Aufgaben zur Exponential- und Logarithmusfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

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Wertebereich der Exponentialfunktion

Aufgabe

Zeige, dass $\exp ^{-1}\{0\}=\emptyset$

Man soll zeigen, dass für alle $z\in \mathbb {C}$ gilt $\exp(z)\neq 0$.

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir haben bereits gezeigt, dass für alle $a\in \mathbb {R}$ gilt $\exp(a)\neq 0$. Wir versuchen dies nun auf die komplexen Zahlen zu erweitern. Wir betrachten eine beliebige komplexe Zahl $z$ mit $z=a+ib$, wobei $a$ und $b$ reelle Zahlen sind.

Frage: Wie können wir $\exp(z)$ schreiben, indem wir $a$ und $b$ verwenden?

Mit der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion folgt, dass

$\exp(z)=\exp(a+ib)=\exp(a)\exp(ib)$

Da $\exp(a)\neq 0$, ist $\exp(z)\neq 0$ genau dann, wenn $\exp(ib)\neq 0$. Ein guter Trick, um zu zeigen, dass eine Zahl ungleich $0$ ist, ist zu zeigen, dass ihr Betrag (oder das Quadrat des Betrages) nicht $0$ ist.

Frage: Was ist $|\exp(ib)|^{2}$?

Nach den Rechenregeln für komplexe Zahlen gilt

$\left|\exp(ib)\right|^{2}=\exp(ib)\cdot {\overline {\exp(ib)}}=\exp(ib)\cdot \exp(-ib)=\exp(ib-ib)=\exp(0)=1$

Also ist $\exp(ib)\neq 0$ und damit folgt die Behauptung.

Beweis

Wir wissen schon, dass für alle $a\in \mathbb {R}$ gilt, dass $\exp(a)\neq 0$. Zudem gilt für alle $b\in \mathbb {R}$, dass $\left|\exp(ib)\right|^{2}=\exp(ib)\cdot {\overline {\exp(ib)}}=\exp(ib)\cdot \exp(-ib)=\exp(ib-ib)=\exp(0)=1$. Folglich gilt für alle $b\in \mathbb {R}$, dass $\exp(ib)\neq 0$.

Sei nun $z\in \mathbb {C}$ beliebig. Dann gibt es $a,b\in \mathbb {R}$, mit $z=a+ib$. Es folgt $\exp(z)=\exp(a+ib)=\underbrace {\exp(a)} _{\neq 0}\cdot \underbrace {\exp(ib)} _{\neq 0}\neq 0$.