Aufgaben zu Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Teleskopreihen Bearbeiten

Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  

Hinweis zur dritten Teilaufgabe: Es gilt  . Warum?

Hinweis zur fünften Teilaufgabe: Es gilt  .

Lösung

Teilaufgabe 1: Es handelt sich um eine Teleskopreihe mit  . Für die Partialsummen gilt

 

Da   divergiert, divergiert auch die Reihe.

Alternative Lösung: Mit Hilfe eines einfachen Umformungstricks lässt sich die Folge der Partialsummen auch direkt nach unten Abschätzen:

 

Wegen   (harmonische Reihe) ist   unbeschränkt, und die Reihe somit divergent.

Teilaufgabe 2: Es gilt

 

In dieser Form bildet die Reihe offensichtlich eine Teleskopreihe mit  , und es gilt:

 

Teilaufgabe 3: Der Hinweis gilt wegen

 

Bei der Teleskopsumme handelt es sich hier um eine allgemeinere Variante, bei der nicht nur der erste und der letzte Summand, sondern die ersten beiden und die letzten beiden Summanden übrig bleiben:

 

Teilaufgabe 4: Es gilt

 

Dadurch entsteht nun die folgende Teleskopsumme:

 

Teilaufgabe 5: Laut dem Hinweis gilt

 

Damit lässt sich die Reihe als Differenz zweier Telekopreihen berechnen:

 

Alternative Lösung: Es gilt

 

Damit lässt sich die Reihe als Telekopreihen berechnen:

 

Teilaufgabe 6: Es gilt

 

Damit folgt

 

Geometrische Reihen Bearbeiten

Aufgabe (Berechnung geometrischer Reihen)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls mit Hilfe der Rechenregeln den Grenzwert.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.   mit   für gerade   und   für ungerade  
  6.  

Lösung (Berechnung geometrischer Reihen)

Teilaufgabe 1: Es gilt

 

Teilaufgabe 2: Wegen   divergiert die Reihe.

Teilaufgabe 3: Da die Reihe   konvergiert, gilt mit den Rechenregeln

 

Teilaufgabe 4: Da die Reihen   und   konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

 

Teilaufgabe 5: Da die Reihen   und   konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

 

Teilaufgabe 6: Da die Reihen   und   konvergieren, gilt mit den Rechenregeln

 

Harmonische Reihen Bearbeiten

Aufgabe (Harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass   konvergiert, und   gilt.

  1. Begründe, dass die Reihen  ,   und   konvergieren.
  2. Berechne   und  .

Lösung (Harmonische Reihen)

Teilaufgabe 1:

1. Reihe: Die Folge der Partialsummen   ist monoton steigend, da alle Summanden positiv sind. Außerdem ist   nach oben beschränkt, wegen

 

Also konvergiert   nach dem Monotoniekriterium.

2. Reihe: Da   konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen für Reihen auch  .

3. Reihe: Wegen   konvergiert die Reihe absolut, und daher auch im gewöhnlichen Sinne.


Teilaufgabe 2:

1. Reihe: Es gilt

 

Daraus folgt nun

 

2. Reihe: Es gilt

 

Anmerkung Bearbeiten

Für die verallgemeinerte harmonische Reihe   mit   lässt sich analog zeigen:

  •  
  •  


Aufgabe (Alternierende harmonische Reihen)

Für diese Aufgabe darfst du voraussetzen, dass   konvergiert und   gilt.

Begründe, warum die Reihe   konvergiert, und berechne anschließend ihren Grenzwert.

Lösung (Alternierende harmonische Reihen)

  • Konvergenz: Wir zeigen sogar, dass die Reihe absolut konvergiert. Im Kapitel über absolute Konvergenz haben wir gezeigt, dass sie dann auch im gewöhnlichen Sinne konvergiert. Sei also  . Da alle Summanden positiv sind, ist   monoton steigend. Weiter gilt
 .

Also   beschränkt, und daher nach dem Monotoniekriterium konvergent.

  • Grenzwert: Es gilt
 

e-Reihe Bearbeiten

Aufgabe (e-Reihen)

Begründe, warum die folgenden Reihen konvergieren, und berechne dann deren Grenzwert:

  1.  
  2.  

Lösung (e-Reihen)

Teilaufgabe 1: Die Folge der Partialsummen   ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

 

Also konvergiert die Folge   nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

 

Alternative Lösung: Mit Teleskopsumme. Es gilt

 

Teilaufgabe 2: Die Folge der Partialsummen   ist monoton wachsend und nach oben beschränkt, wegen

 

Also konvergiert die Folge   nach dem Monotoniekriterium.

Weiter gilt

 

Aufgaben zu Umordnungen von Reihen Bearbeiten

Aufgabe (Umordnungen von alternierenden harmonischen Reihen)

Die alternierende harmonische Reihen

 

und

 

konvergieren gegen die Grenzwerte   bzw.  . Zeige, dass die folgenden Umordnungen gegen die angegebenen Grenzwerte konvergieren:

  1.  
  2.  
  3.  

Hinweis zu Teilaufgabe 2: Zeige zunächst:  , falls   die  -te Partialsumme der alternierenden harmonischen Reihe, und   die  -te Partialsummen der umgeordneten Reihe ist.

Lösung (Umordnungen von alternierenden harmonischen Reihen)

Teilaufgabe 1: Sind   und   die Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe , und der Umordnung aus Teil 1, so gilt

 

Nun konvergiert  , und damit  , gegen  . Also konvergiert auch  , und damit  , gegen  .

Teilaufgabe 2: Es gilt

 

Da   und   gegen   konvergieren, konvergiert   gegen  . Mit dem eben Gezeigten konvergiert auch  , und damit   gegen  .

Teilaufgabe 3: Wegen   konvergiert die Reihe   absolut. Mit dem Umordungssatz für absolut konvergente Reihen konvergiert auch jede Umordung dieser Reihe gegen denselben Grenzwert. Also konvergiert die angegebene Umordung gegen  .

Aufgabe (Umordnungen von konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen)

Beweise die folgenden Aussagen: Ist   eine konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe, so gibt es eine Umordnung dieser Reihe, die

  1. divergiert, jedoch nicht bestimmt gegen   oder  .
  2. gegen ein beliebiges   konvergiert.

Lösung (Umordnungen von konvergenter, jedoch nicht absolut konvergenter Reihen)

Wir benutzen in beiden Teilaufgaben, dass bei einer konvergente, jedoch nicht absolut konvergente Reihe  , sowohl die Reihe der positiven Glieder   als auch die Reihe der negativen Glieder   uneigentlich gegen   bzw.   konvergiert.

Teilaufgabe 1: Wir wählen zunächst   so, dass   ist. Für unsere Umordnung   setzen wir   für  . Dann ist  .

Nun wählen wir   mit   so, dass   ist. Für unsere Umordnung   setzen wir daher   für  . Dann ist  .

Anschließend wählen wir wieder ein   mit  , so dass wieder gilt   und setzen   für  , so ist  .

Dies setzen wir mit den negativen Summanden erneut fort und bestimmen   mit  , so dass bei entsprechender Anpassung unserer Umordnung   gilt  .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung   unserer Reihe für die gilt:

Zu jedem   gibt es   mit   und   mit  .

Die so entstandene Umordnung divergiert daher, jedoch nicht bestimmt gegen   oder  .

Teilaufgabe 2: Hier wählen wir zunächst das kleinstmögliche   so, dass   ist. Für unsere Umordnung   bedeutet dies   für  . Dann ist  .

Nun wählen wir das kleinstmögliche   mit  . Setzen wir   für  , so gilt  .

Dieses Prinzip setzen wir fort, und erhalten so weiter kleinstmögliche   und  , so dass bei entsprechender Anpassung von   gilt   und  .

Führen wir dies nun sukzessive fort, so erhalten wir die Umordnung   der alternierenden harmonischen Reihe mit

 

Die so entstandene Umordnung konvergiert gegen  , denn es gilt für  :

 

Für   gilt  , sowie   und  . Daher folgt mit dem Sandwichsatz:

 

Aufgaben zum Cauchy-Produkt Bearbeiten

Aufgabe (Gegenbeispiele zur intuitiven Formel)

Finde jeweils ein Beispiel zweier Reihen   und  , so dass

  1. beide Reihen konvergieren, jedoch   divergiert.
  2. beide Reihen divergieren, jedoch   konvergiert.

Lösung (Gegenbeispiele zur intuitiven Formel)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wählen wir beispielsweise  , so konvergiert   nach dem Leibniz-Kriterium.

Jedoch gilt  , und diese Reihe divergiert, da es sich um die Harmonische Reihe handelt.

Lösung Teilaufgabe 2:

Wählen wir umgekehrt beispielsweise  , so divergiert die harmonische Reihe  .

Jedoch ist die Reihe   konvergent.

Aufgabe (Cauchy-Produkt von Exponential und geometrischen Reihen)

Bilde für   das Cauchy-Produkt der folgenden Reihen

  1.  
  2.  
  3.  . Leiten sie außerdem jeweils eine Formel für die Produktsumme her.

Lösung (Cauchy-Produkt von Exponential und geometrischen Reihen)

Lösung Teilaufgabe 1:

Da sowohl die Exponentialreihe   als auch die geometrische Reihe   für   absolut konvergieren folgt

 

Diese Reihe/Summe kann nicht weiter vereinfacht werden. Wegen   und   gilt außerdem

 

Lösung Teilaufgabe 2:

Da die geometrischen Reihen   und   für   absolut konvergieren folgt

 

Wegen   und   gilt außerdem

 

Diese Formel erhällt man auch, wenn man in der geometrischen Reihenformel   die Substitution   durchführt.

Lösung Teilaufgabe 3:

Nach unserem 2.Anwendungsbeispiel konvergiert die Reihe   ebenso wie die geometrische Reihe   absolut für  . Damit folgt

 

Wegen   und   gilt außerdem

  oder  

Aufgabe (Cauchy-Produkt geometrischer Reihen)

Zeige für alle   und für   die Formel   mittels vollständiger Induktion über  . Verwende dabei im Induktionsschritt die Formel  .

Beweis (Cauchy-Produkt geometrischer Reihen)

Beweisschritt: Induktionsanfang:  .

 

Beweisschritt: Induktionsvoraussetzung.

Für   und   gelte:  

Beweisschritt: Induktionsschritt:  .

Die Reihe   konvergiert mit dem Quotientenkriterium für alle   mit   absolut, denn

 

Damit ist die Cauchy-Produktformel anwendbar, und es folgt

 

Aufgabe (Cauchy-Produkt von Sinus- und Kosinus-Reihe)

Zeige, mit Hilfe des Cauchy-Produktes, für alle   doe folgenden Identitäten.

  1. Additionstheorem für die Kosinusfunktion
     
  2. Trigonometrischer Pythagoras
     


Lösung (Cauchy-Produkt von Sinus- und Kosinus-Reihe)

Lösung Teilaufgabe 1:

Die Reihen   und   konvergieren nach dem Quotientenkriterium absolut für alle