Anwendung der Konvergenzkriterien bei Reihen – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Viele Dozenten stellen gerne Aufgaben, in denen die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe bewiesen werden muss. Auf dieser Seite sammeln wir einige Tipps und Tricks, die dir bei solchen Aufgaben helfen. Sie zeigen auch exemplarisch, wie erfahrene Mathematiker Konvergenzaufgaben angehen. Anschließend werden wir diese Vorgehensweisen an mehreren Anwendungsbeispielen veranschaulichen.

Tipps zur Bestimmung des Konvergenzverhaltens

Trivialkriterium überprüfen

Überprüfe zunächst, ob du das Trivialkriterium anwenden kannst. Dieses besagt, dass jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$, bei der die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ nicht gegen null konvergiert, divergieren muss. Bestimme also zunächst den Grenzwert von $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$. Wenn dieser Grenzwert nicht existiert oder wenn dieser Grenzwert ungleich null ist, dann divergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$. Es kann allerdings vorkommen, dass die Bauart der Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ zu kompliziert ist, um das Konvergenzverhalten ohne großen Aufwand feststellen zu können. In diesem Fall müssen wir auf die anderen Konvergenzkriterien zurückgreifen. Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge, so müssen wir ebenfalls ein anderes Kriterium anwenden, da daraus nicht folgt, dass die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ konvergiert. Das Trivialkriterium ist nur dazu geeignet, die Divergenz einer Reihe zu zeigen.

Leibnizkriterium bei alternierenden Reihen

Bei alternierenden Folgen kann oft das Leibniz-Kriterium angewandt werden. Dieses besagt, dass jede Reihe der Form $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$ oder der Form $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}$ konvergiert, wenn die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge ist. Wichtig ist, dass beide Eigenschaften (monoton fallend und Nullfolge) erfüllt sind. Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge, so divergiert die Reihe nach dem Trivialkriterium. Ist $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ eine Nullfolge, jedoch nicht monton fallend, so kann die Reihe konvergieren oder divergieren. Dies muss mit einem der anderen Kriterien überprüft werden. Außerdem müssen wir beachten, dass wir mit dem Leibniz-Kriterium nur die Konvergenz und nicht die absolute Konvergenz der Reihe folgern können. Diese muss zusätzlich noch gezeigt bzw. widerlegt werden. Oftmals ist das mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium möglich.

Quotientenkriterium

Bei Reihen der Form $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b_{k}}}$ lohnt sich oft eine Überprüfung mit dem Quotientenkriterium. Wenn $\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {\tfrac {a_{k+1}}{b_{k+1}}}{\tfrac {a_{k}}{b_{k}}}}\right|=\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}b_{k}}{b_{k+1}a_{k}}}\right|<1$, dann konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut. Ist $\liminf _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}b_{k}}{b_{k+1}a_{k}}}\right|>1$, dann divergiert die Reihe. Häufig konvergiert die Quotientenfolge $\left({\tfrac {a_{k+1}b_{k}}{b_{k+1}a_{k}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$. Dann gelten Konvergenz- bzw. Divergenzaussagen mit $\lim$, statt $\limsup$ bzw. $\liminf$. Gilt jedoch $\liminf _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}b_{k}}{b_{k+1}a_{k}}}\right|=1=\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}b_{k}}{b_{k+1}a_{k}}}\right|$, so ist keine Konvergenzaussage möglich und wir müssen andere Konvergenzkriterien in Betracht ziehen.

Wurzelkriterium bei Reihen über Potenzen

Bei einer Reihe über einer Potenz der Form $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{k}$ oder $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}^{k^{2}}$ ist oft das Wurzelkriterium hilfreich. Dieses besagt, dass die Reihe absolut konvergiert, wenn $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}^{k}|}}=\limsup _{k\to \infty }|a_{k}|<1$ bzw. $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}^{k^{2}}|}}=\limsup _{k\to \infty }|a_{k}^{k}|<1$ ist. Ist $\limsup _{k\to \infty }|a_{k}|>1$ bzw. $\limsup _{k\to \infty }|a_{k}^{k}|>1$, so divergiert die Reihe. Konvergiert die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ bzw. $(a_{k}^{k})_{k\in \mathbb {N} }$, so gelten die entsprechenden Aussagen mit $\lim$, statt $\limsup$. Ist der Limes Superior gleich $1$, dann ist das Wurzelkriterium, genau wie das Quotientenkriterium, nicht anwendbar.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Die beiden Kriterien lassen sich häufig bei Reihen der Form $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {P(k)}{Q(k)}}$ anwenden, wobei $P$ und $Q$ Polynomfunktionen sind. Das Quotienten- sowie das Wurzelkriterium versagen bei Reihen dieser Form. Als Majorante eignet sich häufig die konvergente Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$ und als divergente Minorante die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}$. Ansonsten ist auch jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{\alpha }}}$ mit $\alpha >1$ als Majorante und jede Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{\alpha }}}$ mit $\alpha \leq 1$ als Minorante geeignet. Um eine geeignete Majorante zu finden, müssen wir den Zähler $P(k)$ nach oben und den Nenner $Q(k)$ nach unten abschätzen. Um eine geeignete Minorante zu finden, funktioniert es genau umgekehrt. Als Anhaltspunkt, ob die Reihe konvergiert oder divergiert, gilt die folgende Merkregel: Ist ${\text{grad}}(P)<{\text{grad}}(Q)-1$, so konvergiert die Reihe und wir können das Majorantenkriterium anwenden. Gilt hingegen ${\text{grad}}(P)\geq {\text{grad}}(Q)-1$, so divergiert die Reihe. In diesem Fall können wir das Minorantenkriterium anwenden. Dabei bezeichnet ${\text{grad}}(P)$ bzw. ${\text{grad}}(Q)$ die größte Potenz des Polynoms $P$ bzw. $Q$. Bei anderen Beispielen eignet sich die geometrische Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ mit $|q|<1$ bzw. $|q|\geq 1$ als Majorante bzw. Minorante.

Entscheidungsbaum zur Bestimmung der Konvergenz und Divergenz

Alle Tipps und Tricks haben wir für dich in einem Entscheidungsbaum zusammengefasst:

Entscheidungsbaum zur Bestimmung der Konvergenz und Divergenz

Anwendungsbeispiele

Anwendungsbeispiel 1

Betrachten wir zunächst die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{a}}{k!}}{\text{ für }}a\in \mathbb {Q}$

Hier lautet die Koeffizientenfolge

$(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\frac {k^{a}}{k!}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$

Diese Folge ist eine Nullfolge. $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {k^{a}}{k!}}=0$ haben wir für natürliche Zahlen $a\in \mathbb {N}$ bereits bewiesen. Nach dem Sandwichsatz folgt damit auch $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {k^{a}}{k!}}=0$ für $a\in \mathbb {Q}$. Auch ist diese Folge nicht alternierend, da alle Folgenglieder positiv sind. Da es sich um eine Quotientenfolge handelt, liegt es nun auf der Hand, das Quotientenkriterium anzuwenden. Es gilt

${\begin{aligned}\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&={\frac {\frac {(k+1)^{a}}{(k+1)!}}{\frac {k^{a}}{k!}}}\\[0.5em]&={\frac {(k+1)^{a}k!}{k^{a}(k+1)!}}\\[0.5em]&={\frac {(k+1)^{a}}{k^{a}}}\cdot {\frac {k!}{(k+1)!}}\\[0.5em]&=\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{a}\cdot {\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}$

Mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt nun

${\begin{aligned}\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|&=\lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{a}\cdot {\frac {1}{k+1}}\\[0.5em]&=1^{a}\cdot 0\\[0.5em]&=0<1\end{aligned}}$

Nach dem Quotientenkriterium konvergiert somit unsere Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {k^{a}}{k!}}$ (absolut). Fertig!

Anwendungsbeispiel 2

Als nächstes sehen wir uns die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{k}}{2^{k^{2}}}}$

an. Hier ist

$(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\frac {k^{k}}{2^{k^{2}}}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$

Diese Folge ist eine Nullfolge. Dies ist nicht so offensichtlich, wird aber klar, wenn wir $a_{k}={\tfrac {k^{k}}{2^{k^{2}}}}=\left({\tfrac {k}{2^{k}}}\right)^{k}$ schreiben. Bedenken wir nun, dass $\lim _{k\to \infty }{\tfrac {k}{2^{k}}}=0$ ist, so folgt auch $\lim _{k\to \infty }a_{k}=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {k}{2^{k}}}\right)^{k}=0$. Alternierend ist die Folge wieder nicht, da alle Glieder positiv sind. Es handelt sich wieder um eine Quotientenfolge. Allerdings besteht der Nenner aus dem Term $2^{k^{2}}$. Durch Ziehen der $k$-ten Wurzel vereinfacht sich dieser zu $2^{k}$. Ebenso vereinfacht sich der Zähler nach dem Wurzelziehen. Daher wenden wir hier das Wurzelkriterium an. Es gilt

${\begin{aligned}{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}&={\sqrt[{k}]{\frac {k^{k}}{2^{k^{2}}}}}\\[0.5em]&={\sqrt[{k}]{\left({\frac {k}{2^{k}}}\right)^{k}}}\\[0.5em]&={\frac {k}{2^{k}}}\end{aligned}}$

Wegen

$\lim _{k\to \infty }{\frac {k}{2^{k}}}=0<1$

konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {k^{k}}{2^{k^{2}}}}$ nun (absolut).

Anwendungsbeispiel 3

Als Drittes untersuchen wir die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k-1}}$

auf Konvergenz. Wieder ist

$(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\frac {(-1)^{k}}{2k-1}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$

eine Nullfolge. Denn $\lim _{k\to \infty }|a_{k}|=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2k-1}}=0$. Da die Folge alternierend ist, bietet sich das Leibniz-Kriterium an. Die Nullfolgeneigenschaft von $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }=\left({\tfrac {1}{2k-1}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ haben wir uns schon überlegt. Als nächstes müssen wir überprüfen, ob $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ auch monoton fallend ist. Es gilt für alle $k\in \mathbb {N}$:

${\begin{aligned}&2k+1\geq 2k-1\\[0.5em]\iff &\underbrace {\frac {1}{2k+1}} _{=a_{k+1}}\leq \underbrace {\frac {1}{2k-1}} _{=a_{k}}\end{aligned}}$

Also ist $\left({\tfrac {1}{2k-1}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$ eine monoton fallende Nullfolge und die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{2k-1}}$ konvergiert. Wir müssen sie nun noch auf absolute Konvergenz untersuchen. Dazu überlegen wir, ob $\sum _{k=1}^{\infty }\left|{\tfrac {(-1)^{k}}{2k-1}}\right|=\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2k-1}}$ konvergiert. Diese kann allerdings nicht konvergieren, denn es gilt

$2k-1\leq 2k\iff {\frac {1}{2k-1}}\geq {\frac {1}{2k}}$

Da die harmonische Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k}}$ divergiert, divergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {1}{k}}$. Nach dem Minorantenkriterium divergiert somit die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2k-1}}$. Unsere Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {(-1)^{k}}{2k-1}}$ konvergiert daher nicht absolut.

Anwendungsbeispiel 4

Als Viertes betrachten wir die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}-2k+1}{2k^{4}+6}}$

Hier ist die Koeffizientenfolge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit

$a_{k}={\frac {k^{2}-2k+1}{2k^{4}+6}}$

Diese hat die Form ${\tfrac {P(k)}{Q(k)}}$ („Polynom durch Polynom“) mit $P(k)=k^{2}-2k+1$ und $Q(k)=2k^{4}+6$. Wegen

$\underbrace {{\text{Grad}}(P)} _{=2}<\underbrace {{\text{Grad}}(Q)-1} _{4-1=3}$

konvergiert die Reihe (absolut). Außerdem können wir wegen ${\tfrac {k^{2}}{k^{4}}}={\tfrac {1}{k^{2}}}$ die Koeffizientenfolge nach oben durch $C\cdot {\tfrac {1}{k^{2}}}$ mit $C\in \mathbb {R} ^{+}$ abschätzen. Dazu machen wir den Zähler größer und den Nenner kleiner. Es gilt

${\begin{aligned}|a_{k}|&={\frac {k^{2}-2k+1}{2k^{4}+6}}\\[0.5em]&={\frac {(k-1)^{2}}{2k^{4}+6}}\\[0.5em]&\leq {\frac {k^{2}}{2k^{4}+6}}\\[0.5em]&\leq {\frac {k^{2}}{2k^{4}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{2}}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}$

Da nun die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{k^{2}}}={\tfrac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {1}{k^{2}}}$ konvergiert, konvergiert auch die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{\tfrac {k^{2}-2k+1}{2k^{4}+6}}$ (absolut).

Anwendungsbeispiel 5

Als Letztes betrachten wir noch die Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left({\frac {k}{k+1}}\right)$

Dieses Beispiel soll veranschaulichen, dass bei alternierenden Reihen nicht immer zwangsläufig das Leibniz-Kriterium angewendet werden kann. Der Grund liegt in diesem Fall darin, dass die Koeffizientenfolge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit $a_{k}=(-1)^{k}\left({\tfrac {k}{k+1}}\right)$ keine Nullfolge ist. Es gilt nämlich

$|a_{k}|={\frac {k}{k+1}}={\frac {1}{1+{\frac {1}{k}}}}{\overset {k\to \infty }{\to }}{\frac {1}{1+0}}=1$

Also ist $(|a_{k}|)_{k\in \mathbb {N} }$ keine Nullfolge und damit gilt dies auch für $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$. Die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\left({\tfrac {k}{k+1}}\right)$ divergiert daher nach dem Trivialkriterium.