Potenzen mit reellen Exponenten – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Potenzen mit beliebiger BasisBearbeiten

To-Do:

Einleitung

Definition (Potenz)

Sei   und  . Dann definieren wir

 
To-Do:

Übereinstimmung mit Definition für rationale Exponenten beweisen

Satz

Sei   und  . Dann gilt

 

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir schreiben   mit   und  . Die Potenz   haben wir definiert als  . Die  -te Wurzel ist als Umkehrfunktion der Funktion   definiert. Wenn wir zeigen wollen, dass   die  -te Wurzel aus   ist, ist also zu überprüfen, ob

 

gilt. Dazu verwenden wir die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und erhalten

 

Genauso können wir umgekehrt den Faktor   im Argument der Exponentialfunktion in eine Potenz umwandeln:

 

Im letzten Schritt kam uns gelegen, dass   die Umkehrfunktion von   ist.

Beweis

Sei   mit   und  . Es gilt

 

Nach Definition der  -ten Wurzel gilt also

 

Logarithmus zu beliebiger BasisBearbeiten