={\frac {1}{(1-{\frac {1}{2}})^{2}}}-{\frac {1}{1-{\frac {1}{2}}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{\frac {1}{4}}}-{\frac {1}{\frac {1}{2}}}=4-2=2\end{aligned}}$

Hinweis

Genau wie in Teilaufgabe 3 lässt sich allgemein für $|q|<1$ zeigen:

$\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}$