Harmonische Reihe – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Wir betrachten nun die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots$. Wir werden zunächst deren Konvergenz- bzw. Divergenzverhalten untersuchen. Anschließend beschäftigen wir uns mit dem asymptotischen Wachstumsverhalten der Reihe. Außerdem werden wir einige Varianten der Reihe, wie die alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot {\frac {1}{k}}$ und die verallgemeinerte harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}$ untersuchen.

Vorüberlegung zur Monotonie und Beschränktheit

In der untenstehenden Grafik sind die ersten Partialsummen $S_{N}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}$ dieser Reihe aufgetragen.

HarmonicPartialSums

Ist die Folge der Partialsummen beschränkt? Durch die Grafik lässt sich diese Frage nicht eindeutig beantworten. Der Anstieg der Partialsummen, d.h. die Differenz zwischen $S_{N}$ und $S_{N+1}$ wird für größer werdende $N$ immer kleiner. Dennoch ist nicht klar, ob wir eine Zahl $M\in \mathbb {R}$ finden können, so dass für alle $N\in \mathbb {N}$ gilt $S_{N}\leq M$.

Eine andere Frage ist, ob die Reihe konvergiert, d.h. ob die Folge der Partialsummen $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ gegen eine reelle Zahl $L$ konvergiert. Die Folge der Partialsummen ist streng monoton steigend: Für alle $N\in \mathbb {N}$ gilt

$S_{N+1}=\sum _{k=1}^{N+1}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{N+1}}+\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{N+1}}+S_{N}>S_{N}$

Wir wissen, dass monotone Folgen genau dann konvergieren, wenn sie beschränkt sind. Also ist auch hier die entscheidende Frage, ob die Folge der Partialsummen beschränkt ist.

Vermutung, ob die harmonische Reihe konvergiert

Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus

Wir betrachten nochmal unsere Grafik. Diesmal konzentrieren wir uns auf einen anderen Aspekt: Kennen wir Funktionen von $\mathbb {R} +$ nach $\mathbb {R}$, die so ähnlich aussehen wie die Folge der Partialsummen der harmonischen Reihe?

Die roten Punkte sehen fast so aus wie der Logarithmus, nur verschoben. Wir sehen zwar nicht den Teil des Logarithmus $\ln(x)$ für $x\in ]0,1]$, wo für $x\to 0$ gilt $\ln(x)\to -\infty$. Der Teil für $x\to \infty$ sieht aber sehr ähnlich aus.

Über den Logarithmus wissen wir, dass $\lim _{x\to \infty }\ln(x)=\infty$. Da die Folge der $S_{N}$ für $N\to \infty$ ungefähr so aussieht wie $\ln(x)$, können wir vermuten, dass $\lim _{N\to \infty }S_{N}=\infty$, d.h. die harmonische Reihe konvergiert nicht.

Harmonische Reihe

Divergenz der harmonischen Reihe

Satz (Divergenz der harmonischen Reihe)

Die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergiert.

Wie kommt man auf den Beweis? (Divergenz der harmonischen Reihe)

Die Folge $\left({\tfrac {1}{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ ist monoton fallend. Wenn $n\geq m$ ist, ist ${\tfrac {1}{n}}\leq {\tfrac {1}{m}}$. Dementsprechend können wir die Summanden geschickt nach unten abschätzen:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&=1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)}+\ldots \\[0.5em]&\left\downarrow \ {\color {Indigo}{\frac {1}{3}}\geq {\frac {1}{4}}}{\text{ und }}{\color {Blue}{\frac {1}{5}}\geq {\frac {1}{6}}\geq {\frac {1}{7}}\geq {\frac {1}{8}}}\right.\\[0.5em]&\geq 1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)}+\ldots \\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}2\cdot {\frac {1}{4}}}+{\color {Blue}4\cdot {\frac {1}{8}}}+\ldots \\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}{\frac {1}{2}}}+{\color {Blue}{\frac {1}{2}}}+\ldots \end{aligned}}$

An der letzten Reihe können wir erkennen, dass die Abschätzung gegen unendlich strebt und damit divergiert. Da wir nach unten abgeschätzt haben, muss auch $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergieren.

Beweis (Divergenz der harmonischen Reihe)

Sei $n\in \mathbb {N}$ beliebig. Wir betrachten die Partialsummenfolge $\left(\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}&=1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right)}+\ldots +{\color {CadetBlue}\left({\frac {1}{2^{n-1}+1}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}-1}}+{\frac {1}{2^{n}}}\right)}\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Summanden abschätzen: }}{\color {Indigo}{\frac {1}{3}}\geq {\frac {1}{4}}}{\text{ und }}{\color {Blue}{\frac {1}{5}}\geq {\frac {1}{6}}\geq {\frac {1}{7}}\geq {\frac {1}{8}}}{\text{ und }}\ldots \right.\\[0.5em]&\geq 1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)}+{\color {Blue}\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)}+\ldots +{\color {CadetBlue}\left({\frac {1}{2^{n}}}+\ldots +{\frac {1}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n}}}\right)}\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\text{Summanden zusammenfassen}}\right.\\[0.5em]&=1+{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}2\cdot {\frac {1}{4}}}+{\color {Blue}4\cdot {\frac {1}{8}}}+\ldots +{\color {CadetBlue}2^{n-1}\cdot {\frac {1}{2^{n}}}}\\[0.5em]&=1+\underbrace {{\color {OliveGreen}{\frac {1}{2}}}+{\color {Indigo}{\frac {1}{2}}}+{\color {Blue}{\frac {1}{2}}}+\ldots +{\color {CadetBlue}{\frac {1}{2}}}} _{n{\text{ Summanden}}}\\[0.5em]&=1+{\frac {n}{2}}\end{aligned}}$

Damit ist

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}\geq \lim _{n\to \infty }1+{\frac {n}{2}}=\infty$

Dies zeigt, dass die Folge $\left(\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ gegen unendlich strebt und somit divergiert. Eine Folge divergiert, wenn eine Teilfolge von ihr divergiert. Weil die Teilfolge $\left(\sum _{k=1}^{2^{n}}{\frac {1}{k}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ der harmonischen Reihe divergiert, muss auch die harmonische Reihe divergieren.

Asymptotik

Wir haben uns oben schon überlegt, dass die Partialsummen der harmonischen Reihe ähnlich wie der natürliche Logarithmus anwachsen. Tatsächlich gilt

${\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}{\ln n}}=1\end{aligned}}$

Es gilt sogar noch mehr: Die Differenz strebt gegen eine feste Zahl:

${\begin{aligned}\gamma =\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)\approx 0,5772\end{aligned}}$

Im Kapitel zur Logarithmusfunktion werden wir diese Grenzwerte beweisen. Diese Zahl $\gamma$ ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Niemand weiß es!

Alternierende harmonische Reihe

Definition (alternierende harmonische Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot {\frac {1}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\ldots$

Konvergenz

Die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe

Da diese Reihe alternierend ist, d.h. die Summanden abwechselnd positives und negatives Vorzeichen haben, nehmen die Partialsummen der Reihe nicht beliebig zu, sondern konvergieren gegen einen festen Wert. Wir zeigen zunächst, dass die Reihe konvergiert, um danach den Grenzwert genauer zu untersuchen.

Satz (Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe)

Die alternierende harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {1}{k}}$ konvergiert.

Beweis (Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe)

Die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe kann mithilfe des Leibniz-Kriteriums nachgewiesen werden. Die Reihe ist alternierend und die Folge der Beträge der einzelnen Summanden $\left|(-1)^{k+1}\cdot {\tfrac {1}{k}}\right|={\tfrac {1}{k}}$ ist eine monoton fallende Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium.

Alternativ lässt sich die Konvergenz der alternierenden harmonischen Reihe erneut mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums zeigen. Siehe dazu die entsprechende Übungsaufgabe.

Grenzwert

Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe ist $\ln(2)$. Im Kapitel zur Logarithmusfunktion werden wir diese Behauptung mithilfe des Grenzwerts $\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\tfrac {1}{k}}-\ln n=\gamma$ herleiten.

Alternativ kann der Grenzwert mit Hilfe einer Taylorreihe gezeigt werden. Ich möchte dir den Beweis bereits hier vorstellen, wobei du diesen aber gerne überspringen kannst. Man startet mit der Taylorreihe von $\ln(1+x)$:

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot {\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots$

Man kann zeigen, dass diese Reihe für alle $-1<x\leq 1$ gegen die Funktion $\ln(1+x)$ konvergiert. Nun setzt man $x=1$ und erhält als Ergebnis:

$\ln(2)=\ln(1+1)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot {\frac {1^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\cdot {\frac {1}{k}}$

Solltest du diesen Beweis nicht verstehen, ist es nicht schlimm  . Wie gesagt: Zunächst musst du hierfür lernen, was die Taylorreihe ist.

Die Reihe der reziproken Quadratzahlen

Eine weitere sehr „beliebte“ und nützliche Reihe ist die Reihe der reziproken Quadratzahlen:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\ldots =1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\ldots$

Konvergenz

Die Reihe der reziproken Quadratzahlen ist konvergent, weil die Folge $\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ aller Partialsummen monoton steigend und nach oben beschränkt ist. Sie ist monoton steigend, weil für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt:

$S_{n+1}=\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}=S_{n}$

Weiter ist ${\tfrac {1}{k^{2}}}={\tfrac {1}{k\cdot k}}\leq {\tfrac {1}{k(k-1)}}$ für $k\geq 2$ und damit lässt sich auch die Beschränkheit beweisen, denn es gilt:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}&=1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k^{2}}}\\[0.5em]&\leq 1+\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k(k-1)}}\\[0.5em]&=1+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k-1}}-{\frac {1}{k}}\right)\\[0.5em]&\left\downarrow \ {\color {Gray}{\text{Teleskopsumme}}}\right.\\[0.5em]&=1+\left(1-{\frac {1}{n}}\right)=2-{\frac {1}{n}}\leq 2\end{aligned}}$

Alternativ kann die Konvergenz mit dem Cauchy-Kriterium bewiesen werden. Das werden wir in der Beispielaufgabe zum Cauchy-Kriterium tun.

Grenzwert

Es gilt: ${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Es gibt etliche Möglichkeiten, dies zu zeigen. Allerdings benötigen alle Beweise weiterführende Hilfsmittel wie Taylorreihen, Fourrierreihen oder Integrationstheorie. Siehe hierzu den Wikipedia-Artikel „Basler Problem“, in dem diese Reihe und ihr Grenzwert detaillierter besprochen werden.

Allgemeine harmonische Reihe

Definition (allgemeine harmonische Reihe)

Die allgemeine harmonische Reihe ist die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}=1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+{\frac {1}{4^{\alpha }}}+\ldots$

Dabei ist $\alpha$ eine beliebige natürliche Zahl.

Für $\alpha =1$ erhält man die harmonische Reihe, welche divergiert. Für $\alpha =2$ erhält man die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$. Da die Reihe für $\alpha =2$ konvergiert, kann man mit Hilfe des Majorantenkriteriums zeigen, dass die allgemeine harmonische Reihe ebenfalls für alle $\alpha >2$ konvergiert. Im Kapitel „Beschränkte Reihen und Konvergenz“ werden wir schließlich beweisen, dass die allgemeine harmonische Reihe für $\alpha >1$ konvergiert.