Potenzen mit reellen Exponenten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Potenzen mit beliebiger Basis

To-Do:

Einleitung

Definition (Potenz)

Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $x\in \mathbb {R}$. Dann definieren wir

$a^{x}:=\exp(\ln(a)\cdot x)$

To-Do:

Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen

Satz

Sei $a\in \mathbb {R} ^{+}$ und $r\in \mathbb {Q}$. Dann gilt

$a^{r}=\exp(\ln(a)\cdot r)$

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir schreiben $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Die Potenz $a^{r}$ haben wir definiert als ${\sqrt[{q}]{a^{p}}}$. Die $q$-te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion $\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{+},x\mapsto x^{q}$ definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass $\exp(\ln(a)\cdot r)$ die $q$-te Wurzel aus $a^{p}$ ist, ist also zu überprüfen, ob

$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=a^{p}$

gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten

$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\cdot q)=\exp(\ln(a)\cdot p)$

Genauso können wir umgekehrt den Faktor $p$ im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:

$\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$

Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass $\ln$ die Umkehrfunktion von $\exp$ ist.

Beweis

Sei $r={\tfrac {p}{q}}$ mit $p\in \mathbb {Z}$ und $q\in \mathbb {N}$. Es gilt

$\exp(\ln(a)\cdot r)^{q}=\exp \left(\ln(a)\cdot {\frac {p}{q}}\right)^{q}=\exp(\ln(a)\cdot p)=\exp(\ln(a))^{p}=a^{p}$

Nach Definition der $q$-ten Wurzel gilt also

$\exp(\ln(a)\cdot r)={\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{r}$

Logarithmus zu beliebiger Basis