Linear independence – Serlo

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Motivation Bearbeiten

GrundmotivationBearbeiten

Aus der Schule kennen wir Vektoren als Pfeile in der Ebene oder im Raum. Sowohl die Ebene als auch der Raum sind Vektorräume. Aber worin unterscheiden sie sich?

Eine spontane Antwort könnte lauten: „Die Ebene ist zweidimensional und der Raum dreidimensional.“ Das bringt uns aber gleich zu weiteren Fragen:

  • Was ist die Dimension eines Vektorraums?
  • Wie können wir sie definieren?

In der Definition des Vektorraums kommt der Begriff „Dimension“ nämlich nicht vor...

Intuition der DimensionBearbeiten

 
Eine Kugel ist ein dreidimensionales Objekt

Der Begriff „Dimension“ beschreibt, in wie viele unabhängige Richtungen geometrische Objekte in einem Raum ausgedehnt sein können. Die Objekte können sich auch in genau so vielen unabhängigen Richtungen im Raum bewegen („Freiheitsgrade der Bewegung“).

Die Ebene hat zwei Dimensionen – die Breite und die Länge. Sie ist flach, kein Objekt der Ebene kann in die Höhe reichen. Eine Kugel kann als dreidimensionales Objekt also nicht Teil der Ebene sein. Im Gegensatz dazu besitzt der Raum mit Länge, Breite und Höhe drei Dimensionen. Eine Kugel kann so Teil eines Raums sein.

Wir fassen zusammen: Die Dimension entspricht intuitiv der Anzahl der unabhängigen Richtungen, in die sich ein geometrisches Objekt ausdehnen bzw. bewegen kann. Für die Definition der Dimension müssen wir also folgende Fragen beantworten:

  • Was ist eine Richtung in einem Vektorraum?
  • Wann sind zwei Richtungen unabhängig?
  • Wie kann die Anzahl der unabhängigen Richtungen bestimmt werden?

Herleitung der DefinitionBearbeiten

Was ist eine Richtung in einem Vektorraum?Bearbeiten

Nehmen wir als Beispiel den Vektorraum der Ebene. Eine Richtung können wir mit einem Pfeil darstellen:

Nun ist ein Pfeil nichts anderes als ein Vektor. Mit Hilfe von Vektoren können also Richtungen repräsentiert werden. Dabei dürfen wir nicht den Nullvektor verwenden. Als Pfeil der Länge Null hat dieser nämlich keine Richtung. Dies können wir auf beliebige Vektorräume verallgemeinern:

Jeder Vektor ungleich dem Nullvektor repräsentiert eine Richtung in einem Vektorraum.

Die Richtung, in die der Vektor zeigt ist  , also der Spann   des Vektors  . Zu diesem Spann gehören alle Streckungen   des Richtungsvektor   und beschreibt damit die Gerade, die durch   aufgespannt wird:

Von der Geraden zur EbeneBearbeiten

Um jetzt von der Geraden zu Ebene zu kommen, benötigen wir nicht nur einen Vektor sondern mehrere, genauer gesagt mindestens zwei Vektoren ( ). Dies erschließt sich ja auch intuitiv, da man eine Ebene nur mit zwei Vektoren eindeutig aufspannen kann. Deshalb brauchen wir einen weiteren, linear unabhängigen Vektor. Was bedeutet in diesem Fall „unabhängig“? Zunächst stellen wir fest, dass der neue Vektor nicht der Nullvektor sein darf. Dieser gibt nämlich keine Richtung an. Weiterhin darf der neue Vektor auch kein Vielfaches des ursprünglichen Vektors sein, also   . Dies gilt auch für Spiegelungen des Geradenvektors, also Vielfache mit einem negativen Faktor.

Wir fassen zusammen: Der neue Vektor   ist genau dann unabhängig vom Richtungsvektor  , wenn dieser nicht auf der Geraden liegt. Es muss also   für alle reellen Zahlen   sein. Der neue Vektor darf also nicht im Spann der anderen liegen. Die beiden Vektoren haben nur den Nullpunkt als Schnittpunkt.

Von der Ebene zum RaumBearbeiten

Wir haben gesehen, dass wir eine Ebene durch zwei unabhängige Vektoren charakterisieren können. Nun möchten wir von der Ebene zum Raum übergehen. Auch hier müssen wir eine unabhängige Richtung hinzunehmen. Was ist aber eine zur Ebene unabhängige Richtung?

Der neue Vektor darf nicht der Nullvektor sein, weil dieser keine Richtung angibt. Der neue Vektor darf auch nicht in der Ebene liegen, da so keine neue Richtung beschrieben wird. Genau dann wenn der neue Vektor nicht in der Ebene liegt, dann zeigt er in eine neue unabhängige Richtung:

Wie können wir diese Erkenntnis mathematisch formulieren? Seien   und   die beiden Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Diese Ebene ist dann gleich der Menge  . Die Ebene ist damit die Menge aller Summen   für reelle Zahlen  . Damit der neue Vektor   nicht in der Ebene liegt, muss   für alle   sein. Damit ist   unabhängig von   und   genau dann, wenn   ist. Mit anderen Worten:  .

Verständnisfrage: Wir hatten zuerst gefordert, dass der neue Vektor   nicht der Nullvektor sein darf. Warum reicht es aus, dass   für alle   ist? Warum impliziert dies, dass   ist?

Für   ist  . Da auch für   der neue Vektor   ungleich   sein soll, folgt  .

Verständnisfrage: Reicht es aus, dass   kein Vielfaches von   beziehungsweise   ist?

Nein, nehme zum Beispiel  . Wenn   unabhängig von   ist, dann ist   weder eine Streckung von   noch von  . Jedoch liegt dieser Vektor in der von   und   aufgespannten Ebene und bildet damit keine unabhängige Richtung von   und  .

Ein erstes Kriterium für lineare UnabhängigkeitBearbeiten

Fassen wir zusammen: Zur Beschreibung einer Geraden benötigten wir einen Vektor   ungleich dem Nullvektor. Im Übergang von der Geraden zur Ebene mussten wir einen zu   unabhängigen Vektor   hinzufügen. Unabhängigkeit von   zur Richtung   bedeutet hier, dass   nicht in der von   beschriebenen Geraden liegt. Es musste also   für alle   sein.

Im zweiten Schritt haben wir der Ebene eine neue Richtung   hinzugefügt, die von den beiden Vektoren   und   unabhängig ist. Hier manifestiert sich Unabhängigkeit darin, dass   nicht in der von   und   aufgespannten Ebene liegt. Es muss also   für alle reellen Zahlen   und   sein. Dies können wir für eine beliebige Anzahl an Vektoren verallgemeinern (jedoch kann man sich das nicht mehr so gut vorstellen):

Der Vektor   ist unabhängig von den Vektoren  , wenn   für alle   ist.

In der obigen Beschreibung kommt die Summe   vor. Eine solche Summe wird Linearkombination der Vektoren   bis   genannt. Wir können auch sagen, dass   linear unabhängig ist, wenn  . Die Beschreibung kann geändert werden zu:

Der Vektor   ist unabhängig von den Vektoren  , wenn   nicht als Linearkombination der Vektoren   bis   dargestellt werden kann.

Hier haben wir geklärt, wann ein Vektor unabhängig von einer Menge anderer Vektoren ist. Reicht dies aus, um die Unabhängigkeit von Vektoren zu beschreiben?! Nimm folgende drei Vektoren  ,   und  :

Weil kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektoren ist, zeigen die drei Vektoren paarweise gesehen in unabhängige Richtungen. Beispielsweise ist   unabhängig zu   und   ist unabhängig zu  . Insgesamt gesehen sind die drei Vektoren nicht unabhängig voneinander, weil sie alle in einer Ebene liegen. Es ist   und damit ist   abhängig zu   und  . Dementsprechend müssen wir für die lineare Unabhängigkeit zwischen  ,   und   fordern:

  •   ist unabhängig zu   und  : Es ist   für alle  .
  •   ist unabhängig zu   und  : Es ist   für alle  .
  •   ist unabhängig zu   und  : Es ist   für alle  .

An dieser Stelle sei betont, dass es nötig ist alle drei Bedingungen zu fordern. Würden wir auf die letzten beiden Bedingungen verzichten, so würde die erste Forderung zwar garantieren, dass der Vektor   linear unabhängig von den Vektoren   und   ist, aus dieser Forderung ist aber nicht klar, dass   und   linear unabhängig voneinander sind. Dies muss nicht erfüllt sein, wodurch dann die drei Vektoren untereinander wieder nicht linear unabhängig wären.

Es darf also keiner der drei Vektoren als Linearkombination der anderen zwei Vektoren dargestellt werden können. Ansonsten ist nämlich mindestens einer der Vektoren zu den anderen Vektoren abhängig. Dies können wir für eine beliebige Anzahl von Vektoren verallgemeinern:

Definition (Erstes Kriterium für lineare Unabhängigkeit)

Vektoren   bis   sind linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Damit muss gelten:

  • Es ist   für alle  .
  • Es ist   für alle  .
  • ...
  • Es ist   für alle  .

Es sind also   bis   linear unabhängig, wenn   für alle   und   ist.

Vom ersten Kriterium zur formalen DefinitionBearbeiten

Mit unserem ersten Kriterium, welches wir oben gefunden haben, haben wir bereits eine passende Definition für die lineare Unabhängigkeit von Vektoren gefunden. Wir wollen im Folgenden versuchen eine knappere äquivalente Definition zu finden, mit Hilfe derer wir die lineare Unabhängigkeit von Vektoren leichter untersuchen können.

Vektoren sind genau dann unabhängig voneinander, wenn sich kein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Daraus werden wir ein weiteres Kriterium für lineare Unabhängigkeit herleiten, welches weniger rechenaufwändig ist. Nehmen wir Vektoren  ,   bis   aus einem Vektorraum  , die nicht unabhängig sind. Es gibt also einen Vektor, der durch die anderen dargestellt werden kann. Sei   dieser Vektor. Es gibt damit Streckungsfaktoren (Skalare)   bis  , so dass gilt:

 

Diese Gleichung können wir umstellen, indem wir auf beiden Seiten   rechnen (  ist der Nullvektor des Vektorraums  ):

 

Dies ist eine sogenannte nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors ist eine Linearkombination mit dem Ergebnis  , bei dem mindestens ein Koeffizient ungleich   ist. Für   ist nämlich immer  . Dies ist die sogenannte triviale Linearkombination des Nullvektors, bei der alle Koeffizienten gleich   sind. Diese triviale Linearkombination kannst du stets bilden, egal welche Vektoren   bis   du wählst. Wenn   bis   abhängig voneinander sind, gibt es neben der trivialen Linearkombintion noch mindestens eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors (wie wir es oben gesehen haben). Also:

Wenn   bis   abhängig voneinander sind, dann kann der Nullvektor durch   bis   durch mindestens eine nichttriviale Linearkombination dargestellt werden.

Anders ausgedrückt:

  sind abhängig   Es existiert eine nicht triviale Linearkombination von   durch  

Nun können wir das Prinzip der Kontraposition anwenden. Dieses besagt, dass eine Aussage   genau dann gilt, wenn  . Also gilt auch:

Es existiert keine nichttriviale Linearkombination von   durch   sind unabhängig

Damit haben wir ein Kriterium für Unabhängigkeit gefunden. Wenn der Nullvektor nur trivial durch eine Linearkombination von   bis   dargestellt werden kann, dann sind diese Vektoren unabhängig. Dieses Kriterium kann aber auch als Definition der linearen Unabhängigkeit benutzt werden. Hierzu müssen wir die Rückrichtung der obigen Implikation zeigen. Wenn es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, dann sind die betrachteten Vektoren abhängig voneinander.

Seien also   bis   Vektoren, für die es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt. Es gibt also Koeffizienten (Skalare)   bis  , derart dass   und mindestens einer der Koeffizienten   bis   ungleich   ist. Sei   dieser Koeffizient. Dann ist

 

Wegen   können wir beide Seiten mit   multiplizieren. Wir erhalten damit

 

Auf beiden Seiten können wir nun   addieren:

 

Damit kann   als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden und somit sind die Vektoren   bis   abhängig voneinander. Dies beweist insgesamt die formale Definition der linearen Unabhängigkeit:

Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn mit ihnen der Nullvektor nur durch die triviale Linearkombination dargestellt werden kann. Wenn es mindestens eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, sind die betrachteten Vektoren linear abhängig voneinander.

Allgemeine Definition der linearen UnabhängigkeitBearbeiten

MotivationBearbeiten

Oben haben wir für eine endliche Menge lineare Unabhängigkeit eingeführt. Dazu sind wir induktiv vorgegangen. Wir haben uns zunächst überlegt, dass wir eine Richtung nur durch einen Vektor, der nicht Null ist, sinnvoll angeben können. Nehmen wir nun an, dass wir bereits   linear unabhängige Vektoren   haben. Wir können uns fragen, welche Eigenschaft ein weiterer Vektor   erfüllen muss, damit die Familie von Vektoren   linear unabhängig ist. Nach der obigen Definition und Motivation wissen wir, dass   nicht als Linearkombination der   geschrieben werden darf.

Die Frage, die dieser Prozess nun aufwirft ist: Was ist, wenn wir immer einen solchen Vektor hinzunehmen können? Eine erste Teilantwort könnte sein, dass wir eine Folge   erhalten, für welche gilt: Egal wie viele Vektoren  , für eine natürliche Zahl  , vom Anfang der Folge wir betrachten, sie werden immer linear unabhängig sein. Wir wollen weiter unten eine Definition für lineare Unabhängigkeit geben, so dass eine so konstruierte Folge wieder linear unabhängig ist.

Aber bevor wir uns solche Mühen machen, sollten wir auch sichergehen, dass ein solcher Fall überhaupt auftreten kann. Dazu betrachten wir im Folgenden den Vektorraum   aller Polynome über einem Körper  . Weiter halten wir die Untervektorräume

 

für alle   fest. Ein   enthält genau die Polynome von Grad  .

Für ein   nennt man das Polynom   Monom. (Das Monom zu   ist damit gerade  .) Halten wir ein   fest, so weisen wir nun nach, dass die Monome   linear unabhängig sind.

Dazu müssen wir zeigen, dass eine Linearkombination   mit   nur dann Null wird, wenn bereits alle   sind. Wir können dies aus der Definition des Vektorraumes   ableiten. Denn die Polynome in   sind nicht die polynomiellen Funktionen  . Stattdessen ist ein Polynom   schlicht eine Schreibweise für die Koeffizientenreihe  , wobei die   sind. In der Form einer Koeffizientenreihe sieht man auch die Vektorraumstruktur von   gut: Addition und skalare Multiplikation sind komponentenweise erklärt. Hat man also zwei Reihen   und   mit  , so ist deren Summe gegeben durch

 

gegeben. Damit entspricht die Null aus   der Koeffizientenreihe der Länge eins mit Eintrag  . Unsere oben fixierte Linearkombination   ist somit genau dann Null, wenn alle   sind.

Was haben wir nun erreicht? Die Monome von Grad   liegen in   und sind linear unabhängig. Und weiterhin sehen wir, dass   gilt, da das Monom   nicht in   enthalten ist. Damit können wir in jedem Schritt einen Vektor finden, der linear unabhängig zu den bereits gefundenen ist. Also haben wir eine entsprechendes Beispiel gefunden.

Die oben angesprochene verallgemeinerte Definition linearer Unabhängigkeit überprüft nun genau das, was wir uns erarbeitet haben: Haben wir eine (potentiell unendliche) Menge an Vektoren   gegeben. Dann werden wir fordern, dass jede endliche Teilmenge   bereits eine Menge linear unabhängiger Vektoren bildet. Es sei hier noch bemerkt, dass wir in unserem Beispiel jeweils endliche Teilmengen von   betrachtet haben, die ineinander enthalten waren und immer größer wurden. Jede endliche Teilmenge   ist aber bereits in   enthalten. Da nun   nach unserem Beweis bereits linear unabhängig ist, gilt dies auch für  .

DefinitionBearbeiten

Nehmen wir jetzt also einen  -Vektorraum mit  , dann lässt sich der der Nullvektor immer als Linearkombination der Vektoren   darstellen. Wie? Wir brauchen als Koeffizienten nur 0. Das sieht erstmal sehr einfältig aus, aber hätten wir ein   wären die Vektoren linear abhängig.

Definition (Lineare Unabhängigkeit von endlich vielen Vektoren)

Seien   ein Körper,   ein  -Vektorraum,   und  . Die Menge   von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination darstellen lässt. Das heißt:

 

Umgekehrt heißt die Menge   von Vektoren linear abhängig, wenn es eine Linearkombination   gibt, bei der mindestens ein Koeffizient   ist. Die Vektoren sind also linear abhängig, wenn es mindestens eine nicht triviale Linearkombination des Nullvektors mit diesen Vektoren gibt.

To-Do:
  • Motivtation der Definition mit unendlich vielen Vektoren
  • Herleitung der allgemeineren Definition: Lineare Unabhängigkeit einer unendlichen Menge von Vektoren. Genau dann, wenn jede endliche Teilmenge der gegeben Menge linear Unabhängig ist.

Folgerungen aus der DefinitionBearbeiten

ÜbersichtBearbeiten

Folgende Eigenschaften können mit wenigen Beweisschritten aus der Definition der linearen Unabhängigkeit hergeleitet werden. Dabei sei im Folgenden   ein Körper und   ein  -Vektorraum:

  1. Sei  . Dann ist   linear unabhängig genau dann, wenn   ist. Dies folgt direkt aus obiger Definition.
  2. Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. Insbesondere ist damit der Nullvektor linear abhängig.
  3. Seien  .   und   sind genau dann linear abhängig, wenn es ein   mit der Eigenschaft   oder   gibt.
  4. Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.
  5. Ist eine Menge von Vektoren linear abhängig, so kann einer von ihnen als Linearkombination der anderen dargestellt werden.

Menge mit Nullvektor ist linear abhängigBearbeiten

Theorem

Eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält, ist linear abhängig. Insbesondere ist damit der Nullvektor selbst linear abhängig.

Proof

Um dies zu zeigen, sei   und für ein   sei  . Bilden wir nun eine Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus  , so kann der Koeffizient von   ein beliebiges   sein, da   ist. Damit kann die Linearkombination des Nullvektor einen Vektor   mit dem Koeffizienten   enthalten. Es handelt sich also um eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Deshalb ist die Menge   linear abhängig.

Bei zwei Vektoren sind genau die Streckungen linear abhängigBearbeiten

Theorem

Seien  .   und   sind genau dann linear abhängig, wenn es ein   mit der Eigenschaft   oder   gibt.

Proof

Ist einer der beiden Vektoren der Nullvektor, dann sind nach obiger Bemerkung   und   linear abhängig. Seien also   und  . Es sei   so gewählt, dass   ist. (Dies ist o.B.d.A. möglich, denn falls das nicht geht, vertauschen wir die Bezeichnungen der Vektoren. Wir verwenden also   anstelle von   und   anstelle von  . Laut Voraussetzung muss ein   existieren, sodass die Gleichung mit den neuen Bezeichnungen gilt.) Nun gilt  . Damit haben wir den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination dargestellt. Das bedeutet, dass   und   linear abhängig sind.

Seien umgekehrt   und   linear abhängig. Dann gibt es nach Definition eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors. Es existieren also   so, dass   und   nicht beide Null sind und die Gleichung   gilt. Wir betrachten den Fall, dass   ist. Dann folgt aus der Gleichung   und damit

 

Falls jedoch   ist, dann muss   sein. Analog zur Rechnung von eben kannst du nachrechnen, dass dann   ist mit  .

Teilmengen linear unabhängiger Vektoren sind linear unabhängigBearbeiten

Theorem

Jede Teilmenge einer Menge linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

Proof

Sei   eine linear unabhängige Menge von Vektoren. Wir werden einen Widerspruchbeweis führen. Dazu machen wir die folgende Annahme: Es gibt eine Teilmenge  , die linear abhängig ist. Zur Vereinfachung der Bezeichnungen seien   und  . Wir schreiben   und  . Weil   linear abhängig ist, gibt es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus  . Es exisitieren also   nicht alle Null mit der Eigenschaft, dass

 

ist. Diese Linearkombination können wir erweitern zu

 

Da nicht alle   Null waren, ist das eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors mit den Vektoren aus  . Das steht im Widerspruch dazu, dass   linear unabhängig ist.

Von linear abhängigen Vektoren kann einer als Linearkombination der anderen dargestellt werdenBearbeiten

Theorem

Sei   ein  -Vektorraum und seien   linear abhängige Vektoren, aber   seien linear unabhängig, dann gibt es   derart, dass   ist mit   nicht alle Null.

Proof

Da   linear abhängig sind, gibt es   mit  . Daher gilt

 

Wüssten wir, dass  , dann könnten wir die   durch   teilen und wir hätten unser gewünschtes Ergebnis. Also bleibt zu zeigen, dass   ist.

Dafür nehmen wir an, es sei  . Dann wäre

 

Wegen der linearen Unabhängigkeit der   folgt daraus auch   für alle  . Das kann aber nicht sein, da   nicht alle Null sind.

Wir können damit durch   dividieren und die gesuchte Linearkombination ist

 

Setze nun  , dann ist   und genau das war zu zeigen.

To-Do:
  • Beweise überarbeiten, so dass es auch für unendliche linear unabhängige Systeme stimmt.
  • Beweise überarbeiten->verständlicher machen

Lineare Unabhängigkeit und eindeutige Linearkombinationen Bearbeiten

Wir betrachten in diesem Abschnitt den Zusammenhang zwischen Linearer Unabhängigkeit und Linearkombinationen genauer. Dafür machen wir uns klar, was es bedeutet, wenn die Vektoren   linear abhängig oder unabhängig sind. Angenommen die Vektoren   sind linear abhängig. Aus unserer Definition der linearen Unabhängigkeit wissen wir, dass es dann eine nicht triviale Nulldarstellung geben muss, da mindestens ein Skalar   für ein   ist. Wir machen uns dies anhand des folgenden Beispiels klar

Example (Lineare Abhängigkeit und nicht triviale Nulldarstellung)

Betrachten wir die Vektoren  . Diese sind linear abhängig, da

 

Durch Umformung dieser Gleichung erhalten wir eine Darstellung des Nullvektors:

 

Neben dieser Darstellung gibt es auch die sogenannte triviale Darstellung des Nullvektors, bei der jeder Vorfaktor gleich Null ist:

 

Wegen der linearen Abhängigkeit kann der Nullvektor über zwei Wege über eine Linearkombination dargestellt werden.

Unabhängig davon, ob die betrachtete Menge von Vektoren linear unabhängig ist oder nicht, gibt es stets die triviale Nulldarstellung, in dem alle Skalare   den Wert   haben:

 

Bei linearer Abhängigkeit der Vektoren ist die Darstellung der Null nicht mehr eindeutig. Wir können unsere Ergebnisse bisher zusammenfassen:

  linear abhängig.   Die Darstellung der Null ist als Linearkombination von   nicht eindeutig.

Wir wollen uns nun der Frage zuwenden, ob auch die Umkehrung gilt:

Die Darstellung der Null ist als Linearkombination von   nicht eindeutig.     sind linear abhängig.

Betrachten wir also ein   mit   mit  . Darüber hinaus betrachten wir eine weitere Darstellung   mit  . Subtraktion der beiden Gleichungen liefert

 

Da die Darstellungen von   unterschiedlich sind, gibt es mindestens einen Faktor   für   ungleich Null. Damit sind die Vektoren   nach Definition linear abhängig. Zusammen mit unseren bisherigen Ergebnissen erhalten wir die Aussage

  linear unabhängig   alle Linearkombinationen von   sind eindeutig

Auch hier gilt die Umkehrung

Alle Linearkombinationen von   sind eindeutig   linear unabhängig

Die Aussage können wir uns sehr schnell klar machen, denn da sich die Null immer trivial darstellen lässt und sämtliche Linearkombinationen, insbesondere also auch die der   eindeutig sind, folgt nach der Definition, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

ÜbungsaufgabenBearbeiten

Aufgabe 1Bearbeiten

Exercise (Lineare Unabhängigkeit)

Zeige, dass die Vektoren   linear unabhängig sind.

Solution (Lineare Unabhängigkeit)

Wir müssen zeigen, dass durch die gegebenen Vektoren der Nullvektor nur trivial dargestellt werden kann. Dies bedeutet, dass die folgende Gleichung mit den reellen Zahlen   nur die Lösung   besitzt:

 

Hieraus ergibt sich:

 

Nun sind zwei Spaltenvektoren genau dann gleich, wenn jede Komponente gleich ist. Also müssen folgende Gleichungen gelten:

 

Es ist also  . Wenn wir dies in   einsetzen, erhalten wir  . Damit haben wir gezeigt, dass aus der Gleichung   folgt, dass alle Koeffizienten  ,   und   gleich   sind. Somit sind die drei Vektoren linear unabhängig.

Aufgabe 2Bearbeiten

Exercise (Lineare Abhängigkeit)

Zeige dass die folgende Menge   von vier Vektoren linear abhängig ist:

 

Solution (Lineare Abhängigkeit)

Nach Definition sind die Vektoren   und   genau dann linear abhängig, wenn wir eine nichttriviale Linearkombination der Null mit ihnen finden. Eine solche ist beispielsweise durch

 

gegeben. Also sind die Vektoren linear abhängig.

Solution (Lineare Abhängigkeit, Alternative)

Vektoren sind linear abhängig, wenn einer sich als Linearkombination der anderen drei darstellen lässt. Nun kann der Vektor   als Linearkombination der anderen dargestellt werden:

 

Damit sind die Vektoren linear abhängig.

Aufgabe 3Bearbeiten

Exercise (Trigonometrische Polynome)

Sei   mit   für alle  . Das heißt, dass   eine  -periodische Funktion ist. Wir betrachten die Menge   der  -periodischen Funktionen. Diese bilden einen  -Vektorraum.

Sind die Funktionen in der Menge   linear unabhängig?

How to get to the proof? (Trigonometrische Polynome)

Wir untersuchen, wie man die Nullfunktion als Linearkombination der drei Funktionen schreiben kann. Dazu bestimmen wir die Werte von   in der Gleichung  . Das können wir tun, indem wir drei verschiedene Werte für   einsetzen und dann das entstehende Gleichungssystem lösen.

Dafür eignen sich Werte, für die wir die Werte des Kosinus explizit kennen – zum Beispiel   und  . Denn es gilt   und  .

Solution (Trigonometrische Polynome)

Seien  , sodass

 

für alle   gilt. Wir wollen zeigen, dass   gelten muss. Indem wir für   die Werte   und   einsetzen, erhalten wir folgendes Gleichungssystem für die  :

 

Das Gleichungssystem kann nun auf verschiedene Arten gelöst werden. Wir stellen zunächst die erste Gleichung um und erhalten  . Das können wir in die zweite Gleichung einsetzen und erhalten  , also  . Wenn wir unsere Ergebnisse jetzt in die dritte Gleichung einsetzen, haben wir  . Dies ist äquivalent dazu, dass   gilt. Daraus folgt direkt  .

Damit haben wir die Koeffizienten   und   eindeutig bestimmt. Das heißt, es gibt keine nichttriviale Linearkombination der  . Die Funktionen sind also linear unabhängig.

Aufgabe 4Bearbeiten

Exercise (Lineare (Un-)abhängigkeit?)

Beweise oder widerlege die folgende Aussage:

Seien  . Die Menge   ist genau dann linear abhängig, wenn jeder der Vektoren eine Linearkombination der anderen beiden ist.

How to get to the proof? (Lineare (Un-)abhängigkeit?)

Damit die Menge linear abhängig ist, reicht es, wenn zwei der drei Vektoren ein Vielfaches des jeweils anderen sind, während der Dritte linear unabhängig von den beiden sein kann. Mit dieser Überlegung können wir uns ein Gegenbeispiel zu der Aussage konstruieren.

Solution (Lineare (Un-)abhängigkeit?)

Die Aussage ist nicht richtig. Wir betrachten die Menge

 

Dann können wir den Nullvektor als nichttriviale Linearkombination der drei Vektoren darstellen:

 

Damit ist die Menge linear abhängig. Allerdings ist der Vektor   keine Linearkombination der anderen beiden.

Aufgabe 5Bearbeiten

Exercise (Linear unabhängige Vektoren im  )

Beweise: Im Vektorraum   der  -Tupel über dem Körper   sind die Vektoren  ,   bis   linear unabhängig.

Solution (Linear unabhängige Vektoren im  )

Wir müssen zeigen, dass wir den Nullvektor eindeutig als Linearkombination der Vektoren   darstellen können. Betrachten wir also die Linearkombination der Vektoren mit   für  . Es soll gelten

 

Dies können wir als lineares Gleichungssystem auffassen als

 

Damit haben wir gezeigt, dass die   eindeutig bestimmt sind und den Wert   besitzen. Nach Definition der linearen Unabhängigkeit haben wir damit gezeigt, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Aufgabe 6Bearbeiten

Exercise (Linear unabhängige Vektoren bei Endomorphismus)

Sei   ein Körper und   ein Endomorphismus des  -Vektorraums  . Sei  , sodass für eine feste natürliche Zahl   gilt:   für   und  . Hierbei bedeutet   das  -malige Anwenden der Abbildung   auf den Vektor  . Beweise, dass dann die Vektoren   linear unabhängig sind.

How to get to the proof? (Linear unabhängige Vektoren bei Endomorphismus)

Wir müssen zeigen, dass für   mit

 

schon   gilt. Wir können dafür versuchen, die einzelnen   aus dieser Gleichung zu erhalten: Wir wissen, dass   gilt. Wenden wir nun   auf diese Gleichung an, so erhalten wir

 

Wir haben damit erreicht, dass wir einen Summanden verloren haben. Damit haben wir unser Problem auf einen Fall mit   Summanden reduziert. Das heißt, indem wir mit einer Induktion vorgehen, können wir die Aussage jetzt folgern.

Solution (Linear unabhängige Vektoren bei Endomorphismus)

Wir führen eine Induktion nach   durch, um obige Idee, die Anzahl der Vektoren um einen Vektor zu reduzieren anwenden zu können.

Theorem whose validity shall be proven for the  :

Ist   mit   für alle   und  , so ist   linear unabhängig.

1. Base case:

Wir müssen zeigen, dass   und   linear unabhängig sind, wenn   und   gelten. Das heißt wir müssen zeigen, dass für   mit   schon   erfüllt sein muss. Nun ist

 

Weil   gilt, muss   gelten. Dann ist nach Wahl von   und   auch  . Mit dem gleichen Argument folgt nun  .

1. inductive step:

2a. inductive hypothesis:

Ist   mit   für alle   und  , so ist   linear unabhängig.

2b. induction theorem:

Ist   mit   für alle   und  , so ist   linear unabhängig.

2b. proof of induction step:

Seien  , sodass   gilt. Dann ist

 

Indem wir die Induktionsvoraussetzung auf   anwenden, erhalten wir, dass   gilt. Damit ist  . Weil   ist, muss   gelten. Also ist   linear unabhängig.