Übersicht: Stetigkeit und Differenzierbarkeit – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

In diesem Abschnitt fassen wir die wichtigsten Zusammenhänge und Ergebnisse zwischen den verwandten Begriffen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit zusammen.

Übersicht: Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Wir hatten bereits bewiesen, dass jede differenzierbare Funktion stetig ist. Die Umkehrung ist im allgemeinen nicht richtig. Beispiele hierfür sind die Funktionen $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=|x|$ oder $f:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {x}}$ jeweils im Nullpunkt.

Eine stärkere Variante der Stetigkeit ist die gleichmäßige Stetigkeit. Diese stellt, im Gegensatz zur „gewöhnlichen“ Stetigkeit, keine lokale, sondern eine globale Eigenschaft dar. Daher ist jede gleichmäßig stetige Funktion stetig. Die Umkehrung gilt hingegen nicht, wie das Beispiel $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ zeigt. Jedoch ist jede stetige Funktion einem kompakten Definitionsintervall gleichmäßig stetig. Dieses Resultat ist in der Literatur auch als Satz von Heine-Cantor bekannt.

Eine weitere „Verschärfung“ der gleichmäßigen Stetigkeit stellt die Lipschitz-Stetigkeit dar. Sie besagt anschaulich, dass das $\delta$ in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit linear von $\epsilon$ abhängt. Damit ist jede lipschitz-stetige Funktion auch gleichmäßig stetig. Die Umkehrung gilt im allgemeinen nicht. Ein Beispiel ist $f:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {x}}$, die gleichmäßig, jedoch nicht lipschitz-stetig ist.

Die Lipschitz-Stetigkeit ist, genau wie die gleichmäßige Stetigkeit, eine globale Eigenschaft. Von dieser gibt es eine schwächere, lokale Variante, die lokale Lipschitz-Stetigkeit. Lokale Lipschitz-Stetigkeit und Lipschitz-Stetigkeit verhalten sich genau wie Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit. D.h. jede lipschitz-stetige Funktion ist auch lokal lipschitz-stetig, jedoch nicht umgekehrt. Ein Beispiel ist erneut die Quadratwurzelfunktion $f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {x}}$. Wichtig ist, dass die Null hier nicht im Definitionsbereich der Wurzelfunktion enthalten ist. Andererseits folgt aus lokaler Lipschitz-Stetigkeit die „gewöhnliche“ Stetigkeit, jedoch nicht umgekehrt. Beispielsweise ist die Funktion $f:[-1,1]\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {|x|}}$ im Nullpunkt stetig, jedoch nicht lokal lipschitz-stetig.

Eine Beziehung zwischen Differenzierbarkeit und Lipschitz-Stetigkeit stellt der Schrankensatz dar, welcher aus dem Mittelwertsatz folgt. Der Schrankensatz besagt, dass jede differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung lipschitz-stetig ist. Eine hinreichende Bedingung für diese Voraussetzung ist, nach dem Satz vom Minimum und Maximum, dass die Funktion auf einem Kompaktum definiert und stetig differenzierbar ist. Zuletzt folgt umgekehrt, dass jede lipschitz-stetige Funktion fast überall (d.h. bis auf eine Nullmenge) differenzierbar ist. Diese Aussage ist als Satz von Rademacher bekannt.

Diagramm about the conections between continous and differentiable real valued functions

Verständnisfragen

Verständnisaufgabe: Gib jeweils eine Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ mit der folgenden Eigenschaft an:

1. $f$ ist gleichmäßig stetig und $D$ nicht kompakt.
2. $f$ ist stetig und $D$ kompakt, aber $f$ ist nicht lipschitz-stetig.
3. $f$ ist gleichmäßig stetig, aber nicht lokal lipschitz-stetig.
4. $f$ ist differenzierbar, aber nicht lipschitz-stetig.
5. $f$ ist stetig differenzierbar, aber nicht gleichmäßig stetig.

Lösungen:

1. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x$
2. $f:[0,1]\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {x}}$
3. $f:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} ,\ f(x)={\sqrt {x}}$
4. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ oder $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$
5. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}$ oder $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}$