Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen Zahlen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Exponentialfunktion in den komplexen ZahlenBearbeiten

Wir haben die Exponentialfunktion   für komplexe Eingabewerte definiert. Jedoch haben wir sie bisher nur für reelle Eingabewerte genauer untersucht. Das Ziel dieses Abschnitts ist daher die Untersuchung der komplexen Exponentialfunktion.

Sei   eine komplexe Zahl mit  . Die Funktionalgleichung erlaubt es uns,   zu schreiben.

Der erste Faktor,  , ist eine positive reelle Zahl. Es scheint zunächst nicht klar, wie der Faktor   zu interpretieren ist.

Eulersche FormelBearbeiten

Wir leiten in diesem Abschnitt die Eulersche Formel her. Sie besagt, dass für alle reellen Zahlen   folgende Gleichung erfüllt ist:  .

Wir können so den Betrag von   für   berechnen:

 

Das ist aber nicht der Grund, weshalb diese Gleichung so wichtig ist. Dieses Ergebnis hätten wir auch anders erhalten können:

 
 
Euler's formula

Die Bedeutung der Eulerschen Formel liegt darin, dass sie explizit den Real- und Imaginärteil der Zahl   angibt, die wir besser verstehen wollen. So können wir   leicht in der Gaußschen Zahlenebene einzeichnen.

Für alle   liegt   auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

In dieser Animation kann man sehen, wie sich der Punkt   auf dem Einheitskreis mit wachsendem   bewegt.

Als Nächstes beweisen wir die Eulersche Formel.

Satz (Eulersche Formel)

Für alle   gilt  .

Wie kommt man auf den Beweis? (Eulersche Formel)

Wir benutzen die Reihenentwicklung der Sinusfunktion und der Kosinusfunktion, um die rechte Seite der Gleichung aufzuschreiben.

 

Wir müssen also   geschickt umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.

 

In der obigen Rechnung haben wir ohne darüber nachzudenken, ob das erlaubt ist, die Reihenglieder umgeordnet. Das ist kein Problem, da die Reihe der Exponentialfunktion, und die Reihe der Sinus- und Kosinusfunktion absolut konvergieren. Somit können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenfolge der Reihenglieder nach Belieben ändern.

To-Do:

Die mathematische Herleitung ist beinahe Deckungsgleich mit dem Beweis, bis auf die unsortierten Summanden und die Reihe von (Co)Sinus wurde noch nicht vorgestellt.

Beweis (Eulersche Formel)

Sei  . Die Reihen von   und   konvergieren absolut. Also können wir den Riemannschen Umordnungssatz anwenden und die Reihenglieder beliebig anordnen. Es gilt damit

 

Polarkoordinaten für komplexe ZahlenBearbeiten

Eine komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene kann man auffassen als Punkt im   mit den Koordinaten  . Die Zahl   kann man auch anders beschreiben: Sie liegt auf dem Kreis mit dem Radius   um den Ursprung und die Verbindungslinie zwischen der Zahl   in der Gaußschen Zahlenebene und dem Ursprung schließt mit der Halbgerade der positiven reellen Achse einen Winkel   ein. Durch   und   ist die Zahl   eindeutig bestimmt.

To-Do:

Bild einer komplexen Zahl  , die durch   bestimmt ist,  

Die Eulersche Formel besagt, dass für alle reellen Zahlen   folgende Gleichung erfüllt ist:  . Die Zahl   entspricht der komplexen Zahl auf dem Einheitskreis mit Winkel   zur positiven reellen Achse. Multiplizieren wir diese Zahl mit einer Zahl  , so erhalten wir  . Das ist genau die komplexe Zahl  , die wir oben durch   und   beschrieben haben.

To-Do:

Gleiches Bild wie vorher, nur beschriftet mit  , dem Winkel  , Radius   und   und   für Real- und Imaginärteil

Ist eine komplexe Zahl   in Polarkoordinaten gegeben, also  , so können wir diese leicht in die Darstellung in kartesischen Koordinaten ( ) umrechnen:

 

Sei umgekehrt eine komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten gegeben, d.h.  . Wie können wir diese in Polarkoordinaten darstellen?

Den Betrag der Zahl zu berechnen ist einfach:  . Schwieriger ist hingegen der Winkel  . Wir müssen eine reelle Zahl   suchen, für die   und   gilt. Für einfache Beispiele, ist es oft am leichtesten eine Skizze zu machen und anhand der Skizze den Winkel   zu bestimmen. Man kann   auch mit folgender Formel berechnen:  

Grafische DarstellungBearbeiten

Logarithmusfunktion in den komplexen ZahlenBearbeiten