Die Logarithmusfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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DefinitionBearbeiten

Wir haben bereits gezeigt, dass die Exponentialfunktion   bijektiv ist. Wir definieren nun die Logarithmusfunktion   als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Definition (Logarithmusfunktion)

Die Logarithmusfunktion   ist definiert als die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Es gelten also

 
To-Do:

Graph

EigenschaftenBearbeiten

To-Do:

 

Bijektivität, Monotonie und StetigkeitBearbeiten

Nach dem Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion ist die Logarithmusfunktion ebenfalls bijektiv, streng monoton steigend und stetig.

AbleitungBearbeiten

RechenregelnBearbeiten

Logarithmus eines ProduktesBearbeiten

Satz

Für alle   gilt

 

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir kennen bereits eine ähnliche Regel für die Exponentialfunktion: Für alle   gilt

 

Diese Regel wollen wir gewissermaßen umdrehen, indem wir verwenden, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist. Dazu wählen wir   und  , also   und  . Dann gilt nämlich

 

Beweis

Es gilt

 

Logarithmus einer ganzzahligen PotenzBearbeiten

Satz

Für alle   und   gilt

 

Wie kommt man auf den Beweis?

Die Idee ist, diese Rechenregel auf die vorhin bewiesene Regel zurückzuführen, indem wir   als ein Produkt aus   Faktoren auffassen:

 

Der formale Beweis wird mittels vollständiger Induktion nach   geschehen, wobei der Induktionsanfang unmittelbar aus   folgt. Allerdings müssen wir beachten, dass unser   auch negativ sein kann. Dies wollen wir auf den positiven Fall zurückführen, indem wir   betrachten.

Beweis

Sei  . Wir unterscheiden drei Fälle.

Fall 1:  

Wir wissen bereits, dass   gilt. Somit ist

 

Fall 2:  

Mithilfe der bereits bewiesenen Rechenregel für den Logarithmus eines Produktes erhalten wir

 

Die Aussage folgt also induktiv.

Fall 3:  

Aus dem zweiten Fall wissen wir schon, dass   gilt. Daher ist

 

Der Logarithmus und die harmonische ReiheBearbeiten

Asymptotisches Wachstum der harmonischen ReiheBearbeiten

 
Partialsummen im Vergleich mit dem Logarithmus

Wir im Kapitel über die harmonische Reihe schon gesehen, dass die Partialsummen dieser Reihe ähnlich wie der natürlichen Logarithmus   anwachsen. Tatsächlich gilt

Satz (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)

Die Folgen   und   konvergieren gegen denselben Grenzwert. Außerdem gilt  .

Diese Zahl   ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet[1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es!

Beweis (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)

'

Beweisschritt:  

Es gilt

 

Beweisschritt:   konvergiert.

Es gilt Mit der  -Ungleichung gilt zunächst

 

Damit sind alle Summanden der Reihe nicht-negativ, und somit   monoton steigend.

Weiter gilt erneut mit der  -Ungleichung:

 

Damit ist

 

Also ist   nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert  . Mit der Monotonieregel für Grenzwerte gilt für den Limes   mit dem eben Gezeigten:

 

Beweisschritt:   konvergiert gegen denselben Grenzwert.

Wir haben gerade gezeigt  . Ist  , so gilt weiter

 

Mit den Grenzwertsätzen folgt damit

 

Also konvergiert   ebenfalls gegen  .

Beweisschritt:  .

Aus   und   folgt:

 

Nun ist

 

Damit folgt nun

 

Der Grenzwert der alternierenden harmonischen ReiheBearbeiten

Mit Hilfe der Folge   können wir zeigen

Satz (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)

Es gilt

 

Beweis (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)

Aus dem bekannten Grenzwert für die Euler-Mascheroni-Konstante folgt für die Folge  :

 

Da jeder Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt ebenso

 

Damit folgt

 

Andererseits ist

 

Zusammen erhalten wir

 

Daraus folgt die Behauptung.