Konvergenz und Divergenz einer Reihe beweisen: Konvergenzkriterien – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Entscheidungsbaum zur Konvergenz und Divergenz von Reihen

Wir haben geklärt, dass eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ der Folge $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ der Partialsummen entspricht. Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Ansonsten divergiert die Reihe. Im Fall der Konvergenz entspricht $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ auch dem Grenzwert der Partialsummenfolge.

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der Frage, woran man erkennen kann, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert. Zur Beantwortung dieser Frage gibt es nämlich diverse Konvergenzkriterien, die wir nun betrachten. Diese Konvergenzkriterien werden wir in den nächsten Kapiteln detaillierter besprechen.

Kriterien für Konvergenz

Die Beweise der folgenden Sätze sind in den Hauptartikeln des jeweiligen Kriteriums behandelt. Gegeben sei eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Es gibt folgende Kriterien, um die Konvergenz dieser Reihe festzustellen:

Absolute Konvergenz

→ Hauptartikel: Absolute Konvergenz einer Reihe

Definition (Absolute Konvergenz)

Eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ heißt absolut konvergent, falls $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert.

Satz (absolute Konvergenz)

Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren normale Konvergenz. Wenn also $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ konvergiert, dann konvergiert auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beispiel (absolute Konvergenz)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}$ konvergiert, weil sie absolut konvergiert. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\left|(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ ihrer Absolutbeträge konvergiert nämlich.

Cauchy-Kriterium

→ Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

Satz (Cauchy-Kriterium)

Gibt es für alle $\varepsilon >0$ ein $N\in \mathbb {N}$, so dass $\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ für alle $n\geq m\geq N$ ist, dann konvergiert die Reihe.

Beispiel (Cauchy-Kriterium)

Die geometrische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{k}$ konvergiert nach dem Cauchy-Kriterium, denn es ist

${\begin{aligned}\left|\sum _{k=m}^{n}\left({\frac {1}{10}}\right)^{k}\right|&=\left|\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{m+1}+\left({\frac {1}{10}}\right)^{m+2}+\ldots +\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}\right|\\[0.3em]&=\left|\left({\frac {1}{10}}\right)^{m}\right|\cdot \left|1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{10^{n-m}}}\right|\\[0.3em]&={\frac {1}{10^{m}}}\cdot \left|1+0{,}1+0{,}01+0{,}001+\ldots +{\frac {1}{10^{n-m}}}\right|\\[0.3em]&={\frac {1}{10^{m}}}\cdot 1{,}\underbrace {111111\ldots 1} _{(n-m){\text{-mal}}}\\[0.3em]&\leq {\frac {1}{10^{m}}}\cdot 2\end{aligned}}$

Sei $\varepsilon >0$. Da $\displaystyle \lim _{m\to \infty }{\tfrac {2}{10^{m}}}=0$ ist, gibt es ein $N\in \mathbb {N}$ mit $\displaystyle {\tfrac {2}{10^{m}}}<\varepsilon$ für alle $m\geq N$. Für dieses $N$ ist nach der obigen Umformung auch $\left|\sum _{k=m}^{n}\left({\tfrac {1}{10}}\right)^{k}\right|<\varepsilon$ für alle $n\geq m\geq N$. Damit konvergiert die Reihe nach dem Cauchy-Kriterium.

Leibniz-Kriterium

→ Hauptartikel: Leibniz-Kriterium

Satz (Leibniz-Kriterium)

Wenn die Reihe die Form $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}$ hat und wenn $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine nichtnegative monoton fallende Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe.

Beispiel (Leibniz-Kriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {1}{2k-1}}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, weil die Folge $({\tfrac {1}{2k-1}})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge ist.

Majorantenkriterium

→ Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Satz (Majorantenkriterium)

Sei $|a_{k}|\leq b_{k}$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ konvergiert, dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut.

Beispiel (Majorantenkriterium)

Es ist ${\tfrac {1}{2^{k}+k^{3}+7}}\leq {\tfrac {1}{2^{k}}}$. Damit ist $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}+k^{3}+7}}\leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}$. Weil $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}$ konvergiert (nämlich gegen 1), konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}+k^{3}+7}}$. Weil alle Summanden positiv sind, ist die Konvergenz absolut.

Quotientenkriterium

→ Hauptartikel: Quotientenkriterium

Satz (Quotientenkriterium für Konvergenz)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ eine Reihe mit $a_{k}\neq 0$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Wenn es ein $\theta <1$ und ein $N\in \mathbb {N}$ gibt, so dass $\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq \theta$ für alle $k\geq N$ ist, dann ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut konvergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$ oder wenn $\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$ ist.

Beispiel (Quotientenkriterium für Konvergenz)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$ konvergiert, denn es ist

${\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(k+1)!}}{\frac {1}{k!}}}\right|\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {k!}{(k+1)!}}\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k+1}}\\[0.5em]&=0<1\end{aligned}}$

Wurzelkriterium

→ Hauptartikel: Wurzelkriterium

Satz (Wurzelkriterium für Konvergenz)

Wenn $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$ ist, dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$ ist.

Beispiel (Wurzelkriterium für Konvergenz)

Die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }3^{-k}$ konvergiert absolut, denn es ist

$\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}=\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|3^{-k}|}}=\limsup _{k\to \infty }3^{-1}=\lim _{k\to \infty }3^{-1}={\frac {1}{3}}<1$

Verdichtungskriterium

→ Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

Satz (Verdichtungskriterium)

Sei $(a_{k})_{k\geq 1}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge mit $a_{k}\geq 0$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Falls $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ konvergiert, so konvergiert auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beispiel (Verdichtungskriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ konvergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}\left({\frac {1}{2^{l}}}\right)^{2}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{l}}}=\sum _{l=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{l}$ wegen ${\tfrac {1}{2}}<1$ konvergiert.

Integralkriterium

Satz (Integralkriterium)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$, also $a_{k}=f(k)$ für eine Funktion $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$. Wenn $f$ auf $[1,\infty )$ eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x<\infty$ ist, dann konvergiert die Reihe absolut.

Beispiel (Integralkriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}$ konvergiert absolut, denn $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ mit $f(x)={\tfrac {1}{x^{2}}}$ ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

${\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x&=\lim _{a\to \infty }\int _{1}^{a}{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{a}\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left(-{\frac {1}{a}}+1\right)\\[0.5em]&=1<\infty \end{aligned}}$

Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Kriterien für Divergenz

Gegeben sei eine Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Es gibt folgende Kriterien, um die Divergenz dieser Reihe festzustellen:

Trivialkriterium

→ Hauptartikel: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium

Satz (Trivialkriterium)

Wenn $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ divergiert oder $\lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0$ ist, dann ist die Reihe divergent.

Beispiel (Trivialkriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}$ divergiert, denn es ist

$\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}=\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\geq 1$

Damit kann $a_{k}=\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}$ keine Nullfolge sein, was beweist, dass $\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{k}$ divergiert.

Cauchy-Kriterium

→ Hauptartikel: Cauchy-Kriterium für Reihen

Satz (Cauchy-Kriterium)

Gibt es ein $\epsilon >0$, so dass es für alle $N\in \mathbb {N}$ natürliche Zahlen ${\tilde {n}}\geq {\tilde {m}}\geq N$ mit $\left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}a_{k}\right|\geq \epsilon$ gibt, dann divergiert die Reihe.

Beispiel (Cauchy-Kriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}$ divergiert nach dem Cauchy-Kriterium. Setzen wir nämlich $\epsilon ={\tfrac {1}{4}}$, so können für jedes $N\in \mathbb {N}$ die Zahlen ${\tilde {m}}=N+1$ und ${\tilde {n}}=2N$ gewählt werden. Es ist dann

${\begin{aligned}\left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}{\frac {1}{k}}\right|&=\left|\sum _{k=N+1}^{2N}{\frac {1}{k}}\right|\\[0.5em]&={\frac {1}{N+1}}+{\frac {1}{N+2}}+\ldots +{\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&\geq {\frac {1}{2N}}+{\frac {1}{2N}}+\ldots +{\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&=N\cdot {\frac {1}{2N}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}\\&\geq \epsilon \end{aligned}}$

Minorantenkriterium

→ Hauptartikel: Majorantenkriterium und Minorantenkriterium

Satz (Minorantenkriterium)

Sei $a_{k}\geq c_{k}\geq 0$ für fast alle $k\in \mathbb {N}$. Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ divergiert, dann divergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beispiel (Minorantenkriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}$ divergiert. Es ist nämlich ${\tfrac {1}{\sqrt {k}}}\geq {\tfrac {1}{k}}$ für alle $k\in \mathbb {N}$, und die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergiert. In einer Gleichung aufgeschrieben:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {k}}}\geq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=\infty$

Quotientenkriterium

→ Hauptartikel: Quotientenkriterium

Satz (Quotientenkriterium für Divergenz)

Wenn $\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\geq 1$ für fast alle $k\geq N$ ist (also für alle $k\geq K$ für ein festes $K\in \mathbb {N}$), dann ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ divergent. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1$ ist.

Beispiel (Quotientenkriterium für Divergenz)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k!}{2^{k}}}$ divergiert. Es ist nämlich:

${\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {(k+1)!/2^{k+1}}{k!/2^{k}}}\right|\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {(k+1)!\cdot 2^{k}}{k!\cdot 2^{k+1}}}\\[0.5em]&=\lim _{k\to \infty }{\frac {k+1}{2}}\\[0.5em]&=\infty >1\end{aligned}}$

Wurzelkriterium

→ Hauptartikel: Wurzelkriterium

Satz (Wurzelkriterium für Divergenz)

Wenn $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$ ist, dann divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ absolut. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$ ist.

Beispiel (Wurzelkriterium für Divergenz)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{k}}{k}}$ divergiert, denn es ist

${\begin{aligned}\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}&=\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{\left|{\frac {2^{k}}{k}}\right|}}\\[0.5em]&=\limsup _{k\to \infty }{\frac {\sqrt[{k}]{2^{k}}}{\sqrt[{k}]{k}}}\\[0.5em]&=\limsup _{k\to \infty }{\frac {2}{\sqrt[{k}]{k}}}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ \lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{k}}=1\right.}\\[0.5em]&=2>1\end{aligned}}$

Verdichtungskriterium

→ Hauptartikel: Cauchysches Verdichtungskriterium

Satz (Verdichtungskriterium)

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende reelle Nullfolge mit $a_{k}\geq 0$ für alle $k\in \mathbb {N}$. Falls $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ divergiert, so divergiert auch $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$.

Beispiel (Verdichtungskriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergiert nach dem Verdichtungskriterium, da die Reihe $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}{\frac {1}{2^{l}}}=\sum _{l=0}^{\infty }1$ divergiert.

Integral-Kriterium

Satz (Integral-Kriterium)

Sei $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$, also $a_{k}=f(k)$ für eine Funktion $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$. Wenn $f$ auf $[1,\infty )$ eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten ist und wenn $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\infty$ ist, dann divergiert die Reihe.

Beispiel (Integral-Kriterium)

Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}$ divergiert, denn $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ mit $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ ist eine monoton fallende Funktion mit nichtnegativen Funktionswerten, und es ist

${\begin{aligned}\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x&=\lim _{a\to \infty }\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left[\ln(x)\right]_{1}^{a}\\[0.5em]&=\lim _{a\to \infty }\left(\ln(a)-\ln(1)\right)\\&=\lim _{a\to \infty }\ln(a)\\&=\infty \end{aligned}}$

Hinweis

Das Integralkriterium werden wir erst beweisen, nachdem wir auch das Integral definiert haben. Der Vollständigkeit halber ist es bereits hier aufgeführt. Beachte, dass du das Integralkriterium erst dann verwenden kannst, wenn es in deiner Vorlesung bewiesen wurde!

Hinweis

Weitere Beispiele zur Anwendung der Konvergenzkriterien befinden sich in den Einzelkapiteln zu den Konvergenzkriterien, im Kapitel Anwendung der Konvergenzkriterien und in den Aufgaben zu Konvergenzkriterien für Reihen.

Anfangswert des Laufindex ist für Konvergenzverhalten egal

Im Abschnitt zum Cauchy-Kriterium haben wir festgestellt, dass es für die Frage der Konvergenz egal ist, ab welchem Anfangswert der Laufindex startet. Wenn wir also eine Reihe der Form $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ haben, dann können wir auch die Reihen $\sum _{k=10}^{\infty }a_{k}$ oder $\sum _{k=4223}^{\infty }a_{k}$ betrachten. Alle diese Reihen haben dasselbe Konvergenzverhalten. Merke dir also:

„Für die Konvergenz einer Reihe können endlich viele Summanden weggelassen oder verändert werden, das Konvergenzverhalten wird dabei nicht geändert.“

Durch das Ändern von endlich vielen Summanden änderst du zwar den Wert der Reihe, das Konvergenzverhalten bleibt aber erhalten. Dieser Umstand ist nützlich, und du solltest dies immer im Hinterkopf haben. Es kann insbesondere in solchen Fällen hilfreich sein, in denen du dich nur für das Konvergenzverhalten einer Reihe interessierst, nicht aber für ihren Wert.

Beispiel

Sei $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ definiert durch

$a_{k}={\begin{cases}10^{k}&;k\leq 1000\\{\frac {1}{2^{k}}}&;k>1000\end{cases}}$

Fast alle Glieder der Folge $\left(a_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ sind identisch mit der Folge $\left({\tfrac {1}{2^{k}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ (es gibt nur endlich viele Ausnahmen). Da nun die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}$ konvergiert, konvergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, jedoch ist der Grenzwert beider Reihen unterschiedlich.